Страховая компания положила в банк некоторую сумму денег под 10% годовых для обеспечения страховых выплат. Какова была эта сумма (в рублях), если она оказалась полностью истрачена за три года на следующие выплаты: 880 000 рублей в конце первого года, 605 000 рублей в конце второго года и 1 331 000 рублей в конце третьего года (все выплаты производились после начисления банком процентов).
Спрятать решение
Решение.
Пусть искомая сумма равна К тысячам рублей. Составим таблицу по данным задачи (все единицы измерения приведены в тысячах рублей).
| Отчетный
год |
Сумма вклада | Страховая
выплата |
Переходящий остаток по истечении года | |
| в начале года | в конце года | |||
| 1 | K | 1,1K | 880 | 1,1K − 880 |
| 2 | 1,1K − 880 | (1,1K − 880) · 1,1 = 1,21K − 968 | 605 | 1,21K − 968 = 1,21K−1573 |
| 3 | 1,21K − 968 | (1,21K − 968) · 1,1 = 1,331K − 1730,3 | 1331 | 1,331K − 1730,3 − 1331 = 1,331K − 3061,3=0 |
Решим уравнение:
(тыс. руб.).
Ответ: 2 300 000.
Спрятать критерии
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 2 |
| Верно построена математическая модель | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 354.
Страховая компания положила в банк некоторую сумму денег под 10% годовых для обеспечения страховых выплат. Какова была эту сумма (в рублях), если она оказалась полностью истрачена за три года на следующие выплаты: 880000 рублей в конце первого года, 605000 рублей в конце второго года и 1331000 рублей в конце третьего года (все выплаты производились после начисления банком процентов).
Решение:
Пусть S — сумма, которую положила в банк страховая компания
k = 1 + 0,1 = 1,1 — повышающий коэффициент
1 год:
S — сумма, положенная в банк страховой компанией
kS — сумма в банке после начисления процентов
880000 — платеж
Значит, (kS — 880000) — сумма в банке после платежа
2 год:
(kS-880000) — сумма в банке в начале 2 года
k(kS-880000) — сумма в банке после начисления процентов
605000 — платеж
Значит, (k²S — 880000k — 605000) — сумма в банке после платежа
3 год:
(k²S — 880000k — 605000) — сумма в банке в начале 3 года
k(k²S — 880000k — 605000) — сумма в банке после начисления процентов
1331000 — платеж
Значит, (k³S — 880000k² — 605000k — 1331000) — сумма в банке после платежа
Так как страховая компания полностью истратила всю сумму за 3 года, то
k³S — 880000k² — 605000k — 1331000 = 0
Решим уравнение:
1,1³⋅S — 880000⋅1,1² — 605000⋅1,1 — 1331000 = 0
1,331⋅S — 880000⋅1,21 — 605000⋅1,1 — 1331000 = 0
1,331⋅S — 1064800 — 665500 — 1331000 = 0
1,331⋅S = 3061300
S = 2300000 рублей
Ответ: 2300000 рублей
Обозначим первоначальную суму вложения как х.
После первого года с начислением процентов сума составляла:
х + 0,1х = 1,1 х.
В конце первого года было выплачено 880 000 рублей, в банке осталась сума:
1,1 х — 880 000.
После второго года было начислено 10%, сума вложения стала равна:
1,1(1,1 х — 880 000) = 1,21х – 968 000.
В конце второго года было выплачено 605 000 рублей, в банке осталось:
1,21х – 968 000 — 605 000 = 1,21х — 1 573 000.
После третьего года на остаток сумы было начислено 10%:
1,1(1,21х — 1 573 000) = 1,331 х – 1 730 300.
В конце третьего года было выплачено 1331000 рублей:
1,331 х – 1 730 300 – 1 331 000 =1,331 х — 3 061 300.
После всех выплат, сумма оказалась полностью истрачена:
1,331 х — 3 061 300 = 0.
х = 3 061 300 / 1,331
х = 2 300 000 (рублей) – сумма первоначального вложения.
Ответ. 2 300 000 рублей
Задачи на проценты
ЕГЭ — профиль
Задача №1. 15-го января планируется взять в банке на 1 млн. рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 1,7 млн. рублей.
Решение:
1(1 + )
0,7
0,7 (1 + )
0,6
0,6 (1 + )
0,4
0,4 (1 + )
0,2
0,2 (1 + )
0,1
0,1 (1 + )
0
Общая сумма выплат:
1 — 1(1 + ) + 0,7 — 0,7 (1 + ) – 0,6 + 0,6 (1 + ) – 0,4 + 0,4 (1 + ) – 0,2 + 0,2 (1 + )-
-0,1 + 0,1 (1 + ) -0 < 1,7
r < 23,3..
значит, наибольшее значение r = 23 %.
Ответ : 23 %.
Задача № 2. В июле планируется взять кредит в банке на сумму 20 млн. рублей на некоторый срок, равный целому числу лет. Условия возврата кредита таковы: — каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 47 млн. рублей?
Решение: (решение задачи сводится к составлению суммы арифметической прогрессии, которая составляет все выплаты по кредиту).
Пусть на n лет взяли в банке кредит на 20 млн. рублей.
1 год: 20 · 1,3 = 26 млн. рублей с учетом процентов.
выплата: + 20 ·0,3 =
остаток: 26 – (= 20 —
2 год: выплата: +( 20 — + 6
остаток: (20 — ) + (20 — ) – ( +( 20 — = 20 —
3 год: выплата: +( 20 — = + 6
остаток: ( 20 –) + ( 20 — – ( +( 20 — = 20 —
и т.д.
найдем разницу между двумя выплатами: + 6 — + 6) = —
воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
n = 8.
Значит, кредит взяли на 8 лет.
Ответ : 8 лет.
Задача № 3. В июле планируется взять кредит в банке на 10 лет. Условия возврата кредита таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На какую сумму планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 38 млн. рублей?
Решение:
(решение задачи сводится к составлению суммы арифметической прогрессии, которая составляет все выплаты по кредиту).
Пусть взяли в банке кредит на S млн. рублей.
1 год: S · 1,25 = 1,25 ·S млн. рублей с учетом процентов.
выплата: + S ·0,25 = млн. рублей;
остаток: 1,25 S – (+ 0,25S ) = млн. рублей;
2 год: выплата: + ∙0,25 = млн. рублей;
остаток: + ∙0,25 — + ∙0,25) = млн. рублей;
3 год: выплата: + ∙0,25 = млн. рублей;
остаток: + ∙0,25 – ( + ∙0,25) = млн. рублей;
и т.д.
10 год: выплата:+ ·0,25 = млн. рублей;
остаток: 0 млн. рублей;
найдем разницу между двумя выплатами: = —
воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
S = 16,
Значит, сумма взятая в кредит 16 млн. рублей.
Ответ: 16 млн. рублей.
Задача № 4.
Планируется взять кредит 15 января на срок 24 месяца. Условия возврата кредита таковы: — первого числа каждого месяца долг возрастает на p% по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2 –го по 14 –е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15 – го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 – е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите p.
Решение: Пусть взяли в банке кредит на S млн. рублей, под p%.
1 год: S + S · = S( 1 + млн. рублей с учетом процентов.
выплата: + S · млн. рублей;
остаток: S( 1 + — ( + S · ) = млн. рублей;
2 год: выплата: · млн. рублей;
остаток: + · – ( · млн. рублей;
и т.д.
найдем разницу между двумя выплатами: · + S · ) = — ·
воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
200S + 48· S· p — 23· S· p = 260 S
200 + 25 p = 260
25 p = 60
p = 2,4.
Значит, под 2,4 % взят кредит в банке.
Ответ: 2,4 %.
Задача № 5.
Страховая компания положила в банк некоторую сумму денег по 10% годовых для обеспечения страховых выплат. Какова была эта сумма ( в рублях) , если она оказалась полностью истрачена за три года на следующие выплаты: 880000 рублей в конце первого года, 605000 рублей в конце второго года и 1331000 рублей в конце третьего года ( все выплаты производились после начисления банком процентов).
Решение: Пусть взяли в банке кредит на S млн. рублей, под 10% годовых.
1 год: S ·1,1 = 1,1· S стала сумма тыс. рублей с учетом процентов.
1,1· S – 880 тыс. рублей
2 год: ( 1,1· S – 880) ·1,1 – 605 тыс. рублей,
3 год: ( ( 1,1· S – 880) ·1,1 – 605) ·1,1 = 1331 тыс. рублей,
(1,1· S – 880) ·1,1 – 605 = 1210,
(1,1· S – 880) ·1,1 = 1815
(1,1· S – 880) ·1,1 – 605 = 1210
(1,1· S – 880) ·1,1 = 1815, 1,1· S – 880 = 1650
1,1· S = 2530
S = 2300 тыс. рублей.
Ответ: 2300000 рублей.
Задача № 6.
Вячеслав собирается взять в банке кредит на 1,2 млн. рублей по ставке 20% годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами ( кроме, быть может, последний), после начисления процентов. На какое минимальное число лет может взять кредит Вячеслав, если он хочет, чтобы ежегодные выплаты по кредиту не превосходит 400 тысяч рублей?
Решение:
Возьмем наибольший платеж 400 тысяч рублей.
Через год 1200· 1,2 – 400 = 1040 тысяч рублей ;
через 2 года 1040· 1,2 – 400 = 848 тысяч рублей ;
через 3 года 848· 1,2 – 400 = 617,6 тысяч рублей ;
через 4 года 617,6· 1,2 – 400 = 342,12 тысяч рублей ;
через 5 лет 342,12· 1,2 – 400 = 9, 344 тысяч рублей;
6 год 9, 344· 1,2 = 7,6128 тысяч рублей.
Ответ: 6 лет.
Задача № 7.
Алексей взял в банке кредит на 1,6 млн. рублей. Схема погашения кредита следующая: выплаты происходят ежемесячно после начисления банком процентов, при этом годовой процент делится на 12 и полученный процент ежемесячно начисляется на остаток долга. Алексей выплатил всю сумму кредита за два месяца, заплатив в конце первого месяца 800 тысяч рублей, а в конце второго – 830250 рублей. Определите, под какой процент годовых банк выдал кредит Алексею?
Решение: Пусть взяли в банке кредит под х %.
1600 ∙ ( 1 + ) = 1600 + стала сумма с процентами,
1 месяц: 1600 + – 800 = 800 + – остаток
2 месяц: 800 + + ( 800 + ) ∙ 830,25
х² + 1800 х – 27225 = 0
х = 15
Ответ: 15%.
Задачи для самостоятельного решения:
-
Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме того этого, в начале третьего и четвертого года вклад ежегодно пополняется на 2 млн. рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет больше 21 млн. рублей.( 11 млн. руб)
-
Наталья собирается взять в банке кредит на 1млн. рублей по ставке 15% годовых. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами ( кроме, быть может, последний), после начисления процентов. На какое минимальное число лет может взять кредит Наталья , если он хочет, чтобы ежегодные выплаты по кредиту не превосходит 350 тысяч рублей? ( 5 лет)
-
Михаил взял в банке кредит по ставке 20% годовых. Выплата по кредиту осуществляется раз в год ( после начисления процентов) суммой 432000 руб. Какую сумму взял в кредит Михаил, если он выплатил весь долг за 3 года? (910000 рублей).
-
Светлана взяла в банке кредит по ставке 25% годовых. Выплата по кредиту осуществляется раз в год ( после начисления процентов) суммой 3125000 руб. Какую сумму взял в кредит Светлана, если он выплатил весь долг за 473 года? (738000 рублей).
-
15-го января планируется взять в банке на 1 млн. рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r – целое число;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга; —
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять менее 2,15 млн. рублей. ( 32 %)
-
В мае 2015 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн. рублей, где S- целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 28% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по апрель каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
— в мае каждого года долг должен составить часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 82 млн. рублей. ( 48 млн. рублей)
-
В июне 2017 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн. рублей, где S- целое число. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 22% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по май каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — в июне каждого года долг должен составить часть кредита в соответствии со следующей таблицей.
Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет меньше 27 млн. рублей. ( 18 млн. рублей)
-
Планируется взять кредит 15 января на срок 24 месяца. Условия возврата кредита таковы:
— первого числа каждого месяца долг возрастает на 2,5 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2 –го по 14 –е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15 – го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 – е число предыдущего месяца. На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения на 20% больше суммы, взятой в кредит? ( 15 месяцев)
-
Валерий открыл вклад в банке, по которому банк выплачивает 8% годовых. По договору вклада он может производить расходные операции ( снимать со счета деньги) не чаще одного раза в год ( после начисления банком процентов). В конце второго года Валерий снял со счета 229000 рублей, а в конце третьего года он снял со счета 350000 рублей, после чего сумма на счете составила 190000 рублей. Какую сумму вносил Валерий при открытии счета?( 625000 )
-
Максим взял в банке кредит на 800 тысяч рублей. Схема погашения кредита следующая : выплаты происходят ежемесячно после начисления банком процентов, при этом годовой процент делится на 12 и полученный процент ежемесячно начисляется на остаток долга. Алексей выплатил всю сумму кредита за два месяца, заплатив в конце первого месяца 400 тысяч рублей, а в конце второго – 418180 рублей. Определите , под какой процент годовых банк выдал кредит Максиму? ( 18%)
-
Дмитрий положил в банк некоторую сумму денег. Через год, после начисления процентов, он добавил на свой счет сумму, составляющую 0,9 исходной, в результате чего остаток на счете стал равен 3,4 млн. рублей. А еще через год, после начисления процентов, остаток на его счете увеличился в 2,2 раза по сравнению с исходной суммой. Какую сумму Дмитрий положил в банк первоначально, если в конце каждого года банк начислял один и тот же процент годовых? ( 1,7 млн. рублей)