Сколько километров проедут гриша с дедушкой если они поедут по шоссе через деревню афонино

Версия для печати и копирования в MS Word

Сколько километров проедут Гриша с дедушкой, если они поедут по шоссе через Афонино?

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Ушаково. В субботу они собираются съездить на машине в село Бережки. Из Ушакова в Бережки можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Дубёнки до деревни Афонино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Бережки. Есть и третий маршрут: в деревне Дубёнки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в село Бережки.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге —50 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

 

Решение.

Расстояние, которое проедут Гриша с дедушкой, проезжая через Афонино, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 30 и 16. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 30 + 16 = 46.

Ответ: 46.

ОГЭ математика

141 вариант

1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане
обозначены населённые пункты. В ответе запишите полученную последовательность
четырёх цифр.

Населённые пункты	Дубёнки	Бережки	Ушаково	Афонино
Цифры

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Ушаково. В субботу они
собираются съездить на машине в село Бережки. Из Ушакова в Бережки можно
проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через
деревню Дубёнки до деревни Афонино, где нужно повернуть под прямым углом налево
на другое шоссе, ведущее в Бережки. Есть и третий маршрут: в деревне Дубёнки
можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в село
Бережки.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по
грунтовой дороге —50 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых
пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

2. Найдите расстояние от деревни Ушаково до села Бережки по прямой.
Ответ выразите в километрах.

3. Сколько километров проедут Гриша с дедушкой, если они поедут по
шоссе через Афонино?

4. Сколько времени затратят на дорогу Гриша с дедушкой, если они
поедут сначала до деревни Дубёнки, а затем свернут на грунтовую дорогу, идущую
мимо озера? Ответ выразите в минутах.

5. Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В
ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Гриша с дедушкой, если поедут
этим маршрутом.

6.

Найдите значение выражения 3,8 + 2,9.

7. На координатной прямой отмечены числа .

Какое из следующих утверждений неверно?

1) 

2) 

3) 

4) 

8. Найдите значение выражения  при 

9. Найдите корень уравнения −5 + 9x = 10x +
4.

10. В таблице представлены результаты четырёх стрелков, показанные ими
на тренировке.

Номер стрелка	Число выстрелов	Число попаданий
1	42	28
2	70	20
3	54	45
4	46	42

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого
относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер? Укажите
в ответе его номер.

11. Установите соответствие между графиками функций и формулами,
которые их задают.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

ФОРМУЛЫ

1) 

2) 

3) 

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

12. Период колебания математического маятника  (в
секундах) приближенно можно вычислить по формуле , где  —
длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в
метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.

13. Решите неравенство 

1) [-8;8]

2)

3) нет решений

4)

14. Бригада рабочих могла выполнить всю работу за 24 ч, если бы
работали одновременно все рабочие. однако по плану в первый час работал один
рабочий, во второй час — 2 рабочих, в третий — 3 и т. д. до тех пор, пока в
работу не включились все рабочие. И только несколько часов перед завершением
работала вся бригада. Время работы, предусмотренное планом, было бы сокращено
на 6 часов, если бы с самого начала работы работала бы вся бригада, за
исключением пяти рабочих. Найдите количество рабочих.

15.

Найдите больший угол равнобедренной трапеции , если
диагональ  образует с основанием  и
боковой стороной  углы, равные 17° и 23°
соответственно. Ответ дайте в градусах.

16.

Касательные в точках A и B к
окружности с центром O пересекаются под углом 12°. Найдите
угол ABO. Ответ дайте в градусах.

17. Периметр
квадрата равен 24. Найдите площадь квадрата.

18. На клетчатой
бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

19. Укажите номера верных утверждений.

1) Любые три прямые имеют не более одной общей точки.

2) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°.

3) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой
наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.

Если
утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

20. Решите уравнение 

21. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в
пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь
против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения
реки равна 4 км/ч.

22. Постройте график функции

и
определите, при каких значениях  прямая  будет иметь с
графиком единственную общую точку.

23. В прямоугольном треугольнике  с прямым
углом  известны катеты: , . Найдите
медиану  этого треугольника.

24. В окружности через середину O хорды BD проведена
хорда AC так, что дуги AB и CD равны.
Докажите, что O — середина хорды AC.

25. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются
в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB.
Найдите отношение площади треугольника AKM к площади
четырёхугольника KPCM.

Решение

1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане
обозначены населённые пункты. В ответе запишите полученную последовательность
четырёх цифр.

Населённые пункты	Дубёнки	Бережки	Ушаково	Афонино
Цифры

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Ушаково. В субботу они
собираются съездить на машине в село Бережки. Из Ушакова в Бережки можно
проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через
деревню Дубёнки до деревни Афонино, где нужно повернуть под прямым углом налево
на другое шоссе, ведущее в Бережки. Есть и третий маршрут: в деревне Дубёнки
можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в село
Бережки.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по
грунтовой дороге —50 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых
пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

Решение.

Пользуясь описанием и рисунком можно заметить, что деревня Дубенки
соответствует цифре 2, деревня Бережки — цифре 4, деревня Ушаково — цифре 3 и
деревня Афонино —цифре 1.

Ответ: 2431.

2. Найдите расстояние от деревни Ушаково до села Бережки по прямой.
Ответ выразите в километрах.

Решение.

Расстояние от деревни Ушаково до села Бережки соответствует длине
гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 30 и 16. По теореме Пифагора
имеем:

Ответ: 34.

3. Сколько километров проедут Гриша с дедушкой, если они поедут по
шоссе через Афонино?

Решение.

Расстояние, которое проедут Гриша с дедушкой, проезжая через
Афонино, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 30 и
16. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 30 + 16 = 46.

Ответ: 46.

4. Сколько времени затратят на дорогу Гриша с дедушкой, если они
поедут сначала до деревни Дубёнки, а затем свернут на грунтовую дорогу, идущую
мимо озера? Ответ выразите в минутах.

Решение.

По шоссе Гриша с дедушкой проедут 18 километров со скоростью 60
км/ч. Следовательно, они затратят 18 : 60 = 0,3 часа или 18 минут. Дальше по
условию задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине
гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 12 и 16. Таким образом, по
теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Гриша с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч,
следовательно они затратят 20 : 50 = 0,4 часа или 24 минуты.

Таким образом, Гриша с дедушкой на весь путь затратят 24 + 18 = 42
минуты.

Ответ: 42.

5. Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В
ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Гриша с дедушкой, если поедут
этим маршрутом.

Решение.

Гриша с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами.
Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути равна длине
гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 30 и 16. По теореме Пифагора
имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 50 км/ч дедушка с Гришой
потратят 34 : 50 = 0,68 часа или 40,8 минут.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По
шоссе Гриша с дедушкой проедут 18 километров со скоростью 60 км/ч.
Следовательно, они затратят 18 : 60 = 0,3 часа или 18 минут. Дальше по условию
задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине гипотенузы
прямоугольного треугольника с катетами 12 и 16. Таким образом, по теореме
Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Гриша с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч,
следовательно они затратят 20 : 50 = 0,4 часа или 24 минуты.

Таким образом, Гриша с дедушкой на весь путь затратят 24 + 18 = 42
минуты.

3) По шоссе через Афонино. Расстояние, которое проедут Гриша с
дедушкой, проезжая через Афонино, равно сумме длин катетов прямоугольного
треугольника с катетами 30 и 16. Таким образом, имеем, что искомое расстояние
равно 30 + 16 = 46.

Двигаясь по шоссе со скоростью 60 км/ч Гриша с дедушкой потратят
46 : 60 часа или 46 минут.

Таким образом, самый быстрый путь составит 40,8 минут.

Ответ: 40,8.

6.

Найдите значение выражения 3,8 + 2,9.

Решение.

Найдем значение выражения: 3,8 + 2,9 = 6,7.

Ответ: 6,7.

7. На координатной прямой отмечены числа .

Какое из следующих утверждений неверно?

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение.

Заметим, что      и  Проверим все варианты ответа:

1)  — верно, так
как , а 

2)  — неверно: так
как  и , имеем: 

3)  — верно, так как  а 

4)  — верно, так
как  а 

Ответ указан под номером 2.

8. Найдите значение выражения  при 

Решение.

Преобразуем выражение:

Подставим значение 

Ответ: −0,2.

9. Найдите корень уравнения −5 + 9x = 10x +
4.

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −9.

10. В таблице представлены результаты четырёх стрелков, показанные ими
на тренировке.

Номер стрелка	Число выстрелов	Число попаданий
1	42	28
2	70	20
3	54	45
4	46	42

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого
относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер? Укажите
в ответе его номер.

Решение.

Найдём относительную частоту попаданий каждого из стрелков:

Заметим, что  Приведём  и  к общему знаменателю и
сравним:  Таким
образом, наибольшая относительная частота попаданий у четвёртого стрелка.

Ответ: 4.

11. Установите соответствие между графиками функций и формулами,
которые их задают.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

ФОРМУЛЫ

1) 

2) 

3) 

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение.

Напомним, что если прямая задана уравнением ,
то: при  тангенс угла наклона
прямой к оси абсцисс положителен.

Уравнение  задает прямую,
которая пересекает ось ординат в точке 3. Ее график изображен на рисунке Б).

Уравнение  задает прямую, которая
пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке A).

Уравнение  задает прямую, которая
пересекает ось ординат в точке -3. Ее график изображен на рисунке B).

Тем самым, искомое соответствие: А — 2, Б — 1, В — 3.

Ответ: 213.

12. Период колебания математического маятника  (в
секундах) приближенно можно вычислить по формуле ,
где  — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину
нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.

Решение.

Подставим в формулу значение :  

Ответ: 2,25.

13. Решите неравенство 

1) [-8;8]

2)

3) нет решений

4)

Решение.

Решим неравенство:   Корнями уравнения  являются числа -8 и 8. Поэтому

Ответ: 2

14. Бригада рабочих могла выполнить всю работу за 24 ч, если бы
работали одновременно все рабочие. однако по плану в первый час работал один
рабочий, во второй час — 2 рабочих, в третий — 3 и т. д. до тех пор, пока в
работу не включились все рабочие. И только несколько часов перед завершением
работала вся бригада. Время работы, предусмотренное планом, было бы сокращено
на 6 часов, если бы с самого начала работы работала бы вся бригада, за
исключением пяти рабочих. Найдите количество рабочих.

Решение.

Пусть всего было n рабочих, тогда объем работы
составляет 24n (считаем, что за 1 час один рабочий выполняет
единицу объема работы). Пусть также время работы по плану составляло x часов.
Тогда:

Найдем количество рабочих из уравнения Получаем:

Ответ: 25 рабочих.

15.

Найдите больший угол равнобедренной трапеции , если
диагональ  образует с основанием  и
боковой стороной  углы, равные 17° и 23°
соответственно. Ответ дайте в градусах.

Решение.

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Угол ABC —
тупой, а угол BAD — острый, значит, ∠ABC — больший угол
равнобедренной трапеции. Углы CAD и BCA равны
как накрест лежащие. Тогда:

Ответ: 140

16.

Касательные в точках A и B к
окружности с центром O пересекаются под углом 12°. Найдите
угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Введём обозначение, как показано на рисунке. Касательные,
проведённые к окружности из одной точки равны, поэтому  следовательно,
треугольник  — равнобедренный. Откуда  Угол
между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, значит,
дуга  равна 168°. Угол AOB — центральный, поэтому он
равен дуге, на которую опирается, следовательно, равен 168°. Рассмотрим
треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно, 

Ответ: 6.

17. Периметр
квадрата равен 24. Найдите площадь квадрата.

Решение.

Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. Таким образом,
сторона квадрата равна 6. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, поэтому
она равна 36.

Ответ: 36.

18. На клетчатой
бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение.

Площадь
треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к
данному основанию. Таким образом:

Ответ: 15

19. Укажите номера верных утверждений.

1) Любые три прямые имеют не более одной общей точки.

2) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°.

3) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой
наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.

Если
утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Любые три прямые имеют не более одной общей точки» — верно.
Если прямые имеют две и более общих точек, то они совпадают. (См. комментарии к
задаче.)

2) «Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°» — неверно.
Сумма смежных углов равна 180°.

3) «Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой
наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3» — верно.
Т. к. расстояние — длина кратчайшего отрезка до прямой, а все наклонные —
длиннее.

Ответ: 13.

20. Решите уравнение 

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −8; −5.

21. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в
пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против
течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки
равна 4 км/ч.

Решение.

Пусть  км/ч — скорость лодки в неподвижной
воде, тогда  км/ч — скорость лодки
против течения реки, а  км/ч — скорость лодки
по течению. Лодка затратила на путь по течению реки на 2 часа меньше, чем
против течения, составим уравнение:

Корень −18 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость
моторной лодки в стоячей воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18.

22. Постройте график функции

и
определите, при каких значениях  прямая  будет иметь с
графиком единственную общую точку.

Решение.

Построим график функции (см. рисунок).

Из графика видно, что прямая  будет иметь с
графиком функции единственную точку пересечения при принадлежащем
множеству (−1; 0].

Ответ: (−1; 0].

23. В прямоугольном треугольнике  с прямым
углом  известны катеты: , .
Найдите медиану  этого треугольника.

Решение.

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине:

Ответ: 5.

24. В окружности через середину O хорды BD проведена
хорда AC так, что дуги AB и CD равны.
Докажите, что O — середина хорды AC.

Решение.

Вписанные углы ADB, CBD , ACB и DAC опираются
на равные дуги, значит, они равны.

Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны
по двум углам; их коэффициент подобия равен BO:OD. Поскольку BO
= OD , эти треугольники равны, следовательно, AO = OC.

25. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются
в точке K, длина стороны AC втрое больше длины
стороны AB. Найдите отношение площади треугольника AKM к
площади четырёхугольника KPCM.

Решение.

Пусть площадь треугольника  равна  Медиана
делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому  Биссектриса
делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:

Откуда   Рассмотрим
треугольник   — биссектриса,
следовательно:

Откуда   Выразим
площадь треугольника 

Найдём отношение площади треугольника  к
площади четырёхугольника 

Ответ: 

Алгебра,


вопрос задал Аноним,


5 лет назад

Приложения:

Ответы на вопрос

Ответил azazayt633

0

Ответ:

1. 2431

2. 34

3. 46

4. 42

5. 40.8

Объяснение:

Ответил Аноним

0

От души!

Новые вопросы

Математика,
7 месяцев назад

Найди значение выражения 7x−9|y−9| при x=−3, y=−1.
ПОМАГИТЕТЕТЕТЕТЕТ…

Геометрия,
7 месяцев назад

8класс нужны только ответы. ..

Физика,
5 лет назад

СРОЧНО!!
4.Нарисуйте рычаг, точка опоры которого находится между точками приложения сил. Где применяется такой рычаг?
5. Нарисуйте рычаг, точка опоры которого находится на одном из концов рычага.

Математика,
5 лет назад

СОР ПО МАТЕМАТИКЕ ПОМОГИТЕ ДАМ 34 БАЛЛА​…

Информатика,
6 лет назад

Помогите пожалуйста кому не трудно, закончи крылатое выражение: Жили-были…

Геометрия,
6 лет назад

СРОЧНО ПОМОГИТЕ!!!!
ABCD — ромб
AB=37 см
AC=60 см
Найти — BD…

ОГЭ математика

141 вариант

1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане
обозначены населённые пункты. В ответе запишите полученную последовательность
четырёх цифр.

Населённые пункты	Дубёнки	Бережки	Ушаково	Афонино
Цифры

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Ушаково. В субботу они
собираются съездить на машине в село Бережки. Из Ушакова в Бережки можно
проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через
деревню Дубёнки до деревни Афонино, где нужно повернуть под прямым углом налево
на другое шоссе, ведущее в Бережки. Есть и третий маршрут: в деревне Дубёнки
можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в село
Бережки.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по
грунтовой дороге —50 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых
пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

2. Найдите расстояние от деревни Ушаково до села Бережки по прямой.
Ответ выразите в километрах.

3. Сколько километров проедут Гриша с дедушкой, если они поедут по
шоссе через Афонино?

4. Сколько времени затратят на дорогу Гриша с дедушкой, если они
поедут сначала до деревни Дубёнки, а затем свернут на грунтовую дорогу, идущую
мимо озера? Ответ выразите в минутах.

5. Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В
ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Гриша с дедушкой, если поедут
этим маршрутом.

6.

Найдите значение выражения 3,8 + 2,9.

7. На координатной прямой отмечены числа .

Какое из следующих утверждений неверно?

1) 

2) 

3) 

4) 

8. Найдите значение выражения  при 

9. Найдите корень уравнения −5 + 9x = 10x +
4.

10. В таблице представлены результаты четырёх стрелков, показанные ими
на тренировке.

Номер стрелка	Число выстрелов	Число попаданий
1	42	28
2	70	20
3	54	45
4	46	42

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого
относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер? Укажите
в ответе его номер.

11. Установите соответствие между графиками функций и формулами,
которые их задают.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

ФОРМУЛЫ

1) 

2) 

3) 

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

12. Период колебания математического маятника  (в
секундах) приближенно можно вычислить по формуле , где  —
длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в
метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.

13. Решите неравенство 

1) [-8;8]

2)

3) нет решений

4)

14. Бригада рабочих могла выполнить всю работу за 24 ч, если бы
работали одновременно все рабочие. однако по плану в первый час работал один
рабочий, во второй час — 2 рабочих, в третий — 3 и т. д. до тех пор, пока в
работу не включились все рабочие. И только несколько часов перед завершением
работала вся бригада. Время работы, предусмотренное планом, было бы сокращено
на 6 часов, если бы с самого начала работы работала бы вся бригада, за
исключением пяти рабочих. Найдите количество рабочих.

15.

Найдите больший угол равнобедренной трапеции , если
диагональ  образует с основанием  и
боковой стороной  углы, равные 17° и 23°
соответственно. Ответ дайте в градусах.

16.

Касательные в точках A и B к
окружности с центром O пересекаются под углом 12°. Найдите
угол ABO. Ответ дайте в градусах.

17. Периметр
квадрата равен 24. Найдите площадь квадрата.

18. На клетчатой
бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

19. Укажите номера верных утверждений.

1) Любые три прямые имеют не более одной общей точки.

2) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°.

3) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой
наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.

Если
утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

20. Решите уравнение 

21. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в
пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь
против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения
реки равна 4 км/ч.

22. Постройте график функции

и
определите, при каких значениях  прямая  будет иметь с
графиком единственную общую точку.

23. В прямоугольном треугольнике  с прямым
углом  известны катеты: , . Найдите
медиану  этого треугольника.

24. В окружности через середину O хорды BD проведена
хорда AC так, что дуги AB и CD равны.
Докажите, что O — середина хорды AC.

25. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются
в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB.
Найдите отношение площади треугольника AKM к площади
четырёхугольника KPCM.

Решение

1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане
обозначены населённые пункты. В ответе запишите полученную последовательность
четырёх цифр.

Населённые пункты	Дубёнки	Бережки	Ушаково	Афонино
Цифры

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Ушаково. В субботу они
собираются съездить на машине в село Бережки. Из Ушакова в Бережки можно
проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через
деревню Дубёнки до деревни Афонино, где нужно повернуть под прямым углом налево
на другое шоссе, ведущее в Бережки. Есть и третий маршрут: в деревне Дубёнки
можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в село
Бережки.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по
грунтовой дороге —50 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых
пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

Решение.

Пользуясь описанием и рисунком можно заметить, что деревня Дубенки
соответствует цифре 2, деревня Бережки — цифре 4, деревня Ушаково — цифре 3 и
деревня Афонино —цифре 1.

Ответ: 2431.

2. Найдите расстояние от деревни Ушаково до села Бережки по прямой.
Ответ выразите в километрах.

Решение.

Расстояние от деревни Ушаково до села Бережки соответствует длине
гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 30 и 16. По теореме Пифагора
имеем:

Ответ: 34.

3. Сколько километров проедут Гриша с дедушкой, если они поедут по
шоссе через Афонино?

Решение.

Расстояние, которое проедут Гриша с дедушкой, проезжая через
Афонино, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 30 и
16. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 30 + 16 = 46.

Ответ: 46.

4. Сколько времени затратят на дорогу Гриша с дедушкой, если они
поедут сначала до деревни Дубёнки, а затем свернут на грунтовую дорогу, идущую
мимо озера? Ответ выразите в минутах.

Решение.

По шоссе Гриша с дедушкой проедут 18 километров со скоростью 60
км/ч. Следовательно, они затратят 18 : 60 = 0,3 часа или 18 минут. Дальше по
условию задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине
гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 12 и 16. Таким образом, по
теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Гриша с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч,
следовательно они затратят 20 : 50 = 0,4 часа или 24 минуты.

Таким образом, Гриша с дедушкой на весь путь затратят 24 + 18 = 42
минуты.

Ответ: 42.

5. Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В
ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Гриша с дедушкой, если поедут
этим маршрутом.

Решение.

Гриша с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами.
Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути равна длине
гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 30 и 16. По теореме Пифагора
имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 50 км/ч дедушка с Гришой
потратят 34 : 50 = 0,68 часа или 40,8 минут.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По
шоссе Гриша с дедушкой проедут 18 километров со скоростью 60 км/ч.
Следовательно, они затратят 18 : 60 = 0,3 часа или 18 минут. Дальше по условию
задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине гипотенузы
прямоугольного треугольника с катетами 12 и 16. Таким образом, по теореме
Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Гриша с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч,
следовательно они затратят 20 : 50 = 0,4 часа или 24 минуты.

Таким образом, Гриша с дедушкой на весь путь затратят 24 + 18 = 42
минуты.

3) По шоссе через Афонино. Расстояние, которое проедут Гриша с
дедушкой, проезжая через Афонино, равно сумме длин катетов прямоугольного
треугольника с катетами 30 и 16. Таким образом, имеем, что искомое расстояние
равно 30 + 16 = 46.

Двигаясь по шоссе со скоростью 60 км/ч Гриша с дедушкой потратят
46 : 60 часа или 46 минут.

Таким образом, самый быстрый путь составит 40,8 минут.

Ответ: 40,8.

6.

Найдите значение выражения 3,8 + 2,9.

Решение.

Найдем значение выражения: 3,8 + 2,9 = 6,7.

Ответ: 6,7.

7. На координатной прямой отмечены числа .

Какое из следующих утверждений неверно?

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение.

Заметим, что      и  Проверим все варианты ответа:

1)  — верно, так
как , а 

2)  — неверно: так
как  и , имеем: 

3)  — верно, так как  а 

4)  — верно, так
как  а 

Ответ указан под номером 2.

8. Найдите значение выражения  при 

Решение.

Преобразуем выражение:

Подставим значение 

Ответ: −0,2.

9. Найдите корень уравнения −5 + 9x = 10x +
4.

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −9.

10. В таблице представлены результаты четырёх стрелков, показанные ими
на тренировке.

Номер стрелка	Число выстрелов	Число попаданий
1	42	28
2	70	20
3	54	45
4	46	42

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого
относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер? Укажите
в ответе его номер.

Решение.

Найдём относительную частоту попаданий каждого из стрелков:

Заметим, что  Приведём  и  к общему знаменателю и
сравним:  Таким
образом, наибольшая относительная частота попаданий у четвёртого стрелка.

Ответ: 4.

11. Установите соответствие между графиками функций и формулами,
которые их задают.

ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ

ФОРМУЛЫ

1) 

2) 

3) 

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение.

Напомним, что если прямая задана уравнением ,
то: при  тангенс угла наклона
прямой к оси абсцисс положителен.

Уравнение  задает прямую,
которая пересекает ось ординат в точке 3. Ее график изображен на рисунке Б).

Уравнение  задает прямую, которая
пересекает ось ординат в точке 0. Ее график изображен на рисунке A).

Уравнение  задает прямую, которая
пересекает ось ординат в точке -3. Ее график изображен на рисунке B).

Тем самым, искомое соответствие: А — 2, Б — 1, В — 3.

Ответ: 213.

12. Период колебания математического маятника  (в
секундах) приближенно можно вычислить по формуле ,
где  — длина нити (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите длину
нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 3 секунды.

Решение.

Подставим в формулу значение :  

Ответ: 2,25.

13. Решите неравенство 

1) [-8;8]

2)

3) нет решений

4)

Решение.

Решим неравенство:   Корнями уравнения  являются числа -8 и 8. Поэтому

Ответ: 2

14. Бригада рабочих могла выполнить всю работу за 24 ч, если бы
работали одновременно все рабочие. однако по плану в первый час работал один
рабочий, во второй час — 2 рабочих, в третий — 3 и т. д. до тех пор, пока в
работу не включились все рабочие. И только несколько часов перед завершением
работала вся бригада. Время работы, предусмотренное планом, было бы сокращено
на 6 часов, если бы с самого начала работы работала бы вся бригада, за
исключением пяти рабочих. Найдите количество рабочих.

Решение.

Пусть всего было n рабочих, тогда объем работы
составляет 24n (считаем, что за 1 час один рабочий выполняет
единицу объема работы). Пусть также время работы по плану составляло x часов.
Тогда:

Найдем количество рабочих из уравнения Получаем:

Ответ: 25 рабочих.

15.

Найдите больший угол равнобедренной трапеции , если
диагональ  образует с основанием  и
боковой стороной  углы, равные 17° и 23°
соответственно. Ответ дайте в градусах.

Решение.

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Угол ABC —
тупой, а угол BAD — острый, значит, ∠ABC — больший угол
равнобедренной трапеции. Углы CAD и BCA равны
как накрест лежащие. Тогда:

Ответ: 140

16.

Касательные в точках A и B к
окружности с центром O пересекаются под углом 12°. Найдите
угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение.

Введём обозначение, как показано на рисунке. Касательные,
проведённые к окружности из одной точки равны, поэтому  следовательно,
треугольник  — равнобедренный. Откуда  Угол
между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, значит,
дуга  равна 168°. Угол AOB — центральный, поэтому он
равен дуге, на которую опирается, следовательно, равен 168°. Рассмотрим
треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно, 

Ответ: 6.

17. Периметр
квадрата равен 24. Найдите площадь квадрата.

Решение.

Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. Таким образом,
сторона квадрата равна 6. Площадь квадрата равна квадрату его стороны, поэтому
она равна 36.

Ответ: 36.

18. На клетчатой
бумаге с размером клетки 1х1 изображён треугольник. Найдите его площадь.

Решение.

Площадь
треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к
данному основанию. Таким образом:

Ответ: 15

19. Укажите номера верных утверждений.

1) Любые три прямые имеют не более одной общей точки.

2) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°.

3) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой
наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.

Если
утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Любые три прямые имеют не более одной общей точки» — верно.
Если прямые имеют две и более общих точек, то они совпадают. (См. комментарии к
задаче.)

2) «Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°» — неверно.
Сумма смежных углов равна 180°.

3) «Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой
наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3» — верно.
Т. к. расстояние — длина кратчайшего отрезка до прямой, а все наклонные —
длиннее.

Ответ: 13.

20. Решите уравнение 

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −8; −5.

21. Моторная лодка прошла против течения реки 77 км и вернулась в
пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше, чем на путь против
течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки
равна 4 км/ч.

Решение.

Пусть  км/ч — скорость лодки в неподвижной
воде, тогда  км/ч — скорость лодки
против течения реки, а  км/ч — скорость лодки
по течению. Лодка затратила на путь по течению реки на 2 часа меньше, чем
против течения, составим уравнение:

Корень −18 не подходит по условию задачи, следовательно, скорость
моторной лодки в стоячей воде равна 18 км/ч.

Ответ: 18.

22. Постройте график функции

и
определите, при каких значениях  прямая  будет иметь с
графиком единственную общую точку.

Решение.

Построим график функции (см. рисунок).

Из графика видно, что прямая  будет иметь с
графиком функции единственную точку пересечения при принадлежащем
множеству (−1; 0].

Ответ: (−1; 0].

23. В прямоугольном треугольнике  с прямым
углом  известны катеты: , .
Найдите медиану  этого треугольника.

Решение.

Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине:

Ответ: 5.

24. В окружности через середину O хорды BD проведена
хорда AC так, что дуги AB и CD равны.
Докажите, что O — середина хорды AC.

Решение.

Вписанные углы ADB, CBD , ACB и DAC опираются
на равные дуги, значит, они равны.

Получаем, что треугольники СOВ и AOD подобны
по двум углам; их коэффициент подобия равен BO:OD. Поскольку BO
= OD , эти треугольники равны, следовательно, AO = OC.

25. Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются
в точке K, длина стороны AC втрое больше длины
стороны AB. Найдите отношение площади треугольника AKM к
площади четырёхугольника KPCM.

Решение.

Пусть площадь треугольника  равна  Медиана
делит треугольник на два равновеликих треугольника, поэтому  Биссектриса
делит площадь треугольника пропорционально прилежащим сторонам, то есть:

Откуда   Рассмотрим
треугольник   — биссектриса,
следовательно:

Откуда   Выразим
площадь треугольника 

Найдём отношение площади треугольника  к
площади четырёхугольника 

Ответ: 

По какой дороге ехать быстрей? Задача из ОГЭ

Как и всегда, необходимо по тексту задания ответить на пять вопросов. 

Юля летом отдыхает у дедушки и бабушки в деревне Царёво. Юля с дедушкой собираются съездить на машине на железнодорожную станцию Таировку. Из Царёво в Таировку можно проехать по шоссе до деревни Ключи, где нужно свернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Таировку через посёлок Демидово. Из Царёво в Таировку можно проехать через посёлок Демидово и не заезжая в Ключи, но тогда первую часть пути надо будет ехать по прямой лесной дороге. Есть и третий маршрут: доехать по прямой грунтовой дороге мимо озера до села Федяево и там, повернув направо, по шоссе добраться до Таировки.

По шоссе Юля с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по лесной и грунтовой дорогам — 45 км/ч. Расстояние по шоссе от Царёво до Ключей равно 72 км, от Таировки до Ключей — 60 км, от Таировки до Демидово — 30 км, а от Таировки до Федяево — 27 км.

Задание 1. Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. В ответ запишите полученную последовательность пяти цифр.

Насел. пункты	п. Демидово	д. Ключи	ст. Таировка	с. Федяево	д. Царёво
Цифры

Решение.

В тексте задания сказано, что из Царёво в Таировку можно проехать по шоссе до деревни Ключи, где нужно свернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Таировку через посёлок Демидово. Значит, 3 – Демидово, 4 – Ключи, 1 – Таировка, 5 – Царево. Также указано, что есть и третий маршрут: доехать по прямой грунтовой дороге мимо озера до села Федяево. Получаем, 2 – Федяево.

Ответ: 34125

Задание 2. Найдите расстояние от деревни Царёво до посёлка Демидово по лесной дороге. Ответ дайте в километрах.

Решение.

Отметим на карте все населенные пункты и расстояния между ними.

Расстояние от деревни Царёво до посёлка Демидово по лесной дороге – это гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 72 и 60-30 = 30 км. Следовательно, длина проселочной дороги, равна:

км

Ответ: 78

Задание 3. Сколько минут затратят на дорогу Юля с дедушкой, если поедут на станцию через Ключи?

Ниже сделаем схему движения Юли и дедушки по шоссе. Из теста задачи, мы знаем, что скорость движения по шоссе равна 60 км/ч. Красными цифрами вынесено расстояние между поселками.

Решение.

Пусть на станцию через Ключи равен

S = 72+60 = 132 км

Движение по шоссе идет со скоростью v=60 км/ч. Получаем время в пути (в минутах):

Ответ: 132 минуты.

Задание 4. Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Юля с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Решение.

По шоссе Юля с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по лесной и грунтовой дорогам — 45 км/ч. До Таировки можно добраться тремя маршрутами:

1. По шоссе через Ключи 72+60 = 132 км. Время в пути (в минутах) составит:

минуты

2. По грунтовой дороги до Демидово (78 км, см. задача 2) и по шоссе 30 км:

минуты

3. По грунтовой дороге до Федяево ( км) и по шоссе 27 км:

минут.

Наименьшее время составляет 127 минут.

Ответ: 127

Задание 5. На шоссе машина дедушки расходует 6,5 литра бензина на 100 км. Известно, что на путь из Царёво до Таировки через Ключи и на путь через Федяево ей необходим один и тот же объём бензина. Сколько литров бензина на 100 км машина дедушки расходует на грунтовых дорогах?

Решение.

Обозначим расход бензина на грунтовых дорогах через x. Тогда можно записать равенство:

Ответ: 9,1

* * * * *

Задача про маршруты №2 для ОГЭ

Территория, находящаяся внутри кольцевой линии, называется Центральным городским районом. Найдите его площадь S (в км²), если длина кольцевой ветки равна 40 км. В ответе укажите значение выражения S  π.

На рисунке изображена схема метро города N. Станция Ветреная расположена между станциями Центральная и Дальняя. Если ехать по кольцевой линии (она имеет форму окружности), то можно последовательно попасть на станции Центральная, Быстрая, Утренняя, Птичья и Весёлая. Радужная ветка включает в себя станции Быстрая, Смородиновая, Хоккейная и Звёздная. Всего в метрополитене города N есть три станции, от которых тоннель ведёт только в одну сторону — это станции Дальняя, Верхняя и Звёздная. Антон живёт недалеко от станции Надежда.

Решение.

Сначала найдём радиус окружности:

Теперь найдём площадь:

Таким образом, получаем ответ:

Ответ: 400.

* * * * *

Задача №3: Найдите площадь (в км²), которую занимает заказник.

Андрей и его друзья собираются поехать в отпуск на две недели. Предварительно они наметили маршрут, представленный на рисунке. Они планируют на велосипедах добраться от города Гранюк до кемпинга, обозначенного на рисунке цифрой 7, за 4 дня, а потом поставить там палатки и отдыхать в море. Друзья собираются выехать рано утром и в первый день добраться до хутора Южный, где живёт бабушка Андрея. Там есть озеро, в котором можно купаться и ловить рыбу, что они и собираются делать до обеда следующего дня. Потом планируется доехать до посёлка Быково и заночевать там в мини‐отеле. На следующий день они собираются проехать 24 км до города Гусевск вдоль степного заказника и переночевать в одной из гостиниц. Заказник обозначен на рисунке цифрой 8. Из Гусевска в посёлок Домарку, где расположен кемпинг, можно доехать напрямую или через деревню Астрелка. Прямой путь короче, но там в эти дни идёт ремонт дороги, и пока неизвестно, где можно будет проехать быстрее.

Решение.

Площадь заказника равна:

Ответ: 351.

* * * * *

Задача №4 по математике про маршрут

Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Гриша с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Ушаково. В субботу они собираются съездить на машине в село Бережки. Из Ушакова в Бережки можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Дубёнки до деревни Афонино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Бережки. Есть и третий маршрут: в деревне Дубёнки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в село Бережки.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге —50 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

Решение.

Гриша с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами. Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 30 и 16. По теореме Пифагора имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 50 км/ч дедушка с Гришой потратят 34 : 50 = 0,68 часа или 40,8 минут.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По шоссе Гриша с дедушкой проедут 18 километров со скоростью 60 км/ч. Следовательно, они затратят 18 : 60 = 0,3 часа или 18 минут. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 12 и 16. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Гриша с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, следовательно, они затратят 20 : 50 = 0,4 часа или 24 минуты.

Таким образом, Гриша с дедушкой на весь путь затратят 24 + 18 = 42 минуты.

3) По шоссе через Афонино. Расстояние, которое проедут Гриша с дедушкой, проезжая через Афонино, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 30 и 16. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 30 + 16 = 46.

Двигаясь по шоссе со скоростью 60 км/ч Гриша с дедушкой потратят 46 : 60 часа или 46 минут.

Таким образом, самый быстрый путь составит 40,8 минут.

Ответ: 40,8.

* * * * *

Задача №5 для экзамена на тему дороги

Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Гена с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Гена летом отдыхает у дедушки в деревне Осинки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кудрино. Из деревни Осинки в Кудрино можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Илькино до деревни Кулаки, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Кудрино. Есть и третий маршрут: в Илькине можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в Кудрино.

По шоссе Гена с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

Решение.

Гена с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами. Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 32 и 24. По теореме Пифагора имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 40 км/ч дедушка с Геной потратят 40 : 40 = 1 час или 60 минут.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По шоссе Гена с дедушкой проедут 22 километра со скоростью 60 км/ч. Следовательно, они затратят часа или 22 минуты. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 24 и 10. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Гена с дедушкой едут со скоростью 40 км/ч, следовательно, они затратят 26 : 40 = 0,65 часа или 39 минут.

Таким образом, Гена с дедушкой на весь путь затратят 22 + 39 = 61 минута.

3) По шоссе через Кулаки. Расстояние, которое проедут Гена с дедушкой, проезжая через Кулаки, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 32 и 24. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 32 + 24 = 56.

Двигаясь по шоссе со скоростью 60 км/ч, Гена с дедушкой потратят часа или 56 минут.

Таким образом, самый быстрый путь составит 56 минут.

Ответ: 56.

* * * * *

Задача №6 на тему определения маршрута

Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Марина с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Марина летом отдыхает у дедушки в деревне Ивановки. В пятницу они собираются съездить на машине в село Гавриловка. Из Ивановки в Гавриловку можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Пересыпкино до деревни Ольшанка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Гавриловку. Есть и третий маршрут: в Пересыпкине можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо пруда прямо в Гавриловку.

По шоссе Марина с дедушкой едут со скоростью 48 км/ч, а по грунтовой дороге — 25 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

Решение.

Марина с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами. Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20. По теореме Пифагора имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 25 км/ч, дедушка с Мариной потратят 25 : 25 = 1 час или 60 минут.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По шоссе Марина с дедушкой проедут 12 километров со скоростью 48 км/ч. Следовательно, они затратят 12 : 48 = 0,25 часа или 15 минут. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу, длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 8 и 15. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Марина с дедушкой едут со скоростью 25 км/ч, следовательно, они затратят 17 : 25 = 0,68 часа или 40,8 минут.

Таким образом, Марина с дедушкой на весь путь затратят 15 + 40,8 = 55,8 минут.

3) По шоссе через Ольшанку. Расстояние, которое проедут Марина с дедушкой, проезжая через Ольшанку, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20. Таким образом, искомое расстояние равно 15 + 20 = 35.

Двигаясь по шоссе со скоростью 48 км/ч, Марина с дедушкой потратят 35 : 48  60 = 43,75 минут.

Таким образом, самый быстрый путь составит 43,75 минут.

Ответ: 43,75.

* * * * *

Задача №7 по математике про время движения по дороге

За какое наименьшее количество минут Таня с дедушкой могут добраться из Егорки в Жилино?

На рисунке изображён план сельской местности.

Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово.

Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютино — 12 км, от Горюново до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, а от Жилино до Богданово — 12 км.

Решение.

Рассчитаем время маршрута по прямой из деревни Егорки в деревню Жилино по проселочной местности и время маршрута из деревни Егорки в деревню Жилино по шоссе через деревню Ванютино. Расстояние от Егорки до Жилино соответствует гипотенузе треугольника с катетами 12 км и 9 км. По теореме Пифагора имеем: км. Следовательно, этот путь Таня с дедушкой проедут за часа или 30 минут.

Расстояние от Егорки до Ванютино 12 км, от Ванютино до Жилино 9 км. Следовательно, этот путь Таня с дедушкой пройдут за часа или 25,2 минуты. Таким образом, наименьшее количество времени Таня с дедушкой затратят на путь из деревни Егорки в деревню Жилино по шоссе через деревню Ванютино — 25,2 минуты.

Ответ: 25,2.

* * * * *

Задача №8 для ОГЭ про определение расстояния

Найдите расстояние от Антоновки до Егорки по шоссе. Ответ дайте в километрах.

На рисунке изображён план сельской местности.

Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово.

Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютино — 12 км, от Горюново до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, а от Жилино до Богданово — 12 км.

Решение.

Расстояние от Антоновки до Доломино состоит из расстояний от Антоновки до Егорки и от Егорки до Доломино, следовательно, расстояние от Антоновки до Егорки равно км.

Ответ: 8.

* * * * *

Задача №9 по математике — найти расстояние

Найдите расстояние от Егорки до Жилино по прямой. Ответ дайте в километрах.

На рисунке изображён план сельской местности.

Таня на летних каникулах приезжает в гости к дедушке в деревню Антоновка (на плане обозначена цифрой 1). В конце каникул дедушка на машине собирается отвезти Таню на автобусную станцию, которая находится в деревне Богданово. Из Антоновки в Богданово можно проехать по просёлочной дороге мимо реки. Есть другой путь — по шоссе до деревни Ванютино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Богданово. Третий маршрут проходит по просёлочной дороге мимо пруда до деревни Горюново, где можно свернуть на шоссе до Богданово. Четвёртый маршрут пролегает по шоссе до деревни Доломино, от Доломино до Горюново по просёлочной дороге мимо конюшни и от Горюново до Богданово по шоссе. Ещё один маршрут проходит по шоссе до деревни Егорка, по просёлочной дороге мимо конюшни от Егорки до Жилино и по шоссе от Жилино до Богданово.

Шоссе и просёлочные дороги образуют прямоугольные треугольники.

По шоссе Таня с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, а по просёлочным дорогам — со скоростью 30 км/ч. Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки — 4 км, от Егорки до Ванютино — 12 км, от Горюново до Ванютино — 15 км, от Ванютино до Жилино — 9 км, а от Жилино до Богданово — 12 км.

Решение.

Расстояние от Егорки до Жилино соответствует гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 12 км и 9 км. По теореме Пифагора (км.)

Ответ: 15.

* * * * *

Задача №10 про чай во время поездки

Ребята решили, что нужно взять в поездку чай в пакетиках определённого сорта. Оксане поручили купить чай на всех. Сколько пачек чая должна купить Оксана, если в компании 8 человек, в день они выпивают в среднем 3 пакетика на одного человека и поездка продлится две недели? В каждой пачке 25 пакетиков чая.

Андрей и его друзья собираются поехать в отпуск на две недели. Предварительно они наметили маршрут, представленный на рисунке. Они планируют на велосипедах добраться от города Гранюк до кемпинга, обозначенного на рисунке цифрой 7, за 4 дня, а потом поставить там палатки и отдыхать в море. Друзья собираются выехать рано утром и в первый день добраться до хутора Южный, где живёт бабушка Андрея. Там есть озеро, в котором можно купаться и ловить рыбу, что они и собираются делать до обеда следующего дня. Потом планируется доехать до посёлка Быково и заночевать там в мини‐отеле. На следующий день они собираются проехать 24 км до города Гусевск вдоль степного заказника и переночевать в одной из гостиниц. Заказник обозначен на рисунке цифрой 8. Из Гусевска в посёлок Домарку, где расположен кемпинг, можно доехать напрямую или через деревню Астрелка. Прямой путь короче, но там в эти дни идёт ремонт дороги, и пока неизвестно, где можно будет проехать быстрее.

Решение.

Найдём, сколько пакетиков чая ребята потратят за две недели:

Значит, им понадобится

пачек чая.

Таким образом, ребята должны купить 14 пачек чая.

Ответ: 14.

* * * * *

Задача №11 для экзамена на определение расстояния

Все могут пойти в отпуск с 15 июля, кроме Григория и Марии, которым в этот день нужно работать. Они готовы выехать 16 июля и догнать остальную группу в посёлке Быково, не заезжая на хутор Южный. Найдите расстояние, которое проедут Григорий и Мария от города Гранюк до Быково. Ответ дайте в километрах.

Андрей и его друзья собираются поехать в отпуск на две недели. Предварительно они наметили маршрут, представленный на рисунке. Они планируют на велосипедах добраться от города Гранюк до кемпинга, обозначенного на рисунке цифрой 7, за 4 дня, а потом поставить там палатки и отдыхать в море. Друзья собираются выехать рано утром и в первый день добраться до хутора Южный, где живёт бабушка Андрея. Там есть озеро, в котором можно купаться и ловить рыбу, что они и собираются делать до обеда следующего дня. Потом планируется доехать до посёлка Быково и заночевать там в мини‐отеле. На следующий день они собираются проехать 24 км до города Гусевск вдоль степного заказника и переночевать в одной из гостиниц. Заказник обозначен на рисунке цифрой 8. Из Гусевска в посёлок Домарку, где расположен кемпинг, можно доехать напрямую или через деревню Астрелка. Прямой путь короче, но там в эти дни идёт ремонт дороги, и пока неизвестно, где можно будет проехать быстрее.

Решение.

Найдём расстояние, которое проедут Григорий и Мария от города Гранюк до Быково, по теореме Пифагора:

км.

Ответ: 30.

* * * * *

Задача №12 про маршрут поездки

Пользуясь описанием, определите, какими цифрами на плане обозначены населённые пункты. В ответе запишите полученную последовательность четырёх цифр.

Населённые пункты:	Новомальцево	Парахино	Александровка	Фомино
Цифры

Настя летом отдыхает у дедушки в деревне Александровке. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Фомино. Из Александровки в Фомино можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Новомальцево до деревни Парахино, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Фомино. Есть и третий маршрут: в Новомальцева можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в Фомино.

По шоссе Настя с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге — 50 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 3 км.

Решение.

Пользуясь описанием и рисунком можно заметить, что деревня Новомальцево соответствует цифре 3, деревня Парахино — цифре 4, деревня Александровка — цифре 2 и деревня Фомино —цифре 1.

Ответ: 3421.

* * * * *

Задача №13 про маршрут Насти и дедушки

Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Настя с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Настя летом отдыхает у дедушки в деревне Александровке. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Фомино. Из Александровки в Фомино можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Новомальцево до деревни Парахино, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Фомино. Есть и третий маршрут: в Новомальцева можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в Фомино.

По шоссе Настя с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге — 50 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 3 км.

Решение.

Настя с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами. Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 36 и 27. По теореме Пифагора имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 50 км/ч дедушка с Настей потратят 45 : 50 = 0,9 часа или 54 минуты.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По шоссе Настя с дедушкой проедут 12 километров со скоростью 60 км/ч. Следовательно, они затратят 12 : 60 = 0,2 часа или 12 минут. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 36 и 15. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Настя с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, следовательно, они затратят 39 : 50 = 0,78 часа или 46,8 минут.

Таким образом, Настя с дедушкой на весь путь затратят 46,8 + 12 = 58,8 минут.

3) По шоссе через Парахино. Расстояние, которое проедут Настя с дедушкой, проезжая через Парахино, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 36 и 27. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 36 + 27 = 63.

Двигаясь по шоссе со скоростью 60 км/ч Настя с дедушкой потратят 63 : 60 ≈ 1,05 часа или 63 минуты.

Таким образом, самый быстрый путь составит 54 минуты.

Ответ: 54.

* * * * *

Задача №14 ОГЭ про маршрут Гены и дедушки

Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Гена с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Гена летом отдыхает у дедушки в деревне Осинки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кудрино. Из деревни Осинки в Кудрино можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Илькино до деревни Кулаки, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Кудрино. Есть и третий маршрут: в Илькине можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в Кудрино.

По шоссе Гена с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

Решение.

Гена с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами. Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 32 и 24. По теореме Пифагора имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 40 км/ч дедушка с Геной потратят 40 : 40 = 1 час или 60 минут.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По шоссе Гена с дедушкой проедут 22 километра со скоростью 60 км/ч. Следовательно, они затратят часа или 22 минуты. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 24 и 10. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Гена с дедушкой едут со скоростью 40 км/ч, следовательно, они затратят 26 : 40 = 0,65 часа или 39 минут.

Таким образом, Гена с дедушкой на весь путь затратят 22 + 39 = 61 минута.

3) По шоссе через Кулаки. Расстояние, которое проедут Гена с дедушкой, проезжая через Кулаки, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 32 и 24. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 32 + 24 = 56.

Двигаясь по шоссе со скоростью 60 км/ч, Гена с дедушкой потратят часа или 56 минут.

Таким образом, самый быстрый путь составит 56 минут.

Ответ: 56.

* * * * *

Задача №15 по математике на маршрут в деревню

Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Марина с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Марина летом отдыхает у дедушки в деревне Ивановки. В пятницу они собираются съездить на машине в село Гавриловка. Из Ивановки в Гавриловку можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Пересыпкино до деревни Ольшанка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Гавриловку. Есть и третий маршрут: в Пересыпкине можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо пруда прямо в Гавриловку.

По шоссе Марина с дедушкой едут со скоростью 48 км/ч, а по грунтовой дороге — 25 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

Решение.

Марина с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами. Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20. По теореме Пифагора имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 25 км/ч, дедушка с Мариной потратят 25 : 25 = 1 час или 60 минут.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По шоссе Марина с дедушкой проедут 12 километров со скоростью 48 км/ч. Следовательно, они затратят 12 : 48 = 0,25 часа или 15 минут. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу, длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 8 и 15. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Марина с дедушкой едут со скоростью 25 км/ч, следовательно, они затратят 17 : 25 = 0,68 часа или 40,8 минут.

Таким образом, Марина с дедушкой на весь путь затратят 15 + 40,8 = 55,8 минут.

3) По шоссе через Ольшанку. Расстояние, которое проедут Марина с дедушкой, проезжая через Ольшанку, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20. Таким образом, искомое расстояние равно 15 + 20 = 35.

Двигаясь по шоссе со скоростью 48 км/ч, Марина с дедушкой потратят 35 : 48  60 = 43,75 минут.

Таким образом, самый быстрый путь составит 43,75 минут.

Ответ: 43,75.

* * * * *

Задача №16 для ОГЭ по определению маршрута дороги

Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Гриша с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Гриша летом отдыхает у дедушки в деревне Ушаково. В субботу они собираются съездить на машине в село Бережки. Из Ушакова в Бережки можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Дубёнки до деревни Афонино, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Бережки. Есть и третий маршрут: в деревне Дубёнки можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в село Бережки.

По шоссе Гриша с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге —50 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

Решение.

Гриша с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами. Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 30 и 16. По теореме Пифагора имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 50 км/ч дедушка с Гришой потратят 34 : 50 = 0,68 часа или 40,8 минут.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По шоссе Гриша с дедушкой проедут 18 километров со скоростью 60 км/ч. Следовательно, они затратят 18 : 60 = 0,3 часа или 18 минут. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 12 и 16. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Гриша с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, следовательно, они затратят 20 : 50 = 0,4 часа или 24 минуты.

Таким образом, Гриша с дедушкой на весь путь затратят 24 + 18 = 42 минуты.

3) По шоссе через Афонино. Расстояние, которое проедут Гриша с дедушкой, проезжая через Афонино, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 30 и 16. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 30 + 16 = 46.

Двигаясь по шоссе со скоростью 60 км/ч Гриша с дедушкой потратят 46 : 60 часа или 46 минут.

Таким образом, самый быстрый путь составит 40,8 минут.

Ответ: 40,8.

* * * * *

Задача №17 на определение времени маршрута

Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Настя с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Настя летом отдыхает у дедушки в деревне Александровке. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Фомино. Из Александровки в Фомино можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Новомальцево до деревни Парахино, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Фомино. Есть и третий маршрут: в Новомальцева можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в Фомино.

По шоссе Настя с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге — 50 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 3 км.

Решение.

Настя с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами. Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 36 и 27. По теореме Пифагора имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 50 км/ч дедушка с Настей потратят 45 : 50 = 0,9 часа или 54 минуты.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По шоссе Настя с дедушкой проедут 12 километров со скоростью 60 км/ч. Следовательно, они затратят 12 : 60 = 0,2 часа или 12 минут. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 36 и 15. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Настя с дедушкой едут со скоростью 50 км/ч, следовательно, они затратят 39 : 50 = 0,78 часа или 46,8 минут.

Таким образом, Настя с дедушкой на весь путь затратят 46,8 + 12 = 58,8 минут.

3) По шоссе через Парахино. Расстояние, которое проедут Настя с дедушкой, проезжая через Парахино, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 36 и 27. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 36 + 27 = 63.

Двигаясь по шоссе со скоростью 60 км/ч Настя с дедушкой потратят 63 : 60 ≈ 1,05 часа или 63 минуты.

Таким образом, самый быстрый путь составит 54 минуты.

Ответ: 54.

* * * * *

Задача №18 про время движения Гены и дедушки по дороге

Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Гена с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Гена летом отдыхает у дедушки в деревне Осинки. В воскресенье они собираются съездить на машине в село Кудрино. Из деревни Осинки в Кудрино можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Илькино до деревни Кулаки, где нужно повернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Кудрино. Есть и третий маршрут: в Илькине можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо озера прямо в Кудрино.

По шоссе Гена с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по грунтовой дороге — 40 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 2 км.

Решение.

Гена с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами. Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 32 и 24. По теореме Пифагора имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 40 км/ч дедушка с Геной потратят 40 : 40 = 1 час или 60 минут.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По шоссе Гена с дедушкой проедут 22 километра со скоростью 60 км/ч. Следовательно, они затратят часа или 22 минуты. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 24 и 10. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Гена с дедушкой едут со скоростью 40 км/ч, следовательно, они затратят 26 : 40 = 0,65 часа или 39 минут.

Таким образом, Гена с дедушкой на весь путь затратят 22 + 39 = 61 минута.

3) По шоссе через Кулаки. Расстояние, которое проедут Гена с дедушкой, проезжая через Кулаки, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 32 и 24. Таким образом, имеем, что искомое расстояние равно 32 + 24 = 56.

Двигаясь по шоссе со скоростью 60 км/ч, Гена с дедушкой потратят часа или 56 минут.

Таким образом, самый быстрый путь составит 56 минут.

Ответ: 56.

* * * * *

Задача №19 для ОГЭ по математике про время и скорость движения Марины и дедушки по маршруту

Определите, на какой маршрут потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Марина с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Марина летом отдыхает у дедушки в деревне Ивановки. В пятницу они собираются съездить на машине в село Гавриловка. Из Ивановки в Гавриловку можно проехать по прямой грунтовой дороге. Есть более длинный путь по шоссе — через деревню Пересыпкино до деревни Ольшанка, где нужно повернуть под прямым углом направо на другое шоссе, ведущее в Гавриловку. Есть и третий маршрут: в Пересыпкине можно свернуть на прямую грунтовую дорогу, которая идёт мимо пруда прямо в Гавриловку.

По шоссе Марина с дедушкой едут со скоростью 48 км/ч, а по грунтовой дороге — 25 км/ч. На плане изображено взаимное расположение населённых пунктов, сторона каждой клетки равна 1 км.

Решение.

Марина с дедушкой могут поехать тремя разными маршрутами. Рассмотрим каждый из них.

1) По грунтовой дороге напрямую. Длина такого пути соответствует длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20. По теореме Пифагора имеем:

Двигаясь по грунтовой дороге со скоростью 25 км/ч, дедушка с Мариной потратят 25 : 25 = 1 час или 60 минут.

2) Сначала по шоссе, а затем по грунтовой дороге вдоль озера. По шоссе Марина с дедушкой проедут 12 километров со скоростью 48 км/ч. Следовательно, они затратят 12 : 48 = 0,25 часа или 15 минут. Дальше по условию задачи они свернут на грунтовую дорогу, длина которой равна длине гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами 8 и 15. Таким образом, по теореме Пифагора длина составит:

По грунтовой дороге Марина с дедушкой едут со скоростью 25 км/ч, следовательно, они затратят 17 : 25 = 0,68 часа или 40,8 минут.

Таким образом, Марина с дедушкой на весь путь затратят 15 + 40,8 = 55,8 минут.

3) По шоссе через Ольшанку. Расстояние, которое проедут Марина с дедушкой, проезжая через Ольшанку, равно сумме длин катетов прямоугольного треугольника с катетами 15 и 20. Таким образом, искомое расстояние равно 15 + 20 = 35.

Двигаясь по шоссе со скоростью 48 км/ч, Марина с дедушкой потратят 35 : 48  60 = 43,75 минут.

Таким образом, самый быстрый путь составит 43,75 минут.

Ответ: 43,75.