В мастерской трудятся 6 рабочих которые с заданным объемом работы справляются за 4 часа

Сегодня мы рассмотрим, какие величины называются обратно пропорциональными, как выглядит график обратной пропорциональности и как все это может вам пригодится не только на уроках математики, но и вне школьных стен.

Такие разные пропорциональности

Пропорциональностью называют две  величины, которые взаимно зависимы друг от друга.

Зависимость может быть прямой и обратной. Следовательно, отношения между величинами описывают прямая и обратная пропорциональность.

Прямая пропорциональность – это такая зависимость двух величин, при которой увеличение либо уменьшение одной из них ведет к увеличению либо уменьшению другой. Т.е. их отношение не изменяется.

Например, чем больше усилий вы прилагаете для подготовки к экзаменам, тем выше ваши оценки.  Или чем больше вещей вы берете с собой в поход, тем тяжелее нести ваш рюкзак. Т.е. количество затраченных на подготовку к экзаменам усилий прямо пропорционально полученным оценкам. И количество запакованных в рюкзак вещей прямо пропорционально его весу.

Обратная пропорциональность – это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (ее называют аргументом) вызывает пропорциональное (т.е. во столько же раз) увеличение либо уменьшение зависимой величины (ее называют функцией).

Проиллюстрируем простым примером. Вы хотите купить на рынке яблок. Яблоки на прилавке и количество денег в вашем кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите яблок, тем меньше денег у вас останется.

Функция и ее график

Функцию обратной пропорциональности можно описать как y = k/x. В котором x ≠ 0 и k ≠ 0.

Эта функция обладает следующими свойствами:

1. Областью ее определения является множество всех действительных чисел, кроме x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Областью значений являются все действительные числа, кроме y = 0. Е(у): (-∞; 0) U (0; +∞).
3. Не имеет наибольших и наименьших значений.
4. Является нечетной и ее график симметричен относительно начала координат.
5. Непериодическая.
6. Ее график не пересекает оси координат.
7. Не имеет нулей.
8. Если k > 0 (т.е. аргумент возрастает), функция пропорционально убывает на каждом из своих промежутков. Если k < 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. При возрастании аргумента (k > 0) отрицательные значения функции находятся в промежутке (-∞; 0), а положительные – (0; +∞). При убывании аргумента (k < 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

График функции обратной пропорциональности называется гиперболой. Изображается следующим образом:

Задачи на обратную пропорциональность

Чтобы стало понятнее, давайте разберем несколько задач. Они не слишком сложные, а их решение поможет вам наглядно представить, что такое обратная пропорциональность и как эти знания могут пригодиться в вашей обычной жизни.

Задача №1. Автомобиль движется со скоростью 60 км/ч. Чтобы доехать до места назначения, ему потребовалось 6 часов. Сколько времени ему потребуется, чтобы преодолеть такое же расстояние, если он будет двигаться со скоростью в 2 раза выше?

Можем начать с того, что запишем формулу, которая описывает отношения времени, расстояния и скорости: t = S/V. Согласитесь, она очень напоминает нам функцию обратной пропорциональности. И свидетельствует о том, что время, которое автомобиль проводит в пути, и скорость, с которой он движется, находятся в обратной пропорциональности.

Чтобы убедиться в этом, давайте найдем V₂, которая по условию выше в 2 раза: V₂ = 60 * 2 = 120 км/ч. Затем рассчитаем расстояние по формуле S = V * t = 60 * 6 = 360 км. Теперь совсем несложно узнать время t₂, которое требуется от нас по условию задачи: t₂ = 360/120 = 3 ч.

Как видите время в пути и скорость движения действительно обратно пропорциональны: со скоростью в 2 раза выше изначальной автомобиль потратит в 2 раза меньше времени на дорогу.

Решение этой задачи можно записать и в виде пропорции. Для чего сначала составим такую схему:

↓ 60 км/ч – 6 ч ↑

↓120 км/ч – х ч ↑

Стрелки обозначают обратно пропорциональную зависимость. А также подсказывают, что при составлении пропорции правую часть записи надо перевернуть: 60/120 = х/6. Откуда получаем х = 60 * 6/120 = 3 ч.

Задача №2. В мастерской трудятся 6 рабочих, которые с заданным объемом работы справляются за 4 часа. Если количество рабочих сократить в 2 раза, сколько времени потребуется оставшимся, чтобы выполнить тот же объем работы?

Запишем условия задачи в виде наглядной схемы:

↓ 6 рабочих – 4 ч ↑

↓ 3 рабочих – х ч ↑

Запишем это в виде пропорции: 6/3 = х/4. И получим х = 6 * 4/3 = 8 ч. Если рабочих станет в 2 раза меньше, оставшиеся затратят на выполнение всей работы в 2 раза больше времени.

Задача №3. В бассейн ведут две трубы. Через одну трубу вода поступает со скоростью 2 л/с и наполняет бассейн за 45 минут. Через другую трубу бассейн наполнится за 75 минут. С какой скоростью вода поступает в бассейн через эту трубу?

Для начала приведем все данные нам по условию задачи величины к одинаковым единицам измерения. Для этого выразим скорость наполнения бассейна в литрах в минуту: 2 л/с = 2 * 60 = 120 л/мин.

Поскольку из условия следует, что через вторую трубу бассейн заполняется медленнее, значит, и скорость поступления воды ниже. На лицо обратная пропорциональность. Неизвестную нам скорость выразим через х и составим такую схему:

↓ 120 л/мин – 45 мин ↑

↓ х л/мин – 75 мин ↑

А затем составим пропорцию: 120/х = 75/45, откуда х = 120 * 45/75 = 72 л/мин.

В задаче скорость наполнения бассейна выражена в литрах в секунду, приведем полученный нами ответ к такому же виду: 72/60 = 1,2 л/с.

Задача №4. В небольшой частной типографии печатают визитки. Сотрудник типографии работает со скоростью 42 визитки в час и трудится полный рабочий день – 8 часов. Если бы он работал быстрее и печатал 48 визиток за час, насколько раньше он смог бы уйти домой?

Идем проверенным путем и составляем по условию задачи схему, обозначив искомую величину как х:

↓ 42 визитки/ч – 8 ч ↑

↓ 48 визитки/ч – х ч ↑

Перед нами обратно пропорциональная зависимость: во сколько раз больше визиток в час напечатает сотрудник типографии, во столько же раз меньше времени ему потребуется на выполнение одной и той же работы. Зная это, составим пропорцию:

42/48 = х/8, х = 42 * 8/48 = 7ч.

Таким образом, справившись с работой за 7 часов, сотрудник типографии смогу бы уйти домой на час раньше.

Заключение

Нам кажется, что эти задачи на обратную пропорциональность действительно несложные. Надеемся, что теперь вы тоже считаете их такими. А главное, что знание об обратно пропорциональной зависимости величин действительно может оказаться для вас полезным еще не раз.

Не только на уроках математики и экзаменах. Но и тогда, когда вы соберетесь отправиться в путешествие, пойдете за покупками, решите немного подработать в каникулы и т.п.

Расскажите нам в комментариях, какие примеры обратной и прямой пропорциональной зависимости вы замечаете вокруг себя. Пускай это будет такая игра. Вот увидите, как это увлекательно. Не забудьте «расшарить» эту статью в социальных сетях, чтобы ваши друзья и одноклассники тоже смогли поиграть.

© blog.tutoronline.ru,
при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Все задачи на работу решаются при помощи главной формулы.

Формула производительности труда

Производительность = Работа/Время.

Например:

• Рабочий выполняет определенный объем работ за 2 часа, а второй рабочий за 3 часа.
• Всю работу обычно принимаем за единицу, независимо от объема работы.
• Значит, за один час первый рабочий сделает 1/2 часть работы, это и есть его производительность.
• А производительность второго рабочего тогда — 1/3. То есть за час он сможет сделать 1/3 всей работы.
• Если нужно найти общую их производительность (например, сколько времени они потратят, выполняя этот же объем работы), то производительности складываются: 1/2 + 1/3 = 5/6. То есть за час они сделают 5/6 всей работы. Чтобы найти точное время выполнения работы, нужно, чтобы в числителе получилась единица. То есть делим и числитель и знаменатель на 5. (5 : 5)/(6 : 5) = 1/1,2. То есть двум рабочим нужно 1,2 часа, чтобы выполнить всю работу.

Определим производительность труда в задаче

По условию, первая мастерская может выполнить весь заказ за 4 часа, а вторая — за 6.

Вычислим их производительность.

Всю работу обозначаем за 1. Тогда производительность первой мастерской равна 1/4 (за час мастерская делает 1/4 всей работы), а второй 1/6 (за один час она выполняет 1/6 часть работы).

Чтобы узнать, за какое время они смогут выполнить ту же работу, работая вместе, складываем их производительности.

1/4 +1/6 = 3/12 + 2/12 = 5/12

То есть это из общая производительность, за час они, работая вместе, выполнят 5/12 часть всей работы.

Чтобы узнать время выполнения работы, нужно, чтобы в числителе получилась единица. 

Делим и числитель и знаменатель на 5.

(5 : 5)/(12 : 5) = 1/2,4

Знаменатель нам показывает, за какое время выполнена работа.

Ответ: Две мастерские, работая совместно, выполнят заказ за 2,4 часа.