Вероятность безотказной работы за заданное время

Как вычисляется среднее время до отказа и вероятность безотказной работы?

Понятиям MTTF (Mean Time To Failure — среднее время до отказа) и другим терминам теории надежности посвящено большое количество статей, в том числе на Хабре (см., например, тут). Вместе с тем, редкие публикации «для широкого круга читателей» затрагивают вопросы математической статистики, и уж тем более они не дают ответа на вопрос о принципах расчета надежности электронной аппаратуры по известным характеристикам ее составных элементов.

В последнее время мне довольно много приходится работать с расчетами надежности и рисков, и в этой статье я постараюсь восполнить этот пробел, отталкиваясь от своего предыдущего материала (из цикла о машинном обучении) о пуассоновском случайном процессе и подкрепляя текст вычислениями в Mathcad Express, повторить которые вы сможете скачав этот редактор (подробно о нем тут, обратите внимание, что нужна последняя версия 3.1, как и для цикла по machine learning). Сами маткадовские расчеты лежат здесь (вместе с XPS- копией).

1. Теория: основные характеристики отказоустойчивости
Вроде бы, из самого определения (Mean Time To Failure) понятен его смысл: сколько (конечно, в среднем, поскольку подход вероятностный) прослужит изделие. Но на практике такой параметр не очень полезен. Действительно, информация о том, что среднее время до отказа жесткого диска составляет полмиллиона часов, может поставить в тупик. Гораздо информативнее другой параметр: вероятность поломки или вероятность безотказной работы (ВБР) за определенный период (например, за год).

Для того чтобы разобраться в том, как связаны эти параметры, и как, зная MTTF, вычислить ВБР и вероятности отказа, вспомним некоторые сведения из математической статистики.

Ключевое понятие теории надежности — это понятие отказа, измеряемое, соответственно, интервальным показателем
Q(t) = вероятность того, что изделие откажет к моменту времени t.
Соотвественно, вероятность безотказной работы (ВБР, в английской терминологии «reliability»):
P(t) = вероятность того, что изделие проработает без отказа от момента t₀=0 до момента времени t.
По определению, в момент t₀=0 изделие находится в работоспособном состоянии, т.е. Q(0)=0, а P(0)=1.

Оба параметра — это интервальные характеристики отказоустойчивости, т.к. речь идет о вероятности отказа (или наоборот, безотказной работы) на интервале (0,t). Если отказ рассматривать, как случайное событие, то, очевидно, что Q(t) — это, по определению, его функция распределения. А точечную характеристику можно определить, как
p(t)=dQ(t)/dt = плотность вероятности, т.е. значение p(t)dt равно вероятности, что отказ произойдет в малой окрестности dt момента времени t.

И, наконец, самая важная (с практической точки зрения) характеристика: λ(t)=p(t)/P(t)=интенсивность отказов.
Это (внимание!) условная плотность вероятности, т.е. плотность вероятности возникновения отказа в момент времени t при условии, что до этого рассматриваемого момента времени t изделие работало безотказно.

Измерить параметр λ(t) экспериментально можно путём испытания партии изделий. Если к моменту времени t работоспособность сохранило N изделий, то за оценку λ(t) можно принять процент отказов в единицу времени, происходящих в окрестности t. Точнее, если в период от t до t+dt откажет n изделий, то интенсивность отказов будет примерно равна
λ(t)=n/(N*dt).

Именно эта λ-характеристика (в пренебрежении ее зависимостью от времени) и приводится чаще всего в паспортных данных различных электронных компонент и самых разных изделий. Только сразу возникает вопрос: а как вычислить вероятность безотказной работы и при чем здесь среднее время до отказа (MTTF).

А вот при чем.

2. Экспоненциальное распределение
В терминологии, которую мы только что использовали, пока не было никаких предположений о свойствах случайной величины — момента времени, в который происходит отказ изделия. Давайте теперь конкретизируем функцию распределения значения отказа, выбрав в качестве нее экспоненциальную функцию с единственным параметром λ=const (смысл которого будет ясен через несколько предложений).

Дифференцируя Q(t), получим выражение для плотности вероятности экспоненциального распределения:
,
а из него – функцию интенсивности отказов: λ(t)=p(t)/P(t)=const=λ.

Что мы получили? Что для экспоненциального распределения интенсивность отказов – есть величина постоянная, причем совпадающая с параметром распределения. Этот параметр и является главным показателем отказоустойчивости и его часто так и называют λ-характеристикой.

Мало того, если теперь посчитать среднее время до первого отказа – тот самый параметр MTTF (Mean Time To Failure), то мы получим, что он равен MTTF=1/ λ.

Все это замечательные свойства экспоненциального распределения. Почему мы выбрали в качестве для описания отказов именно его? Да потому что это наиболее простая модель – модель пуассоновского потока событий, которая уже была нами рассмотрена в статье про анализ конверсии сайта. Поэтому-то в теории надежности наиболее часто используется показательное (экспоненциальное) распределение, для которого, как мы выяснили:

• надежность элементов можно оценить одним числом, т.к. λ=const;
• по известной λ довольно просто оценить остальные показатели надежности (например, ВБР для любого времени t);
• λ обладает хорошей наглядностью
• λ нетрудно измерить экспериментально

Но это еще не все, потому, что для экспоненциального распределения особенно легко делать расчет систем, состоящих из множества элементов. Но об этом – в следующей статье (продолжение следует).

Вероятность безотказной работы Р(t)
– вероятность того, что в заданном
интервале времени или заданной наработки
отказ изделия не произойдет. Эта функция
является убывающей. Р(О) = 1; Р()
= 0, следовательно О ≤ Р(t)
≤ 1. На рисунке 5 представлена графическая
интерпретация функции надежности.

Рисунок
5. Функции вероятности безотказной
работы Р(t) и вероятности
отказа Q(t)

Для невосстанавливаемых систем
вероятность безотказной работы
рассчитывается

,

где N(t) –
количество изделий, остающихся
работоспособными к моменту времени t;

N_o–
количество изделий, находившихся под
наблюдением.

Для восстанавливаемых систем

,

где n(t) –
количество изделий, в которых произошел
хотя бы один отказ к моменту времени t.

В некоторых случаях более удобной
характеристикой безотказности выступает
вероятность неисправной работы или
вероятность отказа Q(t).
Очевидно, что P(t) иQ(t)
события противоположные, несовместимые
и образуют полную группу событий.
Следовательно Q(t) = 1 –P(t);P(t)
= 1 –Q(t).
Использование показателя вероятности
безотказной работы несет в себе ряд
преимуществ:

• применим для оценки простых и сложных
  систем;

• применим для оценки на стадии
  проектирования системы;

• является показателем изменения
  надежности во времени;

• является достаточно полной характеристикой
  надежности, поскольку учитывает большое
  число факторов влияния.

Главным недостатком данного показателя
является то, что он может служить
достаточно полной характеристикой
только для невосстанавливаемых систем.

5.2. Наработка на отказ, до отказа, интенсивность и параметр потока отказов

Наработка на отказ T₀есть среднее
время исправной работы между двумя
соседними отказами. Представляет собой
отношение наработки восстанавливаемой
системы к математическому ожиданию
числа отказов в течение этой наработки.
Величина случайная, точное значение
которой заранее предсказать невозможно.
Поэтому рассчитывается как среднее
статистическое значение

,

где m– число отказов за
время t,t_i– время исправной работы между (i-1)
иi-mотказами,
Т_М– суммарное время безотказной
работы за время t.

Как видно этот показатель используется
для оценки безотказности восстанавливаемых
систем.

Для невосстанавливаемых систем
применяется показатель наработки до
отказа Т_ср(для восстанавливаемых
систем наработка до первого отказа).

Статистическое значение рассчитывается

,

где t_i– время работыi-го изделия
до первого отказа.

Недостатки этих показателей сводятся
к следующему:

• как математическое ожидание случайной
  величины они не могут полностью
  характеризовать время исправной работы,
  поскольку неизвестна мера рассеяния
  их величины;

• не позволяют оценить надежность изделий,
  время работы которых меньше среднего
  времени безотказной работы.

Интенсивность отказов
есть условная плотность вероятности
возникновения отказа невосстанавливаемой
системы. Статистическое значение
интенсивности отказов определяется
как отношение числа систем, отказавших
в единицу времени, к среднему числу
систем, остающихся исправными в данный
промежуток времени.

,

где
‑ количество изделий, отказавших за
время,

‑ количество изделий, оставшихся
исправными до конца наработкиt.

Параметр потока отказов
есть плотность вероятности возникновения
отказа восстанавливаемой системы.
Статистическое значение представляет
среднее число отказов в единицу времени
непрерывной работы

Как видно, параметр потока отказов
величина – обратная наработке на отказ,
следовательно

;.

Закономерность изменения параметра
потока отказов во времени может носить
различный характер, как это показано
на рисунке 6.

Кривая 1 носит классический характер.
Стадия Iсоответствует
приработке, во время которой выявляются
скрытые дефекты и пропуски контроля.
Частота отказов уменьшается и
стабилизируется, что соответствует
переходу в стадию нормальной работы
(II). На этой стадии поток
отказов может рассматриваться как
стационарный ().

Рисунок
6. Варианты измененияво времени

Стадия III характеризуется лавинообразным
нарастанием отказов, когда проявляются
постепенные отказы, связанные с износом,
старением, усталостными явлениями.
Кривая 2 характеризует технические
системы, приработка которых проведена
до начала эксплуатации, например, в
условиях их производства. Кривая 3
характерна для технических систем,
элементы которых не испытывают старения
или износа и этап нормальной эксплуатации
отсутствует.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Практика

1. Расчет показателей безотказности
1.1 Вероятность безотказной работы
1.2 Вероятность отказа
1.3 Частота отказа
1.4 Интенсивность отказа
1.5 Средняя наработка до отказа
1.6 Среднее значение параметра потока отказов
1.7 Пример расчета показателей безотказности
2. Примеры расчета показателей надежности для различных законов распределения случайных величин
2.1 Экспоненциальный закон распределения
2.2  Закон распределения Вейбулла-Гнеденко
2.3  Закон распределения Рэлея
3. Примеры расчета показателей надежности сложных систем
3.1 Основное соединение элементов
3.2 Резервное соединение

1.1 Вероятность безотказной работы

Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
Вероятность безотказной работы обозначается как P(l), которая определяется по формуле (1.1):

где N₀ – число элементов в начале испытания; r(l) – число отказов элементов к моменту наработки.Следует отметить, что чем больше величина N₀, тем с большей точностью можно рассчитать вероятность P(l).
В начале эксплуатации исправного локомотива P(0) = 1, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что ни один элемент не откажет, принимает максимальное значение – 1. С ростом пробега l вероятность P(l) будет уменьшаться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность безотказной работы будет стремиться к нулю P(l→∞) = 0. Таким образом в процессе наработки величина вероятности безотказной работы изменяется в пределах от 1 до 0. Характер изменения вероятности безотказной работы в функции пробега показан на рис. 1.1.

Рис.2.1. График изменения вероятности безотказной работы P(l)в зависимости от наработки

Основными достоинствами использования данного показателя при расчетах является два фактора: во-первых, вероятность безотказной работы охватывает все факторы, влияющие на надежность элементов, позволяя достаточно просто судить о его надежности, т.к. чем больше величина P(l), тем выше надежность; во-вторых, вероятность безотказной работы может быть использована в расчетах надежности сложных систем, состоящих из более чем одного элемента.

1.2 Вероятность отказа

Вероятностью отказа называют вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки произойдет хотя бы один отказ.
Вероятность отказа обозначается как Q(l), которая определяется по формуле (1.2):

В начале эксплуатации исправного локомотива Q(0) = 0, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что хотя бы один элемент откажет, принимает минимальное значение – 0. С ростом пробега l вероятность отказа Q(l) будет увеличиваться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность отказа будет стремиться к единице Q(l→∞) = 1. Таким образом в процессе наработки величина вероятности отказа изменяется в пределах от 0 до 1. Характер изменения вероятности отказа в функции пробега показан на рис. 1.2.Вероятность безотказной работы и вероятность отказа являются событиями противоположными и несовместимыми.

Рис.2.2. График изменения вероятности отказа Q(l) в зависимости от наработки

1.3 Частота отказов

Частота отказов – это отношение числа элементов в единицу времени или пробега отнесенного к первоначальному числу испытуемых элементов. Другими словами частота отказов является показателем, характеризующим скорость изменения вероятности отказов и вероятности безотказной работы по мере роста длительности работы.
Частота отказов обозначается как  и определяется по формуле (1.3):

где  –  количество отказавших элементов за промежуток пробега . 
Данный показатель позволяет судить по его величине о числе элементов, которые откажут на каком-то промежутке времени или пробега, также по его величине можно рассчитать количество требуемых запасных частей.
Характер изменения частоты отказов в функции пробега показан на рис. 1.3.

Рис. 1.3. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки

1.4 Интенсивность отказов

Интенсивность отказов представляет собой условную плотность возникновения отказа объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказ не возник. Иначе интенсивность отказов – это отношение числа отказавших элементов в единицу времени или пробега к числу исправно работающих элементов в данный отрезок времени.
Интенсивность отказов обозначается как  и определяется по формуле (1.4):

где 

Как правило, интенсивность отказов является неубывающей функцией времени. Интенсивность отказов обычно применяется для оценки склонности к отказам в различные моменты работы объектов.
На рис. 1.4. представлен теоретический характер изменения интенсивности отказов в функции пробега.

Рис. 1.4. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки

На графике изменения интенсивности отказов, изображенном на рис. 1.4. можно выделить три основных этапа отражающих процесс экс-плуатации элемента или объекта в целом.
Первый этап, который также называется этапом приработки, характеризуется увеличением интенсивности отказов в начальный период эксплуатации. Причиной роста интенсивности отказов на данном этапе являются скрытые дефекты производственного характера.
Второй этап, или период нормальной работы, характеризуется стремлением интенсивности отказов к постоянному значению. В течение этого периода могут возникать случайные отказы, в связи с появлением внезапной концентрации нагрузки, превышающей предел прочности элемента.
Третий этап, так называемый период форсированного старения. Характеризуется возникновением износовых отказов. Дальнейшая эксплуатация элемента без его замены становится экономически не рациональной.

1.5 Средняя наработка до отказа

Средняя наработка до отказа – это средний пробег безотказной работы элемента до отказа. 
Средняя наработка до отказа обозначается как L₁ и определяется по формуле (1.5):

 

где l_i – наработка до отказа элемента; r_i – число отказов.
Средняя наработка до отказа может быть использована для предварительного определения сроков ремонта или замены элемента.

1.6 Среднее значение параметра потока отказов

Среднее значение параметра потока отказов характеризует среднюю плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени.
Среднее значение параметра потока отказов обозначается как W_ср и определяется по формуле (1.6):

1.7 Пример расчета показателей безотказности

Исходные данные.
В течение пробега от 0 до 600 тыс. км., в локомотивном депо произведен сбор информации по отказам ТЭД. При этом количество исправных ТЭД в начале периода эксплуатации составляло N0 = 180 шт. Суммарное количество отказавших ТЭД за анализируемый период составило ∑r(600000) = 60. Интервал пробега   принять равным 100 тыс. км. При этом количество отказавших ТЭД по каждому участку составило: 2, 12, 16, 10, 14, 6.

Требуется.
Необходимо рассчитать показатели безотказности и построить их зависимости изменения во времени.

Сначала необходимо заполнить таблицу исходных данных так, как это показано в табл. 1.1.

Таблица 1.1.

Исходные данные к расчету

, тыс. км	0 — 100	100 — 200	200 — 300	300 — 400	400 — 500	500 — 600
	2	12	16	10	14	6
	2	14	30	40	54	60

 Первоначально по уравнению (1.1) определим для каждого участка пробега величину вероятности безотказной работы. Так, для участка от 0 до 100 и от 100 до 200 тыс. км. пробега вероятность безотказной работы составит:

Далее, используя зависимость (1.2) произведем расчет вероятности отказа ТЭД.

Произведем расчет частоты отказов по уравнению (1.3).

Далее по уравнению (1.4) произведем расчет интенсивности отказов ТЭД в зависимости от наработки.
Первоначально рассчитаем среднее количество работоспособных ТЭД на участке от 0 до 100 тыс. км. пробега:

Тогда интенсивность отказов на участке 0-100 тыс.км. будет равна:

Аналогичным образом определим величину интенсивности отказов для интервала 100-200 тыс. км.

По уравнениям (1.5 и 1.6) определим среднюю наработку до отказа и среднее значение параметра потока отказов.

Систематизируем полученные результаты расчета и представим их в виде таблицы (табл. 1.2.).

Таблица 1.2.

Результаты расчета показателей безотказности

, тыс.км.	0 — 100	100 — 200	200 — 300	300 — 400	400 — 500	500 — 600
	2	12	16	10	14	6
	2	14	30	40	54	60
P(l)	0,989	0,922	0,833	0,778	0,7	0,667
Q(l)	0,011	0,078	0,167	0,222	0,3	0,333
10-7, 1/км	1,111	6,667	8,889	5,556	7,778	3,333
10-7, 1/км	1,117	6,977	10,127	6,897	10,526	4,878

 Приведем характер изменения вероятности безотказной работы ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.5.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности безотказной работы примет максимальное значение – 1. 

Рис. 1.5. График изменения вероятности безотказной работы в зависимости от наработки

Приведем характер изменения вероятности отказа ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.6.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности отказа примет минимальное значение – 0. 

Рис. 1.6. График изменения вероятности отказа в зависимости от наработки

Приведем характер изменения частоты отказов ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.7.).

Рис. 1.7. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
 

На рис. 1.8. представлена зависимость изменения интенсивности отказов от наработки.

Рис. 1.8. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки

2.1 Экспоненциальный закон распределения случайных величин

Во-первых, определим величину средней наработки топливных насосов до отказа по уравнению:

Затем рассчитываем величину интенсивности отказов:

Величина вероятности безотказной работы топливных насосов при наработке 500 ч составит:

Вероятность отказа в промежутке между 800 и 900 ч. работы насосов составит:

2.2 Закон распределения Вэйбулла-Гнеденко

Закон распределения Вейбулла-Гнеденко получил широкое распространение и используется применительно к системам, состоящим из рядов элементов, соединенных последовательно с точки зрения обеспечения безотказности системы. Например, системы, обслуживающие дизель-генераторную установку: смазки, охлаждения, питания топливом, воздухом и т.д.

Найдем вероятность восстановления работоспособности локомотива после простоя его в депо в течение суток по уравнению:

Для определения времени восстановления работоспособности локомотива с заданной величиной доверительной вероятности также используем выражение:

2.3 Закон распределения Рэлея

Требуется.
Для величины наработки 120 тыс.км. необходимо определить вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднюю наработку до первого отказа катушки электромагнитного контактора. 

3.1 Основное соединение элементов

Система, состоящая из нескольких независимых элементов, связанных функционально таким образом, что отказ любого из них вызывает отказ системы, отображается расчетной структурной схемой безотказной работы с последовательно соединенными событиями безотказной работы элементов.

Вычислим интенсивность отказа и среднюю наработку до отказа по следующим уравнениям:

 

Значения вероятности безотказной работы и частоты отказов получим, используя уравнения приведенные к виду:

Результаты расчета P(l) и a(l) на интервале от 0 до 1000 часов работы представим в виде табл. 3.1.

Таблица 3.1.

Результаты расчета вероятности безотказной работы и частоты отказов системы на интервале времени от 0 до 1000 ч.

l, час	P(l)	a(l), час-1
0	1	0,00026
100	0,974355	0,000253
200	0,949329	0,000247
300	0,924964	0,00024
400	0,901225	0,000234
500	0,878095	0,000228
600	0,855559	0,000222
700	0,833601	0,000217
800	0,812207	0,000211
900	0,791362	0,000206
1000	0,771052	0,0002

Графическая иллюстрация P(l) и a(l) на участке до средней наработки до отказа представлена на рис. 3.1, 3.2. 

Рис. 3.1. Вероятность безотказной работы системы.

Рис. 3.2. Частота отказов системы.

3.2 Резервное соединение элементов

Исходные данные.
На рис. 3.3 и 3.4 показаны две структурные схемы соединения элементов: общего (рис. 3.3) и поэлементного резервирования (рис. 3.4). Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны P1(l) = P ’1(l) = 0,95; P2(l) = P’2(l) = 0,9; P3(l) = P ’3(l) = 0,85. 

Требуется.
Необходимо рассчитать надежность двух систем. 

Рис. 3.3. Схема системы с общим резервированием.

Рис. 3.4. Схема системы с поэлементным резервированием.

Вероятность безотказной работы блока из трех элементов без резервирования рассчитаем по выражению:

Вероятность безотказной работы той же системы при общем резервировании (рис. 3.3) составит:

Вероятности безотказной работы каждого из трех блоков при поэлементном резервировании (рис. 3.4) будут равны:

Вероятность безотказной работы системы при поэлементном резервировании составит:

Таким образом, поэлементное резервирование дает более существенное увеличение надежности (вероятность безотказной работы возросла с 0,925 до 0,965, т.е. на 4%).

Исходные данные.
На рис. 3.5 представлена система с комбинированным соединением элементов. При этом вероятности безотказной работы элементов имеют следующие значения: P1=0,8; Р2=0,9; Р3=0,95; Р4=0,97.

Требуется.
Необходимо определить надежность системы. Также необходимо определить надежность этой же системы при условии, что резервные элементы отсутствуют. 

Рис.3.5. Схема системы при комбинированном функционировании элементов.

Для расчета в исходной системе необходимо выделить основные блоки. В представленной системе их три (рис. 3.6). Далее рассчитаем надежность каждого блока в отдельности, а затем найдем надежность всей системы.

Рис. 3.6. Сблокированная схема.

Надежность системы без резервирования составит:

Таким образом, система без резервирования является на 28% менее надежной, чем система с резервированием.

Как решать задачи о прохождении тока через электрические схемы

В предыдущих статьях мы разобрали популярные учебные задачи по теории вероятностей: задачи про подбрасывания игральных кубиков и монеток, задачи про стрелков и станки.

В этой статье мы рассмотрим задачи вида
«задана схема электрической цепи с надежностью элементов (или вероятностями выхода из строя), найти вероятность работы цепи (или вероятность разрыва цепи)».

Задачи могут иметь чуть разные формулировки, но принцип решения для них одинаков, и его мы изучим, чтобы суметь решать такие задачи со схемами любой сложности.

Далее:

• Базовые события, обозначения и формулы
• Последовательно или параллельно?
• Усложняем схему цепи
• Примеры решений
• На закуску: схема с мостиком
• Полезные ссылки
• Решебник

Базовые события, обозначения и формулы

Самое первое, с чего мы начнем — формализация задачи (и решение любой своей задачи рекомендую начинать с этого). А именно, мы введем основные события:

$X$ = (Цепь работает) = (Цепь пропускает ток) и противоположное ему:

$overline{X}$ =(Цепь не пропускает ток) = (Произошел разрыв в цепи).

$A_i$ = (Элемент i работает, пропускает ток) и $overline{A_i}$ =(Элемент i отказал, не пропускает ток), $i=1,2,…,n$.

Обычно в условии задачи известны вероятности работы элементов (надежности): $p(A_i)=p_i$ или вероятности отказа $p(overline{A_i})=q_i=1-p_i$, $i=1,2,…,n$.

Также напомним основные формулы (из темы действий с событиями, формулы сложения и умножения вероятностей), которые пригодятся в решении этого типа задач.

Для независимых в совокупности событий (а отказы/работа элементов цепи — именно такие):

$$
P(A cdot B) = P(A) cdot P(B); quad(1)
$$
$$
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(A)cdot P(B); quad(2)
$$
$$
P(A_1+A_2+…+A_n)=1-P(overline{A_1})cdot P(overline{A_2})cdot … cdot P(overline{A_n}). quad(3)
$$

Последовательно или параллельно?

Еще немного времени посвятим теории, вспомним о том, как могут соединяться элементы в цепи.

Последовательное соединение

Элементы цепи «нанизаны» на провод один за другим (следуют один за другим, отсюда и «последовательно»). Если откажет один любой — ток в цепи прервётся. Или, иначе говоря, цепь работает тогда и только тогда, когда ВСЕ элементы работают. В терминах теории вероятностей получаем произведение событий: $X=A_1 cdot A_2 cdot A_3$, а вероятность работы цепи равна

$$
P(X)=P(A_1 cdot A_2 cdot A_3)= P(A_1) cdot P(A_2) cdot P(A_3) =p_1 cdot p_2 cdot p_3.
$$

Если в цепи последовательно соединены не три, а больше независимо работающих элементов, формула легко обобщается и получаем:

$$
P(X) = p_1 cdot p_2 cdot …cdot p_n; qquad P(overline{X})=1-p_1 cdot p_2 cdot …cdot p_n. quad(4)
$$

Параллельное соединение

Тут тоже сама схема дает нам подсказку, когда мы видим, что элементы в схеме расположены как бы на параллельных проводах, речь идет о параллельном соединении.

В этом случае если откажет, скажем, элемент 1, ток может пройти через 2. Если откажут 1 и 2, ток пройдет через 3. И только если ВСЕ элементы откажут, цепь разорвется.

Еще говорят, цепь работает, если работает хотя бы один элемент в ней, в терминах теории вероятностей — это сумма событий: $X=A_1+A_2+A_3$.

Используем формулу (3) чтобы записать вероятность работы такой цепи:

$$
P(A_1+A_2+A_3)=1-P(overline{A_1})cdot P(overline{A_2}) cdot P(overline{A_3})=1-q_1 cdot q_2 cdot q_3.
$$

И обобщим на случай $n$ параллельных элементов в цепи:

$$
P(X) = 1-q_1 cdot q_2 cdot …cdot q_n; qquad P(overline{X})=q_1 cdot q_2 cdot …cdot q_n. quad(5)
$$

Важно запомнить правило

Последовательному соединению соответствует произведение событий,
параллельному соединению — сумма событий.

Усложняем схему цепи

И все это была присказка к настоящему решению задач. Конечно, даже если у вас простая контрольная, схема с «тремя лампочками подряд» вряд ли попадется. Давайте посмотрим на типовые электрические схемы, для которых надо находить надежность в задачах:

Как для таких схем выписывать вероятности? Нам нужно научиться делать декомпозицию: выделять уровни схемы и определять тип соединения на каждом уровне.

Возьмем для примера левую верхнюю схему:

Работаем с первым уровнем схемы. Нужно мысленно выделить крупные части, которые между собой соединены одинаково (параллельно или последовательно). В данном случае видно три группы элементов, соединенных последовательно. Выделим для наглядности цветом:

То есть тип схемы на первом уровне — последовательный:

Как мы уже знаем, если соединение последовательное, нужно перемножать события, то есть

$$
X=X_1 cdot X_2 cdot X_3,
$$

$X_1$ — работает первая группа элементов,
$X_2$ — работает вторая группа элементов,
$X_3$ — работает третья группа элементов.

Теперь смотрим на каждую группу. В первой группе всего один элемент, то есть она работает, когда работает первый элемент цепи ($X_1=A_1$). Мы дошли до элемента, разбор этой группы закончен.

А вот дальше интереснее. Рассмотрим поближе вторую группу:

В ней сразу выделим цветом подгруппы элементов. Видно, что вторая группа имеет уже параллельную структуру из розовых и фиолетовых элементов (они «висят» на параллельных линиях, это второй уровень вложенности схемы). А вот внутри розовые соединены последовательно (розовая группа работает — $A_4 cdot A_5$), фиолетовые элементы также между собой последовательно (фиолетовая группа работает — $A_2 cdot A_3$). Это уже третий уровень вложенности и он заканчивается отдельными элементами, значит, разбор окончен.

Так как розовая и фиолетовая группа соединены параллельно, речь идет о сумме этих событий, то есть вторая группа работает если:

$$X_2 = A_2 cdot A_3 + A_4 cdot A_5.$$

Абсолютно аналогично разбирается третья подгруппа (она совпадает по структуре со второй):

$$X_3 = A_6 cdot A_7 + A_8 cdot A_9.$$

Сводим все в одну формулу и выпишем искомое событие (Цепь работает исправно):

$$
X=X_1 cdot X_2 cdot X_3 = A_1 cdot left( A_2 cdot A_3 + A_4 cdot A_5 right) cdot left( A_6 cdot A_7 + A_8 cdot A_9right).
$$

Теперь переходим ко второму этапу решения задачи. Не забываем, что мы решаем задачу по теории вероятностей и надо определить вероятность того, что ток проходит в цепи. Будем использовать формулы (1)-(3).

Так как вероятность произведения для независимых событий равна произведению вероятностей, получим:

$$
P(X)= P left( A_1 cdot left( A_2 cdot A_3 + A_4 cdot A_5 right) cdot left( A_6 cdot A_7 + A_8 cdot A_9right) right) =\
= P (A_1) cdot P left ( A_2 cdot A_3 + A_4 cdot A_5 right ) cdot P left( A_6 cdot A_7 + A_8 cdot A_9right) =
$$

Для множителей с суммой событий внутри используем формулу (2):

$$
= P (A_1) cdot left[ P(A_2 cdot A_3) + P(A_4 cdot A_5) — P(A_2 cdot A_3 cdot A_4 cdot A_5) right] cdot left[ P(A_6 cdot A_7) + P(A_8 cdot A_9) — P(A_6 cdot A_7 cdot A_8 cdot A_9)right] =
$$

И снова раскрываем вероятности произведений:

$$
= P (A_1) cdot left[ P(A_2) cdot P(A_3) + P(A_4) cdot P(A_5) — P(A_2) cdot P(A_3) cdot P(A_4) cdot P(A_5) right] cdot left[ P(A_6) cdot P(A_7) + P(A_8) cdot P(A_9) — P(A_6) cdot P(A_7) cdot P(A_8) cdot P(A_9)right].
$$

Перейдем к более компактной записи, положив $p_i=P(A_i)$:

$$
P(X)= p_1 cdot left[ p_2 cdot p_3 + p_4 cdot p_5 — p_2 cdot p_3 cdot p_4 cdot p_5 right] cdot left[ p_6 cdot p_7 + p_8 cdot p_9 — p_6 cdot p_7 cdot p_8 cdot p_9right].
$$

Если заданы надежности отдельных элементов $p_i$, подставляя их в формулу, можно найти вероятность работы схемы.

Алгоритм разбора схемы

• Выделяем в схеме основу: группы элементов, соединенные ТОЛЬКО последовательно или ТОЛЬКО параллельно между собой. Это верхний уровень. Записываем событие $X$ = (Цепь работает) как произведение или сумму соответственно.
• Каждую полученную группу анализируем также: ищем в ней подгруппы, соединенные только последовательно или только параллельно. Записываем событие соответственно типу соединения.
• Продолжаем до тех пор, пока не опустимся на уровень элементов (событий $A_i$).
• Подставляем все выражения в исходную формулу, получаем итоговую запись события $X$.
• Пользуясь формулами (1)-(3) выписываем вероятность события $P=P(X)$.
• Подставляем числовые значения $p_i, q_i$ и находим численное значение надежности схемы $P$.
• Если необходимо, находим вероятность отказа цепи $1-P$.

Примеры решений

Отработаем несколько раз этот алгоритм на примерах, чтобы он закрепился.

Пример 1. Дана схема включения элементов. Вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени Т равна р. Элементы работают независимо и включены в цепь по приведенной схеме. Пусть событие $А_i$ означает безотказную работу за время Т элемента с номером $i$ ($i=1,2,3,…$), а событие $В$ – безотказную работу цепи. Требуется:
1) Написать формулу, выражающую событие $В$ через все события $А_i$.
2) Найти вероятность события $B$.
3) Вычислить $Р(В)$ при $р=0,6$.

Приступим к разбору схемы. Можно увидеть, что на первом уровне мы имеем три группы, соединенные последовательно: (1), (2,3) и (4,5,6) элементы. Выделим их цветом для наглядности:

Значит, исходное событие можно представить в виде произведения трех событий $B=B_1 cdot B_2 cdot B_3$, где $B_i$ — работает $i$-aя группа элементов.

Первая группа элементов состоит из одного элемента, то есть $B_1=A_1$.

Вторая группа элементов состоит из двух элементов, соединенных параллельно (см. розовые), поэтому $B_2=A_2+A_3$.

Третья группа элементов (см. зеленые) состоит из трех элементов, ее можно представить как параллельное соединение двух подгрупп: (4 и 5, соединены последовательно) и (6), поэтому $B_3=A_4 cdot A_5 + A_6$.

Подставляем все и получаем выражение для события $B$

$$
B=B_1 cdot B_2 cdot B_3 = A_1 cdot (A_2+A_3) cdot (A_4 cdot A_5 + A_6).
$$

Теперь выразим вероятность безотказной работы цепи за время T. Сначала применим формулу (1), чтобы раскрыть произведение:

$$
P(B)=P left( A_1 cdot (A_2+A_3) cdot (A_4 cdot A_5 + A_6) right) = P(A_1) cdot P left( A_2+A_3 right) cdot P left( A_4 cdot A_5 + A_6 right) =
$$

Раскроем вторую вероятность по формуле (3), а третью по формуле (2), получим:

$$= P(A_1) cdot left(1 — P(overline{A_2}) cdot P(overline{A_3}) right) cdot left( P(A_4) cdot P(A_5) + P(A_6) — P(A_4) cdot P(A_5) cdot P(A_6) right).$$

Подставляем $P(A_i)=p$ и получим:

$$
p(B)=pcdot(1-(1-p)cdot(1-p))cdot(pcdot p + p -p cdot p cdot p) = pcdotleft(1-(1-p)^2right)cdot left(p+p^2-p^3right).
$$

Осталось только найти значение при $p=0,6$:

$$
p(B)= 0,6cdotleft(1-(1-0,6)^2right)cdot left(0,6+0,6^2-0,6^3right) approx 0,375.
$$

Пример 2. Найти вероятность обрыва цепи, если вероятность отказа каждого элемента равна 0,2, а отказы элементов – независимые события.

Пронумеруем элементы и сразу раскрасим схему, чтобы выделить ее структуру.

Это опять последовательная схема, но розовая группа состоит из двух элементов, соединенных параллельно, поэтому можем сразу выписать:

$$
X= A_1 cdot (A_2+A_3) cdot A_4 cdot A_5.
$$

Найдем вероятность этого события (работы цепи):

$$
P(X)= P left( A_1 cdot (A_2+A_3) cdot A_4 cdot A_5 right)= P(A_1) cdot P(A_2+A_3) cdot P(A_4) cdot P(A_5)= \
= P(A_1) cdot left( 1- P(overline{A_2}) cdot P(overline{A_3}) right) cdot P(A_4) cdot P(A_5).
$$

Вероятности отказа элементов цепи равна 0,2, вероятность работы элементов — 0,8, поэтому

$$
P(X)= 0,8 cdot left( 1- 0,2 cdot 0,2 right) cdot 0,8 cdot 0,8 = 0,492.
$$

Но в задаче требовалось найти вероятность обрыва цепи, это противоположное событие:

$$
P(overline{X}) = 1- P(X) = 1-0,492 = 0,508.
$$

Пример 3. Найти вероятность безотказной работы функциональной цепи, состоящей из независимо работающих элементов, если вероятность надежной работы элементов равна $p_1=p_2=p_3=p_4=0,8$, $p_5=p_6=p_7=0,9$.

Приступим к решению, сразу раскрасив схему. В этот раз схема на первом уровне имеет параллельное соединение: верхняя розово-зеленая группа и нижняя желтая находятся на параллельных линиях. Поэтому $X=X_1+X_2$, где $X_1$ — работает розово-зеленая линия, $X_2$ — работает желтая.

Для желтой группы, состоящей из трех последовательно расположенных элементов, сразу выписываем $X_2=A_5 cdot A_6 cdot A_7$.

Теперь рассмотрим верхнюю группу. Она состоит из двух подгрупп, связанных последовательно: розовой и зеленой. При этом каждая из них состоит из двух параллельно соединенных элементов. Записываем: розовая группа работает = $A_1+A_2$, зеленая группа работает = $A_3+A_4$, значит ток проходит через розово-зеленую группу $X_1 =(A_1+A_2) cdot (A_3+A_4)$.

Объединяем рассуждения и выписываем событие, соответствующее безотказной работе цепи:

$$
X=X_1+X_2 = (A_1+A_2) cdot (A_3+A_4) + A_5 cdot A_6 cdot A_7.
$$

Следующий шаг: выразить вероятность этого события. Во всех предыдущих примерах схема на первом уровне была последовательной, и событие выражалось как произведение. В этом случае схема на первом уровне параллельна, событие выглядит как сумма других событий, что немного усложняет выкладки. Для суммы событий можно использовать формулу (2) или (3), выбирая наиболее удобную в каждом конкретном случае.

В данном случае слагаемых всего два, поэтому возьмем формулу (2):

$$
P(X)= P left( (A_1+A_2) cdot (A_3+A_4) + A_5 cdot A_6 cdot A_7 right) = \
= P left( (A_1+A_2) cdot (A_3+A_4) right) + P left( A_5 cdot A_6 cdot A_7 right) — P left( (A_1+A_2) cdot (A_3+A_4) cdot A_5 cdot A_6 cdot A_7 right)
$$

Раскрываем все произведения по формуле (1):

$$
= P (A_1+A_2) cdot P(A_3+A_4) + P(A_5) cdot P(A_6) cdot P(A_7) — P (A_1+A_2) cdot P(A_3+A_4) cdot P(A_5) cdot P(A_6) cdot P(A_7) =
$$

По формуле (3) расписываем $P(A_1+A_2)=1-P(overline{A_1}) cdot P(overline{A_2}) = 1-q_1cdot q_2$ и $P(A_3+A_4)=1-P(overline{A_3}) cdot P(overline{A_4})= 1-q_3cdot q_4$.

Итого:

$$
P(X)= (1-q_1cdot q_2) cdot (1-q_3cdot q_4) + p_5 cdot p_6 cdot p_7 — \- (1-q_1cdot q_2) cdot (1-q_3cdot q_4) cdot p_5 cdot p_6 cdot p_7.
$$

Подставляем значения надежности элементов:

$$
P(X)= (1-0,2^2)^2 + 0,9^3 — (1-0,2^2)^2 cdot 0,9^3 approx 0,9788.
$$

Еще: другие уроки о решении задач по вероятности

На закуску: схема с мостиком

Для 99% учебных задач вам хватит той теории и примеров, что приведены выше: подробно изучите их и приступайте к своим примерам по аналогии. Но есть такие схемы, для которых нельзя выделить единую структуру на верхнем уровне — параллельную или последовательную, и весь алгоритм решения рушится.

Речь идет о схемах смешанного типа, еще их часто называют схемами с мостиком (мостиковые схемы). Типичная схема имеет такой вид:

Видно, что как ни крути, схему нельзя отнести ни к последовательным, ни к параллельным. Элемент №5 (мостик) «портит» тип схемы. Если его убрать (разорвать этот участок цепи), получим обычную параллельную структуру, а если предположить, что через этот участок всегда идет ток — последовательную (конкретные схемы изобразим ниже).

Поэтому для решения задачи о вычислении надежности подобной электросхемы используют формулу полной вероятности в форме теоремы разложения (см. подробнее тут, стр. 118)

Надежность цепи с избыточностью равна произведению вероятности безотказной работы $i$-го элемента цепи на вероятность безотказной работы оставшейся цепи (места подключения $i$-го элемента замкнуты накоротко) плюс произведение вероятности отказа того же $i$-го элемента на вероятность безотказной работы оставшейся цеии (места подключения $i$-го элемента разомкнуты).

То есть, для выделенного на схеме элемента-мостика рассматриваем две гипотезы:
$H_1$ = (Элемент 5 не пропускает ток), $P(H_1)=1- p_5 = q_5$;
$H_2$ = (Элемент 5 пропускает ток), $P(H_2)=p_5$.

Далее вычисляем надежность схемы при условии верности каждой из гипотез. Для наглядности нарисуем обе схемы:

Рассмотрим левую схему, верную при гипотезе $H_1$, через нее проходит ток, если $X|H_1 = A_1cdot A_3+ A_2cdot A_4$, вероятность

$$
P(X|H_1) = P(A_1cdot A_3+ A_2cdot A_4)= P(A_1cdot A_3)+ P(A_2cdot A_4) — P(A_1cdot A_3 cdot A_2cdot A_4)=\
=p_1 cdot p_3 + p_2 cdot p_4 — p_1 cdot p_2 cdot p_3 cdot p_4.
$$

Рассмотрим правую схему, верную при гипотезе $H_2$, и выпишем для нее аналогично событие и вероятность прохода тока:

$$
X|H_2 = (A_1+A_2)cdot (A_3+A_4),\
P(X|H_2) =P( (A_1+A_2)cdot (A_3+A_4)) = P(A_1+A_2)cdot P(A_3+A_4)=\ = (1-P(overline{A_1}) cdot P(overline{A_2})) cdot (1-P(overline{A_3}) cdot P(overline{A_4})) = (1-q_1cdot q_2) cdot (1-q_3cdot q_4).
$$

Тогда по формуле полной вероятности, надежность схемы равна:

$$
P(X)=P(X|H_1)cdot P(H_1) + P(X|H_2)cdot P(H_2) = \
= q_5 (p_1 cdot p_3 + p_2 cdot p_4 — p_1 cdot p_2 cdot p_3 cdot p_4) + p_5 (1-q_1cdot q_2) cdot (1-q_3cdot q_4).
$$

Аналогичным образом можно разбирать более сложные схемы (в которые более одного мостика), применяя на каждом этапе формулу полной вероятности (как бы вкладывая одну в другую).

Полезные ссылки по ТВ

Онлайн калькуляторы Онлайн учебник Более 200 примеров Решенные контрольные

Формулы и таблицы Сдача тестов Решение на заказ Онлайн помощь

Решебник по вероятности

А здесь вы найдете разные задачи по теории вероятностей с полными решениями (вводите часть текста для поиска своей задачи):

Часть 1.

  
Введение
   Развитие современной аппаратуры характеризуется значительным увеличением ее сложности. Усложнение обуславливает повышение гарантии своевременности и правильности решения задач.
   Проблема надежности возникла в 50-х годах, когда начался процесс быстрого усложнения систем, и стали вводиться в действие новые объекты. В это время появились первые публикации, определяющие понятия и определения, относящиеся к надежности [ 1 ] и была создана методика оценки и расчета надежности устройств вероятностно-статистическими методами.
   Исследование поведения аппаратуры (объекта) во время эксплуатации и оценка ее качества определяет его надежность. Термин «эксплуатация» происходит от французского слова «exploitation», что означает получение пользы или выгоды из чего-либо.
   Надежность — свойство объекта выполнять заданные функции, сохраняя во времени значения установленных эксплуатационных показателей в заданных пределах.
   Для количественного выражения надежности объекта и для планирования эксплуатации используются специальные характеристики — показатели надежности. Они позволяют оценивать надежность объекта или его элементов в различных условиях и на разных этапах эксплуатации.
   Более подробно с показателями надежности можно ознакомиться в ГОСТ 16503-70
— «Промышленные изделия. Номенклатура и характеристика основных показателей надежности.», ГОСТ 18322-73
— «Системы технического обслуживания и ремонта техники. Термины и определения.», ГОСТ 13377-75
— «Надежность в технике. Термины и определения».

  
Определения
   Надежность — свойство [далее — (сво-во)] объекта [далее — (ОБ)] выполнять требуемые функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в течение заданного периода времени.
   Надежность представляет собой комплексное сво-во, сочетающее в себе понятие работоспособности, безотказности, долговечности, ремонтопригодности и сохранности.
   Работоспособность — представляет собой состояние ОБ, при котором он способен выполнять свои функции.
   Безотказность — сво-во ОБ сохранять свою работоспособность в течение определенного времени. Событие, нарушающее работоспособность ОБ, называется отказом. Самоустраняющийся отказ называется сбоем.
   Долговечность — сво-во ОБ сохранять свою работоспособность до предельного состояния, когда его эксплуатация становится невозможной по техническим, экономическим причинам, условиям техники безопасности или необходимости капитального ремонта.
   Ремонтопригодность — определяет приспособляемость ОБ к предупреждению и обнаружению неисправностей и отказов и устранению их путем проведения ремонтов и технического обслуживания.
   Сохраняемость — сво-во ОБ непрерывно поддерживать свою работоспособность в течение и после хранения и технического обслуживания.

  
Основные показатели надежности
   Основными качественными показателями надежности является вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и средняя наработка до отказа.
   Вероятность безотказной работы
P(t) представляет собой вероятность того, что в пределах указанного периода времени
t, отказ ОБ не возникнет. Этот показатель определяется отношение числа элементов ОБ, безотказно проработавших до момента времени
t к общему числу элементов ОБ, работоспособных в начальный момент. 
   Интенсивность отказов l(t) — это число отказов n(t) элементов ОБ в единицу времени, отнесенное к среднему числу элементов
Nt ОБ, работоспособных к моменту времени
Dt:
   l(t)=n(t)/(Nt*Dt), где
Dt — заданный отрезок времени.
   Например: 1000 элементов ОБ работали 500 часов. За это время отказали 2 элемента. Отсюда,
l(t)=n(t)/(Nt*Dt)=2/(1000*500)=4*10^-6 1/ч, т.е. за 1 час может отказать 4-е элемента из миллиона.
   Показатели интенсивности отказов комплектующих берутся на основании справочных данных [ 1, 6, 8 ]. Для примера в
табл. 1 приведена интенсивность отказов
l(t) некоторых элементов.

Табл. 1.

№	Наименование элемента	Интенсивность отказов, *10-5, 1/ч
1	Резисторы	0,0001…1,5
2	Конденсаторы	0,001…16,4
3	Трансформаторы	0,002…6,4
4	Катушки индуктивности	0,002…4,4
5	Реле	0,05…101
6	Диоды	0,012…50
7	Триоды	0,01…90
8	Коммутационные устройства	0,0003…2,8
9	Разъемы	0,001…9,1
10	Соединения пайкой	0,01…1
11	Провода, кабели	0,01…1
12	Электродвигатели	100…600

 

Табл. 2.

№	Наименование элемента	Коэффициент надежности
1	Резисторы	1,0
2	Конденсаторы	0,25…0,83
3	Трансформаторы	1,3…3,0
4	Катушки индуктивности	1…2
5	Реле	1…10
6	Диоды	1,3…30,0
7	Триоды	1,3…75,0
8	Электродвигатели	10…40

   Надежность ОБ, как системы, характеризуется потоком отказов
L, численно равное сумме интенсивности отказов отдельных устройств:
   L=åli
   По формуле рассчитывается поток отказов и отдельных устройств ОБ, состоящих, в свою очередь, из различных узлов и элементов, характеризующихся своей интенсивностью отказов. Формула справедлива для расчета потока отказов системы из
n элементов в случае, когда отказ любого из них приводит к отказу всей системы в целом. Такое соединение элементов называется логически последовательным или основным. Кроме, того, существует логически параллельное соединение элементов, когда выход их строя одного из них не приводит к отказу системы в целом. Связь вероятности безотказной работы
P(t) и потока отказов L
определяется:
   P(t)=exp(-Dt), очевидно, что 0<P(t)<1 и
0<P(t)<1 и p(0)=1, а p(¥)=0
   Средняя наработка до отказа
To — это математическое ожидание наработки ОБ до первого отказа:
  
To=1/L=1/(åli), или, отсюда: L=1/To
   Время безотказной работы равно обратной величине интенсивности отказов.
   Например: технология элементов обеспечивает среднюю интенсивность отказов
li=1*10^-5 1/ч. При использовании в ОБ
N=1*10⁴ элементарных деталей суммарная интенсивность отказов
lо= N*li=10^-1 1/ч. Тогда среднее время безотказной работы ОБ
To=1/lо=10
ч. Если выполнить ОБ на основе 4-х больших интегральных схем (БИС), то среднее время безотказной работы ОБ увеличится в N/4=2500 раз и составит 25000 ч. или 34 месяца или около 3 лет.

  
Расчет надежности
   Формулы позволяют выполнить расчет надежности ОБ, если известны исходные данные — состав ОБ, режим и условия его работы, интенсивности отказов его компонент (элементов). Однако при практических расчетах надежности есть трудности из-за отсутствия достоверных данных о интенсивности отказов для номенклатуры элементов, узлов и устройств ОБ. Выход из этого положения дает применение коэффициентного метода.
Cущность коэффициентного метода состоит в том, что при расчете надежности ОБ используют не абсолютные значения интенсивности отказов
li, а коэффициент надежности ki, связывающий значения
li с интенсивностью отказов lb какого-либо базового элемента:
   ki=li/lb
   Коэффициент надежности ki практически не зависит от условий эксплуатации и для данного элемента является константой, а различие условий эксплуатации
ku учитывается соответствующими изменениями
lb. В качестве базового элемента в теории и практике выбран резистор. Показатели надежности комплектующих берутся на основании справочных данных [ 1, 6, 8 ]. Для примера в
табл. 2 приведен коэффициенты надежности
ki некоторых элементов. В табл. 3 приведены коэффициенты условий эксплуатации
ku работы для некоторых типов аппаратуры.
   Влияние на надежность элементов основных дестабилизирующих факторов — электрических нагрузок, температуры окружающей среды — учитывается введением в расчет поправочных коэффициентов
a. В табл. 4 приведены коэффициенты условий
a работы для некоторых типов элементов. Учет влияния других факторов — запыленности, влажности и т.д. — выполняется коррекцией интенсивности отказов базового элемента с помощью поправочных коэффициентов.
   Результирующий коэффициент надежности элементов ОБ с учетом поправочных коэффициентов:
   ki’=a1*a2*a3*a4*ki*ku, где

ku — номинальное значение коэффициента условий эксплуатации

ki — номинальное значение коэффициент надежности

a1 — коэффициент учитывающий влияние электрической нагрузки по U, I или P

a2 — коэффициент учитывающий влияние температуры среды

a3 — коэффициент снижения нагрузки от номинальной по U, I или P

a4 — коэффициент использования данного элемента, к работе ОБ в целом

Табл. 3.

№	Условия эксплуатации	Коэффициент условий
1	Лабораторные условия	1
2	Аппаратура стационарная:
	— в помещениях	2…8
	— вне помещений	10…15
3	Подвижная аппаратура:
	— корабельная	40…60
	— автомобильная	50…70
	— поездная	60…80

Табл. 4.

№	Наименование элемента и его параметры	Коэффициент нагрузки
1	Резисторы:
	— по напряжению	0,7…0,8
	— по мощности	0,3…0,7
2	Конденсаторы
	— по напряжению	0,7…0,8
	— по реактивной мощности	0,8…0,9
3	Диоды
	— по прямому току	0,7…0,8
	— по обратному напряжению	0,7…0,85
	— по температуре перехода	0,7…0,8
4	Триоды
	— по току коллектора	0,7…0,8
	— по напряж. коллектор-эмиттер	0,7…0,8
	— по рассеиваемой мощности	0,7…0,8

  
Порядок расчета состоит в следующем:

   1. Определяют количественные значения параметров, характеризующие нормальную работу ОБ.
   2. Составляют поэлементную принципиальную схему ОБ, определяющую соединение элементов при выполнении ими заданной функции. Вспомогательные элементы, использующиеся при выполнении функции ОБ, не учитываются.
   3. Определяются исходные данные для расчета надежности:

• тип, количество, номинальные данные элементов
• режим работы, температура среды и другие параметры
• коэффициент использования элементов
• коэффициент условий эксплуатации системы
• определяется базовый элемент lb и интенсивность отказов lb‘
• по формуле: ki‘=a1*a2*a3*a4*ki*ku
  определяется коэффициент надежности

   4. Определяются основные показатели надежности ОБ, при логически последовательном (основном) соединении элементов, узлов и устройств:

• вероятность безотказной работы:
  P(t)=exp{-lb*To*[n*å(Ni*ki’)]}, где
  Ni — число одинаковых элементов в ОБ
  n — общее число элементов в ОБ, имеющих основное соединение
• наработка на отказ:
  To=1/{lb*[n*å(Ni*ki’)]}

   Если в схеме ОБ есть участки с параллельным соединением элементов, то сначала
делается расчет показателей надежности отдельно для этих элементов, а затем для ОБ в целом.
   5. Найденные показатели надежности сравниваются с требуемыми. Если не соответствуют, то принимаются меры к повышению
надежности ОБ (см. часть 2).
   6. Средствами повышения надежности ОБ являются:
     — введение избыточности, которая бывает:

• внутриэлементная — применение более надежных элементов
• структурная — резервирование — общее или раздельное

  
Пример расчета:
   Рассчитаем основные показатели надежности для вентилятора на асинхронном электродвигателе. Схема приведена на
рис. 1. Для пуска М замыкают QF, а затем SB1. KM1 получает питание, срабатывает и своими контактами КМ2 подключает М к источнику питания, а вспомогательным контактом шунтирует SB1. Для отключения М служит SB2.

Рис.1.

   В защите М используются FA и тепловое реле KK1 с КК2. Вентилятор работает в закрытом помещении при T=50 C в длительном режиме.
Для расчета применим коэффициентный метод, используя коэффициенты надежности компонент схемы. Принимаем интенсивность отказов базового элемента
lb=3*10^-8. На основании принципиальной схемы и ее анализа, составим основную схему для расчета надежности (см. рис.
2). В расчетную схему включены компоненты, отказ которых приводит к полному отказу устройства. Исходные данные сведем в
табл. 5.

Табл. 5.

Базовый элемент, 1/ч	lб	3*10-8
Коэф. условий эксплуатации	ku	2,5
Интенсивность отказов	lб’	lб* ku=7,5*10-8
Время работы, ч	t	5000
Элемент принципиальной схемы		QF	FA	KK2	KM1	SB1	SB2	KM2	KK1	M
Элемент расчетной схемы		Э1	Э2	Э3	Э4	Э5	Э6	Э7	Э8	Э9
Число элементов	Ni	3	3	1	1	1	1	3	3	1
Коэф. надежности	ki	5	25	10	25	5	5	20	18	250
Коэф. нагрузки	Kn	0,6	0,6	0,6	0,6	0,6	0,8	0,6	0,6	0,85
Коэф. электрической нагрузки	a1	1	1	1	1	1	1	1	1	3,5
Коэф. температуры	a2	1	1	1	1	1	1	1	1	1
Коэф. нагрузки по мощности	a3	1	0,52	0,52	0,52	1	1	1	1	0,8
Коэф. использования	a4	4,4	4,2	1	1	4,2	0,3	4,4	4,2	4,4
Произведение коэф. a	*a	4,4	2,2	0,52	0,52	4,2	0,3	4,4	4,2	12,32
Коэф. надежности	ki’	2,2	55	5,2	13	21	1,5	88	75,6	3080
	Ni*ki’	6,6	165	5,2	13	21	1,5	264	226,8	3080
	S(Ni*ki’)	3783,9
Наработка до отказа, ч	To	1/[lб’*S(Ni*ki’)]=3523,7
Вероятность	p(t)	е[-lб’*To*S(Ni*ki’)]=0,24

   По результатам расчета можно сделать выводы:
1. Наработка до отказа устройства: To=3524 ч.
2. Вероятность безотказной работы: p(t)=0,24. Вероятность того, что в пределах заданного времени работы t в заданных условиях работы не возникнет отказа.

Часть
2.

  
Частные случай расчета надежности. 

P(A1)=P{X1>2}=1-P(X1<2)=1-P(X1=0)-P(X1=1)=1-(g1^m+m*g2^m-1*p1),
где
g1=1-p1

аналогично:
P(A2)=1-(g2ⁿ+n*g2^n-1*p2), где
g2=1-p2

Вероятность
безотказной работы ОБ:

R=P(A)=P(A1)*P(A2)=[1-(g1^m+m*g2^m-1*p1)]*[1-(g2ⁿ+n*g2^n-1*p2)],
где
g1=1-p1, g2=1-p2

11. ОБ состоит из 3-х узлов (см. рис.
11). В узле U1 n1 элементов с интенсивностью отказов l1. В узле U2 n2 элементов с интенсивностью отказов l2. В узле U3 n3 элементов с интенсивностью отказов l2, т.к. U2 и U3 дублируют друг друга. U1 выходит из строя если в нем отказало не менее 2-х элементов. U2 или U3, т.к. дублируются, выходят из строя если в них отказал хотя бы один элемент. ОБ выходит из строя если отказал U1 или U2 и U3 вместе. Вероятность безотказной работы каждого элемента p. Найти вероятность того, что за время t ОБ не выйдет из строя.


Решение: Вероятность выхода из строя одного элемента U1, U2 или U3 за t равны:

           
p1=1-e^—l1*t    
p2=p3=1-e^—l2*t    

           
Вероятность выхода из строя U1
за t
равна:

           
R1=1-(1-p1)ⁿ¹*n1*p1*(1-p1)^n1-1  

           
Вероятности выхода из строя U2
и U3
равны:

           
R2=1-(1-p2)ⁿ²    
R3=1-(1-p3)ⁿ³ 

Вероятности выхода из строя всего ОБ:
R=R1+(1-R1)*R2*R3

  
Литература:

• Малинский В.Д. и др. Испытания радиоаппаратуры, «Энергия», 1965 г.
• ГОСТ 16503-70 — «Промышленные изделия. Номенклатура и характеристика основных показателей надежности».
• Широков А.М. Надежность радиоэлектронных устройств, М, Высшая школа, 1972 г.
• ГОСТ 18322-73 — «Системы технического обслуживания и ремонта техники. Термины и определения».
• ГОСТ 13377-75 — «Надежность в технике. Термины и определения».
• Козлов Б.А., Ушаков И.А. Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики, М, Сов. Радио, 1975 г.
• Перроте А.И., Сторчак М.А. Вопросы надежности РЭА, М, Сов. Радио, 1976 г.
• Левин Б.Р. Теория надежности радиотехнических систем, М, Сов. Радио, 1978 г.
• ГОСТ 16593-79 — «Электроприводы. Термины и определения».

И. Брагин   08.2003 г.

Занятие № 5

Тема: Вероятность
безотказной работы и вероятность отказа.

Цель:

ü рассмотреть основные
показатели безотказной работы (вероятность безотказной работы и вероятность
отказа).

Основные понятия:

·       
Показатели надежности

·       
Вероятность безотказной
работы

·       
Вероятность отказа

План занятия:

1.     Организационный момент: приветствие, проверяется готовность к
занятию, отмечаются в журнале отсутствующие.

2.     Проверка домашнего задания: фронтальный опрос.

3.     Актуализация знаний: сообщение темы и цели занятия.

4.     Изучение нового материала:

1.    
Показатели надежности.

2.    
Вероятность безотказной
работы.

3.    
Вероятность отказа.

4.    
Оценка вероятности
безотказной работы.

5.     Закрепление
изученного материала:

ü Что называют
вероятностью безотказной работы?

ü Что называют вероятностью
отказа?

ü Дайте определение
понятия показатели надежности.

6.     Домашнее
задание:
Яхъяев Н.Я. Основы теории надежности, стр. 39-41;

Задача:

На
испытание поставлено 1000 однотипных резисторов. За первые 10000 часов отказало
5, за последующие 5000 отказало еще 5. Определить вероятность безотказной
работы и вероятность отказа за 10000 часов, за 15000 часов и в промежутке между
10000 и 15000 часов.

7.     Подведение
итогов занятия.

— Какое
состояние называется работоспособным? (Работоспособность – это состояние
изделия, при котором оно способно выполнять заданную функцию с параметрами,
установленными требованиями технической документации, в течение расчётного
срока службы).

Отказ –
это нарушение работоспособности. Свойство элемента или системы непрерывно
сохранять работоспособность при определённых условиях эксплуатации (до первого
отказа) называется безотказностью.

Безотказность
– свойство объекта сохранять работоспособное состояние в течение некоторого
времени или наработки.

И сегодня
на занятии мы рассмотрим показатели безотказности. Тема нашего занятия: «ВЕРОЯТНОСТЬ
БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ И ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКАЗА».

1.     ПОКАЗАТЕЛИ
НАДЕЖНОСТИ.

Показатели
надежности – количественная характеристика одного или нескольких
свойств, составляющих надежность объекта.

Для
оценки, расчетов и исследования надежности технических устройств в процессе их
проектирования и эксплуатации используются количественные характеристики (критерии
надежности). Для показателей надежности используются две формы  представления:

v Статистическая – при
эксперементальном исследовании надежности технических систем

v Вероятностная – при
априорных аналитических расчетах надежности.

В
соответствии с ГОСТ 27.002 – 89 показатели надежности подразделяются на:

Классификация
показателей надежности

Признак	Показатель
Число характерезуемых свойств надежности	Единичный показатель надежности – показатель, характеризующий одно из свойств, составляющих надежность объекта. (Например, вероятность отказа, средний срок службы и т.п.).
Комплексный показатель надежности – показатель, характеризующий одновременно несколько свойств, составляющих надежность объекта. (Например, коэффициент готовности, удельная суммарная трудоемкость ремонтов и т.п.).
Свойство надежности	Безотказность
Долговечность
Сохраняемость
Ремонтопригодность
Метод получения	Расчетный показатель надежности – показатель, значения которого определяют расчетным методом.
Экспериментальный показатель надежности – показатель, точечную или интервальную оценку которого определяют по данным испытания.
Эксплуатационный показатель надежности – показатель, точечную или интервальную оценку которого определяют по данным эксплуатации.
Экстраполированный показатель надежности – показатель, точечную или интервальную оценку которого определяют на основании результатов расчетов, испытаний и (или) эксплуатационных данных путем экстраполирования на другую продолжительность эксплуатации и другие условия эксплуатации.
Область использования	Нормативный показатель, регламентированный в НТД
Оценочный показатель, используемый для различных сравнительных оценок при научно-исследовательских и проектно-технологических разработках
Область распространения	Групповой показатель надежности – служит для оценки надежности совокупности изделий данного типа.
Индивидуальный показатель надежности – предназначен для оценки надежности каждого изделия данного типа.

2.     ВЕРОЯТНОСТЬ
БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ.

Пусть
испытывается некоторое число изделий N₀. По разным причинам они
будут выходить из строя, причем моменты отказов, т.е. время наработки каждого
изделия до отказов, является случайной величиной.

Вероятность
безотказной работы изделия есть вероятность того, что за
определенный рассматриваемый период времени работы (t) в заданных условиях
эксплуатации оно не откажет, т.е. вероятность того, что время наработки до
отказа (t_отк) будет больше времени работы.

Р(t) = Вер (t_отк>
t)

Если к
моменту t из поставленных на испытания N0 изделий останутся исправными N(t), то
статистическая вероятность безотказной работы изделия за время t, равно: , где  N(t) – число работоспособных
изделий на момент t; N₀ – общее число наблюдаемых изделий; n(t)  – 
число  изделий,  отказавших  на момент  t  от  начала  испытаний.

При t = 0
все изделия исправны N(0) = N₀ и P(0) = 1. Отказы изделия с течением
времени t приводят к монотонному убыванию функции Р(t). Практически для каждого
типа изделия существует наработка t*, больше которой ни одно изделие данного
типа проработать не может.

N(t) = 0,
при t ≥ t*соответственно Р(t) = 0, при t ≥ t*

Таким
образом, 0 ≤ P(t) ≤ 1.

Вероятность
безотказной работы уменьшается с увеличением времени работы или наработки
объекта. Зависимость вероятности безотказной работы от времени характеризуется
кривой убыли ресурса изделия, пример которой приведен на рисунке 1. 

Рис. 1

В
начальный момент времени для работоспособного изделия вероятность его
безотказной работы равна единице (100%). По мере работы объекта эта вероятность
снижается и стремится к нулю.

Например: После
500 часов наработки из 56 агрегатов, поставленных на эксплуатацию, в работоспособном
состоянии оказалось 43 агрегата. Определить вероятность безотказной работы
агрегата в течение 500 час.

Решение:

Используем
формулу для определения вероятности безотказной работы объекта

Вероятность
безотказной работы агрегата в течение 500 часов составляет 76,8 %.

3.     ВЕРОЯТНОСТЬ
ОТКАЗА.

Противоположным
событию безотказной работы является событие отказа

Вероятность
отказа
есть вероятность того, что время появления отказа будет меньше заданного
времени работы изделия, т.е. вероятность того, что время наработки до отказа (t_отк)
будет меньше времени работы (t).

Q(t) = Вер (t_отк<
t)

Статистическая
вероятность времени появления отказа равна: .

С течением
времени наработки число отказавших изделий непрерывно увеличивается.
Следовательно, вероятность отказов является монотонно возрастающей функцией.

Рис.2

Пример
зависимости вероятности возникновения отказа от времени показан на рисунке 2. 
Для работоспособного объекта в начальный момент времени вероятность отказа
близка к нулю. Для того, чтобы отказ проявился, объекту необходимо начать
работать, при этом вероятность отказа увеличивается с увеличением времени и стремится
к единице. 0≤Q(t)≤1

Безотказная
работа изделия и его отказ являются двумя противоположными и несовместимыми
случайными величинами, поэтому их сумма всегда равна 1.

P(t)+Q(t)=1⟹P(t)=1-Q(t)
или Q(t)=1-P(t).

Например: Для
предыдущего примера определить вероятность отказа агрегатов за 500 часов
работы.

Решение:

Используем
формулу для вероятности отказа

или

Таким
образом, вероятность отказа агрегата за 500 часов составляет 23,2 %.

4.     ОЦЕНКА
ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ.

Рассмотрим график наблюдения
за десятью однотипными изделиями в течение времени от 0 до t₄. Здесь
сплошной прямой линией показана продолжительность безотказной работы изделия, а
крестиком – момент возникновения отказа.

Для наглядности
разместим наработки до отказов изделий последовательно по времени их появления.

Определение
технического состояния изделий в процессе испытаний производится в моменты
времени t₁… t₄. Оценки вероятностей безотказной работы за
соответствующие интервалы времени будут иметь вид:

По
полученным данным строится ступенчатый график – гистограмма, в конце каждого
интервала времени наблюдаемое значение вероятности в данном случае снижается на
долю изделий, отказавших на данном интервале.

Полученные
значения показывают приблизительно долю изделий, которые проработают безотказно
при испытаниях другой партии таких же изделий в аналогичных условиях.

Например:
Изготовив 20 новых изделий, можно утверждать, что в течение времени t₃
приблизительно 12 изделий проработают безотказно (не проводя дополнительных
испытаний) 20*0,6=12. Это приближенная оценка будет тем точнее, чем больше
число испытанных изделий.

В качестве
показателя надежности может использоваться условная вероятность безотказной
работы на некотором интервале времени, которая вычисляется при условии, что
изделие было полностью исправно к началу этого времени.

Например: Условная
вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от t₂ до
t₃ оценивается согласно выражению: