Вероятности того что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом

Условие

Решение

Написать комментарий

1.Два
датчика посылают сигналы в общий канал
связи, причем первый из них посылает
вдвое больше сигналов, чем второй.
Вероятность получить искаженный сигнал
от первого датчика равна 0,06; от второго
– 0,03.

а) Какова
вероятность получить искаженный сигнал
в общем канале связи?

б) В общем
канале связи получен искаженный сигнал.
Какова вероятность того, что этот сигнал
послан вторым датчиком?

2.
Вероятности того, что во время работы
цифровой электронной машины произойдет
сбой в арифметическом устройстве, в
оперативной памяти, в остальных
устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности
обнаружения сбоя в арифметическом
устройстве, в оперативной памяти и в
остальных устройствах соответственно
равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того,
что возникший в машине сбой будет
обнаружен.

H1 –»сбой
в арифметическом устройстве»
Н2 –
»сбой в оперативной памяти»
Н3 –
» сбой в остальных
устройствах»

р(H1)+p(H2)+p(H3)=1

По
условию
р(H1):p(H2):p(H3)=3:2:5

Пусть 
р(H1)=3k,
p(H2)=2k,
p(H3)=5k
3k+2k+5k=1
k=0,1

Значит
р(H1)=0,3,
p(H2)=0,2,
p(H3)=0,5

Событие
А – »возникший в машине сбой будет
обнаружен»
р(А/H1)=0,8
р(А/H1)=0,9
р(А/H1)=0,9

р(А)=р(А/H1)·p(H1)+р(А/H2)·p(H2)+р(А/H3)·p(H3)=
=0,8·0,3+0,9·0,2+0,9·0,5=0,24+0,18+0,45=0,87
О т
в е т. 0,87

3.

А — событие,
состоящее в том, что вынутый шар будет
белым.

Когда из I в II перекладывали
шары, возможны три случая:

1) пусть
H1 — это событие, состоящее в том, что оба
шара белые:

P(H1)=P(б*б)
=2/5*1/4=2/20=1/10
P(A|H1)=3/7

2) пусть H2 — это
событие, состоящее в том, что один белый,
один черный:

P(H2)=P(б*ч)
=2/5*3/4=6/20=3/10
P(A|H2)=2/7

3) пусть H3 — это
событие, состоящее в том, что оба шара
черные:

P(H3)=P(ч*ч)
=3/5*2/4=6/20=3/10
P(A|H3)=1/7

Теперь по формуле
полной
вероятности:

P(A)=P(H1)*P(A|H1)+P(H2)*P(A|H2)+P(H3)*P(A|H3)

P(A) = 1/10*3/7+
3/10*2/7 + 3/10*1/7 = 0,17

4. Радист
трижды вызывает корреспондента.
Вероятность того, что будет принят
первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий
– 0,4. События, состоящие в том, что данный
вызов будет услышан, независимы. Найти
вероятность того, что корреспондент
услышит вызов радиста.

Вероятность
того, что корреспондент не услышит
радиста при первом вызове 1-0,2 = 0,8, при
втором 1-0,3 = 0,7 —  и третьим 1-0,4 = 0,6

Поскольку
события независимы, то вероятность
равна 0,8*0,7*0,6 = 0,336

А вероятность
того, что корреспондент услышит радиста
хотя бы один раз равна 1 -0,336 = 0,664

5. В лифт
семиэтажного дома на первом этаже вошли
три че­ловека. Каждый из них с одинаковой
вероятностью выходит на любом из этажей,
начиная со второго. Найти вероятности
следую­щих событий: А — все пассажиры
выйдут на четвертом этаже; В — все
пассажиры выйдут одновременно (на одном
и том же этаже); С— все пассажиры выйдут
на разных этажах. 

6. В
магазине имеются 30 телевизоров, причем
20 из них импортных. Найти вероятность
того, что среди 5 проданных в течение
дня телевизоров окажется не менее 3
импортных телевизоров, предполагая,
что вероятности покупки телевизоров
разных марок одинаковы. 

9.
Экспедиция издательства отправила
газеты в три почтовых отделения.
Вероятность своевременной доставки
газет в первое отделение равна 0,95, во
второе — 0,9, в третье — 0,8. Найти вероятность
следующих событий:
а) только одно
отделение получит газеты вовремя;
б)
хотя бы одно отделение получит газеты
с опозданием.

4.В
блок входят три радиолампы. Вероятности
выхода из

строя
в течение гарантийного срока для них
соответственно равны 0,3;0,2 и 0,4. Какова
вероятность того, что в течение
гарантийного срока хотя бы одна радиолампа
выйдет из строя?

Решение.

Обозначим
через Ai событие, состоящее в том, что i
–ая радиолампа выйдет из строя ( i =
1,2,3) . Известно, чтоP (A1) = 0,3 , P (A2 ) = 0,2 , P (A3
) = 0,4 .

Событие
B = A1 + A2 + A3 означает, что хотя бы одна
радиолампа в течение гарантийного срока
выйдет из строя. События A1, A2 , A3 совместны.
Введем противоположное событие B/ − ни
одна из трех радиоламп не выходит из
строя: B/ = A1/ ⋅
A2/ ⋅
A3/ . События
Ai /и Ai независимы друг от друга, поэтому
P
(B/)
= P
(A1/)
⋅P
(A2/
) ⋅P
(A3
/) = (1−P
(A1))(1−P
(A2
))(1−P
(A3
)) =

(1− 0,3)(1− 0,2)(1− 0,4) = 0,7 ⋅0,8
⋅0,6
= 0,336.

P
(B) + P (B/) = 1

P
(B) = P (A1 + A2 + A3) = 1−P (B/) = 1−P (A1/)P (A2/)P (A3/) = 1−
0,336 = 0,664 .

Ответ.
0,664.

5.
Пловца в команду принимают следующим
образом. Сначала он должен проплыть 100
м за определенное время. Если справится,
то 400 м за определенное время. Если и с
этим справится, тогда километровую
дистанцию за определенное время. Два
спортсмена претендуют на место в команде,
причем первый вовремя преодолевает
соответствующие дистанции с вероятностями
0,7, 0,9 и 0,8, а второй – с вероятностями
0,9, 0,8 и 0,6 соответственно. Какова
вероятность того, что в команду будет
принят один из них.

Первого
примут, если он пройдет все три дистанции.

а)
P(1)=0,7*0,9*0,8=0,504.

И
не примут с вероятностью Q(1)=1-P(1)=0,496

Второго
примут с вер-тью P(2)=0,9*0,8*0,6=0,432.

И
не примут с Q(2)=1-P(2)=0,568.

Их
обоих не примут с вер-тью
Q(3)=Q(1)*Q(2)=0,496*0,568=0,282

б)
Примут хоть одного с вер-тью

P(3)=1-Q(3)=1-0,282=0,718

в)
Примут обоих с вер-тью

P(4)=P(1)*P(2)=0,504*0,432=0,218

Вер-сть,
что 1 примут, а 2 нет

p1=P(1)*Q(2)=0,504*0,568=0,286

Вер-сть,
что 2 примут, а 1 нет

p2=P(2)*Q(1)=0,432*0,496=0,214

г)
Вер-сть, что примут только одного

P(5)=p1+p2=0,286+0,214=0,5

6.
Вероятность попадания в мишень каждым
из двух стрелков равна 0,4. Стрелки
стреляют по очереди, причем каждый
должен сделать по три выстрела. Попавший
в мишень первым получает приз. Найти
вероятность того, что приз получит
первый стрелок.

Из
тетради

1.Игрок
А поочередно играет по две партии с
игроками В и С. Вероятности выигрыша
первой партии для Ви С равны 0.1 и 0.2
соответственно; вероятность выиграть
во второй партии для В равна 0.3, для С
равна 0.4. Определить вероятность того,
что 
а)
первым выиграет В; 
б)
первым выиграет С

Всего
играется 4 партии. Возможно несколько
взаимоисключающих исходов:

1)
В первой партии выиграет В (т. о. , В
выиграет первым) ;
2)
В первой партии выиграет А, во второй
выиграет С (т. о. , С выиграет первым) ;

3)
В первой и второй партиях выиграет А, в
третьей выиграет В (т. о. , В выиграет
первым) ;
4)
В первой, второй и третьей партиях
выиграет А, в четвертой выиграет С (т.
о. , С выиграет первым) ;
5)
Все партии выиграет А.

Других
исходов быть не может, т. е. сумма
вероятностей исходов 1-5 равна единице.

Вероятность
того, что А выиграет в 1-ой партии
Р1=1-0.1=0.9
Вероятность
того, что А выиграет в 2-ой партии
Р2=1-0.2=0.8
Вероятность
того, что А выиграет в 3-ей партии
Р3=1-0.3=0.7
Вероятность
того, что А выиграет в 4-ой партии
Р4=1-0.4=0.6

Выигрыш
в каждой партии — событие независимое.
Т. о. , по закону умножения вероятностей,

—
вероятность исхода 1: 0.1 (дано в условии)

—
вероятность исхода 2: 0.9*0.2=0.18
—
вероятность исхода 3: 0.9*0.8*0.3=0.216
—
вероятность исхода 4: 0.9*0.8*0.7*0.4=0.2016
—
вероятность исхода 5: 0.9*0.8*0.7*0.6=0.3024
В
сумме, как легко проверить, единица.

Таким
образом: вероятность того, что первым
выиграет В — это сумма вероятностей
исходов 1 и 3, а вероятность того, что
первым выиграет С — это сумма вероятностей
исходов 2 и 4. В случае исхода 5 не выиграет
первым ни В, ни С.

Находим
для В: 0.1+0.216=0.316
Для
С: 0.18+0.2016=0.3816.

2.Определить
вероятность того, что выбранное наудачу
изделие является первосортным, если
известно, что 4 % всей продукции является
браком, а 75 % небракованных изделий
удовлетворяют требованиям первого
сорта.

Решение. 

Пусть
событие A={выбранное изделие небракованное},
событие B={небракованное изделие
удовлетворяет требованиям первого
сорта}, событие C={выбранное наудачу
изделие первосортное}. Событие C
предоставляет собой произведение
событий A и B: C=AB. По условию
Р(А) = 1-0,04 = 0,96,
Р(В/А) = 0,75.
Тогда по теореме умножения вероятностей
(см. 2.1) искомая вероятность

 Р(АВ)
= Р(А)*Р(В/А)= 0,96*0,75=0,72.

Соседние файлы в предмете Анализ данных

• #

  31.03.202020.58 Кб51КР по АД 5 вариант.xlsx

• #
• #
• #

Пример 1

На фабрике
станки 1,2 и 3 производят соответственно 20%, 35% и 45% всех деталей. В их
продукции брак составляет соответственно 6%, 4%, 2%. Какова вероятность того,
что случайно выбранное изделие оказалось дефектным? Какова вероятность того,
что оно было произведено: а) станком 1; б) станком 2; в) станком 3?

Решение

Обозначим через

 событие, состоящее в том,
что стандартное изделие оказалось дефектным.

Событие

 может произойти только
при условии наступления одного из трех событий:

 -изделие произведено на
станке 1; 

 — изделие произведено на
станке 2; 

 — изделие произведено на
станке 3; 

Запишем условные вероятности:

По формуле полной вероятности
находим вероятность события

:

Вероятность того, что дефектное изделие
изготовлено на станке 1 найдем по формуле Бейеса:

Вероятность того, что дефектное изделие
изготовлено на станке 2:

Вероятность того, что дефектное изделие
изготовлено на станке 3:

Ответ: а)

; б)

; в)

.

Задача 1

На
отборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в
количестве: 20 с первого завода; 50 со второго завода; 30 с третьего. Вероятность качественного
изготовления изделий на первом заводе 0,8, на втором 0,9
, на третьем 0,9. 1) Какова вероятность
того, что взятое случайным образом изделие будет качественным? 2) Взятое наугад
изделие оказалось качественным. Какова вероятность того, что это изделие завода
с номером N=1.

---

Задача 2

В
пирамиде 15 винтовок, 12 из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность
того, что стрелом поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом
равна 12/25; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 2/25.
Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один
выстрел из наудачу взятой винтовки.

---

Задача 3

На
предприятии работают две бригады рабочих: первая производит в среднем 3/4
продукции с процентом брака 4%, вторая – 1/4 продукции с процентом брака 6%.
Найти вероятность того, что взятое наугад изделие:

а)
окажется бракованным;

б)
изготовлено второй бригадой при условии, что изделие оказалось бракованным.

---

Задача 4

В одном
сосуде находятся 7 белых и 6
 черных шаров. Во втором – 5
 белых и 9
 черных. Бросают два кубика. Если сумма очков,
выпавших на верхних гранях, меньше 10, берут шар из первого сосуда, если больше
или равна 10 – из второго. Вынут белый шар. Какова вероятность того, что сумма
очков была не меньше 10?

---

Задача 5

Вероятность
того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в
арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах,
относятся как 3:2:5. Вероятность обнаружения сбоя в арифметическом устройстве,
в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равна 0,8; 0,9;
0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

---

Задача 6

Имеется
пять урн. В первой, второй и третьей урнах находится по 2 белых и 3 черных
шара, в четвертой и пятой урнах — по 1 белому и 1 черному шару. Случайно
выбирается урна и из нее извлекается шар. Какова условная вероятность того, что
выбрана четвертая или пятая урна, если извлеченный шар оказался белым?

---

Задача 7

В двух
пакетах находятся конфеты. В первом пакете 16 штук сорта «Белочка» и 8 штук
сорта «Жар-птица», во втором 15 сорта «Белочка» и 5 сорта «Жар-птица». Из
первого пакета во второй переложили две конфеты, взятые случайным образом,
содержимое второго пакета перемешали и вытащили оттуда одну конфету, которая
оказалась «Жар-птицей».

Какова
вероятность, что из первого пакета во второй переложили одну «Белочку» и одну
«Жар-птицу»?

---

Задача 8

В городе N – 600
гостиничных номеров. Из них 100 номеров – в первой гостинице, 200 – во второй,
остальные – в третьей. В турфирме известно, что наличие свободного номера
нужного класса составляет вероятность 0,7; 0,5 и 0,8 соответственно в первой,
второй и третьей гостиницах. Определить вероятность того, что клиентов поселили
во вторую гостиницу.

---

Задача 9

Имеются
три партии радиоламп, насчитывающих соответственно 20,30 и 50 шт. Вероятности
того, что радиолампа проработает заданное время, равны 0,7; 0,8; 0,9. Какова
вероятность того, что наудачу выбранная лампа из 100 данных проработает
заданное время?

---

Задача 10

В первом
ящике 2 карандаша и 4 ручки, во втором — 3 карандаша и 1 ручка. Случайным
образом выбрали ящик и из него достали один предмет. Найти вероятность того,
что им оказался карандаш.

---

Задача 11

Для
участия в студенческих отборочных соревнованиях выделено из первой группы курса
4 студента, 6 из второй и 5 студентов из третьей. Вероятности того, что
отобранный студент из первой, второй, третьей группы попадает в сборную
института, соответственно равны 0.5, 0.4 и 0.2. Наудачу выбранный участник
соревнований попал в сборную. К какой из указанных групп он вероятнее всего
принадлежит?

---

Задача 12

Из 10
лотерейных билетов 3 выигрышных. При подготовке вечера 2 билета потеряли, и
было решено добавить один выигрышный. Какой стала вероятность того, что
случайно выбранным билет будет выигрышным?

---

Задача 13

В урне
находятся 5  шаров белого цвета и 4 шара
черного цвета. Три шара последовательно извлекаются из урны (без возвращения их
в урну). Найти вероятность того, что третий извлеченный шар будет белым.

---

Задача 14

Родион
Раскольников покупает себе топор. У первых трех торговцев по 15 топоров с
сосновыми топорищами и по 10 топоров с дубовыми.  Имеются еще два торговца, у каждого из
которых по 5 топоров с сосновыми топорищами и по 5 топоров с дубовыми. Раскольников
покупает первый попавшийся топор у наугад выбранного торговца. Какова
вероятность покупки топора с дубовым топорищем?

---

Задача 15

На базу
поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов.
Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного
срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и 0,95, если на
втором. Найти вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в
течение гарантийного срока.

---

Задача 16

Банки
закатывают два автомата с одинаковой производительностью. Доля банок с дефектом
укупорки для первого автомата составляет 1%, а для второго — 0,5%. Какова
вероятность того, что взятая наугад банка будет иметь дефект укупорки?

---

Задание 17

У рыбака
есть три излюбленных места рыбалки. Эти места он посещает с одинаковой
вероятностью. Вероятность того, что рыба клюнет в 1-м месте – 1/3, во втором –
1/2, в 3-м – 1/4. Известно, что рыбак забросил удочку 3 раза, а вытащил только
одну рыбу. Какова вероятность того, что рыбак рыбачил в первом месте?

---

Задача 18

В группе
из 20 пациентов имеются 4 человека с заболеванием A
, 10 — с заболеванием B
 и 6 с заболеванием C
. Вероятность аллергической
реакции при приеме витаминов для первой группы больных — 0,9, для второй — 0,7,
для третьей — 0,5. Найдите вероятность того, что: а) у наудачу выбранного
больного возникнет аллергическая реакция; б) у 2 наудачу выбранных больных
возникнет аллергическая реакция.

---

Задача 19

В
результате исследований, проведенных в хирургическом отделении одного лечебного
учреждения, установлено, что первая группа крови встречается у 40% больных,
вторая — у 30%, третья — у 20% , четвертая — у 10%. Во время операций
переливание крови требуется пациентам с первой группой — 2%, второй — 1%,
третьей -0,5% и четвертой -0,2%. Найдите вероятность того, что во время
операции пациенту не потребуется переливание крови.

---

Задача 20

Покупатель
пробует шестизарядный револьвер. Найти вероятность того, что при нажатии
покупателем на курок раздастся выстрел, если равновозможны все предположения о
количестве заряженных в револьвер патронов.

sasha255

Для сигнализации об аварии в двигателе установлены два независимо от работающих сигнализатора.Вероятность того что при аварии сигнализатор сработает равна0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго.Найти вероятность того что при аварии а)сработает только один сигнализатор, б)сработают оба сигнализатора

2) Вероятность того что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве,в оперативной памяти,в остальных устройствах,относятся как 3:2:5.Вероятность обнаружения сбоя в арифметическом устройстве,в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8;0,9;0;9.Найти вероятность того что возникший сбой в машине будет найден.

3)Два равносильных противника играют в шахматы.Что вероятнее?
а)выиграть одну партию из двух или две партии из 4?
б)выиграть не менее 2х пртий из 4х или не менее 3х партий из 5?ничьи во внимание не принимаются

Источник

Брошены две игральные кости Найти вероятность того

Главная > Документ

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах,

относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

Решение: Пусть А – событие того, что сбой будет обнаружен, тогда из формулы полной вероятности следует, что:

PA= PB1PB1A+PB2PB2A+PB3PB3A= 0,3*0,8+0,2*0,9+0,5*0,9=0,87.

Обозначим через А событие – деталь отличного качества

Можно сделать два предположения

-деталь произведена первым автоматом (так как производительность первого автомата вдвое больше второго автомата, то Р()=2/3)

-деталь произведена вторым автоматом (Р()=1/3)

Условная вероятность, что она будет отличного качества, если она произведена первым автоматом (A)=0,6

Условная вероятность, что она будет отличного качества, если она произведена первым автоматом (A)=0,84

Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна

P(A)=Р()*(A)+ Р()*(A)=2/3*0.6+1/3*0.84=0.68

Вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна

()===

Ответ:

Решение: Обозначим событие А – стрелок поразил мишень и гипотезы: B1 – стрелок выбрал винтовку с оптическим прицелом, B2 – без оптического прицела. Тогда . Условные вероятности попадания из винтовки с оптическим прицелом и без: . Вычислим вероятность попадания из наудачу взятой винтовки:

Теперь, воспользовавшись формулой Бейеса, получим ответ:

Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.

Решение: Обозначим через А событие—подъезд автомобиля к заправке. Можно сделать два предположения: —проехал грузовой автомобиль, причем =3/5; — проехал легковой автомобиль, причем = 2/5.

Вероятность того, что проезжающий автомобиль подъедет на заправку, по формуле полной вероятности равна Р(А) = + = 3/5 0,1 + 2/5 0,2 = 0,14

Искомая вероятность того, что подъехавший к заправке автомобиль будет грузовым, по формуле Бейеса равна = = = 3/7

Две перфораторщицы набили на разных перфораторах по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05; для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица. (Предполагается, что оба перфоратора были исправны.)

Обозначим через событие А – ошибку перфораторщицы. Тогда, – ошибка сделана первой перфораторщицей, — ошибка сделана второй перфораторщицей. Причем P()=0,5 и P()=0,5, т.к. обе работали одинаково.

Условная вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна (A)=0,05;

Условная вероятность того, что вторая перфораторщица допустит ошибку, равна (A)=0,1.

Вероятность того, что наудачу взятая перфокарта, окажется с ошибкой равна, по формуле полной вероятности равна:

P(A)= P()*(A)+ P()*(A)=0,5*0,05+0,5*0,1=.

Искомая вероятность того, что взятая перфокарта произведена первой перфораторщицей, по формуле Бейеса равна:

===.

В специализированную больницу поступают

в среднем 50% больных с заболеванием К, 30%—с за-

заболеванием L, 20%—с заболеванием М- Вероятность

полного излечения болезни К равна 0,7; для болезней L

и М эти вероятности соответственно равны 0,8 и 0,9.

Больной, поступивший в больницу, был выписан здоро-

здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал

P(A)= Pk(a)*P(k) + Pl(a)*P(l) + Pm(a)*P(m) = 0.7*0.5 + 0.8*0.3 + 0.9*0.2 = 0.77

А вероятность что больной страдал именно заболеванием К равно:

Pa(K) = (Pk(a)*P(k))/P(A)= (0.5*0.7)/0.77 = 5/11

Вероятность того, что изделие будет признано стандартным по формуле полной вероятности равна

P(A)= P() (A) + P() (A) = 0,55 * 0,9 + 0,45 * 0,98 = 0,936

Искомая вероятность того, что изделие проверил второй товаровед, по формуле Бейеса равна

()= P() * (A) / P(A)= 0,45*0,98 / 0,936 = 0,47.

Событие А может появится при условии появления одного из несовместимых событий В1, В2,…, Вn, образующих полную группу событий. После появления события А были переоценены вероятности гипотез, то есть были найдены условные вероятности РА(Вi) (i=1,2,…,n). Доказать, что сумма РА(Вi) (i=1,2,…,n) равна 1.

Что и требовалось доказать.

Событие может появиться при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу событий. После появления события были переоценены вероятности этих гипотез, т.е. были найдены условные вероятности этих гипотез, причем оказалось, что . Чему равна условная вероятность гипотезы ?

Так как события образуют полную группу, и появится при условии появления лишь одного из них, то верно . Так как имеем , то:

Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию

и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказывается стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.

Обозначим через А событие – в каждом из двух испытаний была извлечена стандартная деталь. Можно предположить, что B1 – детали извлекались из первой партии; B2 – детали извлекались из второй партии; В3 – детали извлекались из третей партии.

Детали извлекались на удачу, поэтому вероятности предположений одинаковы:

P(B1) = P(B2) = P(B3) =

Вероятность того, что из первой партии будут последовательно извлечены две стандартные детали; поэтому

Условная вероятность т.е вероятность того, что из второй партии будут извлечены две стандартные детали:

Найдем условную вероятность т.е вероятность того, что из третей партии будут последовательно извлечены две стандартные детали:

Искомая вероятность того, что обе извлеченные детали стандартные взяты из третей партии, по формуле Бейеса равна

Ответ:

Батарея из трех орудий произвела залп, причем два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны , , .

Обозначим через A событие- два орудия попали в цель. Сделаем два предположения: — орудие не попало в цель.

По условию , следовательно

.

Найдем условную вероятность , т.е. вероятность того, что в цель попало два снаряда, причем первое орудие дало промах. Другими словами найдем вероятность того, что второе и третье орудие попали в цель. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения:

Искомая вероятность того, что первое орудие дало попадание, по формуле Бейеса равна:

.

Ответ:

Три стрелка произвели залп, причем две пули поразили мишень. Найти вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, если вероятности попадания в мишень первым, вторым и третьим стрелками соответственно равны 0,6, 0,5 и 0,4.

Решение. Обозначим через А событие – две пули поразили мишень. Сделаем два предположения (гипотезы): В1 – третий стрелок поразил мишень; В2 – третий стрелок не попал в мишень.

По условию, Р(В1) = 0,4; следовательно (событие В2 противоположно событию В1),

Найдем условную вероятность РВ1(А), т.е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем одна из них принадлежит третьему стрелку и, следовательно, вторая – либо первому стрелку (при этом второй не попал), либо второму стрелку (при этом первый не попал). Эти два события несовместны, поэтому применима теорема сложения:

РВ1(А) = p1∙q2 + p2∙q1 = 0,6∙0,5 + 0,5∙0,4 = 0,5.

Найдем условную вероятность РВ2(А), т.е. вероятность того, что мишень поразили две пули, причем третий стрелок промахнулся. Другими словами, найдем вероятность того, что первый и второй стрелки поразили мишень. Эти два события независимы, поэтому применима теорема умножения:

РВ2(А) = p1∙p2 = 0,6∙0,5 = 0,3.

Искомая вероятность того, что третий стрелок поразил мишень, по формуле Бейеса равна

РА(В1) = Р(В1)∙РВ1(А)/[ Р(В1)∙РВ1(А) + Р(В2)∙РВ2(А)] = 0,4∙0,5/( 0,4∙0,5 + 0,6∙0,3 ) = 10/19.

Два из трех независимо работающих элементов вычислительного устройства отказали. Найти вероятность того, что отказали первый и второй элементы, если вероятности отказа первого, второго и третьего элементов соответственно равны 0,2; 0,4 и 0,3.

Решение. Обозначим через А событие – отказали два элемента. Можно сделать следующие предположения (гипотезы):

Р(В1) = p1∙p2∙q3 = 0,2∙0,4∙0,7 = 0,056;

Р(В2) = p1∙p3∙q2 = 0,2∙0,3∙0,6 = 0,036;

Р(В3) = p2∙p3∙q1 = 0,4∙0,3∙0,8 = 0,096;

Вероятности последних трех гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие А (отказали два элемента) невозможно и значит условные вероятности РВ4(А), РВ5(А) и РВ6(А) равны нулю, следовательно, равны нулю и произведения Р(В4)∙РВ4(А), Р(В5)∙РВ5(А) и Р(В6)∙РВ6(А) при любых значениях вероятностей гипотез В4, В5 и В6.

Поскольку при гипотезах В1, В2 и В3 событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице:

РВ1(А) = РВ2(А) = РВ3(А) = 1.

По формуле полной вероятности, вероятность того, что отказали два элемента, равна

Р(А) = Р(В1)∙РВ1(А) + Р(В2)∙РВ2(А) + Р(В3)∙РВ3(А) + Р(В4)∙РВ4(А) + Р(В5)∙РВ5(А) + Р(В6)∙РВ6(А) = 0,056 + 0,036 + 0,096 = 0,188.

По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказали первый и второй элементы,

РА(В1) = Р(В1)∙РВ1(А)/ Р(А) = 0,056/0,188 = 0,3.

Две из четырех независимо работающих ламп прибора отказали. Найти вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, если вероятности отказа первой, второй, третьей и четвертой ламп соответственно равны 0,1, 0,2, 0,3 и 0,4.

Решение. Обозначим через А событие – отказали две лампы. Можно сделать следующие предположения (гипотезы):

Р(В1) = p1∙p2∙q3∙q4 = 0,1∙0,2∙0,7∙0,6 = 0,0084;

Р(В2) = p1∙q2∙p3 ∙q4 = 0,1∙0,8∙0,3∙0,6 = 0,0144;

Р(В3) = p1∙q2∙q3∙p4 = 0,1∙0,8∙0,7∙0,4 = 0,0224;

Р(В4) = q1∙p2∙p3∙q4 = 0,9∙0,2∙0,3∙0,6 = 0,0324;

Р(В5) = q1∙p2∙q3∙p4 = 0,9∙0,2∙0,7∙0,4 = 0,0504;

Р(В6) = q1∙q2∙p3∙p4 = 0,9∙0,8∙0,3∙0,4 = 0,0864;

Вероятности последних четырех гипотез не вычислены, так как при этих гипотезах событие А (отказали две лампы) невозможно и значит условные вероятности РВ7(А), РВ8(А), РВ9(А) и РВ10(А) равны нулю, следовательно, равны нулю и произведения Р(В7)∙РВ7(А), Р(В8)∙РВ8(А), Р(В9)∙РВ9(А) и Р(В10)∙РВ10(А) при любых значениях вероятностей гипотез В7, В8, В9 и В10.

Поскольку при гипотезах В1 – В6 событие А достоверно, то соответствующие условные вероятности равны единице:

РВ1(А) = РВ2(А) = РВ3(А) = РВ4(А) = РВ5(А) = РВ6(А) = 1.

По формуле полной вероятности, вероятность того, что отказали две лампы, равна

Р(А) = Р(В1)∙РВ1(А) + Р(В2)∙РВ2(А) + Р(В3)∙РВ3(А) + Р(В4)∙РВ4(А) + Р(В5)∙РВ5(А) + Р(В6)∙РВ6(А) + Р(В7)∙РВ7(А) + Р(В8)∙РВ8(А) + Р(В9)∙РВ9(А) + Р(В10)∙РВ10(А) = 0,0084 + 0,0144 + 0,0224 + 0,0324 + 0,0504 + 0,0864 = 0,2144.

По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказали первая и вторая лампы, равна

РА(В1) = Р(В1)∙РВ1(А)/ Р(А) = 0,0084/0,2144

Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три из шести (ничьи во внимание не принимаются)?

Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша p=1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.

Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

Найдем вероятность того, что выиграны три партии из шести:

Так как P4(2)>P6(3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.

Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее: а) Выиграть одну партию из двух или две партии из четырех? б)выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаються.

Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша ; следовательно, вероятность проигрыша . Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выигранв партии, то применима формула Бернулли.

А) Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:

Найдем вероятность того, что одна партия из двух будет выиграна:

Б) Найдем вероятность выиграть не менее двух партий из четырех:

Найдем вероятность выиграть не менее трех партий из пяти:

Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что “герб” выпадет: а)мене двух раз; б)не менее двух раз.

При бросании монеты вероятность выпадения герба и решки, равновероятны, поэтому вероятность выпадения герба равна ; следовательно вероятность выпадения решки ; Так как при бросании вероятность постоянна, то применима формула Бернулли.

А) Найдем вероятность того, что герб выпадет менее двух раз:

;

.

.

Б) Найдем вероятность того, что герб выпадет не менее двух раз:

;

Ответ: a) ; б)

Источник