Время безотказной работы прибора при контроле качества дискретная величина

02.03.20

1 ответ

Определение Непрерывная случайная величина Х имеет показательный закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид

(5)

Кривая распределения и график функции распределения (рис. 2).

Рис 2.

Получим выражение для функции распределения по формуле .

1) При .

2) При .

По соответствующим формулам получаем выражения для и .

Задача. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) выражение его плотности вероятности и функции распределения; б) вероятность того, что в течение 100 ч. прибор не выйдет из строя.

Решение. Х- время безотказной работы прибора, среднее время — , тогда по формуле (7) и по (5) ;(6) .

Искомая вероятность

Замечание. Показательный закон распределения играет большую роль в теории массового обслуживания и теории надежности.

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ

Кафедра теории вероятностей и математической статистики

РЕФЕРАТ

По математической статистике

на тему:

«Равномерное распределение»

Выполнил: студенты группы М-65

Ражева А.А.

Кнутова А.С.

Проверил:Заведующий Кафедрой

Ивченко Г. И.

Москва 2012 г.

Непрерывное равномерное распределение — в теории вероятностей распределение, характеризующееся тем, что вероятность любого интервала зависит только от его длины.

Равномерное распределение полезно при описании переменных, у которых каждое значение равновероятно, иными словами, значения переменной равномерно распределены в некоторой области.

Определение

Говорят, что случайная величина имеет непрерывное равномерное распределение на отрезке [a,b], где , если её плотность имеет вид:

Пишут: X ~ U (a,b) или

Иногда значения плотности в граничных точках x = a и x = b меняют на другие, например 0 или . Так как интеграл Лебега от плотности не зависит от поведения последней на множествах меры нуль, эти вариации не влияют на вычисления связанных с этим распределением вероятностей.

Если L (ξ) = U(a,b), то

Равномерное распределение U (a,b) описывает процесс «выбора точки наудачу» в интервале [a,b]. Так, если [a,b] – интервал между последовательными отправлениями автобуса от остановки, то время ожидания пассажира, не знающего расписания и пришедшего на остановку, есть случайная величина с распределением U (0,1). Распределение U (0,1) играет особую роль в методах моделирования с помощью компьютеров случайных величин с заранее заданными распределениями. Такие методы широко используют для приближенных вычислений интегралов, решений дифференциальных и интегральных уравнений и т.д.

Пример (Гипотеза случайности).

В некоторых случаях априори предполагается (постулируется), что исходные данные представляют собой случайную выборку из некоторого распределения, т.е. компоненты вектора данных X=( независимы и одинаково распределены. Как правило, это предположение бывает оправдано, так как вытекает из самого характера задачи, и не подвергается сомнению. Но иногда это исходное предположение само нуждается в проверке, т.е. оно рассматривается как статистическая гипотеза , называемая гипотезой случайности. Формализуется такая гипотеза следующим образом. Пусть обозначает функцию распределения выборки , тогда подлежащая проверки гипотеза означает утверждение : , где — некоторая одномерная функция распределения (она может быть полностью задана, либо задано семейство, которому она принадлежит, либо никак не специфицируется). Типичным примером ситуации, когда возникает необходимость проверки гипотезы случайности, является работа генератора (датчика) случайных чисел. Под случайными числами понимается последовательность независимых и равномерно распределённых на отрезке [0,1] случайных величин. Такие числа широко используются в различных областях: в статистике – для моделирования случайных выборок из различных распределений, в криптографии – при получении ключей для шифрования информации, в численном анализе и т.д. В практических задачах последовательность строят либо с использованием готовых таблиц случайных чисел, либо генерируют с помощью специальных датчиков, встроенных непосредственно в ЭВМ, либо получают программным способом по некоторому вспомогательному алгоритму (в последнем случае получаются так называемые псевдослучайные числа т.е. «очень похожие» на случайные). Во всех случаях (особенно в последнем) требуется осуществлять контроль за «качеством» вырабатываемой последовательности (т.е. чтобы эти числа были практически неотличимы от независимых одинаково распределенных чисел), что в математическом плане сводится к проверке гипотезы случайности.

Функция распределения

Интегрируя определённую выше плотность, получаем:

Так как плотность равномерного распределения разрывна в граничных точках отрезка [a,b], то функция распределения в этих точках не является дифференцируемой. В остальных точках справедливо стандартное равенство:

Характеристическая функция случайной величины X ~ U(a,b):

Математическое ожидание и дисперсия по определению равны:

Вообще,

Стандартное равномерное распределение

Если a = 0, а b = 1, то есть X ~ U[0,1], то такое непрерывное равномерное распределение называют стандартным. Имеет место элементарное утверждение:

Если случайная величина X ~ U[0,1], и Y = a + (b − a)X, где a < b, тo Y ~ U[0,1].

Таким образом, имея генератор случайной выборки из стандартного непрерывного равномерного распределения, легко построить генератор выборки любого непрерывного равномерного распределения.

Более того, имея такой генератор и зная функцию обратную к функции распределения случайной величины, можно построить генератор выборки любого непрерывного распределения (не обязательно равномерного) с помощью метода обратного преобразования. Поэтому, стандартно равномерно распределённые случайные величины иногда называют базовыми случайными величинами.

Линейное преобразование

переводит СВ X ~ R(a,b) в СВ Y ~ R(0,1). Действительно,

Равномерное распределение является непрерывным аналогом дискретного распределения вероятностей для опытов с равновероятными исходами.

Значение

С помощью линейного преобразования приводится к равномерному распределению на отрезке [0,1]. Равномерное распределение является непрерывным аналогом распределений классической теории вероятностей, описывающих случайные эксперименты с равновероятными исходами.

Погрешность, происходящая от округления числа, удовлетворительно описывается равномерным распределением на отрезке [ − 1 / 2,1 / 2].

Если случайная величина ζ имеет непрерывную функцию распределения , то случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [0,1]. Этим объясняется широкое использование равномерного распределения в статистическом моделировании (методы Монте-Карло).

Моделирование

Обозначим буквой случайную величину с равномерным распределением на отрезке . Для этой случайной величины функция распределения и плотность распределения вероятностей соответственно имеют вид:

Если , то вероятность

Моделировать случайную величину можно многими способами.

Мы рассмотрим метод псевдослучайных последовательностей, который наиболее просто реализуется в компьютере. Для получения псевдослучайной последовательности используем алгоритм, который называется методом середины квадратов. Поясним его на примере. Возьмем некоторое число . Пусть Возведем его в квадрат: .Выберем четыре средние цифры этого числа и положим . Затем возводим в квадрат: и снова выбираем четыре средние цифры. Получаем . Далее находим и т. д. Последовательность чисел принимают за последовательность значений случайной величины , имеющей равномерное распределение на отрезке . Для оценки степени приближения последовательности к последовательности случайных чисел с равномерным распределением используют статистические критерии.

Метод обратных функций.

Пусть случайная величина имеет монотонно возрастающую функцию распределения . Известно, что , значит, случайная величина с монотонно возрастающей функцией распределения связана со случайной величиной соотношением:

Отсюда следует, что значение случайной величины является решением уравнения:

где значение случайной величины , то есть:

Последовательности значений случайной величины соответствует последовательность значений случайной величины с функцией распределения .

Моделирование случайной величины с равномерным распределением на отрезке

Пусть случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке . Тогда её функция распределения имеет описанный выше вид. Тогда по методу обратных функций получаем:

Составляем уравнение , откуда

Последовательности значений случайной величины соответствует последовательность значений: случайной величины , равномерно распределённой на отрезке .

Порядковые статистики.

Случайная величина , которая при каждой реализации выборки принимает значение , называется k-ой порядковой статистикой.

Для случая распределения порядковых статистик имеют вид:

При этом:

А также:

Если же , то плотность совместного распределения экстремальных значений выборки и имеет вид:

А также:

Отметим далее, что если и — независимые равномерно распределённые величины на отрезке [0,1], то величины — независимы и нормально распределены с параметрами (0,1).

Оценивание параметров в равномерном распределении.

Введём статистический аналог теоретического математического ожидания случайной величины :

— выборочное среднее.

Введём статистический аналог теоретической дисперсии случайной величины :

— выборочная дисперсия.

Любая измеримая функция от выборки называется статистикой.

Статистика называется несмещённой оценкой для заданной параметрической функции если она удовлетворяет условию:

Статистика для заданной параметрической функции называется состоятельной, если

То есть для любого при для любого .

ü Возьмём выборку из распределения и оценим параметр θ. Рассмотрим класс оценок вида

Оптимальной несмещённой оценкой θ в данном классе оценок является:

Её дисперсия:

.

ü Оценим теперь параметр θ равномерного распределения по выборке Тогда:

Статистики и — несмещённые.

Кроме того, имеем: то есть оценка точнее. Более того, при то есть оценка состоятельная. Оценка же не обладает этим свойством.

ü Пусть теперь — выборка из . Тогда статистики и несмещённые и состоятельные оценки функций и соответственно.

Достаточные статистики и оптимальные оценки.

Если для любой оценки из класса , для любого , то оценку Т* называют оценкой с равномерно минимальной дисперсией. Такая оценка называется оптимальной оценкой.

Итак, T* — оптимальная оценка для параметрической функции , если

, , .

Статистика называется достаточной для параметрического семейства распределений P= (или достаточной для параметра ), если условный закон распределения выборки при условии, что статистика T(X) приняла некоторое фиксированное значение t, не зависит от параметра .

Теорема Рао-Блекуэлла-Колмогорова: Оптимальная оценка, если она существует, является функцией от достаточной статистики.

Теорема: Если существует полная достаточная статистика, то всякая функция от неё является оптимальной оценкой своего математического ожидания.

То есть оптимальная оценка однозначно определяется уравнением , где Т – полная достаточная статистика, H(T) – произвольная функция от Т.

Функция , рассматриваемая при фиксированной реализации выборки как функция от , называется функцией правдоподобия.

Критерий факторизации.

Для того, чтобы статистика была достаточной для параметрического семейства распределений P, необходимо и достаточно, чтобы функция правдоподобия выборки в нём допускала следующее представление:

Где множитель h(x) от не зависит, а функция g(.) от реализации выборки зависит через функцию T(x).

ü Пусть — выборка из распределения Тогда — полная достаточная статистика для θ. Тогда — оптимальная несмещённая оценка θ, и вообще, — оптимальная оценка любой дифференцируемой функции

ü Пусть теперь — выборка из распределения . Тогда достаточная статистика является полной. Кроме того, оценки и являются оптимальными. Наконец, статистики и являются несмещёнными, следовательно, и оптимальными оценками для параметров и соответственно.

ü Статистика — достаточная для модели где — заданные непрерывные функции скалярного параметра θ.

Если при возрастании θ, то в этом случае существует одномерная достаточная статистика

Аналогично, если при возрастании θ, то одномерная достаточная статистика существует и имеет вид

Этими двумя случаями исчерпываются ситуации, когда в модели существует одномерная достаточная статистика.

Для модели достаточной статистикой является , а для моделей и минимальной достаточной статистикой является T.

где λ – параметр распределения (λ > 0).

Числовые характеристики экспоненциальной СВ:

m T = 1 / λ , D T = 1 / λ 2 .

Непрерывная СВ Х имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны

f (x ) =

1

exp −

(x − m)2

F ( x ) =

0 .5 + Φ

x − m

,

2

,

(7.6)

σ 2π

2σ

σ

где m, σ – параметры распределения ( σ >0),

1

x

t2

Φ(x) =

∫e−

dt — функция Лапласа.

2

2π

0

Значения функции Лапласа приведены в приложении. При использовании таблицы значений функции Лапласа следует учитывать, что Φ(–x) = –Φ(x),

Φ(0) = 0, Φ(∞) = 0,5.

Числовые характеристики нормальной СВ:

m X = m , D X = σ 2 ,

I [ k / 2 ]

m

k −2 i

(σ

/ 2)

i

αk ( x) = k ! ∑

,

(k − 2i)!i !

i =0

0 , k − нечетное,

µ

( x ) =

2 k / 2

k

k !

σ

, k − четное.

( k / 2 ) !

2

Пример 7.1. Время безотказной работы аппаратуры является случайной величиной Х, распределенной по экспоненциальному закону. Среднее время безотказной работы 100 ч. Найти вероятность того, что аппаратура проработает больше среднего времени.

Решение. Так как среднее время безотказной работы, т.е. математическое ожидание, равно 100 ч, то параметр λ экспоненциального закона будет равен λ = 1 / m X = 1 / 100 = 0, 01 . Искомая вероятность

p(X > mX ) = p(100 < X < ∞) =1− F(100) = e−1 ≈ 0,368.

Пример 7.2. Для замера напряжения используются специальные датчики. Определить среднюю квадратическую ошибку датчика, если он не имеет систематических ошибок, а случайные распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,8 не выходят за пределы ±0,2.

Решение. Из условия задачи следует, что p(-0,2<X<0,2) = 0,8. Так как распределение ошибок нормальное, а математическое ожидание m равно 0 (систематические ошибки отсутствуют), то

р{–0,2 < X < 0,2} = Ф(–0,2 / σ) – Ф(0,2 / σ) = 2Ф(0,2 / σ) = 0,8.

По таблице функции Лапласа находим аргумент 0,2/ σ =1,28, откуда

σ = 0,2 / 1,28 = 1,0156.

ЗАДАЧИ

7.1. По каналу связи пересылается пакет информации до тех пор, пока он не будет передан без ошибок. Вероятность искажения пакета равна 0,1, найти среднее количество попыток передать пакет.

Ответ: 1,11.

7.2. При работе прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Количество неисправностей, возникающих за определенный промежуток времени, подчиняется закону Пуассона. Среднее число неисправностей за сутки равно двум. Определить вероятность того, что: а) за двое суток не будет ни одной неисправности; б) в течение суток возникнет хотя бы одна неисправность; в) за неделю работы прибора возникнет не более трех неисправностей.

Ответ: а) 0,018; б) 0,865; в) 0,004.

7.3. Шкала рычажных весов имеет цену деления 1 г. При измерении массы отсчет делается с точностью до целого деления с округлением в ближайшую сторону. Какова вероятность того, что абсолютная ошибка определения массы: а) не превысит величины среднего квадратического отклонения возможных ошибок определения массы; б) будет заключена между

значениями σX и2σX .

	Ответ: а)	1	; б) 1 −	1	.
	3	3

7.4. Среднее время работы электронного модуля равно 700 ч. Определить время безотказной работы модуля с надежностью 0,8.

Ответ: 140 ч.

7.5. Сообщение передается последовательностью амплитудномодулированных импульсов с заданным шагом квантования ∆ (∆ – наименьшая разность амплитуд импульсов). На сообщение накладываются шумы, распределенные по нормальному закону N(0, σ). Если мгновенное значение шума превышает половину шага квантования, то при передаче сообщения возникает ошибка. Определить, при каком минимально допустимом шаге квантования ∆ вероятность ошибки из-за шумов не превысит 0,1.

Ответ: 3,4 σ.

7.6. СВ X – ошибка измерительного прибора – распределена нормально с дисперсией 16 мВ2. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Вычислить вероятность того, что в пяти независимых измерениях ошибка: а) превысит по модулю 6 мВ не более трех раз; б) хотя бы один раз окажется в интервале

(0,5; 3,5) мВ.

Ответ: а) 0,999; б) 0,776.

8. ФУНКЦИИ ОДНОГО СЛУЧАЙНОГО АРГУМЕНТА

Рассмотрим функцию одного случайного аргумента Y = ϕ(X). Если X – непрерывная случайная величина, то плотность вероятности g(y) величины Y определяется по формуле

k
g( y) = ∑ f (ψ j ( y))		ψ′j ( y)		,	(8.1)
j=1

где f(х) – плотность вероятности величины X; ψj(y) – функции, обратные функции ϕ(x);

k – число обратных функций для данного y.

Весь диапазон значений Y необходимо разбить на интервалы, в которых число k обратных функций постоянно, и определить вид g(y) по формуле (8.1) для каждого интервала.

Если X – дискретная случайная величина, принимающая значения xi, то величина Y будет принимать дискретные значения yi = ϕ(xi) с вероятностями

p(yi) = p(xi).

Числовые характеристики функции Y = ϕ(X) одного случайного аргумента

Xопределяются по формулам:

–начальные моменты

		∑n	ϕ k ( xi ) pi	для ДСВ
	i =1		;	(8.2)
α k ( y ) = M [Y k ] = M [ϕ k ( x)] =	∞
		∫ ϕ k ( x) f ( x)dx для НСВ
– математическое ожидание		−∞
m y = M [Y ] = M [ϕ (x )] = α1 ( x ) ;	(8.3)
– центральные моменты
	n
∑(ϕ( xi ) − m y )k pi	для ДСВ
i=1			;	(8.4)
µk ( y) = M[(Y − mY )k ] =	∞
	∫ (ϕ( x) − my )k f ( x)dx для НСВ
	−∞
– дисперсия
DY =µ2(y) =M[(Y −mY )2]=α2(y)−mY2 .	(8.5)

Пример 8.1. Определить плотность вероятности величины Y = X2, если X – случайная величина, равномерно распределенная на интервале [–1, 2].

Решение. Так как Х равномерно распределена в интервале [–1, 2], то ее

плотность вероятности равна (7.4):	−1≤ x ≤ 2,
1/3,
f (x) =	x < −1, x > 2.
0,

Построим график величины Y = X2 для x в интервале [–1, 2] и в зависимости от числа k обратных функций выделим следующие интервалы для

Y (рис. 8.1):

k = 0,

[–∞, 0[

[0, 1]

k = 2,

]1, 4]

k = 1,

]4, +∞]

k = 0.

Так как на интервалах [–∞, 0[ и ]4, +∞]

обратная функция не существует, то для этих

интервалов g(y) = 0.

В интервале [0, 1] две обратные функции:

ψ1(y) = + y и ψ2(y) = – y .

По формуле (8.1) получим

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

+ fx (ψ2( y))

ψ2′ ( y)

=

= fx ( y )

1

+ fx

(− y )

1

=

1

.

2

y

2

y

3

y

В интервале ]1, 4] одна обратная функция

ψ1(y) = +

y , следовательно,

g( y) = fx (ψ1( y))

ψ1′( y)

= fx (

y )

1

=

1

.

Рис. 8.1

2

y

6

y

Таким образом, плотность вероятности величины Y равна

0,

y < 0,

1

0 ≤ y ≤1,

y

,

3

g ( y) =

1

,

1 < y ≤ 4,

6

y

y > 4.

0,

Пример 8.2 Случайная величина X равномерно распределена от –1 до +1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = X2.

Решение. Плотность вероятности СВ X равна

0,5, −1 ≤ x ≤1, f (x) =

0 , x < −1, x >1.

Вычислим математическое ожидание Y по формуле (8.3):

m y = M [X 2 ] = ∫1	x 2 0, 5dx =	1 .
−1		3

Дисперсию Dy рассчитаем по формуле (8.5):

	Dy = M[( X 2 )2 ] − mY2 = ∫1	(x2 )2 0,5dx − my2 =	4	.
	45
	−1

ЗАДАЧИ

8.1. Определить плотность вероятности величины Y = lnX, если X – случайная величина, равномерно распределенная на интервале (1, 3).

		0, 5e	y	, 0	≤ y < ln 3,
Ответ:	g ( y ) =
		0 , y < 0, y > ln 3 .

8.2. Определить плотность вероятности величины Y = |X|, если X – случайная равномерно распределенная величина со следующими характеристиками mx = 1, Dx = 1, и вычислить вероятность того, что р{1 ≤ Y < 2}.

	0, y < 0, y > 2, 73,
		1
	Ответ: g( y) =		, 0	≤ y < 0, 73,
	3
		1		, 0, 73 ≤ y ≤ 2, 73.
	2 3

р{1 ≤ Y < 2} = 0,445.

8.3. Случайная величина X равномерно распределена от 0 до 1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = X – 0,2 .

Ответ: mY = 0,34; DY = 0,0574.

8.4. Точка U, изображающая объект на круглом экране радиолокатора, распределена равномерно в пределах круга единичного радиуса. Найти дисперсию расстояния Y от точки U до центра экрана.

Ответ: DY = 1/18.