В торговую компанию поступают бытовые кондиционеры от трех производителей

Контрольная работа по «Теории вероятностей и математической статистике»

Автор: • Апрель 1, 2018 • Контрольная работа • 2,403 Слов (10 Страниц) • 1,617 Просмотры

Страница 1 из 10

Самарский государственный экономический

университет

Заочный факультет

Асатрян Ольга Оганнесовна[pic 1]

Фамилия, Имя, Отчество студента

Курс 2 Направление / Профиль Управление персоналом [pic 2][pic 3]

Контрольная работа Вариант 1[pic 4]

По дисциплине Теория вероятностей и математическая статистика[pic 5]

Дата получения работы деканатом [pic 6]

Дата сдачи работы на кафедру[pic 7]

Дата рецензирования работы [pic 8]

Дата возвращения работы кафедрой в деканат [pic 9]

Самара, 2017

1. На некоторый пост баллотируются два кандидата: А и В. При
голосовании за кандидата А в урну опущено 18 бюллетеней, а за кандидата В — 12 бюллетеней. Наудачу из урны вынуты 4 бюллетеня. Какова вероятность того, что среди них: а) три за кандидата А; 6) за кандидата А и кандидата В бюллетеней поровну?

Найдем вероятность того, что среди выбранных 4 нет кандидата.
Всего где нет кандидата: 6
[pic 10]
Найдем вероятность того, что среди выбранных 4 один кандидат.
Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 4 из 18:
[pic 11]
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию:
одну среди 12 кандидатов можно выбрать способами, количество которых равно:
[pic 12]
Остальные 3 без кандидата можно выбрать из 6:
[pic 13]
[pic 14]а). Найдем вероятность того, что среди выбранных 4 3 с кандидатами.
[pic 15]
[pic 16]
[pic 17]
[pic 18]

Б) Найдем вероятность того, что их поровну.
[pic 19]
[pic 20]
[pic 21]
[pic 22]

2. Фирмой послана автомашина за различными материалами на три базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе составляет 0,6 ; на второй – 0,8; на третьей – 0,5. Найти вероятность того, что: а) только на одной базе не окажется нужного материала: 6) хотя бы на одной базе окажется нужный материал.

А)

Вероятность того, что на одной базе не окажется нужного материала
P(2) = p1•p2•q3 + p1•q2•p3 + q1•p2•p3 = 0.6 • 0.8 • 0.5 + 0.6 • 0.2 • 0.5 + 0.4 • 0.8 • 0.5 = 0.46

Б)

Вероятность того, что хотя бы на одной базе окажется нужный материал

P(1) = p1•q2•q3 + q1•p2•q3 + q1•q2•p3 = 0.6 • 0.2 • 0.5 + 0.4 • 0.8 • 0.5 + 0.4 • 0.2 • 0.5 = 0.26

3. В торговую компанию поступают бытовые кондиционеры от трех производителей. От второго производителя поступает их в 3 раза больше, чем от третьего, а от третьего в 2 раза меньше, чем от первого. Практика показала, что кондиционеры, поступающие от первого производителя, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока с вероятностью 0,9. от второго — с вероятностью 0,95. от третьего — с вероятностью 0,8. Проданный кондиционер потребовал ремонта в течение гарантийного срока. Какова вероятность того, что он поступил от первого производителя?

P(B)=1-0.91=0.09
Требуется найти вероятности гипотез.
Формула гипотез Байеса (Бейеса):
P(Hi/A)=P(Hi)*P(A/Hi)/P(A)

P(H1/B)=0.1*0.02/0.09=1/45≈0.022
P(H2/B)=0.4*0.12/0.09=8/15≈0.533
P(H3/B)=0.5*0.08/0.09=4/9≈0.444

4. Предполагается, что вес коробки шоколадных конфет определен-ного вида является случайной величиной, описываемой нормальным законом распределения с математическим ожиданием, равным 300 г, и средним квадратическим отклонением 3 г. Найти вероятность того, что вес наудачу взятой коробки конфет данного вида будет: а) отклоняться от математического ожидания не более чем на 1,5 г; 6) в пределах от 298 до 303 г.Pn(m) = Cmnpmqn-m
где Cmn — число сочетаний из n по m.
[pic 23]
Найдем ряд распределения X.
P3(0) = (1-p)n = (1-300)3 = -26730899
P3(1) = np(1-p)n-1 = 3(1-300)3-1 = 80460900
[pic 24]
P3(3) = pn = 3003 = 27000000
Математическое ожидание.
M[X] = np = 3×300 = 900
Дисперсия.
D[X] = npq = 3x300x(1-300) = -269100
Проверим найденные числовые характеристики исходя из закона распределения.

…

Доступно только на Essays.club

Источник

Составитель преподаватель кафедры высшей математики Ищанов Т.Р. Занятие №4. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса.

Теоретический материал

Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий .

Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий . Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

$[P(B_1A)=P(B1)cdot P_{B_1}(A);]$

$[P(B_2A)=P(B_2)cdot P_{B_2}(A);ldots; P(B_nA)=P(B_n)P_{B_n}(A).]$

Подставив правые части этих равенств в соотношение (*), получим формулу полной вероятности

$[P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A)+P(B_2)P_{B_2}(A)+cdots+P(B_n)P_{B_n}(A).]$

Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго—0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) — стандартная.
Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна».
Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие B₁), либо из второго (событие B₂).
Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, .
Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, .
Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, $P_{B_1}(A)= 0,8$ .
Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь $P_{B_2}(A)=0,9$ .
Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь — стандартная, по формуле полной вероятности равна

$[P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A)+P_{B_2}P_{B_2}(A)=0,5cdot 0,8+0,5cdot 0,9=0,85.]$

Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке—10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной.
Решение. Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа».
Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие B₁), либо нестандартная (событие B₂).
Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа,
Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа,
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна $P_{B_1}(A)= 19/21.$
Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна $P_{B_2}(A) = 18/21.$
Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна

$[P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A)+P(B_2)P_{B_2}(A)=frac{9}{10}cdotfrac{19}{21}+frac{1}{10}cdotfrac{18}{21}=0,9.]$

Вероятность гипотез. Формулы Байеса

Пусть событие A может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Поскольку заранее не известно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события A определяется по формуле полной вероятности:

$[P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A)+P(B_2)P_{B_2}(A)+cdots+P(B_n)P_{B_n}(A). quad (*)]$

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что событие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

$[P_{A}(B_1),P_{A}(B_2),cdots,P_{A}(B_n).]$

Найдем сначала условную вероятность $P_{A}(B_1)$ . ПО теореме умножения имеем

$[P(AB_1)=P(A)P_{A}(B_1)=P(B_1)P_{B_1}(A).]$

Отсюда

$[P_{A}(B_1)=frac{P(B_1)P_{B_1}(A)}{P(A)}.]$

Заменив здесь Р (А) по формуле (*), получим

$[P_{A}(B_1)=frac{P(B_1)P_{B_1}(A)}{P(B_1)P_{B_1}(A)+P(B_2)P_{B_2}(A)+cdots+P(B_n)P_{B_n}(A)}]$

Аналогично выводятся формулы, определяющие условные вероятности остальных гипотез, т. е. условная вероятность любой гипотезы может быть вычислена по формуле

$[P_{A}(B_i)=frac{P(B_i)P_{B_i}(A)}{P(B_1)P_{B_1}(A)+P(B_2)P_{B_2}(A)+cdots+P(B_n)P_{B_n}(A)}.]$

Полученные формулы называют формулами Байеса (по имени английского математика, который их вывел; опубликованы в 1764 г.). Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.

Пример. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму — 0,4. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым—0,98. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.
Решение. Обозначим через А событие, состоящее в том, что годная деталь признана стандартной. Можно сделать два предположения:
1)деталь проверил первый контролер (гипотеза );
2)деталь проверил второй контролер (гипотеза ). Искомую вероятность того, что деталь проверил первый контролер, найдем по формуле Байеса:

$[P_{A}(B_1)=frac{P(B_1)P_{B_1}(A)}{P(B_1)P_{B_1}(A)+P(B_2)P_{B_2}(A)}.]$

По условию задачи имеем:
(вероятность того, что деталь попадает к первому контролеру);
(вероятность того, что деталь попадет ко второму контролеру);
$P_{B_1}(A)=0,94$ (вероятность того, что годная деталь будет признана первым контролером стандартной);
$P_{B_2}(A)= 0,98$ (вероятность того, что годная деталь будет признана вторым контролером стандартной).
Искомая вероятность

$[P_A(B_1)=frac{0,6cdot 0,94}{0,6cdot 0,94+0,4cdot 0,98}approx 0,59.]$

Как видно, до испытания вероятность гипотезы равнялась 0,6, после того, как стал известен результат испытания, вероятность этой гипотезы (точнее, условная вероятность) изменилась и стала равной 0,59. Таким образом, использование формулы Байеса позволило переоценить вероятность рассматриваемой гипотезы.

Практический материал.
1. (4) Сборщик получил 3 коробки деталей, изготовленных заводом № 1, и 2 коробки деталей, изготовленных заводом № 2. Вероятность того, что деталь завода № 1 стандартна, равна 0,8, а завода № 2 — 0,9, Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.
Отв. 0,84.
2. (5) В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором—30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем — 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика—стандартная.
Отв. 43/60.
3. (6) В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескоп выдержит гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,85; 0,9; 0,95. Найти вероятность того, что взятый наудачу кинескоп выдержит гарантийный срок службы.
Отв. 0,875.
4. (3) В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника—0,9, для велосипедиста—0,8. и для бегуна—0,75. Найти вероятность того, что спортсмен, выбранный наудачу, выполнит норму.
Отв. 0,86.
5. © В белом ящике 12 красных и 6 синих шаров. В черном – 15 красных и 10 синих шаров. Бросают игральный кубик. Если выпадет количество очков, кратное 3, то наугад берут шар из белого ящика. Если выпадет любое другое количество очков, то наугад берут шар из черного ящика. Какова вероятность появления красного шара?

Показать решение

Решение:
Возможны две гипотезы:
– при бросании кубика выпадет количество очков, кратное 3, т.е. или 3 или 6;
– при бросании кубика выпадет другое количество очков, т.е. 1, 2, 4 или 5.
По классическому определению вероятности гипотез равны:

$[P(H_1) = frac26 = frac13;qquad P(H_2) = frac46 = frac23.]$

Поскольку гипотезы составляют полную группу событий, то должно выполняться равенство

$[P(H_1)+P(H_2)=frac13+frac23=1.]$

Пусть событие А состоит в появлении красного шара. Условные вероятности этого события зависят от того, какая именно гипотеза реализовалась, и составляют соответственно:

$[P_{H_1}(A)=frac{12}{18}=frac23;qquad P_{H_2}(A)=frac{15}{25}=frac35]$

Тогда по формуле полной вероятности вероятность события А будет равна:

$[P(A)=frac13cdotfrac23+frac23cdotfrac35=frac{10+18}{9cdot5}=frac{28}{45}=0,62.]$

6. (7) В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная; во втором 10 ламп, из них 1 нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.
Отв. 13/132.

7. (89 Г) В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).

Показать решение

Решение. Обозначим через А событие – извлечен белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров:

— белых шаров нет,

— один белый шар,

— два белых шара.
Поскольку всего имеется три гипотезы, причем по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т.е. .
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, $P_{B_1 } (A)=1/3$ .
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, $P_{B_2} (A)=2/3$ .
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара $P_{B_3} (A)=3/3=1$ .
Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, находим по формуле полной вероятности:

$[P(A)=P(B_1)P_{B_1}(A)+P(B_2)P_{B_2}(A)+P(B_3)P_{B_3} (A)=frac13cdotfrac13+frac13cdotfrac23+frac13cdot 1=frac23.]$

8. (10) В ящик, содержащий 3 одинаковых детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равновероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.
Отв. 0,625.

9. (6.5.2Л) Для улучшения качества радиосвязи используются два радиоприемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником равна 0,8, и эти события (прием сигнала приемником) независимы. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приемника равна 0,9.

Показать решение

Решение.
Пусть событие А={сигнал будет принят}. Рассмотрим четыре гипотезы:

={первый приемник работает, второй — нет};

={второй работает, первый — нет};

={оба приемника работают};

={оба приемника не работают}.

Событие А может произойти только с одной из этих гипотез. Найдем вероятность этих гипотез, рассматривая следующие события:

={первый приемник работает},

={второй приемник работает}.

Тогда:

$[P(H_1 )=P(C_1cdotbar{C_2})=P(C_1 )cdot P(bar{C_2})=0,9cdot 0,1=0,09;]$

$[P(H_2)=P(bar{C_1}cdot C_2)=P(bar{C_1}cdot P(C_2)=0,1cdot 0,9=0,09;]$

$[P(H_4 )=P(bar{C_1}cdot bar{C_2})=P(bar{C_1} )cdot P(bar{C_2})=0,1cdot 0,1=0,01.]$

Контроль:

$[sum_{i=1}^4 P(H_i )=0,09+0,09+0,81+0,01=1.]$

Условные вероятности $P_{H_i}(A)$ соответственно равны:

$P_{H_1}(A)=0,8;$

$P_{H_2}(A)=0,8;$

$P_{H_3}(A)=0,8+0,8-0,8cdot 0,8=0,96;$

$P_{H_4}(A)=0.$

Теперь по формуле полной вероятности находим искомую вероятность

10. (11) При отклонении от нормального режима работы автомата срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью 0,8, а сигнализатор С-11 срабатывает с вероятностью 1. Вероятности того, что автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11, соответственно равны 0,6 и 0,4. Получен сигнал о разделке автомата. Что вероятнее: автомат снабжен сигнализатором С-1 или С-11?
Отв. Вероятность того, что автомат снабжен сигнализатором С-1, равна 6/11, а С- 11— 5/11

11. (12) Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы курса 4, из второй — 6, из третьей группы — 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Наудачу выбранный студент в итоге соревнования попал в сборную. К какой из групп вероятнее всего принадлежал этот студент?
Отв. Вероятности того, что выбран студент первой, второй, третьей групп, соответственно равны: 18/59, 21/59, 20/59.

12. (1.34К) В торговую фирму поступили телевизоры от трех поставщиков в отношении 1:4:5. Практика показала, что телевизоры, поступающие от 1-го, 2-го и 3-го поставщиков, не потребуют ремонта в течении гарантийного срока соответственно в 98, 88 и 92% случаев.
1) Найти вероятность того, что поступивший в торговую фирму телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.
2) Проданный телевизор потребовал ремонта в течение гарантийного срока. От какого поставщика вероятнее всего поступил этот телевизор?

Показать решение

Решение.
Обозначим события: — телевизор поступил в торговую фирму от i-го поставщика (i=1,2,3);
A – телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока.
По условию

$[P(H_1)=frac{1}{1+4+5}=0,1;qquad P_{H_1} (A)=0,98;]$

$[P(H_2)=frac{4}{1+4+5}=0,4;qquad P_{H_2} (A)=0,88;]$

$[P(H_3)=frac{5}{1+4+5}=0,5;qquad P_{H_3} (A)=0,92.]$

По формуле полной вероятности

Событие телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока:

По условию

$[P_{H_1} (bar{A})=1-0,98=0,02;]$

$[P_{H_2} (bar{A})=1-0,88=0,12;]$

$[P_{H_3} (bar{A})=1-0,92=0,08.]$

По формуле Байеса

$[P_{overline{A}} (H_1)=frac {0,1cdot 0,02}{0,09}=0,022;qquad P_{overline{A}} (H_2)=frac {0,4cdot 0,12}{0,09}=0,533;]$

$[P_{overline{A}} (H_3)=frac {0,5cdot 0,08}{0,09}=0,444.]$

Таким образом, после наступления события вероятность гипотезы H₂ увеличилась с P (H₂)=0,4 до максимальной

$P_{bar{A}}(H_2)=0,533$ ,

а гипотезы H₃ — уменьшилась от максимальной P (H₃)=0,5 до $P_{bar{A}} (H_3 )=0,444$ ; если ранее (до наступления события А) наиболее вероятной была гипотеза H₃, то теперь, в свете новой информации (наступления события А), наиболее вероятна гипотеза H₂ -поступление данного телевизора от 2-го поставщика.

13. (1.35К) Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяют стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,98, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Определить вероятность того, что:
1) взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль;
2) изделие стандартное, если оно: а) прошло упрощенный контроль; б) дважды прошло упрощенный контроль.

Показать решение

Решение.
1). Обозначим события:
— взятое наудачу изделие соответственно стандартное или нестандартное;
— изделие прошло упрощенный контроль.

По условию

$[P(H_1)=0,95,qquad P(H_2)=0,05,qquad P_{H_1}(A)=0,98,qquad P_{H_2}(A)=0,06.]$

Вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль, по формуле полной вероятности:

2. а). Вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, стандартное, по формуле Байеса:

$[P_{A}(H_1)=frac{0,95cdot 0,98}{0,934}=0,997.]$

2. б). Пусть событие — изделие дважды прошло упрощенный контроль. Тогда по теореме умножения вероятностей:

$[P_{H_1}(A^*)=0,98cdot 0,98=0,9604, qquad P_{H_2}(A^*)=0,06cdot 0,06=0,0036.]$

По формуле Байеса

$[P_{A^*}(H_1)=frac{0,95cdot 0,9604}{0,95cdot 0,9604+0,05cdot 0,0036}=0,9998.]$

Так как

$[P_{A^*}(H_2)=1-P_{A^*}(H_1)=1-0,9998=0,0002]$

очень мала, то гипотезу о том, что изделие, дважды прошедшее упрощенный контроль, нестандартное, следует отбросить как практически невозможное событие.

14. (1.36К) Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго – 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит:
а) 1-му стрелку;
б) 2-му стрелку?

Показать решение

Решение.
Обозначим события:

— оба стрелка не попали в мишень;

— оба стрелка попали в мишень;

— 1-й стрелок попал в мишень, 2-й нет;

— 1-й стрелок не попал в мишень, 2-й попал;

— в мишени одна пробоина (одно попадание).

Найдем вероятности гипотез и условные вероятности события для этих гипотез:

$[P(H_1)=0,2cdot 0,6=0,12,qquad P_{H_1}(A)=0;]$

$[P(H_2)=0,8cdot 0,4=0,32,qquad P_{H_2}(A)=0;]$

$[P(H_3)=0,8cdot 0,6=0,48,qquad P_{H_3}(A)=1;]$

$[P(H_4)=0,2cdot 0,4=0,08,qquad P_{H_4}(A)=1.]$

Теперь по формуле Байеса

$[P_{A}(H_3)=frac{0,48cdot 1}{0,12cdot 0+0,32cdot 0+0,48cdot 1+0,08cdot 1}=frac{6}{7}=0,857;]$

$[P_{A}(H_4)=frac{0,08cdot 1}{0,12cdot 0+0,32cdot 0+0,48cdot 1+0,08cdot 1}=frac{1}{7}=0,143,]$

т.е. вероятность того, что попал в цель 1-й стрелок при наличии одной пробоины, в 6 шесть раз выше, чем для второго стрелка.

15. (6.5.8Л) Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3. Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы.

Показать решение

Решение.
Пусть событие А={устройство отказало}. До опыта, т.е. до отказа устройства, можно сделать следующие предположения-гипотезы:

={откажут все три элемента};

={откажут два элемента: 1-й и 2-й, 3-й — не откажет};

={откажут два элемента: 1-й и 3-й, 2-й — не откажет};

={откажут два элемента: 2-й и 3-й, 1-й — не откажет};

={откажет один элемент: 1-й, не откажут 2-й и 3-й};

={откажет один элемент: 2-й, не откажут 1-й и 3-й};

={откажет один элемент: 3-й, не откажут 1-й и 2-й};

={все элементы, будут работать}.

Пользуясь правилом умножения вероятностей для независимых событий, найдем вероятности этих гипотез:

Контроль:

$[sum_{i=0}^7 P(H_i)=0,024+0,056+cdots+0,336=1.]$

Учитывая, что в результате опыта произошло событие А, которое невозможно при гипотезах H₄, H₅, H₆, H₇ и достоверно при гипотезах H₀, H₁, H₂, H₃, найдем условные вероятности событий $P_{H_i}(A)$ :

$[P_{H_0}(A)=1;qquad P_{H_1}(A)=1;]$

$[P_{H_2}(A)=1;qquad P_{H_3}(A)=1;]$

$[P_{H_4}(A)=0;qquad P_{H_5}(A)=0;]$

$[P_{H_6}(A)=0;qquad P_{H_7}(A)=0.]$

Найдем вероятность гипотезы при условии, что событие А произошло по формуле Байеса. Для этого предварительно найдем вероятность события А по формуле:

$[P(A)=sum_{i=0}^7 P(H_i)cdot P_{H_i}(A)=0,024cdot 1+0,056cdot 1+0,096cdot 1+0+0+0+0=0,212.]$

Отсюда

$[P_{A}(H_1)=frac{P(H_1)cdot P_{H_1}(A)}{P(A)}=frac{0,056cdot 1}{0,212}=frac{56}{212}=frac{14}{53}approx 0,264.]$

16.(1.36аК) Компания по страхованию автомобилей разделяет водителей на три класса, которые включают 20%, 50% и 30% водителей соответственно. Вероятности того, что в течение года водитель попадет в аварию, равны 0,01, 0,03 и 0,1 соответственно для каждого класса. Наугад выбранный водитель два года подряд из пяти лет срока страховки попал в аварию. Какова вероятность того, что он относится:
а) к первому классу;
б) к третьему классу?

Показать решение

Решение.
Обозначим события:

— водитель соответственно первого, второго и третьего класса;

— водитель два года подряд из пяти лет срока страховки попадал в аварию.

По условию

Найдем условные вероятности события (учитываем, что из пяти лет водитель три года не попадал в аварию, два года — попадал, причем попадал два года подряд, что дает четыре варианта (по годам 1-2, 2-3, 3-4, 4-5)):

$[P_{H_1}(A)=4cdot 0,01^2cdot 0,99^3=0,00039;]$

$[P_{H_2}(A)=4cdot 0,03^2cdot 0,97^3=0,00329;]$

$[P_{H_3}(A)=4cdot 0,1^2cdot 0,9^3=0,02916.]$

По формуле Байеса:

$[P_{A}(H_1)=frac{0,2cdot 0,00039}{0,2cdot 0,00039+0,5cdot 0,00329+0,3cdot 0,02916}=0,007;]$

$[P_{A}(H_3)=frac{0,3cdot 0,02916}{0,2cdot 0,00039+0,5cdot 0,00329+0,3cdot 0,02916}=0,835,]$

т.е. после наступления события A гипотеза практически невозможна и должна быть отвергнута.

Источник

Номер задачи: Tv-24

Решение: бесплатно

В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й (i=1,2,3) завод поставляет t_i процентов изделий (30%, 30%, 40%). Среди изделий i-го завода n_i процентов первосортных (70%, 70%, 80%). Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленное изделие выпущено j заводом.

Посмотреть другие задачи

Отправить также файл на почту

Заказать / Оценить подобную работу

Отправить также файл на почту

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Дискретная случайная величина — величина, которая в результате испытания может принимать определенные значения с определенной вероятностью, то есть образовывать счетное множество.

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Вероятностное пространство — это тройка (Ω, Σ, Ρ) иногда обрамленная угловыми скобками: ⟨ , ⟩ , где

Ω — это множество объектов, которые называют элементарными событиями, исходами или точками.
Σ — сигма-алгебра подмножеств , называемых случайными событиями;
Ρ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Вероятность достоверного события равна единице.
Вероятность невозможного события равна нулю.
Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

A — встреча с другом состоится, х и у — время прихода. Значит:
0 ≤ х, у ≤ 60.
В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, которые лежат внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы — приглашаем на вводный урок!

Сложение и умножение вероятностей

Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В можно записать так: A ⊂ B.
События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается так: А = В.
Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂. A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n) = 1. Такие события (гипотезы) используют при решении задач на полную вероятность.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

только в одном справочнике;
только в двух справочниках;
во всех трех справочниках.

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий B₁, B₂, . B_n, которые образуют полную группу несовместных событий — вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B₁, B₂, . B_n, вероятности появления которых P(B₁), P(B₂), . P(B_n). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B₁, B₂, . B_n, которые называются гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности: если событие А произошло — это может изменить вероятности гипотез P(B₁), P(B₂), . P(B_n).

По теореме умножения вероятностей:

Аналогично, для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Возможны три гипотезы:
- А1 — на линию огня вызван первый стрелок,
- А2 — на линию огня вызван второй стрелок,
- А3 — на линию огня вызван третий стрелок.
Так как вызов на линию огня любого стрелка равно возможен, то
В результате опыта наблюдалось событие В — после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при наших гипотезах равны:
По формуле Байеса находим вероятность гипотезы А₁ после опыта:

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Бросаем игральный кубик, где вероятности выпадения определенной цифры одинаковы в каждом броске.
Включаем лампы с заранее заданной одинаковой вероятностью выхода из строя каждой.
Лучник повторяет выстрелы по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой.

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, значит:

p = P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) — буквой q

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

np — q ≤ k ≤ np + p, где q=1−p

Так как np−q = np + p−1, то эти границы отличаются на 1. Поэтому k, являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда np целое число (k = np), то есть когда np + p (а отсюда и np — q) нецелое число, либо два значения, когда np — q целое число.

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

По условию дано: n = 730, p = 1/365, g = 364/365
np — g = 366/365
np + p = 731/365
366/365 ≤ m ≤ 731/365
m = 2

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

По условию дано: n = 1000, p = 0,002, λ = np = 2, k = 3.
Искомая вероятность после подстановки в формулу:

P₁₀₀₀(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью p, q = 1 — p (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через P_n(k) вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях.

Кроме того, пусть P_n(k₁;k₂) — вероятность того, что число появлений события А находится между k₁ и k₂.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Читайте также:

Коды ошибок кондиционера honda

Сколько фреона уходит на заправку кондиционера

Что показывает стрелка на бойлере

Какое должно быть давление горячей воды в бойлере

Щит управления водонагревателем щуа 2м

Источник

Закажите у меня новую работу, просто написав мне в чат!

В магазин поступили телевизоры от трех дистрибьюторов в отношении 1:3:6. Телевизоры, поступающие от 1-го дистрибьютора, требуют наладки в 3% случаев, от 2-го и 3-го – соответственно 2% и 1%. Найти вероятность того, что поступивший в магазин телевизор требует наладки.

Основное событие 𝐴 – поступивший в магазин телевизор требует наладки. Гипотезы: 𝐻1 − телевизор поступил от 1-го дистрибьютора; 𝐻2 − телевизор поступил от 2-го дистрибьютора; 𝐻3 − телевизор поступил от 3-го дистрибьютора. Вероятности гипотез (по условию): Условные вероятности (по условию): Вероятность события 𝐴 по формуле полной вероятности равна: Ответ: 𝑃(𝐴) = 0,015

Источник

Найди верный ответ на вопрос ✅ «В торговое предприятие поступают однотипные изделия с трех фирм-производителей: 30% с первой, 50% со второй, 20% с третьей. Среди изделий …» по предмету 📙 Математика, а если ответа нет или никто не дал верного ответа, то воспользуйся поиском и попробуй найти ответ среди похожих вопросов.

Искать другие ответы

Главная » ⭐️ Математика » В торговое предприятие поступают однотипные изделия с трех фирм-производителей: 30% с первой, 50% со второй, 20% с третьей. Среди изделий первой фирмы 80% первосортных, второй — 90%, третья фирма изготавливает 70% первосортных изделий.

Источник

Пример 1.
В торговую фирму поступили телевизоры
от трех поставщиков в отношении 1:4:5.
Практика показала, что телевизоры,
поступающие от первого, второго и
третьего поставщиков, не потребуют
ремонта в течение гарантийного срока
соответственно в 98%, 88% и 92% случаев. 1)
Найти вероятность того, что поступивший
в торговую фирму телевизор не потребует
ремонта в течение гарантийного срока.
2) Известно, что проданный телевизор
потребовал ремонта в течение гарантийного
срока. От какого поставщика вероятнее
всего поступил этот телевизор?

Решение.
1) Обозначим через А_iсобытия,
заключающиеся в том, что телевизор
поступил в торговую фирму от i-го
поставщика (i
= 1,2,3), В
– телевизор не потребует ремонта в
течение гарантийного срока.

Таким образом,
после наступления события

вероятность гипотезы А₂
увеличилась с Р(А₂)
= 0,4 до максимальной

а гипотезы А₃
– уменьшилась от максимальной Р(А₃)
= 0,5 до

если ранее (до наступления события
)
наиболее вероятной была гипотеза А₃,
то теперь, в свете новой информации
(наступление события
)
наиболее вероятна гипотеза А₂
– поступление данного телевизора от
второго поставщика.

Пример 2. Имеются
3 партии деталей по 20 деталей в каждой.
Число стандартных деталей в первой,
второй и третьей партиях равно 20, 15, 10
соответственно. Из наудачу выбранной
партии наугад извлечена деталь,
оказавшаяся стандартной. Деталь
возвращают в партию и вторично из той
же партии наудачу извлекают деталь,
которая также оказывается стандартной.
Что вероятнее: детали извлечены из
второй или третьей партии?

Решение. Обозначим
через В
событие – в каждом из двух испытаний
была извлечена стандартная деталь.

Можно сделать 3
предположения (гипотезы): А₁
– детали извлекались из первой партии;
А₂
– детали извлекались из второй партии;
А₃
– детали извлекались из третьей партии.

Детали извлекались
из наудачу взятой партии, поэтому
вероятности гипотез одинаковы:

Найдем условную
вероятность
,
т.е. вероятность того, что из первой
партии были последовательно извлечены
две стандартные детали. Это событие
достоверно, так как в первой партии все
детали стандартны, поэтому
.

Найдем условную
вероятность
,
т.е. вероятность того, что из второй
партии были последовательно извлечены
две стандартные детали:

Аналогично,
вероятность того, что из третьей партии
были последовательно извлечены две
стандартные детали, будет равна:

Таким образом,
более вероятно то, что обе детали были
извлечены из второй партии.

На фабрике,
изготовляющей болты, первая машина
производит 25%, вторая – 35%, третья – 40%
всех изделий. В их продукции брак
составляет соответственно 5%, 4%, 2%. 1)
Какова вероятность того, что случайно
выбранный из продукции болт оказался
дефектным? 2) Известно, что случайно
выбранный из продукции болт оказался
дефектным. На какой фабрике вероятнее
всего был произведен этот болт?

В цехе работают
20 станков. Из них 10 марки А,
6 марки В
и 4 марки С.
Вероятности того, что качество детали
окажется отличным, для этих станков
соответственно равны: 0,9, 0,8 и 0,7. 1) Какой
процент бракованных деталей выпускает
цех в целом? 2) Известно, что случайно
выбранная деталь оказалась бракованной.
На каком автомате вероятнее всего была
произведена эта деталь?

70% деталей,
поступающих на сборку, изготовлены
автоматом, дающим 2% брака, а остальные
детали автоматом, дающим 5% брака. 1)
Какова вероятность того, что случайно
выбранная деталь оказалась бракованной?
2) Известно, что наудачу взятая деталь
оказалась бракованной. На каком автомате
вероятнее всего была произведена эта
деталь?

Два автомата
производят пакеты для молока, которые
поступают на общий конвейер. Вероятность
получения нестандартного пакета на
первом автомате равна 0,06, на втором –
0,09. Производительность второго автомата
вдвое больше, чем первого. 1) Найти
вероятность того, что наудачу взятый
пакет будет стандартным. 2) Известно,
что наудачу взятый пакет оказался
стандартным. На каком автомате вероятнее
всего был произведен этот пакет молока?

Радиолампа
может принадлежать к одной из 3 партий
соответственно с вероятностями 0,25;
0,5;
0,25. Вероятности того, что лампа проработает
заданное число часов, равны для этих
партий соответственно 0,1 –
для
первой, 0,2 –
для второй, 0,4 –
для третьей. 1) Найти вероятность того,
что
лампа проработает заданное число часов.
2) Известно, что лампа проработала
заданное число часов. Какой партии она
вероятнее всего принадлежит?

На
двух автоматах изготавливаются
одинаковые детали. Производительность
первого автомата в 2 раза больше, чем
второго. Вероятность изготовления
детали высшего качества на первом
автомате –
0,95, а на втором
–
0,97. Детали с обоих автоматов поступают
вместе на склад. 1) Определить вероятность
того, что наудачу взятая со склада
деталь окажется высшего
качества. 2) Известно, что наудачу
взятая со склада деталь высшего
качества. На каком автомате эта деталь
вероятнее всего была изготовлена?

У
сборщика имеется 3 коробки деталей,
изготовленных заводом № 1, 4
– заводом
№ 2. Вероятность того, что деталь завода
№ 1 стандартна,
равна 0,7, а для завода № 2 –
0,9. Наудачу извлечена деталь. 1) Найти
вероятность того, что вынутая деталь
стандартна.
2) Известно, что вынута стандартная
деталь. На каком заводе она вероятнее
всего была изготовлена?

Имеется
три одинаковых по виду ящика. В первом
ящике 20 белых шаров,
во втором –
10 белых и 10 черных шаров, в третьем –
20 черных шаров.
Из выбранного наугад ящика вынули шар.
1) Какова вероятность того, что вынут
белый шар? 2) Известно, что вынут белый
шар. Из какого ящика этот шар вероятнее
всего был вынут?

Станок
обрабатывает 3 вида деталей, причем все
его время распределяется
между ними в отношении 1: 5: 4. При обработке
детали первого вида он работает с
максимальной для него нагрузкой в
течение 70% времени, при
обработке детали второго вида –
в течение 50% и третьего –
20% времени. 1) Какова вероятность того,
что в случайно
выбранный момент станок работал с
максимальной нагрузкой?
2) Известно, что в случайно
выбранный момент станок работал с
максимальной нагрузкой. Какого
вида деталь вероятнее всего в этот
момент времени обрабатывал станок?

Пассажир может
обратиться за покупкой билета в одну
из 3 касс. Вероятности обращения в каждую
кассу зависят от их местоположения и
равны соответственно 0,2; 0,3 и 0,5. Вероятность
того, что к моменту прихода пассажира
имеющиеся в кассе билеты будут распроданы,
для первой кассы равна 0,4, для второй –
0,5 и для третьей – 0,6. 1) Найти вероятность
того, что пассажир купил билет. 2) Пассажир
направился за билетом в одну из касс и
купил билет. В какой кассе он вероятнее
всего приобрел билет?

Электролампы
изготовляются на двух заводах, причем
первый производит
60% общего количества, второй –
40%. Продукция первого завода содержит
70% ламп высшего сорта, второго –
80%. В магазин поступает продукция
с обоих заводов. 1) Найти вероятность
того, что купленная лампа оказалась не
высшего сорта. 2) Известно, что купленная
лампа оказалась не высшего сорта. На
каком заводе вероятнее всего изготовлена
эта лампа?

Прибор
может работать в двух режимах; нормальном
и ненормальном.
Нормальный режим наблюдается в 80% всех
случаев работы прибора, ненормальный
–
в 20%. Вероятность выхода прибора из
строя за время t
в
нормальном
режиме равна 0,1; в ненормальном –
0,7. 1) Найти вероятность того, что прибор
вышел из строя
за время t.
2)
Известно, что прибор вышел из строя
за время t.
В каком режиме вероятнее всего он
работал?

Для
участия в студенческих отборочных
соревнованиях выделено из первой
группы курса –
4, из второй – 6 и из третьей группы –
5 студентов. Вероятности
того, что студент первой, второй и
третьей группы попадет в сборную
института, соответственно равны 0,9;
0,8; 0,7. 1) Найти вероятность того,
что наудачу выбранный студент попадет
в сборную. 2) Известно, что один из
студентов этого курса попал в сборную
института. Из какой группы вероятнее
всего этот студент?

Сборщик
получил три ящика радиоламп; в первом
ящике –
40 ламп, из
них 20 окрашенных; во втором –
50, из них 10 окрашенных; в третьем –
30,
из них 15 окрашенных. 1) Найти вероятность
того, что взятая наудачу лампа оказалась
окрашенной. 2) Известно, что взятая
наудачу лампа оказалась окрашенной.
Из
какого ящика вероятнее всего эта лампа
была взята?

В
специализированную больницу поступают
в среднем 50% больных с
заболеванием К,
30%
–
с заболеванием Р,
20%
–
с заболеванием М.
Вероятность
полного излечения болезни К
равна
0,7;
болезни Р
–
0,8; болезни
М
–
0,9.
1) Найти вероятность того, что больной,
поступивший в больницу, был выписан
полностью здоровым. 2) Известно, что
больной, поступивший в больницу, был
выписан полностью здоровым. Каким
заболеванием вероятнее всего страдал
больной?

Число
грузовых автомашин, проезжающих по
шоссе, на котором стоит бензоколонка,
относится к числу легковых машин,
проезжающих по тому
же шоссе, как 3:2. Вероятность того, что
будет заправляться грузовая машина,
равна 0,1; для легковой машины эта
вероятность равна 0,2. 1) Найти
вероятность того, что
к бензоколонке
подъехала для заправки машина.
2) Известно, что к бензоколонке
подъехала для заправки машина. Что
вероятнее: к бензоколонке подъехала
легковая или грузовая машина?

Прибор
может собираться из деталей высшего
качества и деталей первого
сорта. Около 40% приборов собирается из
деталей высшего качества.
Если прибор собран из высококачественных
деталей, его надежность (вероятность
безотказной работы за время t)
равна 0,95; если из деталей первого
сорта –
надежность прибора 0,7. 1) Найти вероятность
того, что прибор в течение времени t
работал безотказно. 2) Известно, что
прибор испытывался в течение времени
t
и работал безотказно. Из каких деталей
вероятнее всего собран прибор?

Вероятности
того, что во время работы цифровой
электронной машины произойдет сбой в
арифметическом устройстве, в оперативной
памяти, в остальных устройствах,
относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения
сбоя в арифметическом устройстве, в
оперативной памяти и в остальных
устройствах соответственно равны 0,8;
0,9; 0,7. 1) Найти вероятность
того, что возникший в машине сбой будет
обнаружен. 2) Известно, что возникший
во время работы машины сбой был обнаружен.
В каком устройстве машины вероятнее
всего произошел сбой?

Изделие
проверяется на стандартность одним из
двух товароведов. Вероятность
того, что изделие попадет к первому
товароведу, равна 0,6; ко второму
–
0,4. Вероятность того, что стандартное
изделие будет признано стандартным
первым товароведом, равна 0,9, а вторым
–
0,95. 1) Найти
вероятность
того, что стандартное
изделие
при проверке будет признано стандартным.
2) Известно, что стандартное изделие
при проверке было признано стандартным.
Каким товароведом проверялось данное
изделие?

Вероятность
попадания снаряда в башню танка при
одном выстреле равна 0,2;
в корпус –
0,6 и в гусеницу –
0,1. При попадании снаряда в башню танк
поражается с вероятностью 0,3; в корпус
–
с вероятностью 0,1 и в гусеницу
–
с вероятностью 0,4. 1) Найти
вероятность
того, что танк будет поражен одним
выстрелом. 2)
Известно, что одним выстрелом танк был
поражен. Куда вероятнее всего попал
снаряд?

В
тире имеется 5 ружей, вероятности
попадания, из которых равны соответственно
0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. 1) Найти вероятность
попадания при одном
выстреле, если стреляющий берет одно
из ружей наудачу. 2) известно, что
стреляющий попал в мишень из наудачу
выбранного ружья. Из какого ружья
вероятнее всего был произведен выстрел?

На
первом заводе на каждые 100 лампочек в
среднем 10 нестандартных,
на втором из 100 –
15 нестандартных; на третьем из 100 ‑
20 нестандартных.
Продукция этих заводов составляет
соответственно 50%; 30% и 20%
всех электролампочек, приобретенных
жителями района. 1) Найти вероятность
того, что наудачу приобретенная
электролампочка будет стандартной.
2) Известно, что приобретенная
электролампочка оказалась стандартной.
На каком заводе вероятнее всего она
была изготовлена?

Рабочий
обслуживает 3 станка, на которых
обрабатываются однотипные
детали. Вероятность брака для первого
станка равна 0,02; для второго –
0,03; для третьего –
0,04. Производительность первого станка
в два раза больше,
чем второго и в три раза меньше, чем
третьего. 1) Найти вероятность того, что
взятая наудачу деталь
годная. 2) Известно, что наудачу взятая
деталь годная. На каком станке вероятнее
всего она была обработана?

При отклонении
от нормального режима работы двигателя
срабатывает сигнализатор С-1 с вероятностью
0,8, сигнализатор С-2 – с вероятностью
1. Двигатели снабжают одним из
сигнализаторов. Вероятность того, что
двигатель снабжен сигнализатором С-1,
равна 0,6, для сигнализатора С-2 – 0,4. 1)
Найти вероятность того, что будет
получен сигнал об отклонении от
нормального режима работы двигателя.
2) Получен сигнал об отклонении от
нормального режима работы двигателя.
Что вероятнее: двигатель снабжен
сигнализатором С-1 или сигнализатором
С-2?

Вся продукция
проверяется двумя контролерами.
Вероятность того, что первый контролер
пропустит нестандартное изделие, равна
0,01, а второй – 0,02. Вероятность того, что
изделие попадет на проверку к первому
контролеру, равна 0,55, а ко второму –
0,45. 1) Найти вероятность того, что взятое
наудачу изделие с маркой «стандарт»
оказалось бракованным. 2) Взятое наудачу
изделие с маркой «стандарт» оказалось
бракованным. Что вероятнее: это изделие
проверялось первым или вторым
контролером?

В вычислительной
лаборатории имеется 6 клавишных автоматов
и 4 полуавтомата. Вероятность того, что
за время выполнения некоторого расчета
автомат не выйдет из строя, равна 0,95;
для полуавтомата эта вероятность равна
0,8. Студент производит расчет на наудачу
выбранной машине. 1) Найти вероятность
того, что до окончания расчета машина
не выйдет из строя. 2) Известно, что за
время расчета машина не вышла из строя.
Что вероятнее: студент проводил расчет
на автомате или полуавтомате?

Нефтяные битумы
поступают в цистернах с 2 нефтеперерабатывающих
заводов, причем с первого завода
поступает 75%, со второго – 25% от всего
битума. Вероятность, что битум с первого
завода удовлетворяет требованиям
ГОСТа, равна 0,9; со второго – 0,8. 1) Найти
вероятность того, что используемый в
данный момент битум оказался
удовлетворяющим требованиям ГОСТа. 2)
Используемый в данный момент битум
оказался удовлетворяющим требованиям
ГОСТа. Что вероятнее: битум поступил с
первого или со второго завода?

В пирамиде 5
винтовок, 3 из которых снабжены оптическим
прицелом. Вероятность того, что стрелок
поразит мишень при первом выстреле из
винтовки с оптическим прицелом, равна
0,95; а для винтовки без оптического
прицела эта вероятность равна 0,7. 1)
Найти вероятность того, что мишень
будет поражена, если стрелок произведет
один выстрел из наудачу взятой винтовки.
2) Известно, что стрелок одним выстрелом
поразил мишень из наудачу выбранной
винтовки. Из какой винтовки вероятнее
всего был произведен выстрел?

Подводная лодка
атакует корабль и выпускает по нему
одну торпеду. Вероятность попадания
торпеды в носовую часть равна 0,4; в
среднюю часть – 0,5; в кормовую часть –
0,3. Вероятность потопления корабля при
попадании в носовую часть равна 0,5; в
среднюю – 0,7 и в кормовую – 0,6. 1) Найти
вероятность того, что корабль в результате
атаки будет потоплен. 2) В результате
атаки корабль потоплен. Что вероятнее:
торпеда попала в носовую, среднюю или
комовую часть корабля?

На вход с
радиолокационного устройства с
вероятностью 0,7 поступает смесь полезного
сигнала с помехой, а с вероятностью 0,3
– только одна помеха. Если поступает
полезный сигнал с помехой, то устройство
регистрирует наличие какого-то сигнала
с вероятностью 0,9; если только помеха
– с вероятностью 0,4. 1) Найти вероятность,
что сигнал будет зарегистрирован. 2)
Известно, что устройство зарегистрировало
наличие какого-то сигнала. Что вероятнее:
получен полезный сигнал с помехой или
только помеха?

Источник

Контрольная работа по «Теории вероятностей и математической статистике»

Номер задачи: Tv-24

Решение: бесплатно

Похожие работы:

Основные понятия

Формулы по теории вероятности

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности

Сложение и умножение вероятностей

Формула полной вероятности и формула Байеса

Формула Бернулли

Наивероятнейшее число успехов

Формула Пуассона

Теоремы Муавра-Лапласа