Вероятность безотказной работы изделия в течение заданного промежутка времени называется

Тема: Определение
показателей надёжности по статистическим
данным

Цель: определить показатели надёжности
и произвести расчеты на С++ партии изделий
при проведении испытаний в течение
заданного промежутка времени.

Теоретические сведения

Показатели безотказности.

Вероятность безотказной работы

– это вероятность того, что в заданном
интервале времени t в
изделии не возникает отказа.
;
;

Для определения P(t)
используется следующая статическая
оценка:

где

– число изделий, поставленных на
испытание (эксплуатацию).


– число изделий, отказавших в течении
времени t.

Вероятность отказа

— это величина, обратная вероятности
безотказной работы

Зависимость вероятности безотказной
работы от времени

Вероятность бессбойной работы

– это вероятность того, что в заданном
интервале времени

будет отсутствовать сбой в изделии.
График зависимости от времени такой
же, как и для вероятности безотказной
работы

;
где —

функция распределения сбоев в течение
времени
.

Для определения стабильности оценки
мы имеем формулу:

где

– число изделий поступивших на
эксплуатацию.


– число изделий, в которых произошел
сбой в течение времени t.

Интенсивность отказа

– это условная плотность вероятности
возникновения отказа не восстанавливаемого
объекта, определенного рассмотренного
момента времени, при условии, что до
этого момента отказ не возник.

Для определенно

используется следующая статистическая
оценка:


где

– число отказавших изделий в интервал
времени
.


– среднее число исправных изделий в
интервал времени
.

.



— зависимость между интенсивностью
отказа и вероятностью безотказной
работы

Вероятность безотказной работы в
интервале времени

Средняя наработка до отказа (среднее
время безотказной работы) Т – это
математическое ожидание наработки до
первого отказа определяется так:

Частота отказов или плотность
распределения отказов равна
отношению числа отказавших объектов в
интервале времени

к произведению числа исправных объектов
в начальный момент времени на ширину
интервала времени:


Постановка задачи.

Проводится испытание объектов на
надёжность. Испытываемая партия

шт. Требуется определить частоту отказов
на интервале времени

часов, если за этот период отказало

объектов. При этом известно, что в течение
первых

часов отказало

объектов. Определить вероятность
безотказной работы на интервале времени
,
;
интенсивность отказов в моменты времени

и
;
среднее время наработки на отказ,
учитывая интенсивность отказов в момент
времени
.

Варианты к выполнению заданий.

№ варианта

,
шт

,
часов

,
шт

,
шт

,
часов

1

1000

5000

300

100

50

2

1500

6000

270

110

60

3

2000

7000

260

120

70

4

2500

8000

250

130

80

5

3000

9000

240

140

90

6

3500

11000

230

150

100

7

4000

5000

220

160

110

8

4500

6000

210

170

120

9

5000

7000

200

90

130

10

6000

8000

350

80

140

11

1000

9000

370

70

150

12

1500

10000

390

60

160

13

2000

5000

400

50

170

14

2500

6000

500

40

180

15

3000

7000

450

30

190

16

3500

8000

300

150

200

17

4000

9000

270

160

190

18

4500

10000

260

170

180

19

5000

5000

250

180

170

20

6000

6000

240

200

160

21

1000

7000

230

100

150

22

1500

8000

220

110

140

23

2000

9000

210

120

130

24

2500

10000

200

130

120

25

3000

5000

350

140

110

26

3500

6000

370

150

100

27

4000

7000

390

160

90

28

4500

8000

400

170

80

29

5000

9000

500

90

70

30

6000

10000

450

80

60

Соседние файлы в папке Практические работы

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Занятие № 5

Тема: Вероятность
безотказной работы и вероятность отказа.

Цель:

ü рассмотреть основные
показатели безотказной работы (вероятность безотказной работы и вероятность
отказа).

Основные понятия:

·       
Показатели надежности

·       
Вероятность безотказной
работы

·       
Вероятность отказа

План занятия:

1.     Организационный момент: приветствие, проверяется готовность к
занятию, отмечаются в журнале отсутствующие.

2.     Проверка домашнего задания: фронтальный опрос.

3.     Актуализация знаний: сообщение темы и цели занятия.

4.     Изучение нового материала:

1.    
Показатели надежности.

2.    
Вероятность безотказной
работы.

3.    
Вероятность отказа.

4.    
Оценка вероятности
безотказной работы.

5.     Закрепление
изученного материала:

ü Что называют
вероятностью безотказной работы?

ü Что называют вероятностью
отказа?

ü Дайте определение
понятия показатели надежности.

6.     Домашнее
задание:
Яхъяев Н.Я. Основы теории надежности, стр. 39-41;

Задача:

На
испытание поставлено 1000 однотипных резисторов. За первые 10000 часов отказало
5, за последующие 5000 отказало еще 5. Определить вероятность безотказной
работы и вероятность отказа за 10000 часов, за 15000 часов и в промежутке между
10000 и 15000 часов.

7.     Подведение
итогов занятия.

— Какое
состояние называется работоспособным? (Работоспособность – это состояние
изделия, при котором оно способно выполнять заданную функцию с параметрами,
установленными требованиями технической документации, в течение расчётного
срока службы).

Отказ –
это нарушение работоспособности. Свойство элемента или системы непрерывно
сохранять работоспособность при определённых условиях эксплуатации (до первого
отказа) называется безотказностью.

Безотказность
– свойство объекта сохранять работоспособное состояние в течение некоторого
времени или наработки.

И сегодня
на занятии мы рассмотрим показатели безотказности. Тема нашего занятия: «ВЕРОЯТНОСТЬ
БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ И ВЕРОЯТНОСТЬ ОТКАЗА».

1.     ПОКАЗАТЕЛИ
НАДЕЖНОСТИ.

Показатели
надежности – количественная характеристика одного или нескольких
свойств, составляющих надежность объекта.

Для
оценки, расчетов и исследования надежности технических устройств в процессе их
проектирования и эксплуатации используются количественные характеристики (критерии
надежности). Для показателей надежности используются две формы  представления:

v Статистическая – при
эксперементальном исследовании надежности технических систем

v Вероятностная – при
априорных аналитических расчетах надежности.

В
соответствии с ГОСТ 27.002 – 89 показатели надежности подразделяются на:

Классификация
показателей надежности

Признак

Показатель

Число
характерезуемых свойств надежности

Единичный показатель
надежности – показатель, характеризующий одно из свойств, составляющих
надежность объекта. (Например, вероятность отказа, средний срок службы
и т.п.).

Комплексный показатель
надежности – показатель, характеризующий одновременно несколько свойств,
составляющих надежность объекта. (Например, коэффициент готовности,
удельная суммарная трудоемкость ремонтов и т.п.).

Свойство
надежности

Безотказность

Долговечность

Сохраняемость

Ремонтопригодность

Метод
получения

Расчетный показатель
надежности – показатель, значения которого определяют расчетным методом.

Экспериментальный показатель
надежности – показатель, точечную или интервальную оценку которого определяют
по данным испытания.

Эксплуатационный показатель
надежности – показатель, точечную или интервальную оценку которого определяют
по данным эксплуатации.

Экстраполированный показатель
надежности – показатель, точечную или интервальную оценку которого определяют
на основании результатов расчетов, испытаний и (или) эксплуатационных данных
путем экстраполирования на другую продолжительность эксплуатации и другие
условия эксплуатации.

Область
использования

Нормативный показатель,
регламентированный в НТД

Оценочный показатель,
используемый для различных сравнительных оценок при научно-исследовательских
и проектно-технологических разработках

Область
распространения

Групповой показатель
надежности – служит для оценки надежности совокупности изделий данного типа.

Индивидуальный показатель
надежности – предназначен для оценки надежности каждого изделия данного типа.

2.     ВЕРОЯТНОСТЬ
БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ.

Пусть
испытывается некоторое число изделий N0. По разным причинам они
будут выходить из строя, причем моменты отказов, т.е. время наработки каждого
изделия до отказов, является случайной величиной.

Вероятность
безотказной работы изделия есть вероятность того, что за
определенный рассматриваемый период времени работы (t) в заданных условиях
эксплуатации оно не откажет, т.е. вероятность того, что время наработки до
отказа (tотк) будет больше времени работы.

Р(t) = Вер (tотк>
t)

Если к
моменту t из поставленных на испытания N0 изделий останутся исправными N(t), то
статистическая вероятность безотказной работы изделия за время t, равно: , где  N(t) – число работоспособных
изделий на момент t; N0 – общее число наблюдаемых изделий; n(t)  – 
число  изделий,  отказавших  на момент  t  от  начала  испытаний.

При t = 0
все изделия исправны N(0) = N0 и P(0) = 1. Отказы изделия с течением
времени t приводят к монотонному убыванию функции Р(t). Практически для каждого
типа изделия существует наработка t*, больше которой ни одно изделие данного
типа проработать не может.

N(t) = 0,
при t ≥ t*соответственно Р(t) = 0, при t ≥ t*

Таким
образом, 0 ≤ P(t) ≤ 1.

Вероятность
безотказной работы уменьшается с увеличением времени работы или наработки
объекта. Зависимость вероятности безотказной работы от времени характеризуется
кривой убыли ресурса изделия, пример которой приведен на рисунке 1. 

Рис. 1

В
начальный момент времени для работоспособного изделия вероятность его
безотказной работы равна единице (100%). По мере работы объекта эта вероятность
снижается и стремится к нулю.

Например: После
500 часов наработки из 56 агрегатов, поставленных на эксплуатацию, в работоспособном
состоянии оказалось 43 агрегата. Определить вероятность безотказной работы
агрегата в течение 500 час.

Решение:

Используем
формулу для определения вероятности безотказной работы объекта

Вероятность
безотказной работы агрегата в течение 500 часов составляет 76,8 %.

3.     ВЕРОЯТНОСТЬ
ОТКАЗА.

Противоположным
событию безотказной работы является событие отказа

Вероятность
отказа
есть вероятность того, что время появления отказа будет меньше заданного
времени работы изделия, т.е. вероятность того, что время наработки до отказа (tотк)
будет меньше времени работы (t).

Q(t) = Вер (tотк<
t)

Статистическая
вероятность времени появления отказа равна: .

С течением
времени наработки число отказавших изделий непрерывно увеличивается.
Следовательно, вероятность отказов является монотонно возрастающей функцией.

Рис.2

Пример
зависимости вероятности возникновения отказа от времени показан на рисунке 2. 
Для работоспособного объекта в начальный момент времени вероятность отказа
близка к нулю. Для того, чтобы отказ проявился, объекту необходимо начать
работать, при этом вероятность отказа увеличивается с увеличением времени и стремится
к единице. 0≤Q(t)≤1

Безотказная
работа изделия и его отказ являются двумя противоположными и несовместимыми
случайными величинами, поэтому их сумма всегда равна 1.

P(t)+Q(t)=1⟹P(t)=1-Q(t)
или Q(t)=1-P(t).

Например: Для
предыдущего примера определить вероятность отказа агрегатов за 500 часов
работы.

Решение:

Используем
формулу для вероятности отказа

или

Таким
образом, вероятность отказа агрегата за 500 часов составляет 23,2 %.

4.     ОЦЕНКА
ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ.

Рассмотрим график наблюдения
за десятью однотипными изделиями в течение времени от 0 до t4. Здесь
сплошной прямой линией показана продолжительность безотказной работы изделия, а
крестиком – момент возникновения отказа.

Для наглядности
разместим наработки до отказов изделий последовательно по времени их появления.

Определение
технического состояния изделий в процессе испытаний производится в моменты
времени t1… t4. Оценки вероятностей безотказной работы за
соответствующие интервалы времени будут иметь вид:

По
полученным данным строится ступенчатый график – гистограмма, в конце каждого
интервала времени наблюдаемое значение вероятности в данном случае снижается на
долю изделий, отказавших на данном интервале.

Полученные
значения показывают приблизительно долю изделий, которые проработают безотказно
при испытаниях другой партии таких же изделий в аналогичных условиях.

Например:
Изготовив 20 новых изделий, можно утверждать, что в течение времени t3
приблизительно 12 изделий проработают безотказно (не проводя дополнительных
испытаний) 20*0,6=12. Это приближенная оценка будет тем точнее, чем больше
число испытанных изделий.

В качестве
показателя надежности может использоваться условная вероятность безотказной
работы на некотором интервале времени, которая вычисляется при условии, что
изделие было полностью исправно к началу этого времени.

Например: Условная
вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от t2 до
t3 оценивается согласно выражению:

Источник

Вероятностью безотказной работы аппаратуры называется вероятность того, что она будет сохранять свои характеристики (параметры) в заданных пределах в течение определенного промежутка времени при определенных условиях эксплуатации, или, короче, – вероятностью безотказной работы аппаратуры называется вероятность того, что в определенных условиях эксплуатации в пределах заданной продолжительности работы отказ не возникает.

В дальнейшем эта характеристика обозначается P(t).

Пусть t – время, в течение которого необходимо определить вероятность безотказной работы, а Т1 – время работы аппаратуры от ее включения до первого отказа. Тогда, согласно определению вероятности безотказной работы, справедливо выражение:

,                                                     (1.1)

т.е. вероятность безотказной работы – это вероятность того, что время Т1 от момента включения аппаратуры до ее отказа будет больше или равно времени t, в течение которого определяется вероятность безотказной работы.

Из определения вероятности безотказной работы видно, что эта характеристика является функцией времени. Она имеет следующие очевидные свойства:

1) P(t) является убывающей функцией времени;

2) ;

3) Р(0) = 1,      .

На практике для определения P(t) из статистических данных об отказах аппаратуры обычно используются методы непосредственного подсчета вероятностей. Вероятность безотказной работы определяется следующей статистической оценкой:

,                                            (1.2)

где N0 – число образцов аппаратуры в начале испытания, n(t) – число отказавших образцов за время t.

При увеличении числа образцов N0 статистическая оценка вероятности обнаруживает устойчивость, т.е. слабо отличается от вероятности безотказной работы:

.                                  (1.3)

На практике иногда более удобной характеристикой является вероятность неисправной работы, или вероятность отказов. Эта характеристика может быть полезна, например, при сравнение надежности резервированной и не резервированной систем. Исправная работа и отказ являются событиями несовместными и противоположными. Поэтому вероятность безотказной работы и вероятность отказа Q(t) связаны зависимостью:

Q (t) = 1 – P (t),                                         (1.4)

или с учетом выражения (1.1)

Q (t) = P (T1  t)                                         (1.5)

Из выражения (1.5) видно, что вероятность отказа является интегральной функцией распределения времени работы (Т1) до отказа, т.е.

Q (t) = F (t)                                            (1.6)

Производная от интегральной функции распределения есть дифференциальный закон (плотность) распределения:

.                                                  1.7)

Тогда на основании выражений (1.6) и (1.7) получим:

,                                                (1.8)

т.е.

производная от вероятности отказа подчиняется дифференциальному закону распределения времени работы (Т1) аппаратуры до ее отказа.

Для статистического определения вероятности отказа воспользуемся выражениями (1.4)и (1.3). Подставляя в выражение (1.4) вместо P(t) его выражение из формулы (1.3), получим:

.                                                       (1.9)

Вероятность безотказной работы P(t), как количественная характеристика надежности, обладает следующими достоинствами:

1) характеризует изменение надежности во времени;

2) входит во многие другие характеристики аппаратуры, а поэтому может быть полезна широкому кругу лиц, занимающихся вопросами проектирования, эксплуатации, ремонта и т.п. Например, вероятность безотказной работы наряду с точностью и живучестью определяет боевую эффективность оружия, а поэтому является необходимой для исследователя военных операций и полководца. Она определяет также стоимость изготовления и эксплуатации аппаратуры, а поэтому может быть полезной инженеру-экономисту;

3) охватывает большинство факторов, существенно влияющих на надежность аппаратуры, и поэтому достаточно полно характеризует надежность;

4) может быть сравнительно просто получена расчетным путем до изготовления системы. Это позволяет выбрать оптимальную в смысле надежности структуру системы и ее принципиальную схему;

5) является удобной характеристикой надежности, как простейших элементов, так и сложных систем и даже комплексов.

Указанные достоинства вероятности безотказной работы явились причиной наибольшего распространения этой характеристики.

Однако вероятность безотказной работы имеет также существенные недостатки:

1) характеризует надежность восстанавливаемых систем только до первого отказа, а поэтому является достаточно полной характеристикой надежности только систем разового использования;

2) не позволяет охарактеризовать зависимость между временными составляющими цикла эксплуатации; это не дает возможности установить, даже в вероятностном смысле, будет ли система готова к действию в данный момент времени или нет;

3) не всегда удобна для оценки надежности простых элементов, в особенности таких, у которых отсутствует старение;

4) по известной вероятности безотказной работы бывает трудно вычислить другие количественные характеристики надежности.

Эти недостатки позволяют сделать вывод, что вероятность безотказной работы, как, впрочем, и любая другая характеристика, не полностью характеризует такое свойство как надежность, и поэтому не может быть с ним отождествлена.

Источник

Вероятность — безотказная работа — изделие

Cтраница 1

Вероятность безотказной работы изделия характеризует вероятность того, что в течение заданного времени при нормальных условиях эксплуатации в изделии не возникнет отказа. Постепенное убывание функции от единицы до нуля свидетельствует об утрате эксплуатационных свойств изделия во времени в результате физического износа и изменения структуры и свойств материала.
 [1]

Вероятностью безотказной работы изделия называется вероятность того, что в течение заданного промежутка времени не возникает ни одного отказа.
 [3]

Расчет вероятности безотказной работы изделия по данному параметру и других показателей надежности ведется на основе принятой модели отказа.
 [4]

Чтобы определить вероятность безотказной работы изделия за любой промежуток времени, необходимо иметь функцию P ( t) либо в виде таблицы для некоторых конкретных значений Y, либо функция P ( t) должна быть задана аналитически.
 [5]

По полученным результатам значение вероятности безотказной работы изделия в момент времени t, характеризующее его надежность, может быть определено из следующих соображений.
 [6]

Наиболее универсальным показателем надежности является вероятность безотказной работы изделия при определенных условиях. Для получения численных значений показателя надежности необходимо определить понятие отказа. Понятие отказа допускает большое разнообразие интерпретаций. Для конкретизации этого понятия вводят понятие условной эффективности, т.е. эффективности, полученной при отказе того или иного компонента изделия.
 [7]

Ртр — значение нижней доверительной границы вероятности безотказной работы изделия, требуемое по техническому заданию.
 [8]

Методика контрольных испытаний на надежность рассчитана на подтверждение вероятности безотказной работы изделия P ( t) за время t, заданное в технических условиях.
 [9]

Необходимо иметь ясное представление о том, в какой мере изменяется вероятность безотказной работы изделия или устройства, состоящего из последовательно связанных элементов, в зависимости от вероятности безотказной работы этих элементов. Представление таких зависимостей в виде кривых не всегда воспринимается в ощутимой количественной мере.
 [10]

Они позволяют выявить потенциально ненадежные экземпляры ИС и тем самым повысить вероятность безотказной работы изделий, поставляемых заказчику. К числу таких методов относятся визуальный контроль ИС при большом увеличении, контроль картины теплораспределения с помощью тепловизоров, рентгенотелевизионный контроль качества монтажных соединений и выявление скрытых дефектов, измерение шумовых характеристик для обнаружения дефектов сформированных структур и де.
 [11]

В рассматриваемом случае он заключается в использовании в качестве основы для оценки вероятности безотказной работы изделия соответствующих моделей отказов ( см. гл.
 [12]

Число отказов за время эксплуатации в течение 1000 ч приведено в табл. 1.2. Требуется определить вероятность безотказной работы изделий в течение 1000 ч, вычислить интенсивность отказов и построить график.
 [13]

Рассмотрим методический подход к решению этой задачи для случая, когда модель отказа такова, что вероятность безотказной работы изделия Р ( t) может быть подсчитана [ формула ( 31) гл.
 [14]

По опытным данным интенсивностей отказов K ( t) сварных соединений или сварочного оборудования методами математической статистики рассчитывается вероятность безотказной работы изделия P ( t), которая в большинстве случаев может быть описана одним из трех законов: экспоненциальным, нормальным ( Гаусса) или распределением Вейбулла.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

Источник

Как вычисляется среднее время до отказа и вероятность безотказной работы?

Время на прочтение
4 мин

Количество просмотров 116K

Понятиям MTTF (Mean Time To Failure — среднее время до отказа) и другим терминам теории надежности посвящено большое количество статей, в том числе на Хабре (см., например, тут). Вместе с тем, редкие публикации «для широкого круга читателей» затрагивают вопросы математической статистики, и уж тем более они не дают ответа на вопрос о принципах расчета надежности электронной аппаратуры по известным характеристикам ее составных элементов.

В последнее время мне довольно много приходится работать с расчетами надежности и рисков, и в этой статье я постараюсь восполнить этот пробел, отталкиваясь от своего предыдущего материала (из цикла о машинном обучении) о пуассоновском случайном процессе и подкрепляя текст вычислениями в Mathcad Express, повторить которые вы сможете скачав этот редактор (подробно о нем тут, обратите внимание, что нужна последняя версия 3.1, как и для цикла по machine learning). Сами маткадовские расчеты лежат здесь (вместе с XPS- копией).

1. Теория: основные характеристики отказоустойчивости
Вроде бы, из самого определения (Mean Time To Failure) понятен его смысл: сколько (конечно, в среднем, поскольку подход вероятностный) прослужит изделие. Но на практике такой параметр не очень полезен. Действительно, информация о том, что среднее время до отказа жесткого диска составляет полмиллиона часов, может поставить в тупик. Гораздо информативнее другой параметр: вероятность поломки или вероятность безотказной работы (ВБР) за определенный период (например, за год).

Для того чтобы разобраться в том, как связаны эти параметры, и как, зная MTTF, вычислить ВБР и вероятности отказа, вспомним некоторые сведения из математической статистики.

Ключевое понятие теории надежности — это понятие отказа, измеряемое, соответственно, интервальным показателем
Q(t) = вероятность того, что изделие откажет к моменту времени t.
Соотвественно, вероятность безотказной работы (ВБР, в английской терминологии «reliability»):
P(t) = вероятность того, что изделие проработает без отказа от момента t0=0 до момента времени t.
По определению, в момент t0=0 изделие находится в работоспособном состоянии, т.е. Q(0)=0, а P(0)=1.

Оба параметра — это интервальные характеристики отказоустойчивости, т.к. речь идет о вероятности отказа (или наоборот, безотказной работы) на интервале (0,t). Если отказ рассматривать, как случайное событие, то, очевидно, что Q(t) — это, по определению, его функция распределения. А точечную характеристику можно определить, как
p(t)=dQ(t)/dt = плотность вероятности, т.е. значение p(t)dt равно вероятности, что отказ произойдет в малой окрестности dt момента времени t.

И, наконец, самая важная (с практической точки зрения) характеристика: λ(t)=p(t)/P(t)=интенсивность отказов.
Это (внимание!) условная плотность вероятности, т.е. плотность вероятности возникновения отказа в момент времени t при условии, что до этого рассматриваемого момента времени t изделие работало безотказно.

Измерить параметр λ(t) экспериментально можно путём испытания партии изделий. Если к моменту времени t работоспособность сохранило N изделий, то за оценку λ(t) можно принять процент отказов в единицу времени, происходящих в окрестности t. Точнее, если в период от t до t+dt откажет n изделий, то интенсивность отказов будет примерно равна
λ(t)=n/(N*dt).

Именно эта λ-характеристика (в пренебрежении ее зависимостью от времени) и приводится чаще всего в паспортных данных различных электронных компонент и самых разных изделий. Только сразу возникает вопрос: а как вычислить вероятность безотказной работы и при чем здесь среднее время до отказа (MTTF).

А вот при чем.

2. Экспоненциальное распределение
В терминологии, которую мы только что использовали, пока не было никаких предположений о свойствах случайной величины — момента времени, в который происходит отказ изделия. Давайте теперь конкретизируем функцию распределения значения отказа, выбрав в качестве нее экспоненциальную функцию с единственным параметром λ=const (смысл которого будет ясен через несколько предложений).

Дифференцируя Q(t), получим выражение для плотности вероятности экспоненциального распределения:
,
а из него – функцию интенсивности отказов: λ(t)=p(t)/P(t)=const=λ.

Что мы получили? Что для экспоненциального распределения интенсивность отказов – есть величина постоянная, причем совпадающая с параметром распределения. Этот параметр и является главным показателем отказоустойчивости и его часто так и называют λ-характеристикой.

Мало того, если теперь посчитать среднее время до первого отказа – тот самый параметр MTTF (Mean Time To Failure), то мы получим, что он равен MTTF=1/ λ.

image

Все это замечательные свойства экспоненциального распределения. Почему мы выбрали в качестве для описания отказов именно его? Да потому что это наиболее простая модель – модель пуассоновского потока событий, которая уже была нами рассмотрена в статье про анализ конверсии сайта. Поэтому-то в теории надежности наиболее часто используется показательное (экспоненциальное) распределение, для которого, как мы выяснили:

  • надежность элементов можно оценить одним числом, т.к. λ=const;
  • по известной λ довольно просто оценить остальные показатели надежности (например, ВБР для любого времени t);
  • λ обладает хорошей наглядностью
  • λ нетрудно измерить экспериментально

Но это еще не все, потому, что для экспоненциального распределения особенно легко делать расчет систем, состоящих из множества элементов. Но об этом – в следующей статье (продолжение следует).

Источник

Практическая
работа №1.

Тема: Определение
показателей надёжности по статистическим
данным

Цель:определить показатели надёжности
и произвести расчеты на С++ партии изделий
при проведении испытаний в течение
заданного промежутка времени.

Теоретические
сведения

Показатели безотказности.

Вероятность безотказной работы
– это вероятность того, что в заданном
интервале времениtв
изделии не возникает отказа.;;

Для определения P(t)
используется следующая статическая
оценка:

где

– число изделий, поставленных на
испытание (эксплуатацию).

– число изделий, отказавших в течении
времениt.

Вероятность отказа— это величина, обратная вероятности
безотказной работы

Зависимость вероятности безотказной
работы от времени

Вероятность бессбойной работы
– это вероятность того, что в заданном
интервале временибудет отсутствовать сбой в изделии.
График зависимости от времени такой
же, как и для вероятности безотказной
работы

;
где —функция распределения сбоев в течение
времени

.

Для определения стабильности оценки
мы имеем формулу:

где
– число изделий поступивших на
эксплуатацию.

– число изделий, в которых произошел
сбой в течение времениt.

Интенсивность отказа
– это условная плотность вероятности
возникновения отказа не восстанавливаемого
объекта, определенного рассмотренного
момента времени, при условии, что до
этого момента отказ не возник.

Для определенно


используется следующая статистическая
оценка:

где– число отказавших изделий в интервал
времени.

– среднее число исправных изделий в
интервал времени.

.

— зависимость между интенсивностью
отказа и вероятностью безотказной
работы

Вероятность безотказной работы в
интервале времени


Средняя наработка до отказа (среднее
время безотказной работы) Т– это
математическое ожидание наработки до
первого отказа определяется так:

Частота отказов или плотность
распределения отказовравна
отношению числа отказавших объектов в
интервале временик произведению числа исправных объектов
в начальный момент времени на ширину
интервала времени:

Постановка
задачи.

Проводится испытание объектов на
надёжность. Испытываемая партия
шт. Требуется определить частоту отказов
на интервале времени

часов, если за этот период отказалообъектов. При этом известно, что в течение
первыхчасов отказалообъектов. Определить вероятность
безотказной работы на интервале времени,;
интенсивность отказов в моменты времении;
среднее время наработки на отказ,
учитывая интенсивность отказов в момент
времени

.

Варианты к
выполнению заданий.

№ варианта

,
шт

,
часов

,
шт

,
шт

,
часов

1

1000

5000

 300

100

50

2

1500

6000

270

110

60

3

2000

7000

260

120

70

4

2500

8000

250

130

80

5

3000

9000

240

140

90

6

3500

11000

230

150

100

7

4000

5000

220

160

110

8

4500

6000

210

170

120

9

5000

7000

200

90

130

10

6000

8000

350

80

140

11

1000

9000

370

70

150

12

1500

10000

390

60

160

13

2000

5000

400

50

170

14

2500

6000

500

40

180

15

3000

7000

450

30

190

16

3500

8000

300

150

200

17

4000

9000

270

160

190

18

4500

10000

260

170

180

19

5000

5000

250

180

170

20

6000

6000

240

200

160

21

1000

7000

230

100

150

22

1500

8000

220

110

140

23

2000

9000

210

120

130

24

2500

10000

200

130

120

25

3000

5000

350

140

110

26

3500

6000

370

150

100

27

4000

7000

390

160

90

28

4500

8000

400

170

80

29

5000

9000

500

90

70

30

6000

10000

450

80

60

Пример выполнения
задания.

Проводится испытание объектов на
надёжность. Испытываемая партия
шт. Требуется определить частоту отказов
на интервале временичасов, если за этот период отказалообъектов. При этом известно, что в течение
первыхчасов отказалообъектов. Определить вероятность
безотказной работы на интервале времени,;
интенсивность отказов в моменты времении;
среднее время наработки на отказ,
учитывая интенсивность отказов в момент
времени.

,
шт

,
часов

,
шт

,
шт

,
часов

3000

2000

300

150

400

Решение.

  1. Определяем частоту отказов

  2. Определяем вероятность безотказной
    работы за период времени t:

  3. Определяем вероятность безотказной
    работы на интервале времени t+Δt:

  4. Определяем вероятность безотказной
    работы на промежутке времени Δt:

  5. Определяем интенсивность отказов на
    интервале времени t+ Δt:или

  6. Определяем интенсивность отказов на
    интервале времени t:

Определяем среднее время наработки на
отказ:

Порядок выполнения
работы

  1. Запускаем программу С++.

  2. Создаем новый файл File→New…(<Ctrl>+<N>)

  3. В диалоговом окне «New»
    на вкладкеFilesвыбираемC++SourceFile,
    задаем имя файлу и его расположение.

  4. Пишем код программы для расчета
    вычислений:
    Подключаем
    необходимые заголовочные файлы
    1.     #include
    «    iostream.h»
    Пишем
    главную функцию программы
    2.     int
    main()
    3. {
    Объявляем
    переменные, которые нам даны по
    заданию
    4.     int
    N=3000;
    5. int
    t=2000;
    6. int
    n1=300;
    7. int
    n2=150;
    8. int
    delta_t=400;
    Объявляем
    переменные, которые нам понадобятся
    для расчетов и присваиваем им начальные
    нулевые
    значения
    9.     double f_t=0,
    10. P_t=0,
    11. P_delta_t=0,
    12. lyamb_delta_t=0,
    13. lyamb_t=0,
    14. T_M=0;
    Зная
    формулу вычисления частоты отказов,
    запрограммируем расчеты
    15.     код
    вычисления частоты отказов
    Зная
    формулу вычисления вероятности
    безотказной работы за период времени
    ,
    запрограммируем расчеты16.     код
    вычисления вероятности безотказной
    работы времени     t
    Зная
    формулу вычисления вероятности
    безотказной работы на интервале времени
    ,
    запрограммируем расчеты17.     код
    вычисления вероятности безотказной
    работы на интервале времени
    Определяем
    вероятность безотказной работы на
    промежутке времени,
    зная формулу расчета18.     код
    вычисления вероятности безотказной
    работы на промежутке времени
    Определяем
    интенсивность отказов на интервале
    времени,
    зная формулу вычисления. Интенсивность
    отказов на интервале времениможно найти по одной из двух формул.
    Рассчитаем, используя оба способа:    I-й
    способ —
    или
    II-й
    способ —

    19.     код
    вычисления интенсивность отказов на
    интервале времени
    (    I-й
    способ)
    20. код
    вычисления интенсивность отказов на
    интервале времени
    (    II-й
    способ)
    Запрограммируем
    расчеты интенсивности отказов на
    интервале времени t, зная, что интенсивность
    отказов на интервале времени t
    рассчитывается по формуле:
    21.     код
    вычисления интенсивность отказов на
    интервале времени
    Рассчитываем
    среднее время наработки на отказ,
    используя в формуле интенсивности
    отказов на интервале времени t, полученные
    двумя способам —
    22.     код
    вычисления среднего времени наработки
    на отказ (    I-й
    способ)
    23. код
    вычисления среднего времени наработки
    на отказ (    II-й
    способ)
    24. выводим
    на экран результаты расчетов
    Функция
    main()
    возвращает целочисленное значение:
    25.     return
    0;
    26. }

  5. Откомпилируйте проект, исправьте все
    ошибки и предупреждения.

  6. Создайте исполнительный файл, с
    возможностью ввода и вывода данных и
    вывода ответов с различными способами
    расчетов интенсивности отказов на
    интервале времени
    .

Содержание отчета

        1. Содержание отчета должно быть оформлено
          в тетради.

        2. Тема и цель работы.

  1. Задание и данные, представленные в
    табличном виде.

  2. Расчет показателей надежности.

  3. Расчет показателей надежности с
    вычислениями на компьютере.

  4. Сравнить данные, полученные вручную с
    данными, получившимися в результате
    расчетов на компьютере.

  5. Провести анализ: как изменяется результат
    среднего времени наработки на отказ
    при различных способах вычисления
    интенсивности отказов на интервале
    времени
    .

studfiles.net

4.Вероятность безотказной работы

Вероятность
безотказной работы объекта называется
вероятность того, что он будет сохранять
свои параметры в заданных пределах в
течение определенного промежутка
времени при определенных условиях
эксплуатации.

В
дальнейшем полагаем, что эксплуатация
объекта происходит непрерывно,
продолжительность эксплуатации объекта
выражена в единицах времени t и эксплуатация
начата в момент времени t=0.

Обозначим
P(t) вероятность безотказной работы
объекта на отрезке времени [0,t]. Вероятность,
рассматриваемую как функцию верхней
границы отрезка времени, называют также
функцией надежности.

Вероятностная
оценка: P(t) = 1 – Q(t), где Q(t) — вероятность
отказа.

Рисунок
2. Типичная кривая вероятности безотказной
работы

Из
графика очевидно, что:

1.
P(t) – невозрастающая функция времени;

2.
0 ≤ P(t) ≤ 1;

3.
P(0)=1; P(∞)=0.

На
практике иногда более удобной
характеристикой является вероятность
неисправной работы объекта или вероятность
отказа:

Q(t)
= 1 – P(t).

Статистическая
характеристика вероятности отказов:
Q*(t) = n(t)/N.

5.Плотность вероятности отказа

Плотность
вероятности отказа — отношение числа
отказавших аппаратов в единицу времени
к числу аппаратов, первоначально
установленных на испытание, при условии,
что отказавшие аппараты не восстанавливаются
и не заменяются новыми.

a*(t)
= n(t)/(NΔt),

где
a*(t) — частота отказов;

n(t)
– число отказавших объектов в интервале
времени от t – t/2 до t+ t/2;

Δt
– интервал времени;

N
– число объектов, участвующих в испытании.

Между
плотностью вероятности отказа,
вероятностью безотказной работы и
вероятностью отказов при любом законе
распределения времени отказов существует
однозначная зависимость:

Q(t)
= ∫ a(t)dt.

6.Средняя наработка до отказа

Средняя
наработка до отказа — математическое
ожидание наработки объекта до первого
отказа.

Часто
этот показатель называют средним
временем безотказной работы и обозначают
Т0.

Определяется
по двум формулам:

Для
наиболее часто используемого
экспоненциального распределения

tсредн.
= a , а экспоненциальное распределение
принимает вид:

7. Гамма-процентная наработка до отказа

Весьма
информативным показателем безотказности
невосстанавливаемых объектов является
гамма-процентная наработка до отказа,
понимаемая как наработка, в течение
которой отказ объекта не возникнет с
вероятностью γ, выраженной в процентах.

В
случае экспоненциального распределения
гамма-процентная наработка до отказа
определяется по формуле:

Рисунок
4

Наработку
до отказа обычно определяют для значений
γ > 80% (верхняя горизонтальная линия
на рис.4).

Для
прогнозирования потребности в запасных
частях определяют гамма-процентную
наработку и при меньших значениях,
например при γ = 50% (нижняя горизонтальная
линия на рис.4).

При
γ = 100% гамма-процентная наработка
называется установленной безотказной
наработкой, при γ = 50% гамма-процентная
наработка называется медианной
наработкой.

Следует
учитывать, что экстраполяция эмпирических
результатов за пределы продолжительности
испытаний может привести к значительным
ошибкам.

studfiles.net

Диагностика и надежность в технике

1. Расчет показателей безотказности
1.1 Вероятность безотказной работы
1.2 Вероятность отказа
1.3 Частота отказа
1.4 Интенсивность отказа
1.5 Средняя наработка до отказа
1.6 Среднее значение параметра потока отказов
1.7 Пример расчета показателей безотказности
2. Примеры расчета показателей надежности для различных законов распределения случайных величин
2.1 Экспоненциальный закон распределения
2.2  Закон распределения Вейбулла-Гнеденко
2.3  Закон распределения Рэлея
3. Примеры расчета показателей надежности сложных систем
3.1 Основное соединение элементов
3.2 Резервное соединение

1.1 Вероятность безотказной работы

Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
Вероятность безотказной работы обозначается как P(l), которая определяется по формуле (1.1):

где N0 – число элементов в начале испытания; r(l) – число отказов элементов к моменту наработки.Следует отметить, что чем больше величина N0, тем с большей точностью можно рассчитать вероятность P(l).
В начале эксплуатации исправного локомотива P(0) = 1, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что ни один элемент не откажет, принимает максимальное значение – 1. С ростом пробега l вероятность P(l) будет уменьшаться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность безотказной работы будет стремиться к нулю P(l→∞) = 0. Таким образом в процессе наработки величина вероятности безотказной работы изменяется в пределах от 1 до 0. Характер изменения вероятности безотказной работы в функции пробега показан на рис. 1.1.

Рис.2.1. График изменения вероятности безотказной работы P(l)в зависимости от наработки

Основными достоинствами использования данного показателя при расчетах является два фактора: во-первых, вероятность безотказной работы охватывает все факторы, влияющие на надежность элементов, позволяя достаточно просто судить о его надежности, т.к. чем больше величина P(l), тем выше надежность; во-вторых, вероятность безотказной работы может быть использована в расчетах надежности сложных систем, состоящих из более чем одного элемента.

1.2 Вероятность отказа

Вероятностью отказа называют вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки произойдет хотя бы один отказ.
Вероятность отказа обозначается как Q(l), которая определяется по формуле (1.2):

В начале эксплуатации исправного локомотива Q(0) = 0, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что хотя бы один элемент откажет, принимает минимальное значение – 0. С ростом пробега l вероятность отказа Q(l) будет увеличиваться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность отказа будет стремиться к единице Q(l→∞) = 1. Таким образом в процессе наработки величина вероятности отказа изменяется в пределах от 0 до 1. Характер изменения вероятности отказа в функции пробега показан на рис. 1.2.Вероятность безотказной работы и вероятность отказа являются событиями противоположными и несовместимыми.

Рис.2.2. График изменения вероятности отказа Q(l) в зависимости от наработки

1.3 Частота отказов

Частота отказов – это отношение числа элементов в единицу времени или пробега отнесенного к первоначальному числу испытуемых элементов. Другими словами частота отказов является показателем, характеризующим скорость изменения вероятности отказов и вероятности безотказной работы по мере роста длительности работы.
Частота отказов обозначается как  и определяется по формуле (1.3):

где  –  количество отказавших элементов за промежуток пробега . 
Данный показатель позволяет судить по его величине о числе элементов, которые откажут на каком-то промежутке времени или пробега, также по его величине можно рассчитать количество требуемых запасных частей.
Характер изменения частоты отказов в функции пробега показан на рис. 1.3.


Рис. 1.3. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки

1.4 Интенсивность отказов

Интенсивность отказов представляет собой условную плотность возникновения отказа объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказ не возник. Иначе интенсивность отказов – это отношение числа отказавших элементов в единицу времени или пробега к числу исправно работающих элементов в данный отрезок времени.
Интенсивность отказов обозначается как  и определяется по формуле (1.4):

где 

Как правило, интенсивность отказов является неубывающей функцией времени. Интенсивность отказов обычно применяется для оценки склонности к отказам в различные моменты работы объектов.
На рис. 1.4. представлен теоретический характер изменения интенсивности отказов в функции пробега.

Рис. 1.4. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки

На графике изменения интенсивности отказов, изображенном на рис. 1.4. можно выделить три основных этапа отражающих процесс экс-плуатации элемента или объекта в целом.
Первый этап, который также называется этапом приработки, характеризуется увеличением интенсивности отказов в начальный период эксплуатации. Причиной роста интенсивности отказов на данном этапе являются скрытые дефекты производственного характера.
Второй этап, или период нормальной работы, характеризуется стремлением интенсивности отказов к постоянному значению. В течение этого периода могут возникать случайные отказы, в связи с появлением внезапной концентрации нагрузки, превышающей предел прочности элемента.
Третий этап, так называемый период форсированного старения. Характеризуется возникновением износовых отказов. Дальнейшая эксплуатация элемента без его замены становится экономически не рациональной.

1.5 Средняя наработка до отказа

Средняя наработка до отказа – это средний пробег безотказной работы элемента до отказа. 
Средняя наработка до отказа обозначается как L1 и определяется по формуле (1.5):

где li – наработка до отказа элемента; ri – число отказов.
Средняя наработка до отказа может быть использована для предварительного определения сроков ремонта или замены элемента.

1.6 Среднее значение параметра потока отказов

Среднее значение параметра потока отказов характеризует среднюю плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени.
Среднее значение параметра потока отказов обозначается как Wср и определяется по формуле (1.6):

1.7 Пример расчета показателей безотказности

Исходные данные.
В течение пробега от 0 до 600 тыс. км., в локомотивном депо произведен сбор информации по отказам ТЭД. При этом количество исправных ТЭД в начале периода эксплуатации составляло N0 = 180 шт. Суммарное количество отказавших ТЭД за анализируемый период составило ∑r(600000) = 60. Интервал пробега   принять равным 100 тыс. км. При этом количество отказавших ТЭД по каждому участку составило: 2, 12, 16, 10, 14, 6.

Требуется.
Необходимо рассчитать показатели безотказности и построить их зависимости изменения во времени.

Сначала необходимо заполнить таблицу исходных данных так, как это показано в табл. 1.1.

Таблица 1.1.

Исходные данные к расчету

, тыс. км 0 — 100 100 — 200 200 — 300 300 — 400 400 — 500 500 — 600
2 12 16 10 14 6
2 14 30 40 54 60

 Первоначально по уравнению (1.1) определим для каждого участка пробега величину вероятности безотказной работы. Так, для участка от 0 до 100 и от 100 до 200 тыс. км. пробега вероятность безотказной работы составит:

Далее, используя зависимость (1.2) произведем расчет вероятности отказа ТЭД.

Произведем расчет частоты отказов по уравнению (1.3).

Далее по уравнению (1.4) произведем расчет интенсивности отказов ТЭД в зависимости от наработки.
Первоначально рассчитаем среднее количество работоспособных ТЭД на участке от 0 до 100 тыс. км. пробега:

Тогда интенсивность отказов на участке 0-100 тыс.км. будет равна:

Аналогичным образом определим величину интенсивности отказов для интервала 100-200 тыс. км.

По уравнениям (1.5 и 1.6) определим среднюю наработку до отказа и среднее значение параметра потока отказов.

Систематизируем полученные результаты расчета и представим их в виде таблицы (табл. 1.2.).

Таблица 1.2.

Результаты расчета показателей безотказности

, тыс.км. 0 — 100 100 — 200 200 — 300 300 — 400 400 — 500 500 — 600
2 12 16 10 14 6
2 14 30 40 54 60
P(l) 0,989 0,922 0,833 0,778 0,7 0,667
Q(l) 0,011 0,078 0,167 0,222 0,3 0,333
10-7, 1/км 1,111 6,667 8,889 5,556 7,778 3,333
10-7, 1/км 1,117 6,977 10,127 6,897 10,526 4,878

 Приведем характер изменения вероятности безотказной работы ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.5.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности безотказной работы примет максимальное значение – 1. 

Рис. 1.5. График изменения вероятности безотказной работы в зависимости от наработки

Приведем характер изменения вероятности отказа ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.6.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности отказа примет минимальное значение – 0. 

Рис. 1.6. График изменения вероятности отказа в зависимости от наработки

Приведем характер изменения частоты отказов ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.7.).

Рис. 1.7. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
 

На рис. 1.8. представлена зависимость изменения интенсивности отказов от наработки.

Рис. 1.8. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки

2.1 Экспоненциальный закон распределения случайных величин

Экспоненциальный закон достаточно точно описывает надежность узлов при внезапных отказах, имеющих случайный характер. Попытки применить его для других типов и случаев отказов, особенно постепенных, вызванных износом и изменением физико-химических свойств элементов показали его недостаточную приемлемость.

 Исходные данные.
В результате испытания десяти топливных насосов высокого давления получены наработки их до отказа: 400, 440, 500, 600, 670, 700, 800, 1200, 1600, 1800 ч. Предполагая, что наработка до отказа топливных насосов подчиняется экспоненциальному закону распределения.

 Требуется.
Оценить величину интенсивности отказов  , а также рассчитать вероятность безотказной работы за первые 500 ч. и вероятность отказа в промежутке времени между 800 и 900 ч. работы дизеля.

Во-первых, определим величину средней наработки топливных насосов до отказа по уравнению:

Затем рассчитываем величину интенсивности отказов:

Величина вероятности безотказной работы топливных насосов при наработке 500 ч составит:

Вероятность отказа в промежутке между 800 и 900 ч. работы насосов составит:

2.2 Закон распределения Вэйбулла-Гнеденко

Закон распределения Вейбулла-Гнеденко получил широкое распространение и используется применительно к системам, состоящим из рядов элементов, соединенных последовательно с точки зрения обеспечения безотказности системы. Например, системы, обслуживающие дизель-генераторную установку: смазки, охлаждения, питания топливом, воздухом и т.д.

Исходные данные.
Время простоя тепловозов в неплановых ремонтах по вине вспомогательного оборудования подчиняется закону распределения Вейбулла-Гнеденко с параметрами b=2 и a=46.

 Требуется.
Необходимо определить вероятность выхода тепловозов из неплановых ремонтов после 24 ч. простоя и время простоя, в течение которого работоспособность будет восстановлена с вероятностью 0,95.

Найдем вероятность восстановления работоспособности локомотива после простоя его в депо в течение суток по уравнению:

Для определения времени восстановления работоспособности локомотива с заданной величиной доверительной вероятности также используем выражение:

2.3 Закон распределения Рэлея

Закон распределения Рэлея используется в основном для анализа работы элементов, имеющих ярко выраженный эффект старения (элементы электрооборудования, различного рода уплотнения, шайбы, прокладки, изготовленные из резиновых или синтетических материалов). 

 Исходные данные.
Известно, что наработки контакторов до отказа по параметрам старения изоляции катушек можно описать функцией распределения Рэлея с параметром S = 260 тыс.км.

Требуется.
Для величины наработки 120 тыс.км. необходимо определить вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднюю наработку до первого отказа катушки электромагнитного контактора. 

3.1 Основное соединение элементов

Система, состоящая из нескольких независимых элементов, связанных функционально таким образом, что отказ любого из них вызывает отказ системы, отображается расчетной структурной схемой безотказной работы с последовательно соединенными событиями безотказной работы элементов.

Исходные данные.
Нерезервированная система состоит из 5 элементов. Интенсивности их отказов соответственно равны 0,00007; 0,00005; 0,00004; 0,00006; 0,00004 ч-1

 Требуется.
Необходимо определить показатели надежности системы: интенсивность отказов, среднее время наработки до отказа, вероятность безотказной работы, частота отказов. Показатели надежности P(l) и  a(l) получить в интервале от 0 до 1000 часов с шагом в 100 часов.

Вычислим интенсивность отказа и среднюю наработку до отказа по следующим уравнениям:

Значения вероятности безотказной работы и частоты отказов получим, используя уравнения приведенные к виду:

Результаты расчета P(l) и a(l) на интервале от 0 до 1000 часов работы представим в виде табл. 3.1.

Таблица 3.1.

Результаты расчета вероятности безотказной работы и частоты отказов системы на интервале времени от 0 до 1000 ч.

l, час P(l) a(l), час-1
0 1 0,00026
100 0,974355 0,000253
200 0,949329 0,000247
300 0,924964 0,00024
400 0,901225 0,000234 
500 0,878095  0,000228
600 0,855559  0,000222
700 0,833601  0,000217
800 0,812207  0,000211
900 0,791362  0,000206
1000 0,771052  0,0002

Графическая иллюстрация P(l) и a(l) на участке до средней наработки до отказа представлена на рис. 3.1, 3.2. 

Рис. 3.1. Вероятность безотказной работы системы.

Рис. 3.2. Частота отказов системы.

3.2 Резервное соединение элементов

Исходные данные.
На рис. 3.3 и 3.4 показаны две структурные схемы соединения элементов: общего (рис. 3.3) и поэлементного резервирования (рис. 3.4). Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны P1(l) = P ’1(l) = 0,95; P2(l) = P’2(l) = 0,9; P3(l) = P ’3(l) = 0,85. 

Требуется.
Необходимо рассчитать надежность двух систем. 

Рис. 3.3. Схема системы с общим резервированием.

Рис. 3.4. Схема системы с поэлементным резервированием.

Вероятность безотказной работы блока из трех элементов без резервирования рассчитаем по выражению:

Вероятность безотказной работы той же системы при общем резервировании (рис. 3.3) составит:

Вероятности безотказной работы каждого из трех блоков при поэлементном резервировании (рис. 3.4) будут равны:

Вероятность безотказной работы системы при поэлементном резервировании составит:

Таким образом, поэлементное резервирование дает более существенное увеличение надежности (вероятность безотказной работы возросла с 0,925 до 0,965, т.е. на 4%).

Исходные данные.
На рис. 3.5 представлена система с комбинированным соединением элементов. При этом вероятности безотказной работы элементов имеют следующие значения: P1=0,8; Р2=0,9; Р3=0,95; Р4=0,97.

Требуется.
Необходимо определить надежность системы. Также необходимо определить надежность этой же системы при условии, что резервные элементы отсутствуют. 

Рис.3.5. Схема системы при комбинированном функционировании элементов.

Для расчета в исходной системе необходимо выделить основные блоки. В представленной системе их три (рис. 3.6). Далее рассчитаем надежность каждого блока в отдельности, а затем найдем надежность всей системы.

Рис. 3.6. Сблокированная схема.

Надежность системы без резервирования составит:

Таким образом, система без резервирования является на 28% менее надежной, чем система с резервированием.

diagnosticlab.ucoz.ru

Вероятность безотказной работы элемента p(t).

— вероятность того, что в заданном интервале времени t в элементе не возникнет отказ.

Если взять группу, состоящую из N одинаковых элементов, и поставить их на испытания то графически процесс испытания будет выглядеть так:

Так как отказ — случайная величина, то нельзя заранее сказать чему будет равно время работы i элемента, но можно определить вероятность того, что он не откажет в течении заданного времени t. Это может быть определено по данным испытания. Практически для вероятности безотказной работы p(t) используется следующая статистическая оценка p*(t)=[N-n(t)]/N, где N- число элементов на испытании, n(t)- число элементов отказавших в течение времени t. Точность оценки будет тем выше, чем больше N, в пределе статистическая оценка будет стремится к истинному значению при NÞ к бесконечности: p*(t)=Lim[N-n(t)]/NÞp(t).

Вероятность безотказной работы системы P(t).

— вероятность того, что в заданном интервале времени t в системе не возникнет отказ. Если элементы в системе соединены последовательно относительно надежности, то выход из строя хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Если вероятности безотказной работы элементов в системе будут p1(t), p2(t),.. pN(t) то в соответствии с теоремой умножения вероятности (вероятность произведения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии что первая имело место) вероятность безотказной работы системы имеет вид: P(t)= p1(t) p2(t)… pN(t). Если p1(t)= p2(t)= pN(t), тогда P(t)=[p(t)]N. Так как вероятность безотказной работы элементов всегда меньше единицы, то из расчетов следует: 1) надежность системы уменьшается при увеличении числа элементов в ней; 2) вероятность безотказной работы системы всегда меньше вероятности безотказной работы самого ненадежного элемента.

Вероятность отказа системы Q(t).

Под вероятностью отказа системы понимают вероятность того, что за малый интервал времени t в системе произойдет отказ, т.е. время исправной работы системы будет меньше заданного. Так как безотказная работа и отказ- события противоположные, то Q(t)=1-P(t)

Q(t)=1-{[1- [1-q2(t)]… [1-qN(t)]} при q(t)- одинаковых Q(t)=1-[1-q(1)]N. Если надежность оценивается для малых промежутков времени, когда вероятность отказа много меньше 1, тогда Q(t)=1-{1-[q1(t)+ q2(t)+… qN(t)]}=Sqi(t)(от 1 до N). Если вероятность отказов элементов равны, то Q(t)=Nq(t).

Частота отказов f(t).

Под частотой отказов элементов понимают число отказов за единицу времени, отнесенное к первоначальному числу элементов, поставленных на испытание. Статистически определение частоты производится по выражению: f=n(Dt)/(N*Dt), где n(Dt)- число элементов, отказавших за интервал времени Dt; N- число элементов, поставленных на испытание; Dt- рассматриваемый интервал времени. При определении частоты отказов элементы не ремонтируются и новыми не заменяются. По полученным оценочным значениям строится гистограмма. Если dt мало, то вероятность отказа одновременно 2х элементов весьма мала и следовательно вероятность отказа любого элемента пропорционально длине промежутка времени и равна q*(t,t+dt)=f*(t)dt. График показывает как распределена плотность вероятности времени исправной работы в каждой точке. Вероятность отказа элемента за время t может быть найдена интегрированием функции f(t) за этот промежуток времени: q(t)=$f(t)dt(от 0 до t) или p(t)=1-q(t)=1-$f(t)dt(от 0 до t)=$f(t)dt(от t до +бесконечности). Если продеффиринцировать полученное уравнение то получим: dp(t)/dt=-f(t)=-p’(t) или f(t)=q’(t). Производная показывает скорость снижения надежности во времени. Так, частота отказов показывает скорость падения надежности невосстанавливаемых элементов.

Достоинства этого критерия в том, что он позволяет судить о числе элементов которые откажут в течении определенного интервала времени. Понятие частоты отказов используется только для невосстанавливаемых изделий. Для восстанавливаемых изделий используется критерий средняя частота отказов (параметр потока отказов)- fср(t) – это отношение числа отказавших в единицу времени элементов к общему их числу, при условии что отказавшие элементы заменяются новыми: fср(t)= n(Dt)/(N*Dt). Если сравнить fср(t) и f(t) то мы увидим что fср(t)>f(t). Эти два критерия связаны между собой интегральным уравнением Вольтера второго рода. Достоинства этого критерия в том, что он отражает реальные условия эксплуатирования.

6. Средняя частота отказа — это отношения числа отказавших в единицу времени элементов к общему числу элементов при условии, что отказавшие элементы заменились новыми

Формула имеет вид

f ср * (ti) = n(Δti)/NΔti; [1/r] (1.19 )

где n(Δti) – число элементов отказавших в интервале Δti

N – число элементов поставленных на испытание

Δti– интервал времени для которого определяется средняя частота отказов.

fср(ti) = ω(t) = lim n(Δti)/NΔti

N→∞

F(t) = a(t) – частота отказов

Параметр потокоотказа и частота отказов для ординарных потоков с ограниченным последствием при мгновенном восстановлении связи интегрируемым уравнением Вольтера 2 рода

t

f ср (t) = f(t) + ∫ f ср (τ) f (t – τ) dτ

Данное уравнение в оперативной форме

fср (s) = f(s)/ 1-f(s)

f(s) = fср(s) / 1+ f ср(s)

∞ -sτ

f(s) = ∫f(t)e dt

Критерий этот используется для восстанавливающейся аппаратуры, а так как элементы которые вновь будут отказывать то всегда f ср(t) ≥ f(t)

Достоинство этого критерия в том ,что отражает реальны процесс эксплуатации аппаратуры.

Интенсивность отказов l(t).

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказов в единицу времени, отнесенное к среднему числу элементов, исправно работающих в данный отрезок времени. При определении интенсивности отказов отказавшие элементы новыми не заменяют l*(ti)= n(Dt)/(Nср*Dt)[1/час]; Nср=(Ni+Ni+1)/2=Ni-[n(t)/2]. Этот критерий показывает как снижается надежность во времени, т.е. какое число элементов откажет после некоторого времени работы. Для абсолютного большинства приборов, машин, механизмов и систем этот график имеет следующий вид: Область 1 характеризуется повышенной и постоянно снижающейся интенсивностью отказов. Отказы в этом интервале в основном происходят из-за грубых дефектов производства, а сам участок носит название участка приработки. Участок 2- участок нормальной эксплуатации, характеризуется тем, что на этом участке интенсивность постоянна, длительность его тысячи и десятки тысяч часов. Участок 3- наблюдается увеличение интенсивности отказов, которая связана со старением и износом элементов. Момент времени t2 может служить тем моментом, когда аппаратуру необходимо снимать с эксплуатации. l- характеристика является одной из важнейших и значение ее приводится в справочниках и учебниках по надежности (для нормального периода эксплуатации).

Интенсивность отказов для восстанавливаемых систем. Для этих систем под интенсивностью отказа системы понимают количество отказов в единицу времени. При этом после каждого отказа система восстанавливается, а отказавшие элементы заменяются новыми L(t)=1/mS[n(Dt)/Dt]( сумма от1 до m), где m- число интервалов наблюдения; n(Dt)- число элементов отказавших за Dt. Так как отказы любой системы слагаются из отказов входящих в нею элементов то при l(t)=const интенсивность отказов системы L(t) может быть определена: L(t)=Sfсрi(Dt)( сумма от i=1 до к), где к- число групп элементов с различной средней частотой отказов, т.е. интенсивность отказов равна сумме средних частот отказов всех элементов.



infopedia.su

Вероятность безотказной работы. — Мегаобучалка

Под вероятностью безотказной работы понимается вероятность того, что в заданном интервале времени или в пределах заданной наработки отказ не возникает.

Математически этот показатель можно определить как вероятность того, что время Т безотказной работы, являющегося случайной величиной, будет больше некоторого заданного времениt, т.е.

P*( t )=P{Т>t}

Согласно определению вероятность безотказной работы подсчитывается по формуле:

,

где : N0 – число образцов аппаратуры в начале испытаний;

n(t) –число отказавших образцов за время t.

На практике пользуются приближенной зависимостью:

.

Точность определения Р* (t) зависит от числа N0. Функция вероятности безотказной работы Р (t) является не возрастающей функцией времени и обладав следующими очевидными свойствами:

а) 0 < Р (t)< 1;

б) Р (0) = 1;

в) Р (¥) = 0.

График зависимости P(t) от времени представлен на рис. 2.1.

Рис. 2.1

На практике часто приходится пользоваться понятием вероятности отказа

Q* (t), т.е. события, противоположного событию безотказной работы.

Из определения Q* (t)= P*{T < t}=l — P (t) очевидно, что Р* (t) + Q* (t)= 1- как сумма противоположных событий. Вероятность безотказной работы является основным количественным показателем надежности, так как наиболее полно охватывает все многообразие факторов, влияющих на надежность. Чем больше P(t), тем выше ее надежность

Частота отказов

Частота отказов — число отказов в единицу времени, отнесенное к первоначальному числу элементов.

Прежде всего, определим статистически частоту отказов f * (t), которая имеет важное теоретическое значение, так как применяется в расчетах для связи с другими основными показателями надежности. В математическом смысле f * (t) есть безусловная плотность распределения наработки до отказа.

Из статистических данных, полученных в результате испытаний или опытной эксплуатации, частота отказов определяется по формуле:

,

где n(t) — число отказавших изделий в рассматриваемый интервал времени Dt, т.е.

в период от до ;

N0 — число изделии, первоначально взятых на испытание (поставленных на

эксплуатацию).

Считаем, что изделия при испытании (эксплуатации) не восстанавливаются и

не заменяются новыми.

Типичная кривая изменения частоты отказов изделий в соответствии с

зависимостью f * (t) показана на рис. 2.2. На этой кривой можно отметить три характерных участка.

Первый участок характеризуется большими значениями частоты отказов. Здесь проявляются отказы, обусловленные грубыми ошибками в принципиальной схеме или в конструкции изделия, технологии его изготовления, несоблюдением требований конструкторской и технологической документации, применением некондиционных материалов и элементов, слабым контролем качества изделий на всех этапах производства и ввода техники в эксплуатацию.

К этой группе отказов можно отнести также эксплуатационные отказы, вызванные слабым знанием правил эксплуатации (или отсутствием необходимого опыта). Поэтому первый период называется периодом приработки изделий (элементов).

Второй участок характерен сравнительно постоянным значением частоты отказов и называется периодом нормальной эксплуатации.

На третьем участке частота отказов вначале вновь возрастает за счет наступления старения и износа элементов или устройств, а затем падает до нуля. Этот период называется периодом старения.

Длительность вышерассмотренных участков различна: для первого она составляет величину порядка нескольких десятков, нескольких сотен часов в зависимости от сложности изделия; второй участок самый продолжительный и при расчетах принимается равным 2/3 технического ресурса; третий период зачастую не достигается, так как раньше наступает «моральное старение», при котором данный ТУ списывается.

Рисунок 2.2. Кривая изменения частоты отказов от наработки

Интенсивность отказов

Интенсивность отказов — вероятность отказов невосстанавливаемого изделия в единицу времени после данного момента времени при условии, что до этого момента отказ не возник. Интенсивность отказов определяется числом отказов в единицу времени, отнесенному к среднему числу элементов, исправно работающих в данный отрезок времени, т.е.

,

где — среднее число элементов, продолжающих исправно работать на интервале Dt.

Рисунок 2.3. Зависимость интенсивности отказов от наработки

Число определяют с помощью выражения:

Интенсивность отказов характеризует степень надежности элементов (изделий) в каждый момент времени, поэтому является более полной и качественной характеристикой надежности.

Зависимость l* от t представлена на рисунке 2.3.

Из сравнения данных по f * (t) и l* (t) следует, что l* (t) в начале испытаний (эксплуатации) несколько выше f * (t) , а в конце испытаний существенно отличается от частоты отказов (см. рис. 2.2).

Интенсивность отказов, являясь одним из основных количественных показателей надежности изделий, широко используется для определения других показателей свойств надежности.

megaobuchalka.ru

Оценка вероятности безотказной работы системы по результатам испытаний

Методика оценки результатов испытаний
систем, вероятность безотказной работы
которых подчиняется экспоненциальному
за­кону Р(t) = е—t/T,
может быть двоякой в зависимости от
харак­тера системы.

По результатам испытаний оценивается
величина Т. Как из­вестно из математической
статистики, по результатам испытаний
можно определить доверительный интервал
для Т с некоторой достоверностью
(вероятностью).

Если проведено испытание, в течение
которого система про­работала tnчасов и при этом произошлоnотказов (последний отказ произошел в
моментtn),
то доверительный интервал для Т с
доверительной вероятностью 1 —αопределяется следующим образом:

(3.33)

где x2α/2(2n),x21-α/2(2n)
— значение функцииx2с 2nстепенями свободы дляα/2 и для 1-α/2
соответственно. Значение этой функции
на­ходятno-известным
таблицам [3.1].

Пример 3.2. АСУ испытывалась в течение
140 ч. За это время произошло 10 отказов.
Необходимо по результатам испытаний
оценить среднее время на­работки на
отказ с доверительной вероятностью
0,96=1—α.

По величинам α= 0,04 иn=10
определяемx2α/2(2n)
иx21-α/2(2n).
По таб­лицеx20,02=35,x20,98=9,2. Затем
вычисляем:Tmin= 2*140/35 = 8;Tmах =.2*140/9,2 = 31.

Следовательно, с доверительной
вероятностью 0,96 можно считать, что
истин­ная величина среднего времени
наработки на отказ заключена в пределах
8< Т < 31.

Описанная методика применима для
определения доверитель­ного интервала
для Т по результатам законченного
испытания до отказа. Возникает вопрос
о продолжительности испытаний, так как
для Т .получается не одно значение,
а целый интервал значений. Если левая
доверительная граница доверительного
интервала стала больше Тзад, то испыта­ния
можно прекратить и считать, что система
удовлетворяет заданному требованию.
Наоборот, если получилось, что правая
доверительная граница стала меньше,
то система не будет удовлетворять
поставленным требованиям.

Испытания могут быть прекращены, если
Тmах << Тзад. Если
Тmin<Тзад<Тmaxто нет оснований для принятия того или
иного решения; испытания необходимо
продолжать до тех пор, пока интервал
значений Т = Тmах—Tminне станет меньше некоторого значенияD. ВыборDи
принятие в этом случае реше­ния зависят
от конкретных условий.

Матричный метод расчета надежности

В ряде случаев отказ элемента системы
приводит к изменению режимов работы
других связанных с ним элементов, что
может повлечь за собой изменение
характеристик надежности этих эле­ментов.
Например, пробой конденсатора вызывает
изменение тока в цепях схемы, в результате
чего изменяются коэффициенты на­грузки
элементов, а следовательно, и их
надежность. В подобных случаях желательно
при расчете надежности учитывать
взаимоза­висимость отказов элементов
и перераспределение интенсивностей
отказов за счет изменения режимов
работы, вызванных отказами. Для решения
этой задачи может быть использован
матричный метод анализа и расчета
надежности (см. [4.5]), позволяющий учитывать
последствие отказов.

Сущность метода состоит в том, что для
определения вероят­ности безотказной
работы ВМ от внезапных отказов с учетом
последствия отказов составляется
матрица всевозможных несовме­стимых
событий x1,x2,…,xN,
вычисляются вероятности всех этих
событий, затем суммируются вероятности
благоприятных гипотез, при которых
система находится в работоспособном
состоянии.

В общем случае матрица несовместимых
событий для аппара­туры, состоящей
из N элементов, за период tимеет следующий вид:

В этой матрице хi—
состояниеi-гoэлемента;означает,
чтоiэлемент отказал;H0— гипотеза, заключающаяся в том, что ни
один из элементов не отказал; Нi— гипотеза, заключающаяся в том, чтоi-й элемент отказал; Нα,β— гипотеза отказа двух эле­ментовαиβ, причем вначале
отказывает элементα, а
потомβ.

Так как матрица образует полную группу
несовместимых со­бытий, то их можно
принять за соответствующие гипотезы.
Среди гипотез матрицы есть благоприятные
с точки зрения работоспо­собности
системы и неблагоприятные. Сумма
вероятностей всех гипотез равна единице.

Сумма вероятностей благоприятных
гипотез определяет надеж­ность
системы, т. е. вероятность безотказной
работы за некоторое заданное время

(3.34)

где m— число благоприятных
гипотез.

Наиболее трудоемкой частью расчета
является определение вероятностей
гипотез (состояний), особенно для сложных
устройств.

Вероятность отсутствия отказов элементов
определяется произ­ведением вероятностей
безотказной работы всех элементов:

Вероятности остальных гипотез имеют
более сложные выраже­ния и определяются
через условные вероятности частных
событий. Приведем без вывода формулу
для расчета вероятности отказа элемента
:

где υ≠α,λυα—изменение интенсивности отказовυ-roэлемента
вследствие отказаα-го
элемента.

Таким образом, для выполнения расчета
надежности с помощью данного метода
необходимо знать интенсивности отказов
элемен­тов λпри
нормальных режимах работы устройства
и их измене­ния, вызванные сменой
режимов за счет отказов различных
элементов.

Пример 4.1. Узел аппаратуры состоит из
двух параллельно включенных блоков,
имеющих одинаковую интенсивность
отказов: λ1=λ2=
0,4*10-5. При отказе одного из блоков
узел еще продолжает функционировать,
но коэффициент электрической нагрузки
второго элемента увеличивается,
вследствие чего интен­сивность отказов
возрастает до величиныλ1(2)=λ2(1)= 10-5. Требуется рассчитать
вероятность безотказной работы звена
на этих условиях за время 50000 ч.

Из общего числа состояний узла выбираем
следующие три благоприятные гипотезы:
оба элемента исправны (H0),
отказал 1-й элемент (Н1), отказал
2-й элемент (H2).
Остальные состояния, когда отказали
оба элемента в различной временной
последовательности, соответствуют
неблагоприятным гипотезам (отказ узла).

Вероятность первого состояния

Вероятность второго состояния

Вероятность третьего состояния

Вероятность безотказной работы узла

Если рассчитать надежность узла по
формуле для резервного соединения (без
учета последствия отказа), то вероятность
безотказной работы P(t)=1-(1—е—λt)2=1—(1—е-0,2)2 = =0.967, т. е. получаем
завышенный результат.

Матричный метод расчета надежности не
накладывает никаких ограничений на
структуру и способы соединения. В этом
его достоинство.

studfiles.net

Вероятность безотказной работы — это… Что такое Вероятность безотказной работы?

  • Вероятность безотказной работы — вероятность того, что в пределах заданной наработки не возникает отказ изделия (объекта). Источник: НП 068 05: Трубопроводная арматура для атомных станций. Общие технические требования 3.1.9 вероятность безотказной работы: Вероятность того, что в …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • вероятность безотказной работы — Вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет. [ГОСТ 27.002 89] [ОАО РАО «ЕЭС России» СТО 17330282.27.010.001 2008] Тематики надежность, основные понятия EN reliability functionsurvival function …   Справочник технического переводчика

  • вероятность безотказной работы R ( t 1 , t 2 ) — 89 вероятность безотказной работы R ( t 1 , t 2 ): Вероятность выполнить требуемую функцию при данных условиях в интервале времени (t1, t2). Источник: ГОСТ Р 53480 2009: Надежность в технике. Термины и определения оригинал документа …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • вероятность безотказной работы R(t1, t2) — 89 вероятность безотказной работы R(t1, t2): Вероятность выполнить требуемую функцию при данных условиях в интервале времени (t1, t2). Примечания 1 Обычно предполагают, что в начале интервала времени изделие находится в работоспособном состоянии …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

  • вероятность безотказной работы — negendamumo tikimybė statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tikimybė, kad per numatytą išdirbį objektas nesuges. atitikmenys: angl. reliability probability rus. вероятность безотказной работы, f pranc. probabilité de… …   Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

  • Вероятность безотказной работы — – вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет. ГОСТ 27.002 89 …   Коммерческая электроэнергетика. Словарь-справочник

  • вероятность безотказной работы — вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ не возникнет …   Политехнический терминологический толковый словарь

  • Вероятность безотказной работы — English: Reliability function Вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет (по ГОСТ 27.002 89) Источник: Термины и определения в электроэнергетике. Справочник …   Строительный словарь

  • Вероятность безотказной работы —         показатель надёжности (См. Надёжность) устройства, схемы или отдельного элемента, который оценивает возможность сохранения изделием работоспособности (См. Работоспособность) в определённом интервале времени или при выполнении заданного… …   Большая советская энциклопедия

  • Вероятность безотказной работы системы — [Р] способность системы не допускать отказов, приводящих к падению температуры в отапливаемых помещениях жилых и общественных зданий ниже +12 °С, в промышленных зданиях ниже +8 °С, более числа раз, установленного нормативами. Источник: СНиП 41 02 …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

    • dic.academic.ru

    Источник

    Практика

    1. Расчет показателей безотказности
    1.1 Вероятность безотказной работы
    1.2 Вероятность отказа
    1.3 Частота отказа
    1.4 Интенсивность отказа
    1.5 Средняя наработка до отказа
    1.6 Среднее значение параметра потока отказов
    1.7 Пример расчета показателей безотказности
    2. Примеры расчета показателей надежности для различных законов распределения случайных величин
    2.1 Экспоненциальный закон распределения
    2.2  Закон распределения Вейбулла-Гнеденко
    2.3  Закон распределения Рэлея
    3. Примеры расчета показателей надежности сложных систем
    3.1 Основное соединение элементов
    3.2 Резервное соединение

    1.1 Вероятность безотказной работы

    Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
    Вероятность безотказной работы обозначается как P(l), которая определяется по формуле (1.1):

    где N0 – число элементов в начале испытания; r(l) – число отказов элементов к моменту наработки.Следует отметить, что чем больше величина N0, тем с большей точностью можно рассчитать вероятность P(l).
    В начале эксплуатации исправного локомотива P(0) = 1, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что ни один элемент не откажет, принимает максимальное значение – 1. С ростом пробега l вероятность P(l) будет уменьшаться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность безотказной работы будет стремиться к нулю P(l→∞) = 0. Таким образом в процессе наработки величина вероятности безотказной работы изменяется в пределах от 1 до 0. Характер изменения вероятности безотказной работы в функции пробега показан на рис. 1.1.

    Рис.2.1. График изменения вероятности безотказной работы P(l)в зависимости от наработки

    Основными достоинствами использования данного показателя при расчетах является два фактора: во-первых, вероятность безотказной работы охватывает все факторы, влияющие на надежность элементов, позволяя достаточно просто судить о его надежности, т.к. чем больше величина P(l), тем выше надежность; во-вторых, вероятность безотказной работы может быть использована в расчетах надежности сложных систем, состоящих из более чем одного элемента.

    1.2 Вероятность отказа

    Вероятностью отказа называют вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки произойдет хотя бы один отказ.
    Вероятность отказа обозначается как Q(l), которая определяется по формуле (1.2):

    В начале эксплуатации исправного локомотива Q(0) = 0, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что хотя бы один элемент откажет, принимает минимальное значение – 0. С ростом пробега l вероятность отказа Q(l) будет увеличиваться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность отказа будет стремиться к единице Q(l→∞) = 1. Таким образом в процессе наработки величина вероятности отказа изменяется в пределах от 0 до 1. Характер изменения вероятности отказа в функции пробега показан на рис. 1.2.Вероятность безотказной работы и вероятность отказа являются событиями противоположными и несовместимыми.

    Рис.2.2. График изменения вероятности отказа Q(l) в зависимости от наработки

    1.3 Частота отказов

    Частота отказов – это отношение числа элементов в единицу времени или пробега отнесенного к первоначальному числу испытуемых элементов. Другими словами частота отказов является показателем, характеризующим скорость изменения вероятности отказов и вероятности безотказной работы по мере роста длительности работы.
    Частота отказов обозначается как  и определяется по формуле (1.3):

    где  –  количество отказавших элементов за промежуток пробега . 
    Данный показатель позволяет судить по его величине о числе элементов, которые откажут на каком-то промежутке времени или пробега, также по его величине можно рассчитать количество требуемых запасных частей.
    Характер изменения частоты отказов в функции пробега показан на рис. 1.3.


    Рис. 1.3. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки

    1.4 Интенсивность отказов

    Интенсивность отказов представляет собой условную плотность возникновения отказа объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказ не возник. Иначе интенсивность отказов – это отношение числа отказавших элементов в единицу времени или пробега к числу исправно работающих элементов в данный отрезок времени.
    Интенсивность отказов обозначается как  и определяется по формуле (1.4):

    где 

    Как правило, интенсивность отказов является неубывающей функцией времени. Интенсивность отказов обычно применяется для оценки склонности к отказам в различные моменты работы объектов.
    На рис. 1.4. представлен теоретический характер изменения интенсивности отказов в функции пробега.

    Рис. 1.4. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки

    На графике изменения интенсивности отказов, изображенном на рис. 1.4. можно выделить три основных этапа отражающих процесс экс-плуатации элемента или объекта в целом.
    Первый этап, который также называется этапом приработки, характеризуется увеличением интенсивности отказов в начальный период эксплуатации. Причиной роста интенсивности отказов на данном этапе являются скрытые дефекты производственного характера.
    Второй этап, или период нормальной работы, характеризуется стремлением интенсивности отказов к постоянному значению. В течение этого периода могут возникать случайные отказы, в связи с появлением внезапной концентрации нагрузки, превышающей предел прочности элемента.
    Третий этап, так называемый период форсированного старения. Характеризуется возникновением износовых отказов. Дальнейшая эксплуатация элемента без его замены становится экономически не рациональной.

    1.5 Средняя наработка до отказа

    Средняя наработка до отказа – это средний пробег безотказной работы элемента до отказа. 
    Средняя наработка до отказа обозначается как L1 и определяется по формуле (1.5):

     

    где li – наработка до отказа элемента; ri – число отказов.
    Средняя наработка до отказа может быть использована для предварительного определения сроков ремонта или замены элемента.

    1.6 Среднее значение параметра потока отказов

    Среднее значение параметра потока отказов характеризует среднюю плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени.
    Среднее значение параметра потока отказов обозначается как Wср и определяется по формуле (1.6):

    1.7 Пример расчета показателей безотказности

    Исходные данные.
    В течение пробега от 0 до 600 тыс. км., в локомотивном депо произведен сбор информации по отказам ТЭД. При этом количество исправных ТЭД в начале периода эксплуатации составляло N0 = 180 шт. Суммарное количество отказавших ТЭД за анализируемый период составило ∑r(600000) = 60. Интервал пробега   принять равным 100 тыс. км. При этом количество отказавших ТЭД по каждому участку составило: 2, 12, 16, 10, 14, 6.

    Требуется.
    Необходимо рассчитать показатели безотказности и построить их зависимости изменения во времени.

    Сначала необходимо заполнить таблицу исходных данных так, как это показано в табл. 1.1.

    Таблица 1.1.

    Исходные данные к расчету

    , тыс. км 0 — 100 100 — 200 200 — 300 300 — 400 400 — 500 500 — 600
    2 12 16 10 14 6
    2 14 30 40 54 60

     Первоначально по уравнению (1.1) определим для каждого участка пробега величину вероятности безотказной работы. Так, для участка от 0 до 100 и от 100 до 200 тыс. км. пробега вероятность безотказной работы составит:

    Далее, используя зависимость (1.2) произведем расчет вероятности отказа ТЭД.

    Произведем расчет частоты отказов по уравнению (1.3).

    Далее по уравнению (1.4) произведем расчет интенсивности отказов ТЭД в зависимости от наработки.
    Первоначально рассчитаем среднее количество работоспособных ТЭД на участке от 0 до 100 тыс. км. пробега:

    Тогда интенсивность отказов на участке 0-100 тыс.км. будет равна:

    Аналогичным образом определим величину интенсивности отказов для интервала 100-200 тыс. км.

    По уравнениям (1.5 и 1.6) определим среднюю наработку до отказа и среднее значение параметра потока отказов.

    Систематизируем полученные результаты расчета и представим их в виде таблицы (табл. 1.2.).

    Таблица 1.2.

    Результаты расчета показателей безотказности

    , тыс.км. 0 — 100 100 — 200 200 — 300 300 — 400 400 — 500 500 — 600
    2 12 16 10 14 6
    2 14 30 40 54 60
    P(l) 0,989 0,922 0,833 0,778 0,7 0,667
    Q(l) 0,011 0,078 0,167 0,222 0,3 0,333
    10-7, 1/км 1,111 6,667 8,889 5,556 7,778 3,333
    10-7, 1/км 1,117 6,977 10,127 6,897 10,526 4,878

     Приведем характер изменения вероятности безотказной работы ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.5.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности безотказной работы примет максимальное значение – 1. 

    Рис. 1.5. График изменения вероятности безотказной работы в зависимости от наработки

    Приведем характер изменения вероятности отказа ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.6.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности отказа примет минимальное значение – 0. 

    Рис. 1.6. График изменения вероятности отказа в зависимости от наработки

    Приведем характер изменения частоты отказов ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.7.).

    Рис. 1.7. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
     

    На рис. 1.8. представлена зависимость изменения интенсивности отказов от наработки.

    Рис. 1.8. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки

    2.1 Экспоненциальный закон распределения случайных величин

    Экспоненциальный закон достаточно точно описывает надежность узлов при внезапных отказах, имеющих случайный характер. Попытки применить его для других типов и случаев отказов, особенно постепенных, вызванных износом и изменением физико-химических свойств элементов показали его недостаточную приемлемость.

     
    Исходные данные.
    В результате испытания десяти топливных насосов высокого давления получены наработки их до отказа: 400, 440, 500, 600, 670, 700, 800, 1200, 1600, 1800 ч. Предполагая, что наработка до отказа топливных насосов подчиняется экспоненциальному закону распределения.

     
    Требуется.
    Оценить величину интенсивности отказов  , а также рассчитать вероятность безотказной работы за первые 500 ч. и вероятность отказа в промежутке времени между 800 и 900 ч. работы дизеля.

    Во-первых, определим величину средней наработки топливных насосов до отказа по уравнению:

    Затем рассчитываем величину интенсивности отказов:

    Величина вероятности безотказной работы топливных насосов при наработке 500 ч составит:

    Вероятность отказа в промежутке между 800 и 900 ч. работы насосов составит:

    2.2 Закон распределения Вэйбулла-Гнеденко

    Закон распределения Вейбулла-Гнеденко получил широкое распространение и используется применительно к системам, состоящим из рядов элементов, соединенных последовательно с точки зрения обеспечения безотказности системы. Например, системы, обслуживающие дизель-генераторную установку: смазки, охлаждения, питания топливом, воздухом и т.д.

    Исходные данные.
    Время простоя тепловозов в неплановых ремонтах по вине вспомогательного оборудования подчиняется закону распределения Вейбулла-Гнеденко с параметрами b=2 и a=46.

     
    Требуется.
    Необходимо определить вероятность выхода тепловозов из неплановых ремонтов после 24 ч. простоя и время простоя, в течение которого работоспособность будет восстановлена с вероятностью 0,95.

    Найдем вероятность восстановления работоспособности локомотива после простоя его в депо в течение суток по уравнению:

    Для определения времени восстановления работоспособности локомотива с заданной величиной доверительной вероятности также используем выражение:

    2.3 Закон распределения Рэлея

    Закон распределения Рэлея используется в основном для анализа работы элементов, имеющих ярко выраженный эффект старения (элементы электрооборудования, различного рода уплотнения, шайбы, прокладки, изготовленные из резиновых или синтетических материалов). 

     
    Исходные данные.
    Известно, что наработки контакторов до отказа по параметрам старения изоляции катушек можно описать функцией распределения Рэлея с параметром S = 260 тыс.км.

    Требуется.
    Для величины наработки 120 тыс.км. необходимо определить вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднюю наработку до первого отказа катушки электромагнитного контактора. 

    3.1 Основное соединение элементов

    Система, состоящая из нескольких независимых элементов, связанных функционально таким образом, что отказ любого из них вызывает отказ системы, отображается расчетной структурной схемой безотказной работы с последовательно соединенными событиями безотказной работы элементов.

    Исходные данные.
    Нерезервированная система состоит из 5 элементов. Интенсивности их отказов соответственно равны 0,00007; 0,00005; 0,00004; 0,00006; 0,00004 ч-1

     
    Требуется.
    Необходимо определить показатели надежности системы: интенсивность отказов, среднее время наработки до отказа, вероятность безотказной работы, частота отказов. Показатели надежности P(l) и  a(l) получить в интервале от 0 до 1000 часов с шагом в 100 часов.

    Вычислим интенсивность отказа и среднюю наработку до отказа по следующим уравнениям:


     

    Значения вероятности безотказной работы и частоты отказов получим, используя уравнения приведенные к виду:

    Результаты расчета P(l) и a(l) на интервале от 0 до 1000 часов работы представим в виде табл. 3.1.

    Таблица 3.1.

    Результаты расчета вероятности безотказной работы и частоты отказов системы на интервале времени от 0 до 1000 ч.

    l, час P(l) a(l), час-1
    0 1 0,00026
    100 0,974355 0,000253
    200 0,949329 0,000247
    300 0,924964 0,00024
    400 0,901225 0,000234 
    500 0,878095  0,000228
    600 0,855559  0,000222
    700 0,833601  0,000217
    800 0,812207  0,000211
    900 0,791362  0,000206
    1000 0,771052  0,0002

    Графическая иллюстрация P(l) и a(l) на участке до средней наработки до отказа представлена на рис. 3.1, 3.2. 

    Рис. 3.1. Вероятность безотказной работы системы.

    Рис. 3.2. Частота отказов системы.

    3.2 Резервное соединение элементов

    Исходные данные.
    На рис. 3.3 и 3.4 показаны две структурные схемы соединения элементов: общего (рис. 3.3) и поэлементного резервирования (рис. 3.4). Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны P1(l) = P ’1(l) = 0,95; P2(l) = P’2(l) = 0,9; P3(l) = P ’3(l) = 0,85. 

    Требуется.
    Необходимо рассчитать надежность двух систем. 

    Рис. 3.3. Схема системы с общим резервированием.

    Рис. 3.4. Схема системы с поэлементным резервированием.

    Вероятность безотказной работы блока из трех элементов без резервирования рассчитаем по выражению:

    Вероятность безотказной работы той же системы при общем резервировании (рис. 3.3) составит:

    Вероятности безотказной работы каждого из трех блоков при поэлементном резервировании (рис. 3.4) будут равны:

    Вероятность безотказной работы системы при поэлементном резервировании составит:

    Таким образом, поэлементное резервирование дает более существенное увеличение надежности (вероятность безотказной работы возросла с 0,925 до 0,965, т.е. на 4%).

    Исходные данные.
    На рис. 3.5 представлена система с комбинированным соединением элементов. При этом вероятности безотказной работы элементов имеют следующие значения: P1=0,8; Р2=0,9; Р3=0,95; Р4=0,97.

    Требуется.
    Необходимо определить надежность системы. Также необходимо определить надежность этой же системы при условии, что резервные элементы отсутствуют. 

    Рис.3.5. Схема системы при комбинированном функционировании элементов.

    Для расчета в исходной системе необходимо выделить основные блоки. В представленной системе их три (рис. 3.6). Далее рассчитаем надежность каждого блока в отдельности, а затем найдем надежность всей системы.

    Рис. 3.6. Сблокированная схема.

    Надежность системы без резервирования составит:

    Таким образом, система без резервирования является на 28% менее надежной, чем система с резервированием.

    Источник

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Водитель трейлера проехал за световой день 884 км вместо 850 км намеченных первоначально
  • Вправе ли по гражданскому законодательству компания перевести долг на другую организацию
  • Время потраченное на работу после обычного времени необходимого или ожидаемого на работе
  • Время проведения шумных работ в многоквартирном доме в московской области в выходные дни
  • Всадник двигаясь со скоростью 12 км в час проехал 36 км сколько времени затратил всадник