Велосипедисту надо проехать 15 км он выехал на 15 минут позже намеченного срока

Пусть велосипедист должен был ехать со скоростью х км/ч, но фактически он ехал со скоростью (х + 2) км/ч. Расстояние в 15 километров велосипедист должен был проехать за 15/х часов, а фактически он проехал за 15/(х + 2) часа. По условию задачи известно, что велосипедист выехал позже намеченного времени на (15/х — 15/(х + 2)) часа или на 15 минут = 1/4 часа. Составим уравнение и решим его.

15/x — 15/(x + 2) = 1/4;

(15 * 4(x + 2) — 15 * 4x)/(4x(x + 2)) = (x(x + 2))/(4x(x + 2));

О.Д.З. х ≠ 0, x ≠ -2;

15 * 4(x + 2) — 15 * 4x = x(x + 2);

60x + 120 — 60x = x^2 + 2x;

x^2 + 2x — 120 = 0;

D = b^2 — 4ac;

D = 2^2 — 4 * 1 * (-120) = 4 + 480 = 484; √22;

x = (-b ± √D)/(2a);

x1 = (-2 + 22)/2 = 20/2 = 10 (км/ч) — скорость, с которой планировал ехать велосипедист;

х2 = (-2 — 22).2 = -24/2 = -12 — скорость не может быть отрицательной;

x + 2 = 10 + 2 = 12 (км/ч) — скорость, с которой ехал велосипедист.

Ответ. 12 км/ч.

Мы с вами уже научились решать рациональные уравнения.

Напомним, что рациональные уравнения
– это уравнения, у которых левая и правая части являются рациональными
выражениями. Рациональное уравнение, в котором левая или правая части
являются дробными выражениями, называют дробным.

Очень часто решение задач сводится к решению
дробных рациональных уравнений. Решим несколько задач, которые сводятся к
решению таких уравнений.

Задача 1. Числитель дроби на  меньше её знаменателя.
Сумма дроби и обратной ей дроби в  раза больше исходной
дроби. Найти исходную дробь.

Решение:

Обозначим за  – знаменатель дроби. Тогда  – числитель этой дроби. Значит,
исходная дробь имеет вид . Так как по условию
задачи сумма дроби  и обратной ей дроби  в  раза больше исходной
дроби, то можем составить уравнение:

Задача 2. Велосипедисту надо проехать 15 км. Он
выехал на 15 минут позже намеченного срока и, чтобы приехать вовремя, увеличил
скорость на 2 км/ч. С какой скоростью ехал велосипедист?

Решение:

Пусть  (км/ч) – скорость
велосипедиста. Тогда расстояние в  км велосипедист проедет
за  часов. Если бы велосипедист
выехал вовремя, то его скорость была бы равна  км/ч. И тогда расстояние
в  км он проехал бы за  часов. По условию
задачи, велосипедист выехал на  минут позже намеченного
срока, или, что тоже самое, на   часа позже. Составим
уравнение:

Задача 3. Моторная лодка прошла вниз по реке 14 км, а
затем 9 км против течения, затратив на весь путь 5 часов. Найти скорость
течения реки, если скорость моторной лодки в стоячей воде равна 5 км/ч.

Решение:

Пусть  (км/ч) – скорость
течения реки. Тогда расстояние в  км/ч скорость моторной
лодки по течению реки и  км/ч скорость моторной
лодки против течения. Известно, что моторная лодка прошла по течению реки  км, а значит, затратила
на это расстояние  часов. Затем против
течения лодка прошла  км, затратив на это
расстояние  часов. По условию
известно, что на весь путь моторная лодка затратила  часов. Составим уравнение:

Задача 4. Вело эквилибрист, проектируя своё
оборудование для выступления в цирке, рассчитал, что если длину окружности
колеса его одноколёсного велосипеда увеличить на один метр, то на расстоянии
990 м оно сделает на 40 оборотов меньше. Найти длину окружности велосипедного
колеса эквилибриста.

Решение:

Пусть  метров – длина
окружности колеса. Тогда на расстоянии в  метров это колесо делает
 оборотов.                                                                                                                                              
И тогда на расстоянии  метров такое колесо
сделает  оборотов. По условию
задачи известно, что после увеличения длины окружности колеса, оно делает на
расстоянии  метров на   оборотов меньше. Составим
уравнение:

Итоги:

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с задачами,
решение которых предполагает составление и решение дробных рациональных
уравнений, и научились решать такие задачи.

пусть предназначенное время будет х. тогда новое время после опоздания будет х + 0,25 ч. (15 мин = 0.25 ч)

составим и решим уравнение основываясь на то что при делении расстоянии на время получатся скорость и наоборот.

второе значение х не подходит. т.к. время никогда не бывает отрицательным

мы нашли время, теперь найдем скорость 

15:1,25=12 км/ч 

пусть предназначенное время будет х. тогда новое время после опоздания будет х + 0,25 ч. (15 мин = 0.25 ч)

составим и решим уравнение основываясь на то что при делении расстоянии на время получатся скорость и наоборот.

второе значение х не подходит. т.к. время никогда не бывает отрицательным

мы нашли время, теперь найдем скорость 

15:1,25=12 км/ч 

со скоростью на 2 км/ч больше, чем предполагал, и прибыл своевременно на место. С какой скоростью ехал велосипедист?

S=V*t

15 мин.=1/4 ч.

Пусть х км/ч — запланированная скорость велосипедиста. Составим таблицу:

                                по плану                  на самом деле

расстояние, км            15                                15

скорость, км/ч             х                                 х+2

время, ч                   15/х                        15/(х+2) или 15/х-1/4

Составим и решим уравнение:

15/(х+2)=15/х-1/4    |*4х(х+2)

15*4х=15*4(х+2)-х(х+2)

60х=60х+120-х^2-2x

x^2+2x-120=0

x^2+2x-120=0

по теореме Виета:

х1=10, х2=-12 (не подходит, так как скорость не может быть отрицательной)

10+2=12

Ответ: велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч.