Вероятность безотказной работы изделия в течение 1000 часов

Вероятность безотказной работы изделия в течение t=1000 час. Р(1000)=0,95. Время исправной работы подчинено закону Релея. Требуется определить количественные характеристики надежности λ(t), q(t), f(t), mt.

1) Найдем параметр, ϭt
σt=-2×t2ln⁡(p)=6244,3 ч.
2) Найдем частоту отказов, f
f1000=t×P(1000)σt2=1000×0,956244,32=2,44×10-5 1/ч.
3) Найдем интенсивность отказов, λ
λ1000=tσt2=10006244,32=2,56×10-5 1/ч.
4) Найдем среднее время безотказной работы элемента, mt.
mt=σt×π2=6244,3×3,142=7824,1 ч.
5) Найдем вероятность отказа, Q(t)
Q1000=1-P(1000)=0,05 .

С этим файлом связано 11 файл(ов). Среди них: Яицкая Отчёт..docx, documents_prik111_2022.shtml.pdf, fff.docx, Лабораторная работа № 4.docx, Лабораторная работа Кривко_Сурин.docx, манин.docx, Лаба Кривко_Сурин.docx, ПР№4 (2).doc, лабораторка 0.docx, Письмо-запрос.docx, Саши (1).docx и ещё 1 файл(а).
Показать все связанные файлы

Подборка по базе: ильдар отчет.docx, Отчет по работе.docx, Вывод отчета на печать — Антиплагиат.pdf, Статья. Основные направления деятельности классного руководителя, 1111 мой отчет.docx, Финансовая отчетность по МСФО за 2020 год.pdf, Отчёт о работе библиотеки за 2021-2022уч г.docx, Тема 1. Общие сведения о работе личного состава ГДЗС в изолирующ, Отчет по лабораторной работе. МЕХАНИКА. 4.docx, Типовой план проведения занятий с машинистами имеющими стаж в ра

В ОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ – АНОО ВО

Специальность/Направление

09.03.01 Информатика и вычислительная техника

шифр название

Отчет по лабораторной работе №2

вид работы (Курсовая работа, эссе, реферат, доклад и т.д.)

по дисциплине Надежность автоматизированных систем

Расчет показателей надежности резервированных не восстанавливаемых систем
Выполнил: студентка группы ИВТ-202

название группы

Рязанова Алина Альбертовна

ФИО студента

Форма обучения ____

очная_____

(очная, заочная)

Руководитель:

Куралесин Вячеслав Викторович

ФИО руководителя
Воронеж 2022

Цель работы: рассчитать показатели надежности резервированных не восстанавливаемых систем.
Решение задач:

Задача 2.6. Вероятность безотказной работы автоматической линии изготовления цилиндров автомобильного двигателя в течении 120 час равна 0.9. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется рассчитать интенсивность отказов и частоту отказов линии для момента времени t =120 час., а также среднее время безотказной работы.

Решение:

Если P = 0,9; t = 120, то

P(t) = e^-λ*t

P(120) = e^-λ*120

λ = 8,8*10^-4 1/час

f(t) = λ(t)*P(t)

f(t) = 8,8*10^-4*0,9=7,92*10^-4

m_t = = = 1136 час.

Задача 2.7. Среднее время безотказной работы автоматической системы управления равно 640 час. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение 120 час., частоту отказов для момента времени t=120 час и интенсивность отказов.

Решение:

Если m(t) = 640 час, t = 120 час, то

m_t =

λ = = 1,56 *10^-3 1/час.

P(t) = e^-λ*t

P(120)= = 0,83

f(120) = λ(120)*P(120)

f(120) = 1,56*10^-3*0,83 = 1,29*10^-3 1/час

Задача 2.8. Время работы изделия подчинено нормальному закону с параметрами m_t = 8000 час., _t =1000 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t), q(t), f(t), m_t для t=8000 час.

Решение:

Воспользуемся формулами

для p(t), q(t), f(t), m_t.

1. Вычислим вероятность безотказной работы:

1. Определим частоту отказа f(t):

Введем обозначение

Тогда

1. Рассчитаем интенсивность отказов q(t):

1/час

1. Среднее время безотказной работы элемента:

Задача 2.9. Время безотказной работы прибора подчинено закону Релея с параметром t= 1860 час. Требуется вычислить Р(t), f(t), (t) для t = 1000 час и среднее время безотказной работы прибора.

Решение:

),

,

;

;

;

;

;

Задача 2.10. Время исправной работы скоростных шарикоподшипников подчинено закону Вейбулла с параметрами к=2,6 ; а= 1,65*10^-7 1/час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности p(t), q(t), f(t), m_t для t=150 час. и среднее время безотказной работы шарикоподшипников.

Решение:

𝑝(𝑡) = 𝑒^{−𝑎𝑡𝑘},

q(𝑡) = 1 − 𝑒^{−𝑎𝑡𝑘},

𝑓(𝑡) = 𝑎𝑘𝑡^𝑘-1 * p(t);

𝑚(𝑡) = ;

;

;

;

;

𝑚(𝑡) = ;

Задача 2.11. Вероятность безотказной работы изделия в течение t=1000 час. Р(1000)=0,95. Время исправной работы подчинено закону Релея. Требуется определить количественные характеристики надежности p(t), q(t), f(t), m_t.

Решение:

;

;

;

= 3122,16 ч;

;

;

;

Задача 2.12. Среднее время исправной работы изделия равно 1260 час. Время исправной работы подчинено закону Релея. Необходимо найти его количественные характеристики надежности p(t), q(t), f(t), m_t для t=1000 час.

Решение:

;

;

;

;

Задача 2.13. В результате анализа данных об отказах изделия установлено, что частота отказов имеет вид f(t)=2e^-t (1-e^-t ) . Необходимо найти количественные характеристики надежности p(t), q(t), f(t), m_t.

Решение:

;

;

;

Задача 2.14. В результате анализа данных об отказах изделий установлено, что вероятность безотказной работы выражается формулой P(t)=3e^-t-3e^-2t+e^-3t. Требуется найти количественные характеристики надежности p(t), q(t), f(t), m_t.

Решение:

;

;

;

;

Задача 2.15. Определить вероятность безотказной работы и интенсивность отказов прибора при t = 1300 часов работы, если при испытаниях получено значение среднего времени безотказной работы mt=1500 час. и среднее квадратическое отклонение σ_t= 100 час.

Решение:

Дано:

t = 1300; m_t = 1500 час; σ_t = 100 час;

P-?; λ-?

По эксп. Закону:

;

= =

По нормальному закону:

;

Вывод: в ходе выполнения лабораторной работы мы рассчитали показатели надежности резервированных не восстанавливаемых систем.

Расчет показателей надежности с помощью методов теории вероятности

При
анализе и расчете показателей надежности
математическим методом необходимо
знать функцию распределения и функцию
плотности распределения вероятности
оцениваемого параметра. На практике
используются типовые законы распределения
случайной величины, к которым весьма
близки реальные распределения показателей
надежности во времени.

Нормальное
распределение.Является основным
в математической статистике. Оно
образуется, когда на случайную величину
действует большое количество факторов.
В теории надежности нормальным
распределением описывают наработки
на отказ объектов вследствие их износа
и старения.

Нормальный
закон распределения характеризуется
двумя статистическими параметрами:
математическим ожиданием µ и стандартным
отклонением σ. Для оценки математического
ожидания можно использовать среднее
арифметическое значение случайной
величины. Статистические параметры
нормального распределения

,

где
— среднее арифметическое значение
параметра (временной параметр),t_i– выборочные значения случайной величины

,

σ – стандартное отклонение случайной
величины,

D(t) — дисперсия случайной величины.

Характер
нормального распределения определяется
функциями распределения и вероятности
плотности случайной величины. Функция
распределения случайной величины при
нормальном законе распределения
(рассматриваем временной параметр,
поскольку показатели надежности являются
временными характеристиками)

,

плотность вероятности нормального
закона распределения

.

С помощью нормального распределения
можно описать вероятность отказа объекта
вследствие его старения или износа Q
(t) = F(t) в
зависимости от наработки объекта t.
Вероятность безотказной работы в этом
случае

.

ЗависимостьP(t) называют
также кривой (функцией) убыли ресурсов.

На рис.
14 a) показаны графики
функции нормального распределения и
соответствующей ей кривой убыли ресурсов.
Математическому ожиданию μ соответствует
уровень вероятности 0,5.

Общий
вид графика плотности вероятности при
нормальном распределении показан на
рис. 14 b). В границах ±
3относительно
среднего значения укладывается 99,73 %
значений случайной величины. Эти границы
часто используются для оценки пределов
изменения значений случайной величины
при нормальном ее распределении.

Для
выполнения расчетов с использованием
нормального распределения применяют
нормированное нормальное распределение
(табулированную функцию Лапласа для
вероятности попадания нормированной
нормальной величины Х в интервал
(0, x):

,

где
— квантиль нормированного нормального
распределения.

На
рис. 15 показан график нормированного
нормального распределения. В таблицах
приводятся значения Ф(х) для положительных
квантили х. Для отрицательных значений
квантили вероятность равна

.

Нормированное
нормальное распределение удобно
использовать при расчетах как вероятности
случайной величины, так и для расчета
значения случайной величины по ее
вероятности.

Для
вычисления вероятности
попадания
случайной величиныtв
интервал t1 ÷ t2 c использованием функции
Лапласа необходимо найти

.

Если
необходимо решить обратную задачу:
определить наработку, соответствующую
заданной вероятности безотказной
работы, то используют квантили нормального
распределения

,

где x- квантиль нормированного
нормального распределения, которая
зависит от требуемой вероятности и
приводится в таблицах.

Нормальному
распределению подчиняется наработка
на отказ многих восстанавливаемых и
невосстанавливаемых объектов.

Пример
1.Наработка объекта до отказа
имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием μ = 1000 час и
стандартным отклонением σ = 200 час.
Определить вероятность безотказной
работы объекта в течение 400 час.

Решение:

Вероятность
безотказной работы может быть вычислена
через функцию распределения

.

Для
расчета используем табулированное
нормированное нормальное распределение
Ф(х). Определим квантиль распределения

,

Для
отрицательного значения квантили
.
Вероятность безотказной работы равна

.

Вычисляем значение вероятности, используя
табулированную функцию Ф(х)

.

Вероятность
безотказной работы объекта в течение
400 час составляет 99,865%.

Пример
2. Определить вероятность
безотказной работы подшипника качения
в течение 1500 час, если его ресурс по
износу подчиняется нормальному закону
распределения с математическим ожиданием
3500 час и стандартным отклонением 1000
час.

Решение:

Вычисляем
квантиль нормированного нормального
распределения

.

Вероятность
безотказной работы

.

Вероятность
безотказной работы подшипника в течение
1500 час составляет 97,72%.

Пример
3. Наработка объекта до отказа
подчиняется нормальному закону
распределения с параметрами µ = 1000 час
и σ = 200 час. Определить гамма-процентный
ресурс объекта при вероятности 90%.

Решение:

Определим
вероятность отказа
По таблице нормированного нормального
распределения находим квантиль,
соответствующую вероятности 0,1: х =
-1,281. Используем выражение для значения
случайной величины

,
следовательно,
90% ресурс изделия равенчас.

Экспоненциальное
распределение.Этот закон описывает надежность работы
изделия в период его нормальной
эксплуатации, когда постепенные отказы
вследствие износа и старения еще не
проявляются и надежность характеризуется
внезапными отказами. Эти отказы вызываются
неблагоприятным сочетанием различных
факторов и имеют постоянную интенсивность. Экспоненциальное
распределение часто называют основным
законом надежности. Экспоненциальное
распределение наиболее применимо для
оценки безотказности объектов в период
после приработки и до проявления
постепенных отказов. Этот закон
используется также при решении задач
об обслуживании сложных систем.

Экспоненциальное
распределение имеет только один параметр
λ и является частным случаем распределения
Вейбулла и гамма — распределения. Функция
распределения случайной величины при
экспоненциальном законе распределения

,

плотность вероятности экспоненциального
распределения

,

Функция
распределения описывает вероятность
возникновения отказов объекта. Вероятность
безотказной работы может быть определена
как

,

где - интенсивность
отказов. Приможно
принять

.

Экспоненциальное
распределение иллюстрируется графиками
функции распределения F(t)
и вероятности безотказной работыP(t),
показанными на рис. 16. Это распределение
справедливо для положительных значений
случайной величины.

Графики
плотности вероятности случайной величины
при экспоненциальном распределении
приведены на рис. 17. График 1 построен
для параметра λ = 0,0015, а график 2 – для λ
= 0,001. Начальное значение на графике
равно λ.

Математическое
ожидание и среднее квадратическое
отклонение для экспоненциального закона
равны между собой

,.

Равенствоявляется существенным признаком для
отнесения экспериментального распределения
к теоретическому экспоненциальному
распределению.

Рассмотрим
примеры использования закона
экспоненциального распределения для
расчетов надежности.

Пример
1. Наработка на отказ сложной
технической системы подчиняется
экспоненциальному закону распределения
с параметром λ = 15*10^-5час^-1.
Определить вероятность безотказной
работы системы в течение 100 час и найти
среднее значение наработки на отказ.

Решение:

Определим вероятность безотказной
работы при наработке Tчерез функцию распределения
экспоненциального закона

,

после подстановки конкретных значений
получим

.
Следовательно,
вероятность наработки 100 час составляет
98,5 %. Среднее значение наработки может
быть определено через параметр
распределения λ

час.

Пример
2. Интенсивность отказов
электрического элемента равна λ=10^-61/час. Отказы подчиняются экспоненциальному
закону распределения случайной величины.
Найти вероятность безотказной работы
элемента в течение 10000 час.

Решение:

Используем
формулу для вероятности безотказной
работы при экспоненциальном распределении

,
следовательно,
вероятность безотказной работы элементаP(10000) = 99 %.

Распределение
Вейбулла.Вейбулл описал с его
помощью разброс усталостной прочности
стали, предела ее упругости, размер
частиц копоти и др. Это распределение
применяют также при описании надежности
сложных технических систем.

Распределение
Вейбулла является двухпараметрическим
универсальным законом, так как при
изменении параметров оно в пределе
может описывать нормальное распределение,
логарифмически нормальное распределение,
экспоненциальное и др. Распределение
Вейбулла характеризуется параметром
масштаба λ и параметром формы α.

Функция
распределения для закона Вейбулла имеет
вид

,

функция надежности

,

где - параметр формы
кривой распределения,- параметр масштаба.

Плотность
вероятности распределения Вейбулла
выражается зависимостью

.

Если
для закона Вейбулла принят α = 1, то
получим экспоненциальное распределение,
которое является частным случаем
распределения Вейбулла.

Графики
функций распределения F(t)
и вероятности безотказной работыP(t)
показаны на рис. 18. При увеличении
параметра формы α кривая приближается
к нормальному распределению.

Графики
плотности вероятности распределения
Вейбулла приведены на рис. 19. Влияние
параметра формы на вид кривой в этом
случае выражены еще резче. При увеличении
параметра форма кривой от экспоненциальной
зависимости стремится к характерной
для нормального распределения
колоколообразной кривой.

Выбором
параметров масштаба λ и формы α можно
в широких пределах изменять форму
кривой, что позволяет использовать
закон Вейбулла для самых разных случаев
математического описания надежности
многих объектов.

Статистические
параметры распределения Вейбулла
вычисляются через параметры α и λ.
Математическое ожидание для закона
Вейбулла

,
стандартное
отклонение

,

где
— гамма функция параметра α. Для непрерывной
величины гамма-функция

.

Для
вычисления значения гамма-функции Г(n
+ ), где n — целое
число,- дробное
число при 2 ≤n≤ 6 можно
использовать более простую формулу

.

При n 6 значения
Г(n+) можно находить
по формуле

Г(n+1)
= n!

Рассмотрим
пример использования распределения
Вейбулла для расчета надежности.

Пример
1. Определить вероятность
безотказной работы генератора в течение
1000 час, если его наработка на отказ
описывается распределением Вейбулла
с параметрами α = 2 и λ = 6,667*10^-7.

Решение:

Вероятность
безотказной работы равна

.
Следовательно,
вероятность безотказной работы генератора
в течение 1000 час составляет 51,3 %.

Пример
2. Случайная наработка изделия
до отказа распределена по закону Вейбулла
с параметрами,.
Найти вероятность безотказной работы
изделия при заданной наработкечас.

Решение:

Используем
формулу для расчета вероятности
безотказной работы при распределении
Вейбулла

.

Следовательно,
вероятность безотказной работы в течение
300 час составляет 91,39 %.

Пример
3. Для предыдущего примера найти
наработку до отказа при вероятности
безотказной работы 99 %.

Решение:

Используем
уравнение вероятности безотказной
работы

откуда,

следовательно,

час.

Гамма
– распределение.Распределение
характеризуется двумя параметрами: λ
– параметр масштаба и α – параметр
формы. Оно имеет ограничение с одной
стороны (0t). Если параметр
формы кривой- целое
число, то гамма-распределение списывает
время, необходимые для появления событий
(например, отказов) при условии, что они
независимы и появляются с постоянной
интенсивностью.
Это распределение описывает наработку
системы с резервированием, время
восстановления, а также распределение
постепенных отказов вследствие износа.

Кривые
распределения изменяют свою форму в
широких пределах при изменении параметров
λ и α. Функция гамма-распределения

,
F(t) ≡ 0 при t ‹ 0.

Плотность
вероятности гамма-распределения (0,0)

приt≥ 0,приt< 0,
где— гамма-функция.

Вероятность
безотказной работы

=.

Графики
для функций распределенияF(t)
и вероятности безотказной работыP(t)
приведены на рис. 20. Характер зависимостей
изменяется в широких пределах при
изменении параметров распределения.

Графики
для плотности вероятности гамма-распределения
показаны на рис. 21. При 1 характер зависимости
для плотности распределения убывающий.
При= 1 иполучается экспоненциальное распределение,
при3 кривая распределения приближается к
нормальному закону распределения.

Математическое
ожидание и дисперсия для гамма-распределения
соответственно равны

и

.

Пример.
Определить вероятность безотказной
работы изделия в течение 1000 час, если
наработка до отказа этого изделия
подчиняется гамма-распределению с
параметрами α = 4 и λ = 10^-3.

Решение:

Используем
выражение для вероятности безотказной
работы

=.
Для
вычисления выражения можно использовать
таблицы гамма-распределения или
компьютерные программы. Ниже показанMathcad-документ для вычисления
вероятности

В результате вычисления получим P(1000)
= 0,981= 98,1 %.

Распределение
Пуассона.Распределение
используется для дискретных случайных
величин. Описывает появление внезапных
отказов в сложных системах и распределение
времени восстановления, число отказов
однотипного оборудования за определенный
интервал времени и т.п.

Функция
распределения Пуассонадля
целочисленного аргумента m = 0,1,2 …

приt0..

Плотность
вероятности дискретного распределения

,

где
t — фиксированный интервал времени,0. Чем меньше значение, тем ассиметричнее
распределение. Пример графика для
распределения Пуассона показан на рис.
22. График построен для λ = 0,5.

Сумма
вероятностей

.

Математическое
ожидание и дисперсия распределения
Пуассона

,

.