Решение задачи прогнозирования спроса на услуги логистической компании методом экстраполяции тренда

В логистике, так же как и в других сферах экономической деятельности, широко распространен метод экстраполяции тренда, предполагающий, что закономерность, действующая внутри анализируемого временного ряда, выступающего в качестве базы прогнозирования, сохраняется и на период прогноза. Прогнозирование в этом случае можно свести к подбору аналитически выраженных моделей трендов типа у = f (t) по данным предпрогнозного периода и экстраполяции полученных трендов на интервале прогноза.

Формально исследуемый процесс может быть записан в аддитивном или мультипликативном виде. Аддитивная модель имеет вид:

где у — расчетные значения временного ряда;

y_t — тренд или детерминированная составляющая; s_t — сезонная составляющая, отражающая периодические колебания, которые повторяются через примерно одинаковые промежутки в течение небольшого промежутка времени;

v_t — циклическая составляющая, отражающая периодические колебания, повторяющиеся в течение длительного промежутка времени;

d_t — составляющая, позволяющая учесть другие важные факторы, такие как фаза жизненного цикла, эффект от маркетинговых мероприятий и др.;

е_г — случайная составляющая, обусловленная стохастическим характером социально-экономических процессов (случайные колебания, характеризующиеся абсолютной нерегулярностью величины, частоты, направления возникновения, поэтому их предсказание на основе анализа временного ряда оказывается невозможным).

Мультипликативная модель имеет вид:

где I_s — коэффициент (индекс), учитывающий сезонные колебания; I_v — коэффициент (индекс), учитывающий циклические колебания; I_d— коэффициент (индекс), учитывающий другие важные факторы (фаза жизненного цикла, эффект от маркетинговых мероприятий и др.); E_t — случайная составляющая.

Модели (8.1) и (8.2) практически приближают прогноз к плану.

В частных случаях количество составляющих моделей (8.1) и (8.2) может быть меньше, например только y_t и в, или больше, если необходимо выделить «сезонные» составляющие применительно к часам суток, к дням недели, месяцам. В этом случае модели (8.1) и (8.2) могут включать несколько сезонных компонент. Чем меньше составляющих модели удается описать, тем больше будет случайная составляющая, которая и характеризует неопределенность.

В простом варианте, когда модели (8.1) и (8.2) содержат только y_t и е, процедуру прогнозирования в этом случае можно представить в виде следующей последовательности.

Первый этап — подбор зависимости для описания уравнения тренда. Вид функции обычно задают, используя полиномы различных порядков, экспоненциальные, степенные функции и т. п. Параметры модели прогнозирования определяются методом наименьших квадратов (МНК), при этом модель тренда должна быть такой, чтобы сумма квадратов отклонений расчетных значений от фактических была наименьшей.

Если модель тренда является линейной, у* = а₀ + a_xt, то расчет коэффициентов уравнения а₀ и а_х производится по формулам:

Важно запомнить

Соотношение длины предпрогнозного периода и периода прогноза должно быть не менее, чем 3:1.

Третий этап — расчет ошибки прогноза. Тренд характеризует лишь средний уровень ряда на каждый момент времени, в том числе и на прогнозный период. Отдельные наблюдения в прошлом (на интервале наблюдения) отклоняются от линии тренда — это дает право предполагать, что и в будущем следует ожидать таких отклонений. Значит, прогноз имеет погрешность, которая помимо колебаний значений от среднего уровня объясняется еще и наличием неопределенности при определении параметров модели тренда, поскольку их оценивание производится на основе ограниченной совокупности данных.

Погрешность прогноза можно оценить по среднему квадратическому отклонению.

где у* — расчетные (теоретические) значения; у_х — фактические значения; к — число степеней свободы, определяемое в зависимости от числа наблюдений (N) и числа оцениваемых параметров (z), к = N ~ z; для линейного тренда 2 = 2, для параболы второй степени z = 3 и т. д.

Погрешность прогноза отражается в виде доверительного интервала, с помощью которого точечный прогноз преобразуется в интервальный.

Четвертый этап — определение интервала прогноза. При использовании трендовых моделей прогнозов следует иметь в виду, что погрешность прогноза растет при увеличении периода упреждения, так как тренд выявлен на основе данных, охваченных периодом наблюдения, и чем дальше от этого периода, тем выше вероятность ошибочного суждения. Поэтому при определении интервального прогноза следует учесть корректировочный коэффициент^[1]:

где N — продолжительность наблюдения; L — период упреждения.

Доверительный интервал прогноза при небольшом числе наблюдений и при предположении о нормальном распределении прогнозных оценок определяется следующим образом:

где t_a — табличное значение^{-критерия} Стьюдента с k степенями свободы и уровнем значимости a; o_t/ — ошибка модели прогноза, рассчитанная как среднее квадратическое отклонение.

Метод экстраполяции тренда достаточно прост и легко реализуется на компьютерах. К недостаткам метода можно отнести следующее. Во-первых, модель тренда жестко фиксируется, и с помощью МНК можно получить достоверный прогноз лишь на небольшой период упреждения. Во-вторых, МНК очень просто реализуется только для линейных зависимостей и нелинейных функций, приводимых к линейному виду.

Рассмотренный способ прогнозирования позволяет уменьшить неопределенность спроса, расхода материальных ресурсов, например в управлении запасами: изменить параметры поставки или размер страхового запаса.

Рассмотрим ситуацию, в которой может использоваться трендовая модель прогноза для решения типичных задач управления запасами. Сразу же следует предупредить читателя, что данный разбор ситуации — не просто рассмотрение возможностей прогнозирования на основе каких-либо данных. Мы попытаемся последовательно показать на примере конкретных данных, как можно корректно использовать трендовое прогнозирование именно в целях решения задач управления запасами. Для этого практика и теория в данной ситуации тесно и неразделимо переплелись.

? Разбор ситуации Напомним, что трендовая модель позволяет дать прогноз как на один, так и на несколько периодов, если мы хотим быстро реагировать и вносить изменения в систему поставки. Рассмотрим ситуацию, в которой известны значения расхода деталей со склада за пять дней работы (табл. 8.2). Начальный запас равен 50 ед.

1. Для начала подберем уравнение тренда y_t в виде линейной зависимости y_t = а₀ + а_{ t. Расчет коэффициентов уравнения а₀ и а_х производится по формулам (8.3) и (8.4), которые получены на основе метода наименьших квадратов. Результаты представлены в табл. 8.3.

Данные о спросе и остатках

День.	Спрос, ед.	Остаток, ед.

Таблица 8.3

Исходные данные и результаты расчета коэффициентов линейной зависимости при N=5

б> дн.	У г ел.	б2	yfi	Прогноз[2] у)	(У, ~ Уд2
Суммы. 16 = 15.	м. II.	1‘? = 55.	X </, 6=513.	;	Х (</,-</;)2 = 13.

Подставляя значения сумм из табл. 8.3 в формулы (8.3) и (8.4), находим а₀ = 45,2; а_Л = -3,0. Таким образом, уравнение прогноза запишется в виде.

Для оценки границ интервального прогноза необходимо по (8.5) рассчитать среднее квадратичное отклонение:

На основании полученных зависимостей y_t и ст можно определить прогнозные оценки:

• • среднего времени расхода текущего запаса Т;
• • страхового запаса Qc_Tp ^с заданной доверительной вероятностью Р для отдельной реализации;
• • страхового запаса с заданной доверительной вероятностью отсутствия дефицита при t = T.

Приняв y_t = 0, находим прогнозную величину среднего времени расхода Т:

т.е. текущий запас закончится в среднем за 15 дн.

Рассчитываем страховой запас. В ряде работ по управлению запасами для расчета страхового запаса предлагается использовать формулу.

где — параметр нормального закона распределения, соответствующий доверительной вероятности (3.

Параметр ?_р определяет для нормального закона число средних квадратических отклонений, которые нужно отложить от центра рассеивания (влево и вправо) для того, чтобы вероятность попадания в полученный участок была равна (3. В нашем случае доверительные интервалы откладывают вверх и вниз от среднего значения г/_г. Значения коэффициента f_p можно посмотреть в прил. 1.

Таким образом, страховой запас рассчитывается практически так же, как и границы интервального прогноза, т. е. формула для расчета страхового запаса аналогична формуле (8.7).

Для рассматриваемой ситуации для доверительной вероятности Э = = 0,9 находим t_р = 1,643 и по (8.8) величину страхового запаса.

Примем Q. = 3,0 ед.

На рис. 8.3 приведены нижняя и верхняя границы, определенные по формуле (8.8), при (3 = 0,9.

• ——прогноз; —•—фактические данные; —*—нижняя граница;
• —*—верхняя граница

Важно запомнить По одной реализации невозможно оценить вероятностный характер длительности функциональных циклов поставки.

Это означает, что по одной реализации делать оценки, лежащие в основе принятия решений по управлению запасами, не вполне корректно. Однако можно предположить, что выявленная тенденция расхода запаса сохранится. В этом случае для оценки прогнозной величины страхового запаса можно воспользоваться формулой.

где т — параметр, характеризующий количество дней задержки поставки заказа.

Рассчитаем величину страхового запаса_при условии задержки на один день по сравнению с прогнозной оценкой Т = 15 дн., т. е. на 16-й день.

По формуле (8.9) находим.

Аналогично при т = 2 (17-й день) = 9,0 ед.

2. Другой подход к оценке страхового запаса Q₍._Tp(P) на основе прогнозной модели заключается в том, что величина страхового запаса выбирается с учетом вероятности отсутствия дефицита F (y). Допустим, что случайная величина расхода запаса при Т — 15 распределена по нормальному закону с параметрами y_t _ ₁₅ = 0, а_т= о_{/ (см. формулу (8.5)). Тогда, воспользовавшись уравнением функции нормального закона, определим вероятность отсутствия дефицита при величине страхового запаса Q_{/

где y_t — уравнение тренда; а — среднее квадратическое отклонение, формула (8.5).

Сделаем в интеграле замену переменной.

и приведем его к виду.

Интеграл (8.12) не выражается через элементарные функции, поэтому для расчетов можно воспользоваться численными методами и компьютером или специальными таблицами для нормальной функции распределения с параметрами: среднее значение т_х = 0 и а_х = 1.

Очевидно, что F{y) = Ф ^:-— .

I )

В нрил. 1 приведен ряд значений функции Ф (х) и Р (х).

Между параметрами (3 и х, а также (3 и Ф (х) существует соотношение.

На рис. 8.4 приведены графики нормальной функции распределения и плотности нормального распределения.

а — плотность распределения; 6 — функция распределения Появление дефицита означает, что текущая величина запаса на складе равна нулю, т. е. у = 0.

Следовательно, для определения вероятности отсутствия дефицита.

—Ti

необходимо по формуле (8.11) рассчитать х — —¹— и по таблице прил. 1.

о с помощью х найти Р (х).

Для рассматриваемого примера рассчитаем вероятности отсутствия дефицита деталей на складе на 13-й, 14-й и 15-й дни. Так, для t= 13 получаем.

и.

По таблице прил. 1 находим Р (Т = 13) > 0,999, т. е. вероятность дефицита ничтожно мала.

Аналогично для t = 14 получим у_г_ ₁₄ = 3,2; х = 1,6, и вероятность отсутствия дефицита Р_{т= 14} = 0,95.

Наконец, для t = 15 вероятность отсутствия дефицита Р = 0,5.

Важно запомнить Так же, как при оценке прогнозной величины страхового запаса, определение вероятности отсутствия дефицита по одной реализации справедливо только при строгом соблюдении сроков поставки. Если они не соблюдаются, то расчет должен проводиться с учетом рассеивания длительности функциональных циклов поставки.

3. Определим ошибку прогноза среднего времени 7 при условии, ч то поставки планируются через 10 дн.:

где Гф, 7_П — соответственно фактическая и прогнозная продолжительность цикла, дн.

Подставив значения в (8.15), находим.

Ошибка прогноза велика, но это закономерно, так как нарушено одно из эмпирических правил экстраполяционного прогнозирования: между предпрогнозным периодом t и периодом упреждения (прогноза) т — Т — t должно соблюдаться соотношение:

Если следовать соотношению (8.16), то при t = 5 допустимая величина времени прогноза.

Следовательно, величина надежного прогноза соответствует 7=7 дн. и период упреждения составляет т = 2 дн.

При средней длине функционального цикла расхода запасов, равной 7 = = 10 дн., находим по формуле (8.17) допустимую величину времени прогноза t = 7,5 дн.

Увеличим длину динамического ряда до N= 7 (рис. 8.5).

• ——прогноз; —»—фактические данные; —*—нижняя граница;
• —х— — верхняя граница

Выполнив аналогичные расчеты (табл. 8.4), получим уравнение тренда При этом.

Соответственно, ст_(у = 2,3.

Рассчитаем среднее прогнозное время расхода запаса со склада и ошибку прогноза согласно (8.15):

Таблица 8.4

Исходные данные и результаты расчета коэффициентов линейной модели при N=7

и	У;	tf	Ук	у’,	(у-Vi)2
				43,1.	4,41.
				39,2.	0,04.
				35,3.	7,29.
				31,4.	12,96.
				27,6.	0,25.
				23,6.	0,36.
				19,7.	0,49.
М. — Г*. II ю.	ХУ,-=223.	Хб- =140.	Хм = 784	;	Х (1/-*/.)2 = 25,8.

Рассчитаем величину страхового запаса для 12-го, 13-го и 14-го дн. по формуле (8.9). Примем (3 = 0,95, т. е. ?» = 1,96. Тогда.

Определим вероятность дефицита на складе на 10-й день.

гг J. _/0(1Ч -(47,3−3,9 10).

По формуле (8.11) находим х =-—-¹ = -3,61; по таблице прил. 1 Р_т= к) * 1,0, т. е. наличие дефицита маловероятно. Аналогично для Р_т-п = 0,98, для Р_г_₁₂— 0,6.

Сравнение результатов прогнозирования с разным количеством исходных данных показывает, что увеличение длины предпрогнозного периода позволяет повысить точность прогноза и вероятность отсутствия дефицита в случае увеличения длины функционального цикла.

4. Выше говорилось, что доверительные границы прогноза могут быть определенны по формуле (8.7), которая включает табличное значение^{-критерия} Стьюдента с k степенями свободы и уровнем значимости р и учитывает расхождение границ.

Определим страховой запас по формуле.

Число степеней свободы при N = 7 и линейной зависимости расхода равно k = 7 — 2 = 5. Предыдущий расчет страхового запаса выполнялся при доверительной вероятности 0,95, поэтому мы также выберем уровень значимости 0,05. По табл. 8.5 находим для k = 5 значение критерия Стьюдента t₀₀₅ = 2,571.

Таблица 8.5

Значения критерия Стыодента.

к	*0,1.	*0.05.	*0.01.	к	*0,1.	*0.05.	*0,01.
	2,920.	4,303.	9,925.		1,729.	2,093.	2,861.
	2,353.	3,182.	5,841.		1,725.	2,086.	2,845.
	2,132.	2,776.	4,604.		1,721.	2,080.	2,831.
	2,015.	2,571.	4,032.		7,717.	2,074.	2,819.
	1,953.	2,447.	3,707.		1,714.	2,069.	2,807.
	1,895.	2,365.	3,499.		1,711.	2,064.	2,797.
	1,860.	2,306.	3,355.		1,708.	2,060.	2,787.
	1,833.	2,262.	3,250.		1,706.	2,056.	2,779.
	1,812.	2,228.	3,169.		1,703.	2,052.	2,771.
	1,796.	2,201.	3,106.		1,701.	2,048.	2,763.
	1,782.	2,179.	3,055.		1,699.	2,045.	2,756.
	1,771.	2,160.	3,012.		1,697.	2,042.	2,750.
	1,761.	2,145.	2,977.		1,684.	2,021.	2,704.
	1,753.	2,131.	2,947.		1,671.	2,000.	2,660.
	1,746.	2,120.	2,921.		1,658.	1,980.	2,617.
	1,740.	2,110.	2,898.	оо.	1,645.	1,960.	2,576.
	1,734.	2,101.	2,878.	—.	—.	—.	—.

Страховой запас равен

На рис. 8.6 показаны нижняя и верхняя границы, определенные, но формуле (8.7), при уровне значимости а = 0,05 и К= 1, а также границы интервального прогноза при коэффициенте К, учитывающем расхождение границ прогноза.

—Ф—фактические данные;——прогноз; —*—нижняя граница при К = 1; —х—верхняя граница при К = 1; —*—нижняя граница с учетом расхождения границ интервала прогноза; —•— — верхняя граница с учетом расхождения границ интервала прогноза Рассмотрим определение нижней границы доверительного интервала прогноза по формуле (8.7). Для t = 8 рассчитаем множитель К по формуле (8.6).

Нижняя граница прогноза для t — 8 равна.

Для ?=12

нижняя граница прогноза для t = 12 равна.

Формула (8.18) для расчета страхового запаса учитывает повышенную неопределенность оценки из-за малого объема данных. Выбор нормального распределения при малом N вместо распределения Стыодепта приводит к существенному расхождению прогнозных оценок и к неоправданному сужению доверительного интервала. Подставим в формулу (8.9) вместо параметра нормального распределения значение критерия Стыодента и рассчитаем величину страхового запаса при условии задержки на один день по сравнению с прогнозной оценкой, т.с. на 13-й день:

Аналогично, при т = 2 (14-й день) у_с — 13,71 = 14 ед.

Расчеты показывают, что страховой запас должен быть увеличен примерно на две единицы в день по сравнению с расчетами по формуле (8.8).

5. Рассмотрим ансамбль из четырех реализаций расхода деталей на складе. Допустим, что информация ограничена 7 днями.

Рассчитаем средние значения и дисперсии для каждого дня прогнозного периода по формулам:

Например, для l-ro дня найдем.

Результаты расчетов приведены в табл. 8.6.

Расчет параметров для ансамбля реализаций.

Таблица 8.6

б.	Уи	Уъ	Ум	Ум		Оу «- Уи)2	(>»» ~ ~ Уъ)2	~ Ум)2	(ту ~ — Ум)2	^Лт, гУ»)2 п-1.
										15,33.	3,92.
										4,67.	2,16.
					37,5.	0,25.	2,25.	2,25.	0,25.	1,67.	1,29.
					33,75.	1,56.	3,06.	0,56.	1,56.	2,25.	1,50.
					27,75.	0,06.	33,06.	1,56.	18,06.	17,58.	4,19.
										32,67.	5,72.
					19,5.	0,25.	110,25.	42,25.	20,25.	57,67.	7,59.
Сумма.	131,83.	;

Для аппроксимации средних значений m (t) выберем линейную зависимость.

Воспользовавшись методом наименьших квадратов, найдем коэффициенты й₀ и Ь_х. Спрогнозируем среднюю величину времени расхода запаса:

Зависимости D (t) и а (?) носят явно нелинейный характер, и для точных прогнозов они могут быть аппроксимированы полиномами различных порядков, например в виде параболы:

В первом приближении ограничимся средними значениями дисперсии и среднего квадратического отклонения а, которое рассчитывается по формуле.

При подстановке значений из табл. 8.5 находим.

Рассчитаем величину страхового запаса.

В первом случае расчет производится по формуле (8.8). Например, при (3 = 0,95 находим.

Во втором случае расчет Qc_T|) производится по формуле (8.9).

Особенность расчета для ансамбля реализаций состоит в том, что имеется возможность оценки величины т — среднего количества дней, в которые наблюдается дефицит деталей. В общем случае т можно рассчитать по формуле.

где t_{ — число дней дефицита в г-й реализации; t = 0, 1,2,…; я, — количество.

i-x реализаций.

Пусть в рассматриваемом примере в первой реализации (/ = 1) не наблюдается дефицита, т. е. = 0; у второй (i = 2) — два дня дефицита, t_i = 2; а у третьей (i = 3) и четвертой (i = 4) нет дефицита.

Тогда по формуле (8.24).

При подстановке в (8.9) находим.

В заключение к вопросу прогнозирования по трендовым моделям следует сделать следующие замечания.

• 1. Рассчитанные величины среднего запаса получены при условии, что наблюдающая величина дефицита и вариация ежедневного расхода — независимые величины. Несомненно, это допущение требует проверки.
• 2. При наличии большого количества реализаций расчет величины т должен быть выполнен до проведения прогнозных расчетов.
• 3. Проверка формул (8.9) и (8.24) может быть осуществлена с использованием имитационного моделирования. <

• [1] Четыркин Е. М. Статистические методы прогнозирования. М.: Статистика, 1975.
• [2] Значения округлены.