Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска 1 класс малый риск 2 класс средний

Пусть
имеется некоторый комплекс условий
.

Определение
1.
Совокупность событий
,
из которых хотя бы одно происходит в
результате комплекса условий,
называется полной группой событий.

Предположим,
что события
,
которые могут произойти в результате
комплекса условий,
образуют полную группу событий и, кроме
того, эти события являются попарно
несовместными. Пусть A
– любое событие, которое может произойти
в результате этого же комплекса условий.
Тогда вероятность события A
может быть вычислена с использованием
вероятностей

и
условных вероятностей
.

Теорема
1. Пусть
задан некоторый комплекс условий
,
в результате которого могут произойти
события
,
образующие полную группу попарно
несовместных событий. Тогда вероятность
любого события A,
которое может произойти в результате
того же комплекса условий, вычисляется
по формуле (полной вероятности).

Теорема
2 (Байеса).
Пусть задан некоторый комплекс условий,
в результате которого могут произойти
события
,
образующие полную группу попарно
несовместных событий. Пусть в результате
комплекса условий

уже произошло некоторое событие A.
Тогда вероятности гипотез могут быть
переоценены по формуле Байеса

().

Пример

Страховая
компания разделяет застрахованных по
классам риска: I
класс – малый риск, II
класс – средний, III
класс – большой риск. Среди этих клиентов
50% – первого класса риска, 30% – второго
и 20% – третьего. Вероятность необходимости
выплачивать страховое вознаграждение
для первого класса риска равна 0,01,
второго – 0,03, третьего – 0,08. Какова
вероятность того, что: 1) застрахованный
получит денежное вознаграждение за
период страхования; 2) получивший денежное
вознаграждение застрахованный относится
к группе малого риска?

Решение:

1)
Событие A
– застрахованный получил денежное
вознаграждение за период страхования.
Гипотезы:

H₁
–
застрахованный
относится к I
классу,
;.

H₂
–
застрахованный
относится к II
классу,
;.

H₃
–
застрахованный
относится к III
классу,
;.

По
формуле полной вероятности:
.

2)
Найдем условную вероятность
того, что получивший денежное вознаграждение
застрахованный относится к группе
малого риска, по формуле Байеса:.

§ 6. Повторные испытания. Формула Бернулли. Теорема Лапласа. Формула Пуассона

Пусть имеется
комплекс условий
,
в результате которого может появиться
некоторое событиеA,
вероятность которого равна
.
Рассмотрим новый комплекс условий
,
который заключается в том, что исходный
комплекс условийповторяется

раз. В такой ситуации говорят, что имеется
схема повторных испытаний Бернулли.
Рассмотрим событие
,
которое заключается в том, что при
осуществлении комплекса условий
,
то есть в результате

испытаний, событие

появится ровно

раз. Положим

и найдем формулы для вычисления
вероятности
.

Формула
Бернулли.
Вероятность
того, что в

независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность появления события
равна p
(0 < p < 1),
событие наступит ровно k
раз (безразлично, в какой последовательности),
равна
,
где
.

Вероятность того,
что в

независимых испытаниях событие наступит:

1) менее

раз
;

2) более

раз
;

3) не менее

раз
;

4) не более

раз
.

Локальная
теорема Муавра-Лапласа.
Вероятность
того, что в

независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность появления события
равна p
(0 < p < 1),
событие наступит ровно

раз (безразлично, в какой последовательности),
приближенно равна (тем точнее, чем больше

)

,

Обычно формулу
Муавра-Лапласа применяют при

и

(число испытаний велико, а значения
вероятности не слишком близки к нулю
или к единице). В таблице 1 даны значения
функции Гаусса

для некоторых значений
.
Для отрицательных значений

числовые значения функции Гаусса
находятся из условия ее четности:
.

Интегральная
теорема
Муавра-Лапласа.
Вероятность
того, что в

независимых испытаниях, в каждом из
которых вероятность появления события
равна p
(0 < p < 1),
событие наступит не менее

раз и не более
,
приближенно равна (тем точнее, чем больше
)

.

Здесь

– функция Лапласа,
и
.

Таблица функции
Лапласа для положительных значений х
()
приведена в приложении 2. Для значенийполагают
.
Для отрицательных значений х
учитывают, что функция Лапласа нечетная

.

Формула Пуассона

Формулу используют
для приближенного вычисления вероятности

того, что событие A
наступит ровно

раз в серии из

испытаний, в том случае, когда число

достаточно велико, а вероятность

события

достаточно мала ()
полагают, что
,
где
.

Пример

Предполагается,
что 40% деревьев в лесопарковой зоне
могут быть повреждены болезнью. Найти
вероятность того, что из шести выбранных
для проверки деревьев будут повреждены:
а) ровно четыре; б) не более четырех.

Решение:

а) Очевидно, имеет
место
формула Бернулли, где,,,,
поэтому

.

б) Можно решать
двумя способами:

1 способ:

=++++=

2 способ:
.

Во втором случае
вычисления проще, и это полезно учитывать
при решении задач.

Пример

При пересадке
саженцев голубой ели выживает 80% саженцев.
Определить вероятность того, что из 100
пересаженных саженцев, выживет: 1) ровно
75; 2) не менее 75; 3) не более 75.

Решение:

Поскольку
велико,,не малы, применим приближенные формулы:

1) локальную теорему
Лапласа
,
гдефункция четная и.
В нашем случае.

Тогда
(находим по таблице
приложение 1)

.

2) интегральную
теорему Лапласа:

Если вероятность
наступления события
в каждом изнезависимых испытаний постоянна и равна,
то вероятностьтого, что событиев таких испытаниях наступит не менеераз и не болеераз, вычисляется по формуле:,

где
,.

В приложении 2 даны
значения этой функции для
.
Прифункция.

В нашей задаче
и.
Тогда

3) интегральную
теорему Лапласа:

и

Пример

В питомнике
выращивали 1000 саженцев липы. Вероятность
того, что среди них окажутся саженцы
другой породы, равна 0,003. Найти вероятность
того, что таких саженцев окажется: 1)
ровно два; 2) хотя бы один.

Решение:

Число
велико, вероятностьмала и рассматриваемые события независимы,
поэтому имеет место формула Пуассона
,
где
,
то есть
.

1. Найдем вероятность
   того, что среди 1000 ровно два
   саженца другой породы:
   .

2. Событие
   – хотя бы один
   саженец другой породы.
   Противоположным событием к событию
   «хотя бы один» является событие «ни
   одного», следовательно,

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #

  08.04.2015273.14 Кб691.docx

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Вариант 412 Алекса Ларина ЕГЭ 2023 по математике профильный уровень 11 класс с ответами и решением, а также полным видео разбором, который опубликован на сайте 24 декабря 2022 года, по новой демоверсии ЕГЭ 2023 года ФИПИ.

Скачать вариант

412-ларин

Видео решение заданий варианта

1. В одну и ту же окружность вписан квадрат UTSA и треугольник SAL. Найдите угол SLA. Ответ дайте в градусах.

1.2. Две прямые АК и СМ делят треугольник АВС на три треугольника и один четырехугольник. На рисунке цифрами обозначены площади этих треугольников. Найдите площадь четырехугольника ВМОК.

3.1. Ангелина отправляет СМС на телефон Деда Мороза. Связь плохая, поэтому каждая попытка отправить СМС имеет вероятность успеха 0,2. Найдите вероятность того, что СМС будет отправлена не позже, чем с четвертой попытки.

3.2. В мешке подарков Деда Мороза лежат цветные шарики: 3 красных, 3 зеленых и 4 синих. Найдите вероятность того, что среди шести случайно выбранных шариков окажутся ровно 1 красный, 2 зеленых и 3 синих. Ответ округлите до сотых.

4.1. Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: 1 класс – малый риск, 2 класс – средний, 3 класс – большой риск. Среди этих клиентов 50% ‐ первого класса риска, 30% ‐ второго и 20% ‐ третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0,01, второго – 0,03, третьего – 0,08. Найдите вероятность того, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится к группе малого риска. Ответ округлите до сотых.

4.2. Дед Мороз хочет посадить во дворе своей резиденции 4 ели и по этой причине отправляется в садовый магазин за саженцами. По опыту он знает, что из 10 саженцев в среднем два саженца не приживаются. Какое минимальное количество саженцев должен купить Дед Мороз, чтобы с вероятностью не менее 0,9 хотя бы 4 из них прижились?

9.1. Снеговик проехал на велосипеде 60 км из пункта А в пункт В. На обратном пути он первый час проехал с прежней скоростью, после чего сделал остановку на 20 мин. Начав движение снова, он увеличил скорость на 4 км/ч и поэтому потратил на путь из В в А столько же времени, сколько и на путь из А в В. Определите скорость снеговика при движении на велосипеде на пути из А в В? Ответ запишите в км/ч.

9.2. На уборке снега работают две снегоочистительные машины. Первая может убрать всю улицу за 1 ч, а вторая – за 75% этого времени. Начав уборку одновременно, обе машины проработали вместе 20 мин, после чего первая машина прекратила работу. Сколько еще нужно времени, чтобы вторая машина закончила работу? Ответ запишите в минутах.

15.1. В июле 2023 года Иван Морозов планирует взять кредит на 8 лет в размере 800000 рублей. Условия возврата таковы: – каждый январь с 2024 по 2027 год долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего года; – каждый январь с 2028 по 2031 год долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года; – с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга; – в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года; – к июлю 2031 года кредит должен быть полностью погашен. Определите r , если общая сумма выплат по кредиту должна составить 1444 тыс. рублей.

16.1. В остроугольном треугольнике АВС проведены высота ВН и медиана АМ, причем точки А, В, Н и М лежат на одной окружности. А) Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. Б) Найдите площадь треугольника АВС, если АМ : ВН = 4 : 3 и МН = 3.

18.2. В резиденции Деда Мороза работает не менее 60 и не более 80 гномиков. Дед Мороз проводит собрание. К началу собрания пришло меньше половины гномиков (а возможно, что и никто не пришел). Спустя 10 минут после объявленного начала на собрание пришел еще один гномик. А) Могло ли получиться так, что после этого на собрании присутствовало больше половины гномиков? Б) Возможно ли, что и до и после прихода опоздавшего гномика процент гномиков на собрании выражался целым числом? В) Какое наибольшее целое значение мог принять процент так и не пришедших на собрание гномиков?

• Сборник ЕГЭ 2023 Ященко математика 11 класс профиль
• Ларин вариант 411 ЕГЭ 2023 профиль по математике

ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ

Стрелок попадает при выстреле в мишень в десятку с вероятностью 0,5; в девятку — 0,3; в восьмёрку – 0,1; в семерку – 0,1. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова вероятность того, что он набрал не менее 940 очков

Во вложении решение данной задачи, оформлено в печатном виде, подробное

Сдавалась в КНИТУ КАИ билет 52 задача 2

Стрелок попадает при выстреле в мишень в десятку с вероятностью 0,5; в девятку — 0,3; в восьмёрку – 0,1; в семерку – 0,1. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова вероятность того, что он набрал не менее 940 очков

Во вложении решение данной задачи, оформлено в печатном виде, подробное

Сдавалась в КНИТУ КАИ билет 52 задача 2

Стрелок попадает при выстреле в мишень в десятку с вероятностью 0,5; в девятку — 0,3; в восьмёрку – 0,1; в семерку – 0,1. Стрелок сделал 100 выстрелов. Какова вероятность того, что он набрал не менее 940 очков

Во вложении решение данной задачи, оформлено в печатном виде, подробное

Сдавалась в КНИТУ КАИ билет 52 задача 2

Фрагмент работы:

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих у…

ЗАДАЧА 3.

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет р1=95%, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно р2=90% и р3=75%. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

1) все устройства;

2) только одно устройство;

3) хотя бы одно устройство.

РЕШЕНИЕ:

1) обозначим через событие А – все устройства сработали. Тогда

…

2) обозначим через событие В – сработает только одно устройство.

…

3) обозначим через событие С – хотя бы одно устройство сработало, т.е. сработало одно или два или три устройства.

Противоположное событие – ни одно устройство не сработало.

…

Следовательно

…

ОТВЕТ: 1) 0.6413 ; 2) 0.0388 ; 3) 0.9987

ЗАДАЧА 18.

В партии, состоящей из n=55 одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k=35 из этих изделий – первого сорта, а остальные изделия – второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся:

1) одного сорта;

2) разных сортов.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через: событие – изделие первого сорта

событие – изделие второго сорта

1) событие А – изделия одного сорта

…

2) событие В – изделия разных сортов

…

ОТВЕТ: 1)0.4717; 2) 0.3288

ЗАДАЧА 28.

Страховая компания разделяет застрахованных по классам риска: I класс – малый риск, II класс – средний риск, III класс – большой риск. Среди клиентов компании 50% — клиенты первого класса риска, 30% — второго и 20% — третьего. Вероятность необходимости выплачивать страховое вознаграждение для первого класса риска равна 0.01, второго 0.03, третьего 0.08.

1) какова вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение за период страхования?

2) Найти вероятность того, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится группе малого риска.

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через:

событие – застрахованный получил денежное вознаграждение

событие – застрахованный принадлежит к I классу риска

событие – застрахованный принадлежит к II классу риска

событие – застрахованный принадлежит к III классу риска

По условию задачи:

…

1) Найдем вероятность того, что застрахованный получит денежное вознаграждение, используя формулу полной вероятности:

…

2) Найдем вероятность того, что получивший денежное вознаграждение застрахованный относится группе малого риска, воспользовавшись формулой Байеса:

…

ОТВЕТ: 1) 0.03 ; 2) 0.1667.

ЗАДАЧА 33.

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак «изделие высшего качества» равна p=0,2.

1. На контроль поступило n=6 изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m=3 изделиям;

б) более чем k=4 изделиям;

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

2. При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N=28 изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1=4, но не более, чем k2=14 изделий.

РЕШЕНИЕ:

1. а) Искомую вероятность найдем по формуле Бернулли:

…

б) обозначим через событие А – более чем k=4 изделиям присвоен знак высшего качества.

…

в) событие С – хотя бы одному изделию – одному и более.

Противоположное событие – ни одному изделию

…

г) найдем наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества по формуле:

…

2. а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

…

Получаем:

…

по таблице находим

…

б) будем использовать интегральную теорему Лапласа:

…

ЗАДАЧА 50.

В лотерее на каждые 100 билетов приходиться m1=8 билетов с выигрышем a1=5 тыс. рублей, m2=10 билетов с выигрышем a2=4 тыс. рублей, m3=15 билетов с выигрышем a3=3 тыс. рублей и m4=25 билетов с выигрышем a4=2. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

РЕШЕНИЕ:

Случайная величина Х – дискретная величина. Составим закон распределения этой случайной величины…

…

Располагая величины возможного выигрыша в порядке возрастания, получим следующую таблицу:

0 2 3 4 5

…

Отметим, что…

а) Математическое ожидание случайной величины Х:

…

Ожидаемый средний выигрыш на один билет составляет 1,75 тыс.руб.

Дисперсию вычислим по формуле:

…

Среднее квадратическое отклонение равно:

…

ОТВЕТ: ; ;

ЗАДАЧА 58.

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять а=130 граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением ?=5 граммов.

Требуется найти вероятность того, что:

1) Вес изделия составит от ?=125 до ?=140 граммов;

2) Величина погрешности в весе не превзойдет ?=12 граммов по абсолютной величине.

РЕШЕНИЕ:

1) Воспользуемся формулой:

…

Тогда получаем

…

По таблице приложения 2:…

Искомая вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в интервал (125; 140) равна:

…

2) вероятность того, что абсолютная величина отклонения “X-a” окажется меньше ?=12, равна:

…

ОТВЕТ: а) 0.8185; б) 0.9836

ЗАДАЧА 70.

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni представлены в виде интервального статистического распределения.

1) Построить гистограмму относительных частот распределения.

2) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

3) Оценить генеральные характеристики по найденным выборочным характеристикам.

1) Считая, что значение X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью ?=0.88, считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

xi 80 – 82 82 – 84 84 – 86 86 – 88 88 – 90

ni 3 7 20 15 5

РЕШЕНИЕ:

Объем выборки:…

1) вычислим относительные частоты для каждого частичного интервала:

…

Контроль

В итоге получено следующее интервальное распределение относительных частот признака Х:

xi

wi

Длина каждого частичного интервала равна 4. Следовательно, шаг разбиения.

Построим гистограмму относительных частот.

…

2) для нахождения характеристик выборки интервального распределения признака Х перейдем к дискретному, выбирая в качестве значений признака xi середины частичных интервалов:

xi

ni

средняя выборочная:

Средняя выборочная квадратов:

…

Выборочная дисперсия:

…

квадратическое отклонение

…

2) доверительный интервал для оценки средней найдем по формуле:

…

Где значение t определим по таблице

Тогда

…

ОТВЕТ: ; ; ;

ЗАДАЧА 73.

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течении ряда месяцев: X – величина месячной прибыли в тыс. руб., Y – месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных месяцев.

1) По данным корреляционной таблицы найти условные средние и.

2) Оценить тесноту линейной связи между X и Y.

3) Составить уравнение линейной регрессии Y по X и X по Y.

4) Сделать чертеж, нанеся на него условные средние и найденные прямые регрессии.

5) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

30 40 50 60 70

5 1 1

10 5 5 10

15 3 2 4 9

20 4 1 4 9

25 2 7 6 15

30 3 3

6 8 8 12 13 n=47

РЕШЕНИЕ:

Найдем условные средние и по формулам:

…

Для того, чтобы найти коэффициент корреляции составим вспомогательные таблицы:

Найдем выборочные средние:

…

Найдем средние квадратические отклонения:

…

Найдем коэффициент корреляции:

…

Следовательно, связь между признаками X и Y является высокой и прямой.

Составим уравнение линии регрессии по :

…

Составим уравнение линии регрессии по :

…

Построим графики линий регрессии и нанесем точки, :

…

Вычислим корреляционные отношения:

…

Где межгрупповые дисперсии вычисляются по формулам:

…

Составим расчетную таблицу:

Тогда

…

Тогда корреляционные отношения равны:

…