Задача в ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов

Вариант 7

1. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. При условии, что 3% счетов содержат ошибки, найдите числовые характеристики этого распределения. Чему равна вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой.

Решение

Число правильных счетов есть случайная величина X, которая может принимать значения: 0, 1, 2, 3, 4. Вероятности этих значений определим по формуле Бернулли: pn(m) = , где q=0,03 — вероятность неправильного счета, а p=1-q=1-0,03 = 0,97 — вероятность правильного счета. Получим

P (X=0) = p5(0) = 0,0000000243

P (X=1) = p5(1) = 0,000004

P (X=2) = p5(2) = 0,00025

P (X=3) = p5(3) = 0,0082

P (X=4) = p5(4) = 0,133

P (X=5) = p5(5) = 0,859

Сделаем проверку. Сумма вероятностей должна быть равна 1. Действительно,

0,0000000243+0,000004+ 0,00025+0,0082+0,133+0,859=1

Распределение случайной величины X

X	0	1	2	3	4	5
P	0,00000002	0,000004	0,00025	0,0082	0,133	0,859

Определим числовые характеристики этого распределения. Математическое ожидание дискретной случайной величины X находим по формуле

M (X) = ,

Где — возможные значения X, а — соответствующие вероятности.

M(X) = 0*0,00000002 + 1*0,000004+2*0,00025+3*0,0082+4*0,133+5*0,859 = 4,85

Дисперсию случайной величины X находим по формуле

Так как

M(X2) = 0*0,00000002 + 1*0,000004+4*0,00025+9*0,0082+16*0,133+25*0,859 = 23,68

То

D(X) = 23,68 – (4,85)2 = 0,155

Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно

Найдем функцию распределения вероятностей F(X).

Если х ≤ 0, то F(x) = 0

Если 0 ≤ х ≤ 1, то F(x) = 0*0,00000002

Если 1 ≤ х ≤ 2, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 = 0,00000402

Если 2 ≤ х ≤ 3, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025= 0,00025402

Если 3 ≤ х ≤ 4, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082= 0,00845402

Если 4 ≤ х ≤ 5, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082+0,133= 0,14145402

Если x > 5, то F(x) = 0*0,00000002+0,000004 +0,00025+0,0082+0,133+0,859 = 1

График функции

Событие A, состоящее в том, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой, является противоположным к событию, что все счета будут правильными, следовательно,

P(A) = 1 – P(X = 5) = 1-0,859 = 0,141

Вероятность того, что хотя бы 1 счет будет с ошибкой, равна 0,141.

2. Фирма, занимающаяся продажей товаров по каталогу, ежемесячно получает по почте заказы. Число этих заказов есть нормально распределенная случайная величина со средним квадратическим отклонением и неизвестным математическим ожиданием. В 90% случаев число ежемесячных заказов превышает 12439. Найдите ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц.

Решение

Вероятность того, что число ежемесячных заказов превышает 12349:

P(|X|>12349) = 1 — P(|X|<12349) = 0,9

По определению, для вероятности P(|X|<12349):

P(|X|<12349) = Ф (

Где — математическое ожидание, то есть ожидаемое среднее число заказов, получаемых фирмой за месяц. По таблице функции Лапласа найдем Ф(х) = 0,1 , тогда х=0,25.

Тогда:

Ответ:

3. Длительность междугородних телефонных разговоров распределена примерно по показательному закону, разговор продолжается в среднем 3 мин. Найти вероятность того, что очередной разговор будет продолжаться более 3 мин. Найти вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течении ближайшей минуты, а также математическое ожидание и дисперсию длительности разговора.

Решение

Для показательного распределения математическое ожидание МХ = . Тогда Дисперсия длительности разговора равна:

DX =

Вероятность того, что разговор, будет продолжаться более 3 мин, является противоположным к событию, что разговор продолжается менее 3 мин:

P(|X|>3) = 1 – P(|X|<3) = 1 —

Вероятность того, что разговор, который длится уже 10 мин, закончится в течении ближайшей минуты:

P{X<11|X>10} =

Ответ: DX ; P(|X|>3) = 0; P{X<11|X>10}

Для заданного интервального ряда выборки проверить гипотезу: закон распределения генеральной совокупности является нормальным.

M	Интервалы
Частоты
1	2
16	(2,2;3,0)	(3,0;3,8)	(3,8;4,6)	(4,6;5,4)	(5,4;6,2)	(6,2;7,0)	(7,0;7,8)
	5	10	35	20	15	8	7

Решение

Используя метод произведений, найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Интервалы*	Частоты	Ui	Niui
2,6	5	-3	-15	45	20
3,4	10	-2	-20	40	10
4,2	35	-1	-35	35	0
5	20	0	0	0	20
5,8	15	1	15	15	60
6,6	8	2	16	32	72
7,4	7	3	21	63	112
N	100		-18	230	294

— выборочная средняя

– выборочное среднее квадратическое отклонение

Вычислим теоретические частоты:

I
1	2,6	-1,4702	0,1354	7,173492
2	3,4	-0,9404	0,2565	13,58937
3	4,2	-0,4106	0,3668	19,43306
4	5	0,119205	0,3961	20,98538
5	5,8	0,649007	0,323	17,11254
6	6,6	1,178808	0,1989	10,53772
7	7,4	1,708609	0,094	4,98012
				93,81169

Из расчетной таблицы получаем. Найдем по таблице критических точек распределения По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=7-2=5 критическую точку правосторонней критической области (0,05; 5) = 11,1

Так как, то гипотеза о нормальном распределении отвергается.

Ответ: гипотеза о нормальном распределении отвергается

В таблице случайных чисел цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 встретились следующее число раз:

Цифры	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Частоты	106	121	128	96	113	117	109	103	119	120

Здесь i – номер варианта. С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о том, что все цифры встречаются в таблице равновероятно. За уровень значимости принять

Решение

Найдем выборочную среднюю:

Цифры	Частоты	Ui	Niui
0	106	-4	-424	1696	954
1	121	-3	-363	1089	484
2	128	-2	-256	512	128
3	96	-1	-96	96	0
4	113	0	0	0	113
5	117	1	117	117	468
6	109	2	218	436	981
7	103	3	309	927	1648
8	119	4	476	1904	2975
9	120	5	600	3000	4320
N	1132		581	9777	12071

— выборочная средняя

– выборочное среднее квадратическое отклонение

Найдем параметры a и b:

A*= = 0,5

B*= = 9,52

Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:

F(x) =

Найдем теоретические частоты:

Длины третьего-девятого интервала равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты одинаковы и равны

Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерий Пирсона, приняв число степеней свободы k=s-3=10-3=7

I
1	106	43,74	1913,188	30,729
2	121	-3,52	12,3904	0,099505
3	128	3,48	12,1104	0,097257
4	96	-28,52	813,3904	6,532207
5	113	-11,52	132,7104	1,065776
6	117	-7,52	56,5504	0,454147
7	109	-15,52	240,8704	1,934391
8	103	-21,52	463,1104	3,719165
9	119	-5,52	30,4704	0,244703
10	120	55,25	3052,563	47,14382
				92,01997

Из расчетной таблицы получаем. Найдем по таблице критических точек распределения По уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы k=7 критическую точку правосторонней критической области (0,05; 7) = 14,1

Так как, то гипотеза о равномерном распределении отвергается.

Ответ: гипотеза о равномерном распределении отвергается

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

		Алгебра
		Решение задачи
		18 февраля 2021
		Выполнен, номер заказа №16249
		Прошла проверку преподавателем МГУ
		245 руб.

Напишите мне в чат, пришлите ссылку на эту страницу в чат, оплатите и получите файл!

Закажите у меня новую работу, просто написав мне в чат!

Описание заказа и 38% решения ( + фото):

В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. Известно, что 3% счетов содержат ошибки. Составить закон распределения правильных счетов. Найти числовые характеристики. Составить функцию распределения, построить ее график. Найти вероятность того, что хотя бы один счет будет с ошибкой.

Решение

Случайная величина 𝑋 – число правильных счетов, может принимать значения Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится 𝑛 независимых испытаний, при каждом из которых вероятность осуществления события 𝐴 постоянна и равна 𝑝, а вероятность противоположного события равна 𝑞 = 1 − 𝑝, то вероятность того, что при этом событие 𝐴 осуществляется ровно 𝑚 раз, вычисляется по формуле где 𝐶𝑛 𝑚 — число сочетаний из 𝑛 элементов по 𝑚. Для данного случая Закон распределения имеет вид: 3 Для биномиального распределения справедливы формулы: Математическое ожидание 𝑀(𝑋) равно: Дисперсия 𝐷(𝑋) равна: По условию Среднеквадратическое отклонение 𝜎(𝑋) равно: Функция распределения выглядит следующим образом: График функции распределения: Найдем вероятность того, что хотя бы один счет будет с ошибкой. Это все случаи, кроме случая, когда число верных счетов равно 5.

Похожие готовые решения по алгебре:

Найти закон распределения случайной величины 𝑋, которая выражает число мальчиков в семье, в которой пять детей. Вероятность
Из партии, содержащей 90 изделий, среди которых имеется 6 дефектных, выбираются случайным образом (с возвратом) 5 изделий
Игральную кость подбрасывают 5 раз. Пусть случайная величина 𝑋 – количество выпадений числа очков, которые делятся
Из партии, содержащей 150 изделий, среди которых имеется 8 дефектных, выбираются случайным образом (с возвратом) 5 изделий
Случайная величина 𝑋 – число черных шаров в предыдущей задаче. В урне 2 черных и 6 белых шаров. Шар извлекают
В городе нотариусы составляют 29% работающих в конторах. Найти ряд распределения числа нотариусов из 5 работников
Практика показывает, что 7% накладных, проходящих проверку в бухгалтерии, оказываются неправильно оформленными. Наугад
Вероятность оказаться бракованной для каждой из независимо изготовленных на производственном участке деталей равна 0,05. Построить

Вероятность наступления события 𝐴 в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того
Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины будет допущена ошибка
Вероятность выбора отличника на факультете равна 1/7. Из 28 студентов группы наудачу
Найти закон распределения случайной величины 𝑋, которая выражает число мальчиков в семье, в которой пять детей. Вероятность

Источник

В
ходе аудиторской проверки строительной
компании аудитор случайным образом
отбирает пять счетов. Вероятность
наличия ошибки в каждом счете — величина
постоянная и равна 0.03. Случайная величина
X —
количество счетов с ошибкой. Какова
вероятность того, что хотя бы один счет
будет ошибкой?

Решение.

Перечислим
все возможные значения случайной
величины X: 0, 1, 2, 3, 4, 5 (т.
к. 5 счетов). Все 5 испытаний независимы,
то есть вероятность, что в каждом из
отобранных счетов будет ошибка, не
зависит от того, есть ли или нет ошибки
в других счетах.

Вероятность
«успеха» (в случае этой задачи вероятность
того, что в каждом счете будет ошибка)
постоянна и равна p= 0,03.

Вероятность
«неудачи» q= 1 –p= 1 – 0,03 = 0,97.

Очевидно,
что случайная величина Xподчиняется биноминальному закону
распределения с параметрамиn= 5 иp= 0,03.

Составим
таблицу распределения случайной
величины. Для это по формуле:

рассчитаем вероятность того, что
случайная величинаXпримет каждое из своих возможных
значений.

n	k	p	q	P_n
5	0	0,03	0,97	0,8587340257	P (X = 0)
1	0,1327939215	P (X = 1)
2	0,0082140570	P (X = 2)
3	0,0002540430	P (X = 3)
4	0,0000039285	P (X = 4)
5	0,0000000243	P (X = 5)
			Сумма	1,0000000000

Запишем
полученные вероятности в таблицу
распределения и сделаем проверку, т. к.
все возможные значения случайной
величины Xобразуют полную
группу несовместных событий, то сумма
их вероятностей должна быть равна 1.

Таблица
распределения случайной величины X.

X = x_i	0	1	2	3	4	5
P (X = x_i) = p_i	0,8587340257	0,1327939215	0,0082140570	0,0002540430	0,0000039285	0,0000000243

Таблицу
распределения представим графически
в виде многоугольника распределения.

Найдем
числовые характеристики данной случайной
величины.

Математическое
ожидание дискретной величины может
быть рассчитано по определению:

Но
т. к.X– биноминально
распределенная случайная величина с
параметрамиn= 5 иp= 0,03, то ее математическое ожидание может
быть найдено по формуле:

Дисперсию
этой случайной величины также можно
рассчитать 2-мя способами. По вычислительной
формуле для дисперсии произвольной
случайной величины имеем:

А по
формуле для биноминального закона
распределения

Среднее
квадратическое отклонение равно

Построим теперь функцию
распределения данной случайной величины
Х. По условию задачи и определению
функции распределения

где
для каждого значения
суммируются вероятности тех значений,
которые лежат левее точки.
Рассчитаем эти суммарные вероятности
для разных значений.

Если
,
то

При

Если
,
то

Итак,
функция распределения случайной величины
имеет вид:

ее график является
ступенчатой линией

Определим теперь
вероятности, связанные с нашей случайной
величиной. Вероятность того, что среди
отобранных счетов не будет ни одного с
ошибкой, есть вероятность случайной
величине Xпринять значение
0

Вероятность того, что
среди 5-ти счетов окажется хотя бы один
счет с ошибкой – это вероятность принятия
случайной величиной значения 1, 2, 3, 4, 5.
Используя формулу сложения вероятностей
несовеместных событий получим

Этот
же результат можно получить, перейдя к
противоположному событию:

Вероятность того, что
хотя бы один счет будет с ошибкой равна
0,14.

Задача
5. Тема:
«Описательная статистика»

Для
приведенных ниже выборочных данных
выполнить следующую обработку, пояснив
полученные результаты:

а)
найти выборочные значения среднего
арифметического, моды, медианы;

б)
найти размах выборки, выборочную
дисперсию, выборочное среднее
квадратическое отклонение; проверить
выполнение правила «3сигма»;

в) оценить
симметричность распределения с помощью
первого коэффициента Пирсона;

г) найти верхнюю
и нижнюю выборочные квартили, пояснить
их смысл;

д) построить
сгруппированный статистический ряд и
гистограмму;

е) найти модальный
и медианный интервалы, сравнить середины
этих интервалов со значениями моды и
медианы, рассчитанными по выборке.

Для
выполнения расчетов и построения
гистограмм рекомендуются средства
MathCad,
Excel.

Источник

В первой урне содержится 5 зеленых и 4 голубых шаров, во второй – 3 зеленых и 6 голубых шаров. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара. После этого из второй урны наугад извлекают 3 шара. Найти вероятность того, что будут извлечены 2 голубых и 1 зеленый шар.

Скачать решение бесплатно

Купить решение

* Оплата через сервис ЮMoney.

Другие задачи по теории вероятности

Отдел маркетинга фирмы проводит опрос для выяснения мнений потребителей по определенному типу продуктов. Известно, что в местности, где проводятся исследования, 10% населения являются потребителями интересующего фирму продукта и могут дать ему квалифицированную оценку. Компания случайным образом отбирает 10 человек из всего населения. Чему равна вероятность того, что по крайней мере один человек из них может квалифицированно оценить продукт?

В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. Если 3% счетов содержат ошибки, чему равна вероятность того, что аудитор найдет следующее: а) только один счет будет с ошибкой? б) хотя бы один счет будет с ошибкой?

Зенитная батарея, состоящая из k орудий, производит залп по группе, состоящей из l самолетов (k меньше или равно l). Каждое орудие выбирает себе цель случайно и независимо от других. Найти вероятность того, все k орудий выстрелят по одной и той же цели.

Бросают два кубика. Суммируют число очков, выпавших на верхних гранях кубиков. Построить множество элементарных событий и его подмножество, соответствующее событию A={сумма очков больше 7}. Найти вероятность события A. Построить подмножество, соответствующее событию Ā (дополнение A).

Два лица договорились встретиться в определенном месте между 16 и 17ч., причем, пришедший первым ждет другого в течение 15мин., после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время, и моменты прихода независимы.

В одном сосуде находится Б₁ белых и Ч₁ черных шаров. Во втором – Б₂ белых и Ч₂ черных. Бросают два кубика. Если сумма очков, выпавших на верхних гранях, меньше 10, берут шар из первого сосуда, если больше или равна 10 – из второго. Вынут черный шар. Какова вероятность того, что сумма очков была не меньше 10? Б₁=5, Ч₁=6, Б₂=9, Ч₂=6.

Строительная фирма раскладывает рекламные листы по почтовым ящикам. Прежний опыт показывает, что в одном случае из двух тысяч следует заказ. Найти вероятность того, что при распространении 100 тыс. листов число заказов будет: а) равно 60; б) находится в границах от 55 до 65.

Источник