Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов

Задача о соединении городов 39

Управленческие решения

Пономарёв, Горчаков, Гольм.doc

Условие

Решение

Краткое описание

Файлы: 1 файл

Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов, расстояния между которыми заданы при помощи таблицы:
A B C D E F
A — 10 9 30 27 20
B 10 — 15 18 17 20
C 9 15 — 25 21 16
D 30 18 25 — 8 17
E 27 17 21 8 — 13
F 20 20 16 17 13 —
Найдите минимальную длину кабеля, позволяющего жителям любых двух городов связаться друг с другом по телефону. Изобразить граф связи между городами.

Расстояние между городами задано таблицей:
ABCDEF
A-109302720
B10-15181720
C915-252116
D301825-817
E2717218-13
F2020161713-
Чтобы найдите минимальную длину кабеля, позволяющего жителям любых двух городов связаться друг с другом по телефону построим сеть
.
Сеть минимальной длины состоит из 5 (6—1 = 5) звеньев и строится так: сначала выбираем самый короткий участок — DЕ (его длина равна 8), затем удлиняем его на самый короткий из оставшихся — АС (его длина равна 9)

.
Сеть минимальной длины состоит из 5 (6—1 = 5) звеньев и строится так: сначала выбираем самый короткий участок — DЕ (его длина равна 8), затем удлиняем его на самый короткий из оставшихся — АС (его длина равна 9)

Тело 3 вращается вокруг оси O3 в соответствии с законом φ3=φ3t, при этом груз
Тело H массой m1=30 кг вращается вокруг вертикальной оси z с постоянной угловой скоростью
Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью υ0 = 20 м / с. Определить
Тело брошено под углом α=60° к горизонту с начальной скоростью v0=28 м/с. Масса тела
Тело брошено под углом α к горизонту с начальной скоростью v0 Определить проекцию вектора
Тело брошено с начальной скоростью v0 = 13 м/с под углом
α = 26,1°
Тело брошено с поверхности Земли со скоростью 20 м/с под углом 60º к горизонту.
Текущий уровень концентрации отраслевого рынка характеризуется данными по 10-ти крупнейших российских предприятий-производителей шин
российские предприятия
Текущую задолженность в 180 млн. руб. договорились погасить в рассрочку с помощью одинаковых платежей,
Телевидение снимает концерт известной певицы. В зале установлены 4 одинаковые камеры. Вероятность того, что
Телегин и Гудков, вооружившись ножами, совершили нападение на гр-на Коровина, отобрали у него деньги
Телекомпания ООО «РИТМ» распространяла рекламный ролик совместной акции телекомпании и одной из торговых организаций.
В
Телерадиокомпания оспорила решение антимонопольного органа о признании факта нарушения пункта 2 статьи 33 Закона
Телефонная компания желает оценить среднее время междугородних переговоров в течение выходных, когда действует льготный

Источник

Содержание

Задача о соединении городов 39
Управленческие решения
Пономарёв, Горчаков, Гольм.doc

ГЛАВА 2. ГРАФЫ И СЕТИ

Здесь А — заливка фундамента, В — изготовление оконных рам и дверей, С — изготовление встроенных шкафов и мебели, D — монтаж водопроводной системы, Е — возведение стен, F — оштукатуривание стен, G — возведение крыши, Н — благоустройство территории, I — установка встроенных шкафов и мебели, J — покраска. Продолжительность работ указана в днях.

Перенумеруем последовательно все работы, не имеющие предшествующих.

В данном случае это работы А — («i), В — (а 2 ) и С — («з)-

Затем последовательно нумеруем остальные работы таким образом, чтобы все предшествующие им были уже занумерованы:

Е — (а 4 ) (следует за (ai) и (а 2 )),

D — (а 5 ) (следует за (а 4 )),

G — (а 6 ) (следует за (а 4 )),

F — (а 7 ) (следует за (а 5 ) и (а 6 )),

Н — (а 8 ) (следует за (а 6 )),

I — (а 9 ) (следует за (а 3 ), (а 7 ) и (а 8 )),

J — (а ш ) (следует за (а 9 )).

В результате получаем табл. 3. Составим диаграмму работ.

В верхней части рис. 31 каждая работа представлена на временной шкале (точка отсчета совпадает с началом работ) горизонтальным отрезком. Длины этих отрезков пропорциональны продолжительности соответствующих работ, а положения их левых концов определяются возможностью их выполнения (см. табл. 3).

В нижней части рис. 31 изображена направленная сеть, построенная по данным табл. 3 и в более наглядной форме показывающая, как именно связаны между собой работы по проекту и в какой очередности их следует выполнять. Ребра, обозначенные пунктиром, необходимы для соблюдения правильной последовательности операций.

ГЛАВА 2. ГРАФЫ И СЕТИ

Жирным выделен критический путь (направленный путь из начального события в конечное, имеющий наибольшую общую продолжительность).

Подсчитаем временные затраты на критическом пути. Имеем:

7 + 10 + 6 + 8 + 2 + 3 = 36.

Отсюда следует, что анализируемый проект может быть реализован за 36 дней и ни днем раньше.

Замечание. Всякая работа на критическом пути называется критической (малейшая задержка с началом ее выполнения увеличивает общую продолжительность работ). В данном случае критическими являются работы

а 2 , а 4 , а 6 , а 8 , а 9 , а 10 , или, возвращаясь к исходным обозначениям,

Определение всех таких работ важно для эффективного составления проекта.

В отличие от критической работы момент начала работы, не входящей в критический путь, может быть несколько сдвинут (вперед) без увеличения общей продолжительности. Важно, чтобы сдвинутая некритическая работа была завершена до начала критических работ, которым она предшествует.

1. Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов, расстояния между которыми заданы при помощи таблицы:

Найдите минимальную длину кабеля, позволяющего жителям любых двух городов связаться друг с другом по телефону.

2. Найдите кратчайшие маршруты, ведущие из узла А во все другие узлы сети, представленной на рис. 32.

Найдите максимальный поток в сети, представленной на рис. 33
(исходный узел — 1, конечный узел — 7).

Найдите критический путь для цикла работ А(3), В(6), С(12),
D (9), £»(11), F (3), G(5), H (7) и /(3) (в скобках указана продолжи
тельность соответствующего вида работы в днях) и минимальное
время, необходимое для выполнения всего цикла, если последова
тельность операций подчинена следующим требованиям: работа D
должна следовать за работой Е, Е — за А ж В, F — за Д и G, G —
за Е, Н — за С, / — за С и F .

Глава 3 ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

Линейные модели являются одним из наиболее активно используемых классов математических моделей.

Издавна тройное правило (позднее — линейная функция) было важным математическим инструментом в физике, химии, астрономии, экономике и вообще везде, где человек хотел объяснить и упорядочить наблюдаемые явления. И это естественно — для всякого наблюдения линейная функция является самой удобной математической моделью, и ею охотно пользуются.

Конечно, сейчас поле математических приложений значительно расширилось. Но по-прежнему линейные модели привлекают огромное внимание. Они сравнительно просты, хорошо разработаны, допускают полное исследование и достаточно эффективны в целом ряде стандартных ситуаций.

Линейность — это свойство математических выражений и функций. Выражение вида

где ж и у — переменные величины, а а и Ъ — постоянные числа, называется линейным относительно переменных х и у.

В случае если переменных больше двух — х, ж 2 , . . ., х п , линейное выражение относительно этих переменных имеет вид

aiXi + а 2 х 2 + • • • + а п х П>

где а, а 2 , . . . , а п — постоянные числа.

Заметим, что в линейное выражение все переменные входят в первой степени и никакие переменные не перемножаются.

Линейное программирование является, по-видимому, наиболее известным и одним из наиболее широко используемых инструментов management science. Это математический метод решения задачи

Источник

Автор: Пользователь скрыл имя, 22 Ноября 2011 в 10:15, методичка

Реальные ситуации, которые складываются в современной общественно-политической жизни нашей страны и, в частности, в экономической деятельности, все чаще можно охарактеризовать одним словом — сложные. При разработке решений в сложных ситуациях руководители всех рангов сталкиваются с рядом методологических и технологических проблем.

Причины подобных затруднений достаточно просты. Прежде всего, это «нетрадиционность», слабая изученность новых задач – ведь ранее многих из сегодняшних задач просто не было. Не меньшее влияние на сложность разработки решений в современных условиях оказывают многоаспектность последствий принимаемых решений, неполнота данных о самих возможных последствиях, необходимость уметь эти последствия хотя бы представлять.

Предположив, что единственным критерием при принятии выпускником окончательного решения является величина его ожидаемого дохода в первые пять лет его трудовой деятельности, решите проблему выпускника, используя дерево решений.

Опишите различные подходы к классификации управленческих решений. Приведите примеры классификаций различных типов.
Задача.

Распределение ресурса осуществляется в соответствии с конкурсным механизмом. Пять Потребителей сообщили Центру свои заявки: 5, 8, 6, 9, 8 и показатели эффекта: 12, 21, 18, 23, 23 соответственно. Как должен быть распределен между Потребителями ресурс объемом 25?

Рассмотрите причины появления синергического и асинергического эффектов в процессе реализации управленческого решения.
Задача.

Некоторая фирма выпускает два набора удобрений для газонов: обычный и улучшенный. В обычный набор входит 3 кг азотных, 4 кг фосфорных и 1 кг калийных удобрений, а в улучшенный – 2 кг азотных, 6 кг фосфорных и 3 кг калийных удобрений. Известно, что для некоторого газона требуется не менее 10 кг азотных, 20 кг фосфорных и 7 кг калийных удобрений. Обычный набор стоит 3 у.е., а улучшенный – 4 у.е. Какие и сколько наборов удобрений надо купить, чтобы обеспечить эффективное питание почвы и минимизировать стоимость?

Опишите различные виды стимулирование и их роль в процессе разработки и реализации управленческого решения.
Задача.

Проводится исследование спроса на некоторый вид товара. Пробные продажи показали следующие данные о зависимости дневного спроса от цены:

Предложено две модели зависимости спроса от цены:

Какая модель является более адекватной экспериментальным данным?

Дайте оценку роли системного анализа, его аналитических методов и процедур в теории и практике государственного управления.
Задача.

На имеющихся 400 гектарах земли хозяйством планируется посеять кукурузу и сою. Сев и уборка кукурузы требует на каждый гектар 200 у.е. затрат, а сои – 100 у.е. На покрытие расходов, связанных с севом и уборкой, получена ссуда в 60 тыс. у.е. Каждый гектар, засеянный кукурузой, приносит 30 центнеров, а засеянный соей – 60 центнеров. Был заключен договор на продажу, по которому каждый центнер кукурузы принесет 3 у.е., а каждый центнер сои – 6 у.е. Однако, согласно этому договору, хозяйство обязано хранить убранное зерно в течение нескольких месяцев на складе, максимальная вместимость которого равна 21 тыс. центнеров. Сколько гектаров нужно засеять каждой из этих культур, чтобы получить максимальную прибыль.

Опишите сущность взаимодействия организационно- производственной системы и внешней среды.
Задача.

Производственная линия выпускала 5% бракованных товаров. Было предложено усовершенствование, призванное снизить процент брака. После переналадки линии на осмотр поступило 300 единиц товара, из которых бракованными оказались 9 единиц. Можно ли на 1% -м уровне значимости считать, что качество продукции производственной линии улучшилось?

Рассмотрите процедуру определения целей управленческого решения. Опишите типы целей и требования к ним.
Задача.

Распределение ресурса производится в соответствии с механизмом обратных приоритетов. Приоритеты четырех Потребителей определяются числами 26, 18, 24, 20. Ресурс Центра составляет 50. Определите равновесные стратегии (заявки) Потребителей.

Опишите различные подходы к формированию критериев оценки решения.
Задача.

Решите проблему распределения энергии в некоторой развитой стране между тремя ее крупнейшими пользователями: бытовым потреблением, транспортом и промышленностью. Целями, по отношению к которым оцениваются эти потребители, являются: вклад в развитие экономики, вклад в качество окружающей среды и вклад в национальную безопасность. Общая цель – благоприятное социальное и политическое положение.

Здесь 1-й уровень иерархии – благоприятное социальное и политическое положение, 2-й уровень – вклад в развитие экономики, вклад в качество окружающей среды и вклад в национальную безопасность, 3-й уровень — бытовое потребление, транспорт и промышленность.

Проведите анализ роли объектов и субъектов управления при разработке решений.
Задача.

Объемы продаж товара в течение недели описываются временным рядом

Вычислить прогнозируемый объем продаж на вторник, среду, четверг, пятницу, субботу, воскресенье и понедельник методом экспоненциального сглаживания,

Положив = 0,2 и считая, что прогноз на понедельник равен 8.

Оцените роль информации в процессе разработки и осуществления управленческих решений.
Задача.

Трое рабочих работают на трех одинаковых станках. В конце смены первый рабочий изготовил 60 деталей, второй – 80, третий – 100 деталей. Можно ли на уровне значимости = 0,01 принять гипотезу о том, что производительности труда первых двух рабочих равны между собой и в 2 раза меньше производительности третьего рабочего?

Опишите общую методологическую схему разработки управленческих решений.
Задача.

Имеется пять Потребителей, приоритеты которых определяются числами 8, 6, 12, 15, 11. Ресурс Центра составляет 60. Определите равновесные стратегии (заявки) Потребителей, если ресурс распределяется в соответствии с механизмом обратных приоритетов.

Раскройте сущность прогнозной природы управленческого решения. Обоснуйте связь эффективности решения с прогнозированием и планированием.
Задача.

Объемы продаж товара в течение недели описываются временным рядом

Рассчитать уравнение тренда и спрогнозировать на его основе показатель на понедельник следующей недели (день № 8).

Рассмотрите различные методы прогнозирования. Опишите факторы, определяющие выбор метода прогноза.
Задача.

Обычно применяемое лекарство снимает послеоперационные боли у 80% пациентов. Новое лекарство, применяемое для тех же целей, помогло 90 пациентам из первых 100 оперированных. Можно ли на уровне значимости = 0,05 считать, что новое лекарство лучше? А на уровне = 0,01?

Раскройте проблематику разработки управленческих решений в условиях неопределенности и риска. Определите источники неопределенности и пути ее снижения.
Задача.

Пять Потребителей подали Центру свои заявки на некий ресурс. Они таковы: 5, 8, 12, 7 и 8. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составляет 32.

Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?

Рассмотрите роль теории игр и статистических решений как инструмента принятия решений в конфликтных ситуациях.
Задача.

Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов, расстояния между которыми заданы в таблице:

A — 10 9 30 27 20

B 10 — 15 18 17 20

C 9 15 — 25 21 16

D 30 18 25 — 8 17

E 27 17 21 8 — 13

Найдите минимальную длину кабеля, позволяющего жителям любых двух городов связаться между собой по телефону.

Опишите различные формы ответственности и опишите особенности их учета при разработке управленческого решения.
Задача.

Восемь Потребителей подали Центру заявки: 13, 10, 16, 19, 9, 12, 14, 11. Центр располагает ресурсом R = 40. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом открытого управления.

Оцените роль сохранения тайны и соблюдения режима конфиденциальности на эффективность управленческих решений.
Задача.

Обсуждается вопрос об организации производства малолитражного легкового автомобиля, на основе лицензии, купленной у иностранной фирмы. Известно, что фирмы требуют неодинаковые суммы за лицензии. Предположим, что с точки зрения затрат владельцев автомобилей, эстетики, вместимости и даже максимальной скорости автомобили всех четырех фирм существенно не отличаются друг от друга и единственным критерием выбора при покупке одной из четырех лицензий являются затраты, связанные со сделкой. Предположим, что с помощью экономического расчета вычислена экономическая эффективность покупки каждой из четырех лицензий. Эта эффективность зависит, однако, от длительности периода, в течение которого можно будет выпускать автомобили по лицензии, учитывая уровень их рентабельности и соответствия последним достижениям в данной области.

Пусть, согласно данным экономического прогноза, экономическая эффективность покупки лицензии №1 составит 18 млн. у.е., если выпуск автомобиля будет рентабельным в течение 10 лет и 21 млн у.е., если выпуск автомобиля будет рентабельным в течение 15 лет; экономическая эффективность покупки лицензии №2 составит 20 млн. у.е., в случае рентабельности в течение 10 лет и 22 млн у.е., при рентабельности в течение 15 лет; для лицензии №3 – 17 млн у.е. для 10 лет и 26 млн у.е. для 15 лет, а для лицензии №4 – 10 и 28 млн у.е., соответственно.

Выбрать оптимальную стратегию поведения на основе статистической теории игр.

Опишите стратегию использования тайны и конфиденциальности как инструмента конкурентной борьбы.
Задача.

Рассчитайте рациональное распределения времени между учебой, досугом и работой в соответствии с их общим вкладом в ваше личное благополучие через 5 — 7 лет, на которое влияют 1) интересная работа, 2) материальная обеспеченность и 3) здоровье (семья).

Здесь 1-й уровень иерархии – благополучие, 2-й уровень – интересная работа, материальная обеспеченность, здоровье (семья), 3-й уровень — учеба, досуг и работа.

Оцените влияние конфликта на эффективность реализации управленческих решений.
Задача.

Имеется шесть Потребителей, подавших заявки в размере 14, 18, 10, 15, 8, 14 и сообщивших Центру соответственно следующие показатели эффекта: 36, 38, 25, 42, 28, 29. Каким должно быть распределение ресурса объемом 60 в соответствии с конкурсным механизмом?

Источник

29)

	A	B	C	D	E
A	–	16	12	6	8
B	16	–	9	5	11
C	12	9	–	10	6
D	6	5	10	–	10
E	8	11	6	10	–

Пример 1.5

30)

	A	B	C	D	E
A	–	8	6	8	13
B	8	–	11	9	12
C	6	11	–	7	8
D	8	9	7	–	10
E	13	12	8	10	–

Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем пять городов, расстояния в километрах между которыми заданы при помощи таблицы:

	A	B	C	D	E
A	–	11	13	12	8
B	11	–	6	9	15
C	13	6	–	10	7
D	12	9	10	–	14
E	8	15	7	14	–

Найти минимальную длину кабеля, позволяющего жителям любых двух городов связаться друг с другом по телефону.

Решение

Сначала выбираем два города, расстояние между которыми самое маленькое – BC (6 км.), затем к ним присоединяем города, имеющие самое маленькое расстояние из оставшихся – CE (7 км.), далее AE (8 км.). И на последнем, четвертом шаге вновь выбираем самое маленькое расстояние (но так, чтобы не образовалось никакого цикла) – BD (9 км.) (рис. 2).

Рис. 2

Таким образом, минимальная длина кабеля, позволяющего жителям любых двух городов связаться друг с другом по телефону равна

6 7 8 9 30 км.

Ответ: минимальная длина кабеля составит 30 км.

Раздел II. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

В разделе «Теория вероятностей и математическая статистика» даны задачи на классическое определение вероятности, сложение и умножение вероятностей, формулу полной вероятности и формулу Байеса, схему испытаний Бернулли; дискретные и непрерывные случайные величины, вариационные ряды, статистические оценки и доверительные интервалы параметров распределения, проверку гипотез, корреляцию и регрессию. Основная часть представленных задач имеет экономическое содержание.

Весь необходимый при решении задач теоретический материал можно найти в учебной литературе следующих авторов: М.С. Красс и Б.П. Чупрынов, В.И. Ермаков, В.Е. Гмурман. В практикумах Н.Я. Виленкина и В.Г. Потапова, Е.С. Вентцеля, В.Е. Гмурмана даны примеры решения некоторых задач. Основным ориентиром в поиске необходимой информации при самостоятельной работе является материал, данный на лекциях и практических занятиях.

Задача 2.1 Задачи, соответствующие вариантам:

1.При перевозке 20 изделий первого типа и 15 изделий второго типа повреждены два изделия. Найти вероятность того, что повреждены изделия: а) одного типа, б) разных типов.

2.В лотерее 20 билетов, из них 8 выигрышных. Какова вероятность выиграть: а) один раз, б) хотя бы один раз, купив 3 билета?

3.Необходимо отправить делегацию из пяти человек. В коллективе 4 бухгалтера, 10 менеджеров и 5 научных сотрудников. Найти вероятность того, что среди делегатов будет 1 бухгалтер, 2 менеджера и 2 научных сотрудника.

4.В коробке 15 плиток шоколада, среди которых 9 с орехами. Найти вероятность того, что из наудачу взятых 3 шоколадок: а) две будут с орехами, б) хотя бы две будут с орехами.

5.Восемь счетов, среди которых 3 оформлены с ошибками, поступили на ревизорскую проверку. Какова вероятность того, что эти три счета будут лежать в пачке счетов рядом?

6.В соревновании участвуют 12 команд. Какова вероятность того, что некоторая определенная команда займет призовое место?

7.Среди 40 счетов четыре оформлены с ошибками. Ревизор наугад берет три счета. Найти вероятность того, что среди этих счетов: а) один будет с ошибками, б) хотя бы один содержит ошибки.

8.Для аттестации группы студентов из 30 человек произвольно выбирают 5 студентов. Какова вероятность того, что будут отобраны: а) два вполне определенных студента, б) ни один из них?

9.Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд кубиков, на которых изображены буквы Б, И, К, Н, О, Р, С, получится слово «СБОРНИК»?

10.В отделе работают 8 женщин и 6 мужчин. Трое из них по жребию отправятся в командировку. Какова вероятность того, что: а) все трое будут мужчины, б) все трое будут женщины?

11.В магазин поступили 20 телевизоров одной марки и 10 телевизоров другой марки. Для школы наудачу закупили три телевизора. Какова вероятность того, что: а) все три телевизора будут одной марки, б) хотя бы один телевизор будет второй марки?

12.В кабинете имеются 30 книг выпуска 2004 г. и 20 книг выпуска 2000 г. На группу студентов выдали 5 произвольно выбранных книг. Какова вероятность того, что: а) 2 книги будут выпуска 2004 года, б) все книги будут выпуска 2004г.?

13.На склад поступили 15 пылесосов одного типа и 10 пылесосов другого типа. На проверку взяли произвольно три пылесоса. Какова вероятность того, что: а) все пылесосы первого типа, б) хотя бы один пылесос второго типа?

14.В группу принесли 30 методических пособий по математике, среди которых 20 по математическому анализу и 10 по теории вероятностей. Студент наугад берет 2 методички. Найти вероятность того, что: а) обе методички будут по теории вероятности, б) хотя бы одна будет по теории вероятности.

15.В пачке 10 тетрадей, среди которых три в линейку, остальные в клеточку. Найти вероятность того, что среди 3 наудачу взятых тетрадей: а) одна будет в линейку, б) хотя бы одна будет в клеточку.

16.К зачету студент подготовил 40 вопросов из 50. Какова вероятность получить зачет, если для его получения надо ответить хотя бы на 2 вопроса из трех случайно выбранных компьютером-экзаменатором?

17.В пачке 10 тетрадей, среди которых три в линейку, остальные в клеточку. Найти вероятность того, что все тетради в линейку лежат рядом друг с другом.

18.В коробке 10 плиток шоколада, среди которых 6 с орехами. Найти вероятность того, что из наудачу взятых 4 шоколадок: а) три будут с орехами, б) хотя бы одна будет с орехами.

19.В пачке 12 тетрадей, среди которых 5 в линейку, остальные в клеточку. Найти вероятность того, что среди трех наудачу взятых тетрадей: а) одна будет в линейку, б) хотя бы две будут в клеточку.

20.На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу выбираются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на этих карточках равна 10?

21.В коробке имеются 6 красных и 15 черных ручек. Из коробки случайно вынимают 3 ручки. Какова вероятность, что: а) все три ручки черные, б) хотя бы одна ручка черная?

22.Из 60 вопросов к экзамену студент подготовил 50 вопросов. Какова вероятность сдать экзамен, если из четырех предложенных вопросов нужно ответить, по крайней мере, на два вопроса?

23.На один ряд из 7 мест случайным образом рассаживаются 7 студентов. Какова вероятность того, что трое определенных студентов окажутся рядом?

24.Какова вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число не содержит ни одной двойки?

25.Из урны, содержащей 9 белых, 9 черных, 8 синих и 8 красных шаров, наудачу извлекаются 3 шара. Какова вероятность того, что извлеченными окажутся белые или черные шары?

26.Из 30 вопросов к экзамену и 60 задач студент подготовил 10 вопросов и умеет решать 20 задач. Какова вероятность сдать экзамен, если из предложенных вопросов нужно ответить на один вопрос и из двух задач решить хотя бы одну?

27.Имеется 6 билетов в театр, из которых 4 билета в партер. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билетов два окажутся билетами в партер?

28.Группа, состоящая из 5 юношей и 10 девушек, распределяют по жребию 4 билета в театр. Какова вероятность того, что в числе тех, кто получил билет, окажутся: а) одни юноши, б) одни девушки?

29.Билет в партер стоит 100 рублей, на бельэтаж – 80 рублей, на ярус – 60 рублей. Какова вероятность того, что взятые наудачу два билета стоят 160 рублей?

30.Из букв слова «событие», составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу выбирают и располагают в ряд 3 буквы. Какова вероятность получить при этом слово «быт»?

Пример 2.1

Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Извлекают три кубика. Найти вероятность того, что два извлеченных кубика имеют одну окрашенную грань и один кубик – три окрашенные грани.

Решение

Событие A – два кубика имеют одну окрашенную грань и один кубик – три окрашенные грани.

Найдем вероятность P A события A по классическому определению вероятности

P A	m	,	(2.1)

	n

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события A, n – общее число произведенных испытаний.

Выборки в данной задаче неупорядоченные и без повторений. Поскольку всего кубиков 1000, а извлекаются 3, то

n C3	1000!		1000 999 998	997002000.
3! 1000 3 !
1000		1 2 3

Три окрашенные грани имеет 8 кубиков, находившихся в вершинах куба. Одну окрашенную грань имеет 384 кубика. Тогда,

m C2	C1	384!		8!	384 383 7	1029504.
2! 384 2 !
384	8	1! 8 1 !	1 2

Подставим найденные значения m и n в формулу (2.1)

P A 1029504 0,001. 997002000

Ответ: вероятность того, что два извлеченных кубика имеют одну окрашенную грань и один кубик – три окрашенные грани равна 0,001.

Задача 2.2 Задачи, соответствующие вариантам:

1.Имеются три партии ламп, насчитывающих соответственно 20, 30, 50 штук. Вероятности того, что лампа проработает гарантийный срок, равны соответственно 0,7, 0,8 и 0,9. Какова вероятность того, что наудачу выбранная лампа из ста данных проработает гарантийный срок? Какова вероятность того, что эта лампа принадлежит первой партии?

2.В экзаменационном билете два теоретических вопроса и одна задача. Всего составлены 30 билетов, содержащих разные вопросы и задачи. Студент подготовил 50 теоретических вопросов и сможет решить по билетам 24 задачи. Какова вероятность того, что, взяв наудачу один билет, студент ответит на все вопросы?

3.Количество изделий данного типа, поступающих в магазин для продажи, с

заводов А, В, С пропорционально 5:7:8. Процент выпуска брака на заводах А, В и С соответственно – 5%, 4% и 3%. Какова вероятность того, что случайно приобретенное в магазине изделие окажется бракованным и брак окажется с завода В?

4.Вероятность одного попадания стрелком в мишень равна 0,8. Найти вероятность попадания в мишень в трех случаях при четырех выстрелах.

5.Вероятность хотя бы одного попадания стрелком в мишень при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность попадания в мишень в трех случаях при четырех выстрелах.

6.Три автомата изготавливают одинаковые детали. Их производительности относятся как 2:3:5, а стандартные детали среди их продукции составляют соответственно 90%, 95%. 85%. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется нестандартной и изготовлена третьим автоматом?

7.В трех одинаковых коробках лежат шоколадки: в первой коробке из 20 шоколадок 5 с орехами, во второй из 16 шоколадок 7 с орехами, в третьей из 30 шоколадок 15 с орехами. Какова вероятность того, что из наудачу выбранной коробки наудачу взятая шоколадка будет с орехами?

8.По одному и тому же маршруту в течение дня совершают полет 5 самолетов. Вероятность того, что в пункт назначения самолет прибудет по расписанию, равна

0,8. Найти вероятность того, что хотя бы два самолета отклонятся от расписания.

9.Для данного участника игры вероятность кольцо на колышек равна 0,3, Какова вероятность того, что при 6 бросках а)4 кольца окажутся на колышке, в) не менее 3 колец окажутся на колышках?

10.По одному и тому же маршруту в течение дня совершают полет 4 самолетов. Вероятность того, что в пункт назначения самолет прибудет по расписанию, равна 0,9. Найти вероятность того, что по крайней мере три самолета отклонятся от расписания.

11.Вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,9. Детский садик прибрел 4 телевизора. Найти вероятность того, что, по крайней мере, два телевизора не потребуют ремонта в течение гарантийного срока.

12.В одной группе обучается 25 студентов, в другой – 30 студентов, в третьей

–28 студентов. По математике на экзамене получили «отлично» 5 студентов первой группы, 5 студентов второй группы и 4 студента третьей группы. Наугад вызванный с лекции, читаемой для студентов этих трех групп, студент получил на экзамене по математике «отлично». Какова вероятность того, что этот студент учится в третьей группе?

13.Для сдачи зачета студентам необходимо подготовить 40 вопросов. Из 30 студентов группы 10 студентов подготовили ответы на все вопросы, 8 человек подготовили 25 вопросов, 7 студентов – 20 вопросов, 5 студентов подготовили только 10 вопросов. Вызванный наудачу студент ответил на поставленный вопрос. Какова вероятность того, что этот студент подготовил только половину вопросов?

14.В группе 10 юношей стреляют по мишени, из них 5 юношей могут попасть в цель с вероятностью 0,7, двое – с вероятностью 0,9, один – с вероятностью 0,4, остальные – с вероятностью 0,8.В мишень при выстреле попали. Какова вероятность, что это был один из 5 юношей, которые стреляют с вероятностью 0,7?

15.По одному и тому же маршруту в течение дня совершают полет 4 самолета. Вероятность того, что в пункт назначения самолет прибудет по расписанию, равна 0,7. Найти вероятность того, что два самолета отклонятся от расписания.

16.На самолете имеются 4 двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя равна 0,95. Найти вероятность того, что могут появиться неполадки а) в одном двигателе, в) хотя бы в одном двигателе.

17.Тест состоит из 4 вопросов, на каждый из которых дается 5 ответов, один из которых правильный. Какова вероятность того, что при простом угадывании правильный ответ будет дан а) на три вопроса, в) не мене чем на три вопроса?

18.В горном районе имеется 4 автоматические сейсмические станции. Каждая из станций может выйти из строя в течение года с вероятностью 0,7. Найти вероятность того, что года не менее двух станций потребуют ремонт.

19.Вероятность перерасхода энергии за сутки равна 0,3. Какова вероятность того, что в течение пяти из семи дней будет перерасход энергии?

20.Вероятность отказа прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести (приборы испытываются независимо друг от друга)?

21.Вероятность попадания в цель пи одном выстреле равна 0,85. Стрелок делает 25 независимых выстрелов. Найти наивероятнейшее число попаданий.

22.На самолете имеются 4 двигателя. Вероятность нормальной работы двух двигателей равна 0,95, двух других – 0,9. Найти вероятность того, что могут появиться неполадки а) в одном двигателе, в) хотя бы в одном двигателе.

23.Известно, что вероятность прорастания семян данной партии зерна равна 0,95. Сколько семян следует взять из этой партии, чтобы наивероятнейшее число взошедших семян равнялось 100?

24.Магазин получил 50 изделий. Вероятность наличия нестандартного изделия равна 0,05. Найти наивероятнейшее число нестандартных изделий в этой партии.

25.При высаживании рассады помидоров 80% растений приживается. Найти вероятность того, что приживутся не менее 5 кустов из 6 посаженных.

26.Найти вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.

27.Прибор состоит из 6 элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента – 0,7. Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы работало не менее двух элементов. Какова вероятность того, что прибор будет работать безотказно?

28.Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,1. Какова вероятность того, что из 6 купленных билетов хотя бы один окажется выигрышным?

29.В группе 30 студентов, из них 20 девушек. К семинару не подготовились 5 девушек и 4 юноши. Наудачу вызванный студент оказался неподготовленным. Какова вероятность того, что это был юноша?

30.Вероятность сдачи студентом зачета равна 0,9. В сессию надо сдать 4 зачета и 3 экзамена. Если студент сдал все зачеты, то он допускается к экзамену, вероятность сдачи каждого экзамена равна 0,8. Какова вероятность сдачи студентом всех зачетов и не менее двух экзаменов?

Пример 2.2

Работают четыре магазина по продаже стиральных машин. Вероятность отказа покупателю вследствие отсутствия товара в каждом магазине равна 0,1. Считая, что ассортимент товара в магазинах формируется независимо от других, определить вероятность того, что покупатель получит отказ во всех магазинах; не получит отказ ни в одном из магазинов. Найти наиболее вероятное число магазинов, дающих отказ.

Решение

Событие A – покупатель получит отказ во всех магазинах; событие B – покупатель не получит отказ ни в одном из магазинов.

Тогда P A – вероятность того, что в n 4 независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p 0,1, событие A насту-

пит ровно k 4 раза. По формуле Бернулли

где q 1 p, получим	Pn k Cnk pkqn k ,	(2.2)
	4!
P(A) P	4 C4	0,14	1 0,1 4 4		0,0001 0,90 0,0001.

4	4			4! 4 4	!

Аналогично по формуле (2.2) находим P B , где k 0

Для нахождения наиболее вероятного числа успехов k0 в серии из n незави-

симых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна p, можно воспользоваться двойным неравенством

np q k0 np p.	(2.3)
Подставим данные задачи в формулу (2.3)
4 0,1 0,9 k0	4 0,1 0,1,
0,5 k0	0,5.

По условию k0 – целое, поэтому из последнего неравенства находим k0 0.

Ответ: вероятность того, что покупатель получит отказ во всех магазинах равна 0,0001; вероятность того, что покупатель не получит отказ ни в одном из магазинов – 0,6561, 0 – наиболее вероятное число магазинов, дающих отказ.

Задача 2.3. Из n частных банков, работающих в городе, нарушения в оплате налогов имеют место в m банках. Налоговая инспекция проводит про-

верку четырех банков, выбирая их случайным образом. Банки проверяются независимо друг от друга. Допущенные в проверяемом банке нарушения могут быть обнаружены налоговой инспекцией с вероятностью p. Какова ве-

роятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в оплате налогов? Если установлен факт наличия среди частных банков города таких, которые допускают нарушения в оплате налогов, то какова вероятность того, что среди случайным образом отобранных четырех банков оказалось таких i банков?

Данные к условию задачи, соответствующие вариантам:

1)n 24, m 9, p 0,7,i 2;

2)n 30, m 8, p 0,8,i 1;

3)n 33, m 10, p 0,9,i 3;

4)n 26, m 7, p 0,7,i 4;

5)n 26, m 5, p 0,8,i 2;

6)n 24, m 5, p 0,9,i 0;

7)n 29, m 8, p 0,7,i 2;

n 28, m 10, p 0,8,i 3;

9)n 27, m 8, p 0,9,i 4;

10)n 31, m 10, p 0,9,i 2;

11)n 25, m 6, p 0,7,i 1;

12)n 24, m 7, p 0,8,i 0;

13)n 32, m 10, p 0,8,i 3;

14)n 25, m 8, p 0,9,i 1;

15)n 24, m 8, p 0,7,i 0;

16)n 28, m 9, p 0,8,i 4;

17)n 27, m 6, p 0,9,i 1;

18)n 28, m 8, p 0,7,i 3;

19)n 32, m 11, p 0,8,i 0;

20)n 25, m 7, p 0,9,i 1;

21)n 24, m 6, p 0,7,i 4;

22)n 29, m 10, p 0,8,i 2;

23)n 26, m 6, p 0,7,i 0;

24)n 30, m 11, p 0,9,i 3;

25)	n 29, m 9,	p 0,7,i 3;	28)	n 33, m 12, p 0,8,i 1;
26)	n 28, m 7,	p 0,9,i 4;	29)	n 31, m 9, p 0,7,i 4;
27)	n 34, m 11,	p 0,7,i 0;	30)	n 26, m 8, p 0,8,i 2.

Пример 2.3

Из 27 частных банков, работающих в городе, нарушения в оплате налогов имеют место в 7 банках. Налоговая инспекция проводит проверку четырех банков, выбирая их случайным образом. Банки проверяются независимо друг от друга. Допущенные в проверяемом банке нарушения могут быть обнаружены налоговой инспекцией с вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в оплате налогов? Если установлен факт наличия среди частных банков города таких, которые допускают нарушения в оплате налогов, то какова вероятность того, что среди случайным образом отобранных четырех банков оказалось таких 2 банка?

Решение

Введем обозначения:

Событие A – в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в оплате налогов.

Гипотезы: Hi – среди выбранных для проверки четырех банков ровно в i банках имеют место нарушения в оплате налогов, i 0;1;2;3;4.

События H0, H1, H2, H3, H4 образуют полную группу несовместных собы-

тий. Вероятность события A найдем по формуле полной вероятности

	4		A		,	(2.4)

	P A P Hi P
	i 1		Hi
где P H	– вероятности гипотез H	A		– условные вероятности собы-
; P
i	i		Hi

тия A относительно гипотез Hi, i 0;1;2;3;4.

Вычислим вероятности гипотез по формуле (2.1). Поскольку выборки банков неупорядоченные и без повторений, то

P H0

20! 4! 23!

0,2761;

4!16! 27!

P H1

20! 7! 4! 23!

0,4547;

C274

3!17!1! 6!27!

P H2

20! 7! 4! 23!

0,2273;

2!18! 2! 5!27!

	P H3	C1	C3	20! 7! 4! 23!
	20	7					0,0399;
	C4		1!19! 3! 4!27!
				27
		P H4	C0	C4		7! 4! 23!
		20	7			0,002.
		C274
					4! 3!27!
Проверим условие нормировки:
4
P Hi 0,2761 0,4547 0,2273 0,0399 0,002 1.
i 1
	A
Найдем P	, i 0;1;2;3;4, т.е. найдем вероятности того, что наруше-
		Hi

ния в оплате налогов будут выявлены хотя бы в одном из проверяемых четырех банков в каждом рассматриваемом случае.

Вероятность появления события A хотя бы раз в n независимых испытаниях,

в каждом из которых вероятность появления события равна	p составляет
P A 1 qn,	(2.5)
где q 1 p.

По условию p 0,8, следовательно, q 0,2. Банки проверяются независимо друг от друга, поэтому по формуле (2.5) находим

1 0,20

1 0,23

0,992;

1 0,21

0,8;

1 0,24

0,9984.

1 0,22

0,96;

Подставим найденные значения в формулу (2.4)

P A 0,2761 0 0,4547 0,8 0,2273 0,96 0,0399 0,992

0,002 0,9984 0,6235

– вероятность того, что среди случайным

Согласно обозначениям P

образом отобранных четырех банков оказалось 2 банка, которые допускают нарушения в оплате налогов, если установлен факт наличия среди частных банков города таковых. Воспользуемся формулой Байеса

				A
H			P Hi P		(2.6)
			Hi
P	i				,
P A
		A

Подставляя необходимые значения в формулу (2.6) получим

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов.doc

Зарегистрируйся в два клика и получи неограниченный доступ к материалам, а также
промокод

на новый заказ в Автор24. Это бесплатно.

0,10 1 0,1 4 0

0,10 0,94 0,6561.

50% решения задач недоступно для прочтения

Закажи персональное решение задач. Эксперты

напишут качественную работу за 30 минут! ⏱️

Источник

Подобный материал:

Тема форума, 187.38kb.
1 Вопросы методологии исследования, 416.32kb.
Проект Сводного доклада Форума «Стратегии крупных городов. Инвестиционные строительные, 508.25kb.
Проблемы развития городов в последние годы уверенно занимает ключевую позицию в приоритетах, 81.82kb.
Городов Всемирного Наследия, Международной Ассоциации Породненных Городов, Европейской, 145.2kb.
Программа курса лекций «Математические методы и модели исследования операций», 27.98kb.
Т. М. Боровська кандидат технічних наук, доцент І. С. Колесник, 118.17kb.
Малые города России: в будущее – через инновации, 56.32kb.
При физическом соединении двух или более компьютеров образуется компьютер¬ная сеть, 1009.79kb.
Деловую программу откроет конференция, на которой будут обсуждаться вопросы формирования, 201.02kb.

2.2.5. Критический путь

Предположим, что требуется проанализировать проект с точки зрения минимальных временных затрат на его выполнение. Для этого проект разбивают на отдельные работы, или действия, оценивают время, необходимое на проведение каждой из них, и записывают последовательность операций, показывающую, какие работы должны быть закончены, прежде чем начнутся другие. Затем вычерчивается диаграмма работ, на которой каждая работа изображается направленным ребром, и определяется критический путь, имеющий наибольшую общую продолжительность. Он и определяет минимум временных затрат на выполнение проекта.

Покажем, как делается временная оценка проекта, на примере строительства небольшого загородного дома.

В табл. 1 и 2 указаны работы, их продолжительность и последовательность выполнения.

^ ГЛАВА 2. ГРАФЫ И СЕТИ

Таблица 1

Работа	Продолжительность	Работа	Продолжительность
А	2	F	2
В	7	G	6
С	15	Н	8
D	8	I	2
Е	10	J	3

Таблица 2

Таблица 3

Бдолжна	следовать	за	Е
Едолжна	следовать	за	А	и	В
F должна	следовать	за	D	и	G
Сдолжна	следовать	за	Е
Ндолжна	следовать	за	G
I должна	следовать	за	с,	F	иН
J должна	следовать	за	I

dl	—	2
^a2	—	7
аз	—	15
а₄	а, а%	10
а₅	а₄	8
а₆	а₄	6
а₇	а₅, а₆	2
а₈	а₆	8
а₉	а₃, а₇, а₈	2
«10	а₉	3

Перенумеруем последовательно все работы, не имеющие предшествующих.

В данном случае это работы А — («i), В — (а₂) и С — («з)-

Е — (а₄) (следует за (ai) и (а₂)),

D — (а₅) (следует за (а₄)),

G — (а₆) (следует за (а₄)),

F — (а₇) (следует за (а₅) и (а₆)),

Н — (а₈) (следует за (а₆)),

I — (а₉) (следует за (а₃), (а₇) и (а₈)),

J — (а_ш) (следует за (а₉)).

В результате получаем табл. 3. Составим диаграмму работ.

2.2. СЕТИ

_l fli _l		Я4		я₅		а₇	я₉	яю
						я₈
а	¹ > ^^ яз
		—-	V		_ч яю

Рис. 31

^ ГЛАВА 2. ГРАФЫ И СЕТИ

Жирным выделен критический путь (направленный путь из начального события в конечное, имеющий наибольшую общую продолжительность).

Подсчитаем временные затраты на критическом пути. Имеем:

7 + 10 + 6 + 8 + 2 + 3 = 36.

Отсюда следует, что анализируемый проект может быть реализован за 36 дней и ни днем раньше.

Замечание. Всякая работа на критическом пути называется критической (малейшая задержка с началом ее выполнения увеличивает общую продолжительность работ). В данном случае критическими являются работы

а₂, а₄, а₆, а₈, а₉, а₁₀, или, возвращаясь к исходным обозначениям,

В, Е, G, H, I, J.

Определение всех таких работ важно для эффективного составления проекта.

2.3. Задания

	А	В	С	D	Е	F
А	—	10	9	30	27	20
В	10	—	15	18	17	20
С	9	15	—	25	21	16
V	30	18	25	—	8	17
Е	27	17	21	8	—	13
Е	20	20	16	17	13	—

2.3. ЗАДАНИЯ

Рис. 32

2. Найдите кратчайшие маршруты, ведущие из узла А во все другие узлы сети, представленной на рис. 32.

Рис. 33

Найдите максимальный поток в сети, представленной на рис. 33
(исходный узел — 1, конечный узел — 7).
Найдите критический путь для цикла работ А(3), В(6), С(12),
D(9), £»(11), F(3), G(5), H(7) и /(3) (в скобках указана продолжи
тельность соответствующего вида работы в днях) и минимальное
время, необходимое для выполнения всего цикла, если последова
тельность операций подчинена следующим требованиям: работа ^ D
должна следовать за работой Е, Е — за А ж В, F — за Д и G, G —
за Е, Н — за С, / — за С и F.

Глава 3 ^ ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ

Линейные модели являются одним из наиболее активно используемых классов математических моделей.

Линейность — это свойство математических выражений и функций. Выражение вида

ах + by,

где ж и у — переменные величины, а а и Ъ — постоянные числа, называется линейным относительно переменных х и у.

В случае если переменных больше двух — х, ж₂, . . ., х_п, линейное выражение относительно этих переменных имеет вид

aiXi + а₂х₂ + • • • + а_пх_П}

где а, а₂, . . . , а_п — постоянные числа.

Источник

	А	В	С	D	Е	F
А	—	10	9	30	27	20
В	10	—	15	18	17	20
С	9	15	—	25	21	16
V	30	18	25	—	8	17
Е	27	17	21	8	—	13
Е	20	20	16	17	13	—

	А	В	С	D	Е	F
А	—	10	9	30	27	20
В	10	—	15	18	17	20
С	9	15	—	25	21	16
V	30	18	25	—	8	17
Е	27	17	21	8	—	13
Е	20	20	16	17	13	—

	А	В	С	D	Е	F
А	—	10	9	30	27	20
В	10	—	15	18	17	20
С	9	15	—	25	21	16
V	30	18	25	—	8	17
Е	27	17	21	8	—	13
Е	20	20	16	17	13	—