Транснациональная компания amako inc решила провести недружественное поглощение компании 1 3

Спрятать решение

Спрятать критерии

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 90., А. Ларин: Тренировочный вариант № 90.

1. Задача по финансовой математике №506955

2. Формулировка задачи :

Транcнациональная компания Amako Inc. решила
провести недружественное поглощение компании First
Aluminum Company (FAC) путем скупки акций
миноритарных акционеров. Известно, что Amako было
сделано три предложения владельцам акций FAC, при
этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась
на 1/3. В результате второго предложения Amako сумела
увеличить число выкупленных акций на 20% (после
второй скупки общее число выкупленных акций
увеличилось на 20%), а в результате скупки по третьей
цене — еще на 20%. Найдите цену третьего предложения
и общее количество скупленных акций FAC, если
начальное предложение составляло $27 за одну акцию, а
по второй цене Amako скупила 15 тысяч акций.

3. Формулировка задачи:

Компанией Amoco inc было сделано три предложения
компании First Aluminum Company, при этом цена
покупки одной акции
каждый раз повышалась на 1/3, а общее количество
приобретенных
акций увеличивалось на 20%. После второй скупки
общее число выкупленных акций увеличилось ещё на
20%. Начальное предложение составило $27
за одну акцию, а число акций, выкупленных по второй
цене, — 15 тыс.
Определите величину третьего предложения и общее
количество
скупленных акций.

4.

Предложения:
Компанией Amoco inc было
сделано три предложения
компании First Aluminum Company,
при этом цена покупки одной
акции
каждый раз повышалась на 1/3, а
общее количество приобретенных
акций увеличивалось на 20%.
После второй скупки общее число
выкупленных акций увеличилось
ещё на 20%. Начальное
предложение составило $27
за одну акцию, а число акций,
выкупленных по второй цене, — 15
тыс.
Определите величину третьего
предложения и общее количество
скупленных акций.
Ответ : 48$, 108 000
№1
№2
№3
Цена 1 акции:
Количество выкупленных
акций:
27$
1) 75 000 + 15 000 = 90
000

5.

Спасибо за внимание !!!

Презентация на тему Задача по финансовой математике

Формулировка задачи : Транcнациональная компания Amako Inc. решила провести недружественное поглощение компании First Aluminum Company (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что Amako было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на

№1. За­да­ние 19 № 507890. Оля хочет взять в кре­дит 100 000 руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10 % го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Оля взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 24000 руб­лей?

Решение.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a %. Тогда в по­след­ний день каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a Со­ста­вим таб­ли­цу вы­плат.

Зна­чит, Оля по­га­сит кре­дит за 6 лет.

Ответ: 6.

№2. За­да­ние 19 № 507212. 31 де­каб­ря 2014 года Алек­сей взял в банке 6 902 000 руб­лей в кре­дит под 12,5% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая — 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 12,5%), затем Алек­сей пе­ре­во­дит в банк X руб­лей. Какой долж­на быть сумма X, чтобы Алек­сей вы­пла­тил долг че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми (то есть за че­ты­ре года)?

Решение.

Пусть сумма кре­ди­та равна  а го­до­вые со­став­ля­ют  Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент  После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит  После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

После чет­вер­той вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга равна

По усло­вию че­тырь­мя вы­пла­та­ми Алек­сей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му

При  и  по­лу­ча­ем:  и

Ответ: 2 296 350.

ВТОРОЙ СПОСОБ

Пусть x — один из че­ты­рех ра­зо­вых (рав­ных) пла­те­жей.Тогда можно со­ста­вить ли­ней­ное урав­не­ние:

(((((((6902000 * 1,125 ) – x ) * 1,125 ) – x ) * 1,125) – x ) * 1,125 ) –x = 0.

Вы­пол­нив все вы­чис­ле­ния, по­лу­чим:

11055669, 43359375 = 4,814453125x

x = 11055669,43359375/4,814453125

x = 2296350

Ответ: 2296350.

№3.За­да­ние 19 № 506956. Два бро­ке­ра ку­пи­ли акции од­но­го до­сто­ин­ства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции воз­рос­ла, они про­да­ли часть акций на сумму 3927 р. Пер­вый бро­кер про­дал 75% своих акций, а вто­рой 80% своих. При этом сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром. На сколь­ко про­цен­тов воз­рос­ла цена одной акции?

Решение.

Пер­вый спо­соб (близ­кий к ариф­ме­ти­че­ско­му ре­ше­нию).

Пусть пер­вый бро­кер купил  акций, а вто­рой —  акций. Тогда пер­вый про­дал  акций, вто­рой —  акций.

То, что сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ных вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром, озна­ча­ет: сумма, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, боль­ше суммы, по­лу­чен­ной пер­вым, в 2,4 раза:

Так как цена одной акции у обоих бро­ке­ров оди­на­ко­ва, а по­лу­чен­ные суммы прямо про­пор­ци­о­наль­ны ко­ли­че­ству акций, про­дан­ных каж­дым бро­ке­ром, то

Если  — ко­эф­фи­ци­ент про­пор­ци­о­наль­но­сти ко­ли­че­ства акций, куп­лен­ных бро­ке­ра­ми, то ими при­об­ре­те­но  акций на сумму 3640 р. Сле­до­ва­тель­но, на тот мо­мент цена каж­дой акции со­став­ля­ла:

 р.

Пер­вый бро­кер про­дал  акций, вто­рой  акций. Всего было про­да­но  акций. К мо­мен­ту про­да­жи цена одной акции стала

(р), т.е. на  (р) выше.

Зна­чит, цена одной акции воз­рос­ла на 37,5%

Вто­рой спо­соб (пре­об­ла­да­ет ал­геб­ра­и­че­ский под­ход).

Пусть  р. — пер­во­на­чаль­ная цена одной акции,  — ко­ли­че­ство акций, куп­лен­ных пер­вым бро­ке­ром,  — ко­ли­че­ство акций, куп­лен­ных вто­рым бро­ке­ром. И пусть цена одной акции воз­рос­ла на  %. Тогда: (1)

Со вре­ме­нем цена одной акции вы­рос­ла до  руб­лей.

Пер­вый бро­кер про­дал акций на сумму  руб­лей, а вто­рой бро­кер — на  руб­лей.

Со­глас­но усло­вию за­да­чи имеем:  т.е.

 (2)

Так как сумма от про­да­жи акций, по­лу­чен­ная вто­рым бро­ке­ром, на 140% пре­вы­си­ла сумму, по­лу­чен­ную пер­вым бро­ке­ром, то

Под­ста­вив по­лу­чен­ное зна­че­ние  в урав­не­ние (1), будем иметь:

Под­ста­вим то же зна­че­ние  в урав­не­ние (2):

А зна­че­ние  нами най­де­но выше.

Сле­до­ва­тель­но, 

Ответ: 37,5.

№4.За­да­ние 19 № 506090. 31 де­каб­ря 2013 года Сер­гей взял в банке 9 930 000 руб­лей в кре­дит под 10% го­до­вых. Схема вы­пла­ты кре­ди­та сле­ду­ю­щая: 31 де­каб­ря каж­до­го сле­ду­ю­ще­го года банк на­чис­ля­ет про­цен­ты на остав­шу­ю­ся сумму долга (то есть уве­ли­чи­ва­ет долг на 10%), затем Сер­гей пе­ре­во­дит в банк опре­делённую сумму еже­год­но­го пла­те­жа. Какой долж­на быть сумма еже­год­но­го пла­те­жа, чтобы Сер­гей вы­пла­тил долг тремя рав­ны­ми еже­год­ны­ми пла­те­жа­ми?

Решение.

Пусть сумма кре­ди­та равна a, еже­год­ный пла­теж равен x руб­лей, а го­до­вые со­став­ля­ют k %. Тогда 31 де­каб­ря каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент m = 1 + 0,01k. После пер­вой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит: a₁ = am − x. После вто­рой вы­пла­ты сумма долга со­ста­вит:

После тре­тьей вы­пла­ты сумма остав­ше­го­ся долга:

По усло­вию тремя вы­пла­та­ми Сер­гей дол­жен по­га­сить кре­дит пол­но­стью, по­это­му  от­ку­да  При a = 9 930 000 и k = 10, по­лу­ча­ем: m = 1,1 и

Ответ: 3 993 000 руб­лей.

 Второй способ

Пусть  — один из трёх ра­зо­вых пла­те­жей. Тогда сумма долга после опла­ты в пер­вом году со­ста­вит: После вне­се­ния вто­ро­го пла­те­жа сумма долга ста­нет рав­ной  Сумма долга после тре­тье­го пла­те­жа:  Тре­тьим пла­те­жом Сер­гей дол­жен по­га­сить долг, то есть долг ста­нет рав­ным нулю:

Третий способ

В пер­вый год ему на­чис­лят 993000 и сумма долга со­ста­вит 10923000 минус еже­год­ный пла­теж (х) и по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щее 10923000-х

На вто­рой год опять про­цен­ты и минус еже­год­ный пла­теж:

(10923000-х)*1,1-х

На тре­тий год та же ис­то­рия:

((10923000-х)*1,1-х)*1,1-х=0 (так как он за­крыл долг тремя рав­ны­ми пла­те­жа­ми).

Даль­ше нехит­рые вы­чис­ле­ния уров­ня сред­ней школы и при­хо­дим к вы­ра­же­нию:

3,31х=13216830

От­сю­да на­хо­дим, что х=3993000.

№ 5. За­да­ние 19 № 506950. В банк по­ме­ще­на сумма 3900 тысяч руб­лей под 50% го­до­вых. В конце каж­до­го из пер­вых че­ты­рех лет хра­не­ния после вы­чис­ле­ния про­цен­тов вклад­чик до­пол­ни­тель­но вно­сил на счет одну и ту же фик­си­ро­ван­ную сумму. К концу пя­то­го года после на­чис­ле­ния про­цен­тов ока­за­лось, что раз­мер вкла­да уве­ли­чил­ся по срав­не­нию с пер­во­на­чаль­ным на 725%. Какую сумму вклад­чик еже­год­но до­бав­лял к вкла­ду?

Решение.

Общая сумма, при­чи­та­ю­ща­я­ся вклад­чи­ку, вклю­чая до­пол­ни­тель­ные вкла­ды в те­че­ние че­ты­рех лет и все про­цент­ные на­чис­ле­ния, к концу пя­то­го года хра­не­ния денег со­став­ля­ет 825 (100+725) про­цен­тов от пер­во­на­чаль­но­го (3900 тыс. руб.). Эта сумма равна:

 (тыс.руб.)

Не­ко­то­рая часть най­ден­ной суммы об­ра­зо­ва­на хра­не­ни­ем пер­во­на­чаль­но вло­жен­ной суммы (3900 тыс.руб.) Вы­чис­лим эту часть. По­сколь­ку про­цент­ная над­бав­ка на­чис­ля­лась в раз­ме­ре 50% го­до­вых, то за 5 лет хра­не­ния этой части вкла­да вло­жен­ная сумма уве­ли­чи­лась в  раза. То есть стала:

 (тыс. руб.)

Те­перь най­дем дру­гую часть об­ра­зо­ван­ной суммы с уче­том до­пол­ни­тель­ных вкла­дов в те­че­ние че­ты­рех лет, а также про­цент­ных на­чис­ле­ний на эту сумму. Эта часть равна раз­но­сти двух сумм, вы­чис­лен­ных выше.

 (тыс. руб.)

Это — с одной сто­ро­ны. С дру­гой же сто­ро­ны эта сумма об­ра­зо­ва­лась так:

Пусть вклад­чик в конце года и в те­че­ние 4 лет вно­сил до­пол­ни­тель­ный вклад в сумме  тыс. руб.

В конце пер­во­го года хра­не­ния этой суммы она вы­рос­ла до  тыс. руб.

Вклад­чик до­пол­ни­тель­но внес еще  тыс. руб. На на­ча­ло сле­ду­ю­ще­го ка­лен­дар­но­го года эта часть суммы стала:

 (тыс.руб.)

Через год эта сумма вы­рос­ла до:

 (тыс.руб.)

Но вклад­чик внес на счет еще  тыс.руб. Сумма стала:

 (тыс. руб.)

Через год эта сумма вы­рос­ла до:

 (тыс. руб.)

Вклад­чик вновь внес на счет  тыс. руб. Часть вкла­да ста­но­вит­ся рав­ной:

 (тыс.руб.)

К концу по­след­не­го года хра­не­ния всего вкла­да эта часть вы­рас­та­ет до:

 (тыс. руб.)

Те­перь решим урав­не­ние:

Итак, ис­ко­мая сумма равна 210 тыс. руб.

Ответ: 210 000.

№6.За­да­ние 19 № 506948. За время хра­не­ния вкла­да в банке про­цен­ты по нему на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но сна­ча­ла в раз­ме­ре 5%, затем 12%, потом  и, на­ко­нец, 12,5% в месяц. из­вест­но, что под дей­стви­ем каж­дой новой про­цент­ной став­ки вклад на­хо­дил­ся целое число ме­ся­цев, а по ис­те­че­нии срока хра­не­ния пер­во­на­чаль­ная сумма уве­ли­чи­лась на  Опре­де­ли­те срок хра­не­ния вкла­да.

Решение.

Из­вест­но:

1. Про­цен­ты на вклад на­чис­ля­лись еже­ме­сяч­но.

2. Каж­дая по­сле­ду­ю­щая про­цент­ная над­бав­ка по ис­те­че­нии ка­лен­дар­но­го ме­ся­ца на­чис­ля­лась с уче­том вновь об­ра­зо­ван­ной суммы вкла­да и с уче­том преды­ду­щих над­ба­вок.

Если пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да при еже­ме­сяч­ной 5%-ной став­ке на­чис­ле­ния про­цен­тов про­дер­жа­лась  ме­ся­цев, то вклад еже­ме­сяч­но уве­ли­чи­вал­ся в  раз, и этот ко­эф­фи­ци­ент будет со­хра­нен до тех пор, пока став­ка не из­ме­нит­ся.

При из­ме­не­нии про­цент­ной над­бав­ки с 5% на 12% (став­ка 12% про­дер­жа­лась  ме­ся­цев) пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да за  ме­ся­цев уве­ли­чит­ся в  раз.

Пред­по­ло­жим, что про­цент­ная став­ка  про­дер­жа­лась  ме­ся­цев, а про­цент­ная став­ка  про­дер­жа­лась  ме­ся­цев. Тогда со­от­вет­ству­ю­щие ко­эф­фи­ци­ен­ты по­вы­ше­ния со­ста­вят:

и 

Таким об­ра­зом, ко­эф­фи­ци­ент по­вы­ше­ния суммы вкла­да в целом за весь пе­ри­од хра­не­ния вкла­да в банке со­ста­вит:

Это — с одной сто­ро­ны. Но с дру­гой сто­ро­ны, со­глас­но усло­вию за­да­чи пер­во­на­чаль­ная сумма вкла­да за это же время уве­ли­чи­лась на  т.е. в

 ( раз).

Зна­чит,

Со­глас­но ос­нов­ной тео­ре­ме ариф­ме­ти­ки каж­дое на­ту­раль­ное число, боль­шее 1, можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния про­стых мно­жи­те­лей, и это пред­став­ле­ние един­ствен­ное с точ­но­стью до по­ряд­ка их сле­до­ва­ния. В таком слу­чае:

Решим эту си­сте­му от­но­си­тель­но на­ту­раль­ных  и 

Из по­след­не­го урав­не­ния си­сте­мы имеем:  При этих зна­че­ни­ях  и  си­сте­ма при­мет вид:

Итак,  вклад в банке на хра­не­нии был 7 ме­ся­цев. При най­ден­ных зна­че­ни­ях  и   дей­стви­тель­но равно нулю.

Ответ: 7.

№7.За­да­ние 19 № 506954. В конце ав­гу­ста 2001 года ад­ми­ни­стра­ция При­мор­ско­го края рас­по­ла­га­ла некой сум­мой денег, ко­то­рую пред­по­ла­га­лось на­пра­вить на по­пол­не­ние неф­тя­ных за­па­сов края. На­де­ясь на из­ме­не­ние конъ­юнк­ту­ры рынка, ру­ко­вод­ство края, от­сро­чив за­куп­ку нефти, по­ло­жи­ла эту сумму 1 сен­тяб­ря 2001 года в банк. Далее из­вест­но, что сумма вкла­да в банке уве­ли­чи­ва­лась пер­во­го числа каж­до­го ме­ся­ца на 26% по от­но­ше­нию к сумме на пер­вое число преды­ду­ще­го ме­ся­ца, а цена бар­ре­ля сырой нефти убы­ва­ла на 10% еже­ме­сяч­но. На сколь­ко про­цен­тов боль­ше (от пер­во­на­чаль­но­го объ­е­ма за­ку­пок) ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить неф­тя­ные за­па­сы края, сняв 1 но­яб­ря 2001 года всю сумму, по­лу­чен­ную из банка вме­сте с про­цен­та­ми, и на­пра­вив ее на за­куп­ку нефти?

Решение.

Пусть сумма, ко­то­рой пер­во­на­чаль­но рас­по­ла­га­ла ад­ми­ни­стра­ция края, со­став­ля­ла  у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти у.е. Тогда пер­во­на­чаль­но воз­мож­ный объем за­ку­пок со­став­лял  бар­ре­лей. Этот объем при­мем за 100 про­цен­тов. За 2 ме­ся­ца хра­не­ния в банке по­ло­жен­ная сумм вы­рос­ла до  у.е., а цена бар­ре­ля сырой нефти за это же время убыла до  у.е. Сле­до­ва­тель­но, 1 но­яб­ря 2001 г. ру­ко­вод­ство края на эту сумму могла за­ку­пить  бар­ре­лей сырой нефти. Про­цент­ное от­но­ше­ние этого объ­е­ма к пер­во­на­чаль­но воз­мож­но­му объ­е­му за­ку­пок со­ста­вит:

 % то есть  % =  %.

Зна­чит, ру­ко­вод­ство края смог­ло по­пол­нить 1 но­яб­ря 2001 г. неф­тя­ные за­па­сы края на 96% боль­ше, чем 1 сен­тяб­ря того же года.

Ответ: 96.

№8.За­да­ние 19 № 506957. Сер­гей взял кре­дит в банке на срок 9 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на 12%, а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Сер­ге­ем. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну.

Сколь­ко про­цен­тов от суммы кре­ди­та со­ста­ви­ла общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку (сверх кре­ди­та)?

Решение.

Пред­ло­же­ние «Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну» озна­ча­ет: Сер­гей взя­тую сумму воз­вра­щал рав­ны­ми до­ля­ми.

Общая сумма, упла­чен­ная Сер­ге­ем банку сверх кре­ди­та, обу­слов­ле­на толь­ко при­ме­не­ни­ем про­цент­ной став­ки.

В пер­вом ме­ся­це эта часть за­пла­чен­ной суммы со­став­ля­ла , во вто­ром —  в тре­тьем —  в вось­мом —  на­ко­нец, в по­след­нем — 

Всего за 9 ме­ся­цев:

Ис­ко­мое про­цент­ное от­но­ше­ние есть 60 

Ответ: 60.

№9.За­да­ние 19 № 507913. Оля хочет взять в кре­дит 1 200 000 руб­лей. По­га­ше­ние кре­ди­та про­ис­хо­дит раз в год рав­ны­ми сум­ма­ми (кроме, может быть, по­след­ней) после на­чис­ле­ния про­цен­тов. Став­ка про­цен­та 10 % го­до­вых. На какое ми­ни­маль­ное ко­ли­че­ство лет может Оля взять кре­дит, чтобы еже­год­ные вы­пла­ты были не более 320 000 руб­лей?

Решение.

Пусть сумма кре­ди­та равна S, а го­до­вые со­став­ля­ют a %. Тогда в по­след­ний день каж­до­го года остав­ша­я­ся сумма долга умно­жа­ет­ся на ко­эф­фи­ци­ент b = 1 + 0,01a Со­ста­вим таб­ли­цу вы­плат.

Зна­чит, Оля по­га­сит кре­дит за 5 лет.

Ответ: 5.

За­да­ние 19 № 506955. Транcна­ци­о­наль­ная ком­па­ния Amako inc. ре­ши­ла про­ве­сти не­дру­же­ствен­ное по­гло­ще­ние ком­па­нии First Aluminum Company (FAC) путем скуп­ки акций ми­но­ри­тар­ных ак­ци­о­не­ров. Из­вест­но, что Amako inc. было сде­ла­но три пред­ло­же­ния вла­дель­цам акций FAC, при этом цена по­куп­ки одной акции каж­дый раз по­вы­ша­лась на 1/3, а общее ко­ли­че­ство при­об­ре­тен­ных Amako inc. акций по­гло­ща­е­мой ком­па­нии уве­ли­чи­ва­лась на 20%. Опре­де­ли­те ве­ли­чи­ну тре­тье­го пред­ло­же­ния и общее ко­ли­че­ство скуп­лен­ных акций First Aluminum Company, если на­чаль­ное пред­ло­же­ние со­став­ля­ло $27 за одну акцию, а ко­ли­че­ство акций, вы­куп­лен­ных по вто­рой цене, 15 тысяч.

Решение.

Ответ: тре­тье пред­ло­же­ние по цене $48 за одну акцию; общее ко­ли­че­ство вы­куп­лен­ных акций 108000.

№ 10.За­да­ние 19 № 506951. Банк под опре­де­лен­ный про­цент при­нял не­ко­то­рую сумму. Через год чет­верть на­коп­лен­ной суммы была снята со счета. Банк уве­ли­чил про­цент го­до­вых на 40%. К концу сле­ду­ю­ще­го года на­коп­лен­ная сумма в 1,44 раза пре­вы­си­ла пер­во­на­чаль­ный вклад. Каков про­цент новых го­до­вых?

Решение.

Пусть банк пер­во­на­чаль­но вклад в раз­ме­ре  у.е. при­нял под  го­до­вых. Тогда к на­ча­лу вто­ро­го года сумма стала  у.е.

После сня­тия чет­вер­ти на­коп­лен­ной суммы на счету оста­лось  у.е.

С мо­мен­та уве­ли­че­ния бан­ком про­цент­ной став­ки на 40% к концу вто­ро­го года хра­не­ния остат­ка вкла­да на­коп­лен­ная сумма стала

 у.е.

По усло­вию за­да­чи эта сумма равна  у.е.

Решим урав­не­ние 

; 

Этот ко­рень не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи:  Новые го­до­вые со­став­ля­ют 20 + 40 = 60 %.

Ответ: 60.

№ 11.За­да­ние 19 № 506958. Антон взял кре­дит в банке на срок 6 ме­ся­цев. В конце каж­до­го ме­ся­ца общая сумма остав­ше­го­ся долга уве­ли­чи­ва­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов (ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку), а затем умень­ша­ет­ся на сумму, упла­чен­ную Ан­то­ном. Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну. Общая сумма вы­плат пре­вы­си­ла сумму кре­ди­та на 63%. Най­ди­те ме­сяч­ную про­цент­ную став­ку.

Решение.

Пусть сумма кре­ди­та  у.е., про­цент­ная став­ка банка  %.

Пред­ло­же­ние «Суммы, вы­пла­чи­ва­е­мые в конце каж­до­го ме­ся­ца, под­би­ра­ют­ся так, чтобы в ре­зуль­та­те сумма долга каж­дый месяц умень­ша­лась рав­но­мер­но, то есть на одну и ту же ве­ли­чи­ну» озна­ча­ет: Антон взя­тую сумму воз­вра­щал в банк рав­ны­ми до­ля­ми. Сумма, об­ра­зо­ван­ная при­ме­не­ни­ем про­цент­ной став­ки, со­став­ля­ет:

 (у.е.)

Общая сумма, вы­пла­чен­ная Ан­то­ном за 6 ме­ся­цев:  (у.е.). А эта сумма по усло­вию за­да­чи равна  у.е. Решим урав­не­ние:

Ответ: 18.

№12.За­да­ние 19 № 506953. В ян­ва­ре 2000 года став­ка по де­по­зи­там в банке «Воз­рож­де­ние» со­ста­ви­ла х % го­до­вых, тогда как в ян­ва­ре 2001 года — у % го­до­вых, при­чем из­вест­но, что x + y = 30%. В ян­ва­ре 2000 года вклад­чик от­крыл счет в банке «Воз­рож­де­ние», по­ло­жив на него не­ко­то­рую сумму. В ян­ва­ре 2001 года, по про­ше­ствии года с того мо­мен­та, вклад­чик снял со счета пятую часть этой суммы. Ука­жи­те зна­че­ние х при ко­то­ром сумма на счету вклад­чи­ка в ян­ва­ре 2002 года ста­нет мак­си­маль­но воз­мож­ной.

Решение.

Через  лет на пер­вом счёте будет сумма

В это же время на вто­ром счёте будет сумма

При­рав­ня­ем эти суммы и решим по­лу­чен­ное урав­не­ние:

Таким об­ра­зом, суммы на сче­тах срав­ня­ют­ся через 12 лет после от­кры­тия пер­во­го вкла­да.

Ответ: 12.

7

Решение экономических задач № 19 в ЕГЭ

                                                Составила: Каскевич Наталья Геннадьевна____

                                                учитель математики_______________________                                                        МОАУ Медвежье-Озерская СОШ___________

                                                ________________________________________

2015

Оглавление

Введение.        

Теоретическая часть        

Типы экономических задач        

Нестандартные экономические задачи.        

Заключение        

ЛИТЕРАТУРА        

Введение.

В условиях современных требований к выпускникам средней школы при поступлении в ВУЗы, профилирующие предметы которых связаны с математической наукой, ЕГЭ по математике профильного уровня расширен.

С 2015 года в него добавлено задание №19 – это экономическая (банковская) задача. Эта задача ориентирована на реальную жизнь. В заданиях №19   рассматриваются идеализированные жизненные ситуации, которые являются некоторыми текстовыми упрощениями, моделями, реально возникающих, например, при обращении в банк, покупке или продаже ценных бумаг, выпуск производственной продукции и получение прибыли.    Эти сюжеты условно можно разделить на два типа, использующих соответственно дискретные модели (проценты, погашения кредитов, прибылях и убытках) и непрерывные модели (различные производства, протяженные во времени, объемы продукции). За правильное решение задания № 19 на ЕГЭ можно получить три балла.

В своей работе я решила обратиться к рассмотрению решения таких задач, потому, что с одной стороны по ним представлено не много материала в открытых источниках, а с другой – было большое желание разобраться в их решении на собственном опыте.

Задачей данной работы является рассмотрение разных типов заданий под № 19 и их способы решения.

Цель данной работы: помощь при подготовке к ЕГЭ учителям и ученикам 11 классов.

Теоретическая часть

При чтении условий любой задачи можно встретить такие величины как сумма кредита, процентная ставка, периодическая выплата по кредиту, стоимость ценной бумаги и другие. Попробуем в них разобраться.

Прежде всего, нужно разложить условия задачи на последовательные действия. Очень важен порядок этих действий!

Например:

1. Взял кредит – сумма на количество лет.
2. Банк начислил проценты
3. Внес периодическую плату по кредиту

Дальше пункты 2 и 3 могут повторяться в зависимости от количества лет.

1. Внес остаток долга – погасил кредит.

Теперь нужно математически выразить каждое наше действие, и очень важно соблюсти порядок, в котором эти действия происходят.

Пусть размер кредита равен  S, процент банка p, а ежегодная выплата по кредиту K.

Формулы для подсчета процентов:

        а) если величину S увеличить на p% получится S∙(1+p/100);

        б) если величину S уменьшить на p% получим S∙(1-p/100);

        в) если величину S дважды увеличить на p% получим S∙(1+p/100)²;

        г) если величину S увеличивать на p% не два раза, а три раза, получится S∙(1+p/100)³;

        д) если величину Х увеличивать на p% п раз, то степень п S∙(1+p/100)n .

Рассмотрим теперь, если заемщик выплачивает сумму K по кредиту.  Тогда через год после начисления процентов и выплаты суммы K, размер долга равен S∙(1+p/100)-K. Так как каждый год сумма будет умножаться на выражение в скобках, введем замену переменных.

Обозначим: Р =1+p/100, тогда S∙Р-K.

Через два года размер долга будет выглядеть следующим образом:

(SР-K)∙Р-K;

Через три года: ((SР-K)∙Р-K)∙Р-K;

Через четыре года: (((SР-K)∙Р-K)∙Р-K) Р-K;

Через n лет: SРⁿ-K(Рⁿ+ Рn-1+Рn-2+Р³+Р²+Р+1).

 В скобках мы видим геометрическую прогрессию. Для подсчета величины в скобках иногда применяется формула суммы Р членов геометрической прогрессии, где В1 равен 1, а q равен Р.

Формула для суммы п членов геометрической прогрессии:

                        Kn=

В нашем случае размер долга через n лет равен:

                        SРⁿ-K

Итак, мы видим в нашей формуле следующие четыре переменные:

• размер денежной суммы  —  S 
• процент банка  — p,
• периодическая выплата банку (транш) – K
• временной период происходящих действий (года, месяцы) — n

В зависимости от того, какая из этих переменных неизвестна, можно выделить типы экономических задач.

Типы экономических задач

При решении этих типов задач используется описанная в теории модель решения. Одна и та же формула.

Тип 1. Нахождение количества лет выплаты кредита.

По нашей формуле  — неизвестно n. Так как все остальные величины известны, то необходимо вычислять остаток суммы по кредиту до тех пор, пока он не станет меньше, чем периодическая выплата банку– K. 

Пример задачи:

1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

Решение:

S=1100 000; K= 220 000; p=2% Найти n?

1 февраля 2015года: 1100 000 *1,02 -220 000 = 902 000.

1 марта 2015года: 902 000*1,02 -220 000 = 700 040

1 апреля 2015 года: 700 040*1,02 -220 000 = 494040,8

1 мая 2015 года:  494040,8*1,02 -220 000  = 283921,6

1 июня 2015 года: 283921,6*1,02 -220 000  =69 600,05

1 июля 2015 года: 69 600,05*1,02 = 70 992,05 – остаток суммы долга.

В последний месяц выплата составит менее 220 тыс. руб. Из таблицы видно, что минимальный срок кредита в условиях задачи составляет 6 месяцев.

Ответ: 6.

Тип 2. Вычисление процентной ставки по кредиту.

По нашей формуле – неизвестно p. Так как известно n, то необходимо начислить на сумму S проценты n раз и составить уравнение, относительно p. И решить это уравнение.

Пример задачи:

Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение:

Нам неизвестна сумма кредита S – примем ее за 1; n=2; K1 =3/4=0,75; K2=1.21, где K1  и K2  — это первая и вторая выплата банку.

1 год: (1+ 0,01p) – 0,75(1+ 0,01p)

2 год: (1-0,75)(1+0,01р) (1+0,01р)  = 0,25 (1+0,01р)2 = 1,21

Решаем уравнение относительно р:

0,25(1+ 0,01p)2 = 1,21

(1+ 0,01p)2 = 4,84

1+ 0,01p = 2,2

р = 1,2/0,01 = 120%

Ответ: 120%.

Тип 3. Нахождение суммы кредита.

По нашей формуле – неизвестно S. Так как известно n, то необходимо начислить на сумму неизвестного S проценты n раз и решить уравнение, относительно S.

Пример задачи:

31 декабря 2014 года Владимир взял в банке некоторую сумму в кредит под 14% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14%), а затем Владимир переводит в банк 4 548 600 рублей. Какую сумму взял Владимир в банке если он выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение:

р = 14%; n=2; K=4 548 600. Найти S?

Пусть Владимир взял в банке S рублей. Тогда в конце 1 года сумма долга составит 1,14S.

После первой выплаты долг банку будет составлять 1,14S — 4 548 600.

К концу 2 года после начисления процентов долг банку составит 1,14 (1,14S — 4 548 600) = 1,2996S — 5 185 404.

Так как Владимир выплатил долг двумя равными платежами, то получаем уравнение:

1,2996S — 5 185 404 — 4 548 600 = 0,

1,2996S = 9 734 004,

S = 7 490 000.

Владимир взял в банке 7 490 000 рублей.

Ответ: 7 490 000.

Тип 4. Нахождение периодической выплаты банку (транша).

По нашей формуле – неизвестно К. Составить уравнение и решить относительно К.

Пример задачи:

31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 19 860 000 в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

S=19 860 000; p=10%; n=3 Найти К?

1 год:  19 860 000 + 0,1 * 19 860 000 = 1,1* 19 860 000 = 21 846 000.

После того, как Сергей перевел в банк K рублей, сумма долга составила

21 846 000 — К.

2 год: 1,1*(21 846 000 — К).

Сергей перевел К рублей в банк и сумма долга стала равна

1,1*(21 846 000 — К) — К = 24 030 600 — 2,1К.

3 год — банк начислил проценты и долг составил

1,1*(24 030 600 — 2,1К).

Сергей выплатил третий платеж и полностью погасил долг

1,1*(24 030 600 — 2,1К) — К = 0.

Найдем из этого уравнения X:

26 433 660 — 3,31К = 0,

3,31К = 26 433 660,

К = 7 986 000 рублей.

Ответ: 7 986 000.

Нестандартные экономические задачи.

Эти задачи невозможно объединить в одну группу – подход к каждой из них индивидуален, требует дополнительных знаний и смекалки. Иногда для их решения требуется введение дополнительной алгебраической функции, которую необходимо исследовать. Либо вводить новые переменные и решать системы уравнений. Бывает, что решить можно с помощью неравенства.  Часто нужны дополнительные экономические знания.

Задача 1 Сергей приобрел ценную бумагу за 7 тысяч рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тысячи рублей. В любой момент Сергей может продать ценную бумагу и вырученные деньги положить на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В течение, какого года после покупки Сергей должен продать ценную бумагу, чтобы через 30 лет после покупки этой бумаги сумма на счете была наибольшей?

Решение:

Во второй год цена составит: (7+2) тысячи рублей

В третий год (7+2)+2= 7+2*2 тысячи рублей

На четвертый год (7+2)+2)+2= 7+2*3 тысячи рублей

………………………………

В n-й год 7+2*(n-1) тысячи рублей

Сопоставим 10% банковский рост цены бумаги ее ежегодному росту на 2000 рублей.  

10% от цены бумаги на n-ом году 0,1(7+2*(n-1)).

Для того чтобы было выгодно нужно чтобы 10% от этой суммы были больше, чем 2 тысячи рублей.

Получаем неравенство:

0,1(7 + 2(n-1))2

7 + 2(n-1)20

2(n-1)13

(n-1)6,5

n7,5        

Наименьшее натуральное n, удовлетворяющее этому неравенству равно 8. Ответ: 8.

Задача 2  Спрос (цена) на продукцию монополиста задан формулой

P = 100-2Q, а функция общих издержек TC = 2Q2 + 2. Какую цену должен назначить монополист, чтобы минимизировать издержки?

(Q – объем производства)

Решение:

Для решения задачи нужно воспользоваться экономической формулой:

Прибыль = выручка – издержки

Рассмотрим П (Прибыль) как функцию и найдем ее максимум!

П = P*Q – ТС = (100 – 2Q)*Q — 2Q2 + 2 = — 4Q2 + 100Q + 2

П = — 4Q2 + 100Q + 2 – видим, что это квадратичная функция, графиком которой является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, максимум функции находится в ее вершине Qmax = Q0 =  = -100/-8 = 12,5

Подставим Qmax: P = 100-2Qmax = 100- 2*12.5 = 75

Ответ: 75.

Задача 3 Транснациональная компания Amako Inc. решила провести недружественное поглощение компании FirKt Aluminum Company (FAC) путем скупки акций миноритарных акционеров. Известно, что Amako было сделано три предложения владельцам акций FAC, при этом цена покупки одной акции каждый раз повышалась на 1/3. В результате второго предложения Amako сумела увеличить число выкупленных акций на 20%, а в результате скупки по третьей цене — еще на 20%. Найдите величину третьего предложения и общее количество скупленных акций FAC, если начальное предложение составляло $27 за одну акцию, а по второй цене Amako скупила 15 тысяч акций.

Решение:

Из условия задачи следует, что было всего три предложения. Каждый раз цена акции повышалась на 1/3, а общее количество приобретенных

акций увеличивалось на 20%.

Рассчитаем цену каждого предложения:

1-е предложение – 27$

2-е предложение – 27 + 27/3 = 36$

3-е предложение – 36 + 36/3 = 48$

По второй цене Amako скупила 15 тысяч акций и это составило 20% или 1/5 от того, что было. Следовательно, 15*5 = 75 тысяч акций было после первого предложения. Значит, после второго всего стало 75+15 = 90 тысяч акций.

Но в третий раз также купили 20% или 1/5: 90+90/5 = 90 + 18 = 108 тысяч акций – общее количество скупленных акций FAC.

А величина третьего предложения: 18 000* 48$ = 864 000$

Ответ: 864 000, 108 000.

Задача 4 Два брокера купили акции одного достоинства на сумму 3640 р. Когда цена на эти акции возросла, они продали часть акций на сумму 3927 р. Первый брокер продал 75% своих акций, а второй 80% своих. При этом сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером. На сколько процентов возросла цена одной акции?

Решение:

Пусть   с — начальная цена одной акции,  x — количество акций, купленных первым брокером,  y — количество акций, купленных вторым брокером.

c*(x + y) = 3640

И пусть цена одной акции возросла на  p%   — c *(1 + 0,01р) стала цена одной акции. Тогда первый продал 0,75x акций, второй — 0,8y акций. Первый получил сумму за продажу акций — 0,75x c *(1 + 0,01р), а второй  — 0,8y c *(1 + 0,01р).

0,75x c *(1 + 0,01р) + 0,8y c *(1 + 0,01р) = 3927

с*(0,75x +0,8y) (1 + 0,01р) = 3927  

Так как сумма от продажи акций, полученная вторым брокером, на 140% превысила сумму, полученную первым брокером, то значит, он получит сумму 100 +140 = 240%

0,8y c *(1 + 0,01р) = 2,4*0,75x c *(1 + 0,01р)

0,8y = 2,4*0,75x

0,8y = 1,8x

у = 2,25х  — первая замена

с*(2,25х+х) = 3640

3,25сх=3640

сх =1120 – вторая замена

с*(0,75x +0,8y) (1 + 0,01р) = 3927 Подставим первую замену

с*(0,75x + 1,8х) (1 + 0,01р) = 3927  

2,55сх (1 + 0,01р) = 3927  

сх (1 + 0,01р) = 1540 Подставим вторую замену

1120 (1 + 0,01р) = 1540

(1 + 0,01р) = 1,375

0,01р = 0,375

р = 37,5

Ответ: 37,5.

Заключение

Я считаю введение таких задач чрезвычайно полезным так как, работая над моделями, сформулированными в условиях, они заставляют задумываться о реальной жизни. О том, что кредиты, отношения с банками, игра на бирже, колебания курсов ценных бумаг, начисление процентов дело сложное и требует больших знаний.  К этому нельзя относиться легкомысленно. С чего начинать решать экономические задачи – очень внимательно читать условия задачи и по шагам распределить действия, затем постараться математически выразить их и постараться прийти к ответу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ященко И. В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2015 году. Базовый и профильный уровни. Методические указания / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, А. С. Трепалин. – М.: МЦНМО, 2015. – 288 с.

2. Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена 2015 года по математике. Профильный уровень. Сайт http://www.ege.edu.ru/

3. Спецификация контрольно-измерительных материалов для проведения в 2015 году единого государственного экзамена по математике. Профильный уровень. Сайт http://www.ege.edu.ru/