После предпринятой рекламной компании фирма давидко решение

Задача 1. Нефтеперерабатывающая установка может работать в двух различных режимах. При работе в первом режиме из одной тонны нефти производится 300 кг темных и 600 кг светлых нефтепродуктов; при работе во втором режиме — 700 кг темных и 200 кг светлых нефтепродуктов. Ежедневно на этой установке необходимо производить 110 т темных и 70 т светлых нефтепродуктов. Это плановое задание необходимо ежедневно выполнять, расходуя минимальное количество нефти.

Вопросы:

1. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать в первом режиме?

2. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать во втором режиме?

3. Каков минимальный ежедневный расход нефти?

4. На сколько тонн увеличится ежедневный минимальный расход нефти, если потребуется производить в день 80 т светлых нефтепродуктов?

Задача 2. Фирма «Television» производит два вида телевизоров: «Астро» и «Космо».

В цехе 1 производят телевизионные трубки. На производство одной трубки к телевизору «Астро» требуется потратить 1,2 человекочаса, а на производство трубки к «Космо» — 1,8 человекочаса. В настоящее время в цехе 1 на производство трубок к обеим маркам телевизоров может быть затрачено не более 120 человекочасов в день.

В цехе 2 производят шасси с электронной схемой телевизора. На производство шасси для телевизора любой марки требуется затратить 1 человекочас. На производство шасси к обеим маркам телевизоров в цехе 2 может быть затрачено не более 90 человеко-часов в день.

Продажа каждого телевизора марки «Астро» обеспечивает прибыль в размере 1500 руб., а марки «Космо» — 2000 руб.

Фирма заинтересована в максимизации прибыли.

Вопросы:

1. Сколько телевизоров «Астро» следует производить ежедневно?

2. Какова максимальная ежедневная прибыль телевизионной компании?

3. На сколько рублей в день увеличится прибыль, если ресурс времени в цехе 2 возрастет на 5 человекочасов?

4. Следует ли изменить план производства, если прибыль от телевизора «Космо» увеличится до 2200 руб.?

Задача 3. Чулочно-носочная фирма производит и продает два вида товаров: мужские носки и женские чулки. Фирма получает прибыль в размере 10 руб. от производства и продажи одной пары чулок и в размере 4 руб. от производства и продажи одной пары носков.

Производство каждого изделия осуществляется на трех участках. Затраты труда (в часах) на производство одной пары указаны в следующей таблице для каждого участка:

Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма ежедневно будет располагать следующими ресурсами рабочего времени на каждом из участков: 60 ч на участке 1; 70 ч на участке 2 и 100 ч на участке 3.

Вопросы:

1. Сколько пар носков следует производить ежедневно, если фирма хочет максимизировать прибыль?

2. Какую максимальную прибыль фирма может получать ежедневно?

3. На сколько увеличится прибыль, если ресурс времени на участке 1 увеличится на 10ч?

4. На сколько увеличится прибыль, если ресурс времени на участке 2 увеличится на 10 ч?

Задача 4. Василий Иванов — владелец небольшого мебельного цеха. Он производит столы трех моделей: А, В и С. Каждая модель требует определенных затрат времени на выполнение трех операций: производство заготовок, сборка и покраска.

Василий имеет возможность продать все столы, которые он изготовит. Более того, модель С может быть продана и без покраски (модель CБ. п.). При этом прибыль уменьшается на 200 руб. за штуку. Василий нанимает нескольких рабочих, которые работают у него по совместительству, так что количество часов, отводимое на каждый вид работ, изменяется от месяца к месяцу.

Постройте модель линейного программирования, которая помогла бы Иванову найти такую программу выпуска продукции, чтобы прибыль в следующем месяце была максимальной. Предполагается, что по каждому виду работ возможны трудозатраты до 100 ч. В следующей таблице указаны время (в часах), необходимое для выполнения операций по производству столов каждой модели, и прибыль (в руб.), которая может быть получена от реализации каждого изделия:

Вопросы:

1. Какую максимальную прибыль может получить Василий в течение месяца?

2. Сколько столов модели А следует производить?

3. Следует ли продавать неокрашенные столы модели С?

4. На сколько увеличится максимальная прибыль, если допустимый объем трудозатрат на этапе сборки возрастет на 10%?

5. На какую минимальную величину должна возрасти прибыль от производства и продажи окрашенного стола модели С, чтобы стало выгодно их производить?

Задача 5. После предпринятой рекламной кампании фирма «Давидко» испытывает необыкновенный рост спроса на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе — газовые и угольные. Фирма заключила контракт на ежемесячную поставку в магазины 300 угольных и 300 газовых мангалов.

Производство мангалов ограничивается мощностью следующих трех участков: производства деталей, сборки и упаковки. В таблице показано, сколько человекочасов затрачивается на каждом участке на каждую единицу продукции, а также приведен допустимый ежемесячный объем трудозатрат:

Фирма «Давидко» не может обеспечить выполнение контракта своими силами. Поэтому она провела переговоры с другим производителем, который в настоящее время располагает избыточными мощностями. Этот производитель согласился поставлять фирме «Давидко» в любом количестве угольные мангалы по 3 тыс. руб. за штуку и газовые мангалы по 5 тыс. руб. за штуку. Эти цены превышают себестоимость мангалов на заводе фирмы «Давидко» на 1,5 тыс. руб. за каждый угольный мангал и на 2 тыс. руб. за каждый газовый мангал. Задача фирмы «Давидко» состоит в том, чтобы найти такое соотношение закупаемых и производимых мангалов, которое обеспечило бы выполнение контракта с минимальными общими затратами.

Вопросы:

1. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?

2. Сколько угольных мангалов следует ежемесячно производить фирме «Давидко»?

3. Сколько газовых мангалов следует ежемесячно производить?

4. Сколько газовых мангалов следует приобретать?

5. Следует ли сохранить объемы закупок газовых мангалов, если компания, выполняющая заказы для фирмы «Давидко», поднимет цену на них до 5,5 тыс. руб.?

Задача 6. Компания «Видео», производитель видеомагнитофонов, планирует производство и запасы продукции на первое полугодие следующего года. Прогноз спроса на соответствующие шесть месяцев отражен в таблице. «Видео» хотела бы иметь такой план, который обеспечит возможность полностью удовлетворить спрос.

Из-за колебаний затрат на сырье и энергию себестоимость продукции (затраты на единицу продукции) изменяется от месяца к месяцу. Максимальный объем производства компании «Видео» также колеблется из месяца в месяц из-за неравномерного ремонта оборудования и различного числа рабочих дней в месяце.

Компания не проводит политику частого изменения числа рабочих. Поэтому, чтобы предотвратить простои, она устанавливает минимальный объем производства, составляющий 50% от максимального. В таблице представлены также максимальный и минимальный уровни запасов на каждый месяц:

На 1 января запас видеомагнитофонов отсутствует. Страховой уровень запасов, который компания старается регулярно поддерживать, составляет 2500 шт.; это означает, что и в конце каждого месяца такое количество видеомагнитофонов должно храниться на складе как минимально допустимое. Однако площади складов позволяют хранить 7000 магнитофонов. Это отражено в предпоследнем столбце таблицы.

Бухгалтерия «Видео» подсчитала, что хранение одного видеомагнитофона на складе обходится в 8 руб. в месяц. Затраты на хранение следует определять по величине запаса на конец месяца.

Определите объемы производства и запасов на каждый месяц, при которых суммарные затраты (затраты на производство плюс затраты на хранение) минимальны при условии удовлетворения спроса на продукцию без отсрочки поставок.

Вопросы:

1. Сколько магнитофонов следует произвести в феврале?

2. Каков запас на складе на конец апреля?

3. Каковы минимальные издержки на выполнение полугодового плана (в тыс. руб.)?

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Межотраслевые поставки продукции x_ijвычисляются по формуле

x_ij=a_ijx_j

,

где a_ij– элементы
исходной матрицы А, расположенной в
ячейках А2:С4, x_j– элементы вектора
Х, найденного выше в п. 4 и расположенные
в ячейках Е7:Е9.

Для проведения вычислений x_ijнеобходимо проделать следующее.

5.1. Вычислить транспонированный вектор
Х^тотносительно вектора Х. При
этом вектор-столбец Х станет вектором-строкой
Х^т. Это необходимо для согласования
размерностей дальнейшего умножения
элементов векторов.

С этой целью:

— выделить указателем мыши при нажатой
левой кнопке ячейки Е12:G12, в которых
будет располагаться транспонированный
вектор Х^т;

— нажать на панели инструментов кнопку
Вставка, а затем кнопкуФункция.
В появившемся окне в полеКатегориявыберитеСсылки и массивы, а в полеВыберите функцию– имя функцииТРАНСП(рис. 3). Щелкните на кнопкеОК;

— появившееся диалоговое окноТРАНСПмышью отодвиньте в сторону от исходного
вектора Х и введите диапазон вектора Х
(диапазон ячеек Е7:Е9) в рабочее полеМассив(протащив указатель мыши при
нажатой левой кнопке от ячейки Е7 до
ячейки Е9);

— нажмите сочетание клавиш Ctrl+Shift+Enter.

В
результате в поле ячеек Е12:G12 расположится
транспонированный вектор Х^т.

5.2. Вычислить межотраслевые поставки
продукции x_ij. Для этого проделать
следующие операции:

— поставить курсор мыши в ячейку А22, в
которой будет расположено значение
x₁₁. В этой ячейке набрать формулу
=A2*E12, которая означает, что x₁₁=a₁₁x₁.

— введенную формулу скопируйте во все
остальные ячейки первой строки (в ячейки
А22:С22, протащив мышью крестик в правом
нижнем углу от ячейки А22 при нажатой
левой кнопке мыши, до ячейки С22. При этом
будут вычислены x₁₂=a₁₂x₂и x₁₃=a₁₃x₃.

Затем в ячейке А23 наберите формулу
=A3*E12 и повторяя аналогичную процедуру,
получите значения x₂₁=a₂₁x₁, x₂₂=a₂₂x₂и x₂₃=a₂₃x₃. Повторите аналогичные действия
для ячеек А24:С24.

В результате все межотраслевые поставки
продукции будут найдены и расположатся
в матрице с ячейками А22:С24

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

ЗАДАНИЕ 1. Построение математической
модели производственной задачи

Построить математическую модель задачи
Решить ее средствами Ms.Excelи получить отчеты по результатам, по
устойчивости, по пределам
Составить отчет по следующей форме:

Максимальный результат
Оптимальный план
Убытки от производства невыгодных изделий
Излишки
Дефицитные ресурсы
Прибыль от доп. единицы ресурса
Границы действия плана
По коэффициентам целевой функции
По докупке дефи- цитных ресурсов
По ликвидации Излишков

Предприятие располагает ресурсами
сырья и рабочей силы, необходимыми для
производства двух видов продукции.
Затраты ресурсов на изготовление одной
тонны каждого продукта, прибыль,
получаемая предприятием от реализации
тонны продукта, а также запасы ресурсов
указаны в следующей таблице:

Составить оптимальный план производства
, обеспечивающий максимальную прибыль

Фирма производит два типа химикатов.
На предстоящий месяц она заключила
контракт на поставку следующего
количества этих химикатов:

Производство фирмы ограничено ресурсом
времени работы двух химических реакторов.
Каждый тип химикатов должен быть
обработан сначала в реакторе 1, а затем
в реакторе 2. Ниже в таблице приведен
фонд рабочего времени, имеющийся у
каждого реактора в следующем месяце, а
также время на обработку одной тонны
каждого химиката в каждом реакторе:

Из-за ограниченных возможностей,
связанных с существующим фондом
времени на обработку химикатов в
реакторах, фирма не имеет достаточных
мощностей, чтобы выполнить обязательства
по контракту. Выход заключается в
следующем: фирма должна купить
какое-то количество этих химикатов у
других производителей, чтобы использовать
эти закупки для выполнения контракта.
Ниже приводится таблица затрат на
производство химикатов самой фирмой
и на закупку их со стороны:

Цель фирмы состоит в том, чтобы обеспечить
выполнение контракта с минимальными
издержками. Это позволит ей максимизировать
прибыль, так как цены на химикаты уже
оговорены контрактом. Другими словами,
фирма должна принять решение: сколько
химикатов каждого типа производить у
себя, а сколько — закупать со стороны
для того, чтобы выполнить контракт с
минимальными издержками.

Сколько химикатов типа 1 и типа 2 следует
производить фирме м сколько закупать?

Нефтеперерабатывающая установка может
работать в двух различных режимах. При
работе в первом режиме из одной тонны
нефти производится 300 кг темных и 600 кг
светлых нефтепродуктов; при работе во
втором режиме — 700 кг темных и 200 кг
светлых нефтепродуктов. Ежедневно на
этой установке необходимо производить
110 т темных и 70 т светлых нефтепродуктов.
Это плановое задание необходимо
ежедневно выполнять, расходуя минимальное
количество нефти.

Сколько тонн нефти следует ежедневно
перерабатывать в первом и сколько во
втором режиме?

Фирма «Television» производит
два вида телевизоров: «Астро» и «Космо».

В цехе 1 производят телевизионные трубки.
На производство одной трубки к телевизору
«Астро» требуется потратить 1,2
человекочаса, а на производство трубки
к «Космо» — 1,8 человекочаса. В настоящее
время в цехе 1 на производство трубок к
обеим маркам телевизоров может быть
затрачено не более 120 человекочасов в
день.

В цехе 2 производят шасси с электронной
схемой телевизора. На производство
шасси для телевизора любой марки
требуется затратить 1 человекочас. На
производство шасси к обеим маркам
телевизоров в цехе 2 может быть затрачено
не более 90 человеко-часов в день.

Продажа каждого телевизора марки «Астро»
обеспечивает прибыль в размере 1500
руб., а марки «Космо» — 2000 руб.

Фирма заинтересована в максимизации
прибыли.

Сколько телевизоров «Астро» следует
производить ежедневно?

Чулочно-носочная фирма производит и
продает два вида товаров: мужские носки
и женские чулки. Фирма получает прибыль
в размере 10 руб. от производства и
продажи одной пары чулок и в размере 4
руб. от производства и продажи одной
пары носков.

Производство каждого изделия осуществляется
на трех участках. Затраты труда (в
часах) на производство одной пары указаны
в следующей таблице для каждого участка:

Руководство рассчитало, что в следующем
месяце фирма ежедневно будет
располагать следующими ресурсами
рабочего времени на каждом из участков:
60 ч на участке 1; 70 ч на участке 2 и 100 ч на
участке 3.

Сколько пар носков следует производить
ежедневно, если фирма хочет максимизировать
прибыль?

Василий Иванов — владелец небольшого
мебельного цеха. Он производит столы
трех моделей: А, Ви С. Каждая модель
требует определенных затрат времени
на выполнение трех операций: производство
заготовок, сборка и покраска.

Василий имеет возможность продать все
столы, которые он изготовит. Более того,
модель Сможет быть продана и без
покраски (модельCб.п.).
При этом прибыль уменьшается на 200 руб.
за штуку. Василий нанимает нескольких
рабочих, которые работают у него по
совместительству, так что количество
часов, отводимое на каждый вид работ,
изменяется от месяца к месяцу.

Постройте модель линейного программирования,
которая помогла бы Иванову найти
такую программу выпуска продукции,
чтобы прибыль в следующем месяце была
максимальной. Предполагается, что
по каждому виду работ возможны трудозатраты
до 100 ч. В следующей таблице указаны
время (в часах), необходимое для
выполнения операций по производству
столов каждой модели, и прибыль (в руб.),
которая может быть получена от реализации
каждого изделия:

Сколько столов и каких модели Аследует производить?

После предпринятой рекламной кампании
фирма «Давидко» испытывает необыкновенный
рост спроса на два типа мангалов для
приготовления шашлыков на открытом
воздухе — газовые и угольные. Фирма
заключила контракт на ежемесячную
поставку в магазины 300 угольных и 300
газовых мангалов.

Производство мангалов ограничивается
мощностью следующих трех участков:
производства деталей, сборки и упаковки.
В таблице показано, сколько человекочасов
затрачивается на каждом участке на
каждую единицу продукции, а также
приведен допустимый ежемесячный
объем трудозатрат:

Фирма «Давидко» не может обеспечить
выполнение контракта своими силами.
Поэтому она провела переговоры с другим
производителем, который в настоящее
время располагает избыточными
мощностями. Этот производитель согласился
поставлять фирме «Давидко» в любом
количестве угольные мангалы по 3 тыс.
руб. за штуку и газовые мангалы по 5 тыс.
руб. за штуку. Эти цены превышают
себестоимость мангалов на заводе фирмы
«Давидко» на 1,5 тыс. руб. за каждый
угольный мангал и на 2 тыс. руб. за каждый
газовый мангал. Задача фирмы «Давидко»
состоит в том, чтобы найти такое
соотношение закупаемых и производимых
мангалов, которое обеспечило бы
выполнение контракта с минимальными
общими затратами.

Сколько и каких мангалов следует
ежемесячно производить и покупать
фирме «Давидко»?

Компания «Видео», производитель
видеомагнитофонов, планирует
производство и запасы продукции на
первое полугодие следующего года.
Прогноз спроса на соответствующие
шесть месяцев отражен в таблице. «Видео»
хотела бы иметь такой план, который
обеспечит возможность полностью
удовлетворить спрос.

Из-за колебаний затрат на сырье и энергию
себестоимость продукции (затраты на
единицу продукции) изменяется от месяца
к месяцу. Максимальный объем производства
компании «Видео» также колеблется из
месяца в месяц из-за неравномерного
ремонта оборудования и различного числа
рабочих дней в месяце.

Компания не проводит политику частого
изменения числа рабочих. Поэтому,
чтобы предотвратить простои, она
устанавливает минимальный объем
производства, составляющий 50% от
максимального. В таблице представлены
также максимальный и минимальный
уровни запасов на каждый месяц:

На 1 января запас видеомагнитофонов
отсутствует. Страховой уровень запасов,
который компания старается регулярно
поддерживать, составляет 2500 шт.; это
означает, что и в конце каждого месяца
такое количество видеомагнитофонов
должно храниться на складе как минимально
допустимое. Однако площади складов
позволяют хранить 7000 магнитофонов. Это
отражено в предпоследнем столбце
таблицы.

Бухгалтерия «Видео» подсчитала, что
хранение одного видеомагнитофона
на складе обходится в 8 руб. в месяц.
Затраты на хранение следует определять
по величине запаса на конец месяца.

Определите объемы производства и запасов
на каждый месяц, при которых суммарные
затраты (затраты на производство плюс
затраты на хранение) минимальны при
условии удовлетворения спроса на
продукцию без отсрочки поставок.

Сколько магнитофонов следует произвести
в каждый месяц?

Предприятие производит пиломатериалы
и фанеру, используя для этого еловые и
пихтовые лесоматериалы. Для приготовления
1 м3 пиломатериалов необходимо
израсходовать 1 м3 еловых и 2.5 м3 пихтовых
лесоматериалов. Для изготовления 100 м2
фанеры требуется 5 м3 еловых и 10 м3
пихтовых лесоматериалов. Запасы
предприятия составляют 80 м3 еловых и
180 м3 пихтовых лесоматериалов.

Составить математическую модель
нахождения оптимального плана производства
предприятия, если по условиям поставок
необходимо произвести не менее 10 м3
пиломатериалов и не менее 1200 м2 фанеры.
Доход с 1 м3 пиломатериалов составляет
16 ед., а со 100 м2 фанеры 60 ед

Необходимо, чтобы фирма выпускала за
неделю не менее 100 приемников модели
А, 150 модели В и 75 модели С. Каждая модель
характеризуется определенным временем,
необходимым для изготовления
соответствующих деталей, сборки изделия
и его упаковки. Так, в частности, в
расчете на 10 приемников модели А
требуется 3 ч для изготовления деталей,
4 ч на сборку и 1 ч на упаковку.
Соответствующие показатели в расчете
на 10 приемников модели В равны 3.5, 5 и
1.5 часов, а на 10 приемников модели С –
5, 8 и 3 часа. В течение недели фирма может
израсходовать на производство деталей
150 часов, на сборку 200 часов и на упаковку
60 часов. Составить модель нахождения
оптимального производственного плана.
На предприятии выпускается два изделия
И1 и И2. Изделия состоят из деталей: И1
состоит из 2 штук детали Д1, 4-х штук
детали Д2 и 2-х штук детали Д3, а изделие
И2 состоит из 4 штук детали Д1, 3-х штук
детали Д2 и 3-х штук детали Д3. Для
изготовления деталей используются
ресурсы Р1 и Р2. Для изготовления 1 штуки
детали Д1 требуется 12 единиц ресурса
Р1 и 15 единиц ресурса Р2, для изготовления
1 штуки детали Д2 требуется 8 единиц
ресурса Р1 и 10 единиц ресурса Р2, а для
изготовления 1 штуки детали Д3 требуется
5 единиц ресурса Р1 и 7 единиц ресурса
Р2. В плановом периоде предприятие
располагает 12500 ед. ресурса Р1 и 17100 ед.
ресурса Р2. Прибыль от реализации одного
изделия И1 составляет 17 ед., а от реализации
одного изделия И2 – 35 ед.

Составить план производства, максимизирующий
прибыль предприятия

Фирма выпускает радиоприемники различных
моделей: А, В, С. Каждое изделие указанных
моделей приносит доход в размере 8, 15,
25 ед., соответственно.

Необходимо, чтобы фирма выпускала за
неделю не менее 100 приемников модели А,
150 модели В и 75 модели С. Каждая модель
характеризуется определенным временем,
необходимым для изготовления
соответствующих деталей, сборки изделия
и его упаковки. Так, в частности, в расчете
на 10 приемников модели А требуется 3 ч
для изготовления деталей, 4 ч на сборку
и 1 ч на упаковку. Соответствующие
показатели в расчете на 10 приемников
модели В равны 3.5, 5 и 1.5 часов, а на 10
приемников модели С – 5, 8 и 3 часа. В
течение недели фирма может израсходовать
на производство деталей 150 часов, на
сборку 200 часов и на упаковку 60 часов.
Составить модель нахождения оптимального
производственного плана.

Предприятие располагает ресурсами
сырья, рабочей силой и оборудованием
для производства любого из четырех
видов производимых товаров. Затраты
ресурсов на изготовление единицы
каждого вида товара, прибыль, получаемая
предприятием, а также объем ресурсов
указан в таблице. Определить оптимальный
план производства товаров при условии,
что товаров 1 вида требуется не более
10 единиц, 2 вида не менее 8 единиц, а 3 и
4 видов не менее 10 единиц

Ресурсы	Затраты ресурсов на единицу товара	Объем ресурсов
1	2	3	4
Сырьё (кг)	3	5	1	4	600
Рабочая сила (чел.)	21	10	12	30	4000
Оборудование (станко-ч)	10	14	6	16	16000
Прибыль на ед. товара (руб.)	30	25	50	50

Автомобилестроительный завод выпускает
три модели автомобилей, которые
изготавливаются последовательно в
трех цехах. Мощность цехов составляет
300, 250 и 200 человекодней в декаду. В
первом цехе для сборки одного автомобиля
первой модели требуется б человекодней,
второй модели — 4 и третьей модели — 2
человекодня в декаду соответственно.
Во втором цехе трудоемкость равна
3,4 и 5 человекодней соответственно, в
третьем — по 3 человекодня на каждую
модель. Прибыль, получаемая заводом от
продажи одного автомобиля каждой
модели, составляет соответственно
15, 13 и 10 тыс. долл.

Постройте модель для определения
оптимального плана.

Животноводческая ферма имеет возможность
закупать корма четырех видов по
различным ценам. В кормах содержатся
питательные вещества трех видов,
необходимые для кормления коров.
Составьте еженедельный рацион кормления
коровы, обеспечивающий с минимальными
затратами нормы содержания питательных
веществ.

Данные, необходимые для составления
рациона, приведены в следующей таблице
(содержание веществ в кормах указано в
килограммах на тонну):

В аптеке продаются поливитамины пяти
наименований. Каждый поливитамин
содержит витамины и вещества, наиболее
важные для Павла Кутикова, перенесшего
простудное заболевание. Необходимо
определить, какие поливитамины и в
каком количестве следует принимать
Павлу для восстановления нормальной
работоспособности. В следующей таблице
указано количество витаминов и веществ
(в мг), которое должен получить Павел
за весь курс лечения, а также данные о
содержании витаминов и веществ в
поливитаминах (в мг на 1 г) и цены за 1 г
поливитаминов (в руб.):

Определите, какие поливитамины следует
принимать, чтобы с минимальными затратами
пройти курс лечения.

Мощности завода позволяют произвести
в текущем месяце ингредиенты для
производства удобрений в следующем
количестве: 10 т нитратов, 15 т фосфатов
и 12 т поташа. В результате смешения
этих активных ингредиентов с инертными,
запасы которых не ограничены, на
заводе могут быть получены четыре
типа удобрений.

Удобрение 1 содержит 5% нитратов, 10%
фосфатов и 5% поташа.

Удобрение 2 содержит 5% нитратов, 10%
фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 3 содержит 10% нитратов, 10%
фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 4 содержит 10% нитратов, 5%
фосфатов и 5% поташа.

Цены на удобрения соответственно 400,
500, 400 и 450 руб. за тонну.

Объем спроса на удобрения практически
не ограничен.

Стоимость производства одной тонны
нитратов 360 руб., фосфатов 240 руб. и
поташа 200 руб.

Инертные ингредиенты закупаются заводом
по цене 100 руб. за тонну.

На текущий месяц завод уже заключил
контракт на поставку 10 т удобрения 3.

Определите, какие удобрения и в каком
количестве следует производить, чтобы
в текущем месяце завод получил
максимальную прибыль

На кондитерской фабрике изготовляют
два вида продуктов — восточные сладости,
для которых используют орехи: миндаль,
фундук и арахис. Миндаль фабрика закупает
по цене 75 руб. за килограмм, фундук —
60 руб., а арахис — 45 руб. Продукт 1 должен
содержать не менее 12% миндаля и не более
18% фундука, продукт 2 — не менее 25%
миндаля.

Цены готовых продуктов 1 и 2 соответственно
70 и 65 руб. за килограмм. Ежедневно фабрика
получает следующее количество орехов:
миндаля — 33 кг, фундука — 80 кг, арахиса
— 60 кг.

Сочинский винзавод производит три
марки сухого вина: «Черный лекарь»,
«Букет роз» и «Белые ночи». Оптовые
цены, по которым реализуется готовая
продукция, соответственно 68, 57 и 60
руб. за литр. Ингредиентами для
приготовления этих вин являются белое,
розовое и красное сухие вина, закупаемые
в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно
70, 50 и 40 руб. за литр. В среднем на сочинский
винзавод поставляется ежедневно 2000 л
белого, 2500 л розового и 1200 л красного
вина.

В вине «Черный лекарь» должно содержаться
не менее 60% белого вина и не более 20%
красного. Вино «Букет роз» должно
содержать не более 60% красного и не менее
15% белого. Суммарное содержание
красного и розового вина в вине «Белые
ночи» не должно превышать 90%.

Определите рецепты смешения ингредиентов
для производства вин «Черный лекарь»
и «Букет роз», обеспечивающие заводу
максимальную прибыль

Имеются запасы
кормов: 2000 кг ячменя, 2500 кг бобов и 200 кг
сенной муки. Эти корма используются
для откорма свиней. Суточный рацион
должен содержать: не менее 2,3 кг кормовых
единиц, 270 г. перевариваемого протеина
и 8 мг каротина. При этом в одном кг
ячменя содержится 1.2 кг кормовых единиц,
80 г перевариваемого протеина и 1 мг
каротина, в одном кг бобов содержится
1.25 кг кормовых единиц, 280 г перевариваемого
протеина и 1 мг каротина, в одном кг
сенной муки 0.75 кг кормовых единиц, 100 г
перевариваемого протеина и 100 мг
каротина. Поголовье свиней составляет
50 голов. На сколько дней хватит
заготовленных кормов ?
Составить оптимальный
суточный рацион для откорма свиней,
живой вес которых
составляет 30-40 кг. Рацион одной свиньи
должен содержать не менее 2,3 кг кормовых
единиц, 270 г. перевариваемого протеина
и 8 мг каротина. Рацион составляют из
трех видов кормов: концентрированного
ячменя, концентрированных бобов и
сенной муки. В одном кг ячменя содержится
1.2 кг кормовых единиц, 80 г перевариваемого
протеина и 1 мг каротина, в одном кг
бобов содержится 1.25 кг кормовых единиц,
280 г перевариваемого протеина и 1 мг
каротина, в одном кг сенной муки 0.75 кг
кормовыхединиц,
100 г перевариваемого протеина и 100 мг
каротина. Цена одного кг ячменя 6 ед.,
бобов – 8 ед., сенной муки – 4.5 ед.
Составить рацион минимальной стоимости
Нефтеперерабатывающее предприятие
использует два технологических процесса
приготовления смесей. Технологический
процесс 1 характеризуется следующими
показателями: из 1 ед. объема сырой нефти
А и 3 ед. объема сырой нефти В получают
5 ед. объема бензина Х и 2 ед.а бензина
Y. Технологический процесс
2: из 4 ед. объема сырой нефти А и 2 ед.
объема сырой нефти В получают 3 ед.
объема бензинаXи

8 ед. объема бензина Y.
Запасы сырой нефти составляют 100 ед.
объема нефти А и 150 ед. объема нефти В.
По условиям поставки требуется произвести
не менее 200 ед. объема бензина Х и не
менее 75 ед. объема бензинаY.
Доходы с 1 ед.объема продукции, полученной
с помощью технологического процесса 1
составляют 15 ед., а с 1 ед. объема продукции,
полученной с помощью процесса 2 – 20 ед.
Составить план использования
технологических процессов.

На предприятии изготавливаются три
изделия И1, И2, И3. Каждое изделие может
изготавливаться как на оборудовании
Г1, так и на оборудовании Г2.

отпускная цена изделий: C1=60;
C2=88;
C3=148;

aji– затраты времени
(нормочасы) на изготовление одной штуки
изделияiна оборудованииj(j=1,2i=1,2,3 ) приведены в таблице;

sji– затраты (себестоимость
изготовления, руб.) на изготовления
одной штуки изделияiна
оборудованииj(j=1,2i=1,2,3 );

план производства (штук) по изделиям:
d1=510;
d2=310;
d3=500;

bj– ресурс времени работы
(нормочасов) оборудования в рассматриваемом
плановом периодеb1=350
; b2=320

Составить план производства изделий,
обеспечивающий максимальную прибыль
предприятия при условии строгого
выполнения плана (то есть изделия И1
требуется изготовить ровно 510 штук, И2
ровно 310 штук и И3 ровно 500 штук;

Существует три рациональных способа
раскроя единицы материала Ана
заготовки трех типов. Эти же заготовки
могут быть получены двумя рациональными
способами при раскрое единицы материалаВ.Количество заготовок, получаемых
каждым из этих способов, показано в
следующей таблице:

Заготовки используются для производства
бытовой техники. В комплект поставки
входят четыре заготовки первого типа,
три заготовки второго типа и семь —
третьего типа. На складе имеется 100
единиц материала Аи 300 единиц
материалаВ.

Вопросы:

1. Сколько рациональных способов раскроя
следует использовать?

2. Какое максимальное число комплектов
заготовок можно изготовить из
имеющегося материала в предположении,
что оставшиеся заготовки можно
использовать при выполнении следующего
заказа?

3. Сколько единиц материала Аследует
раскраивать третьим способом?

4. Какое максимальное число комплектов
заготовок можно изготовить из
имеющегося материала, если число
заготовок второго типа в комплекте
увеличится до семи?

При раскрое деталей для производства
единственного изделия на швейной
фабрике используются два артикула
ткани. Ширина ткани 1 м. Изделие
собирается из двух деталей, причем
каждая из них может быть получена путем
раскроя ткани любого типа. Ткани можно
раскраивать тремя способами, количество
деталей каждого вида, полученных из
одного погонного метра ткани, указано
в следующей таблице:

Ткани 1 поступает на фабрику в
2 раза больше (по длине), чем ткани 2.взять
1000 и 2000 м Количество готовых изделий
должно быть максимальным.

Вопросы:

1. Сколько способов раскроя ткани 1
следует использовать?

2. Какая часть (в %) ткани 1 должна быть
раскроена способом 1?

3. На сколько (в %) изменится выход готовых
изделий по сравнению с первоначальным,
если на фабрику будет поступать равное
количество обеих тканей?

На производство поступила партия
стержней длиной 250 и 190 см. Необходимо
получить 470 заготовок длиной 120 см и 450
заготовок длиной 80 см. Отходы должны
быть минимальны.

Вопросы:

1. Какое количество стержней длиной 250
см надо разрезать?

2. Какое количество стержней длиной 190
см надо разрезать?

3. Какова величина отходов (в см)?

4. Оказалось, что количество стержней
длиной 250 см ограничено и равно 200 шт.
Какое количество стержней длиной 190 см
надо разрезать в этом случае?

5. На сколько при этом увеличатся отходы
(в см)?

Завод заключил договор на поставку
комплектов стержней длиной 18, 23 и 32
см. Причем количество стержней разной
длины в комплекте должно быть в
соотношении 1:5:3. На сегодняшний день
имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как
их следует разрезать, чтобы количество
комплектов было максимальным?

Вопросы:

1. Сколько существует рациональных
способов раскроя?

2. Сколько комплектов стержней будет
выпущено?

3. Какова при этом величина отходов (в
см)?

Из партии досок длиной 6 метров в
количестве 1000 штук необходимо изготовить
максимальное число комплектов, состоящих
из 1 доски по 2.3 м и двух досок по 1.4 м.
Сколько комплектов можно изготовить
из имеющихся досок?
Для нарезки заготовок длиной 20, 25 и 30
см используются прутки длиной 75 см. За
смену требуется нарезать 300 штук
заготовок по 20 см, 270 штук по 25 см и 350
штук по 30 см. Сколько прутков (по 75 см)
для этого потребуется
Из минимального количества листов
стекла размером 8 х 6 м²требуется
вырезать 10 оконных стекол размером 4 х
4 м², 20 оконных стекол размером
4 х 5 м²и 30 оконных стекол размером
3х3 м². Множество вариантов раскроя
(см. главу 3) показано в следующей таблице:

Построите модель для определения плана
раскроя, требующего минимального
количества материала.

Из прямоугольного листа железа размером
100 х 60 см необходимо изготовить квадратные
заготовки со сторонами 50,40 и 20 см. Эти
заготовки нужны в качестве перегородок
при изготовлении пластмассовых
коробок для хранения инструментов.
Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь
четыре заготовки со стороной 50 см, шесть
заготовок со стороной 40 см и двенадцать
— со стороной 20 см. На складе находится
100 листов материала. Построите модель
для определения плана раскроя, требующего
минимального количества материала
Завод-производитель
высокоточных элементов для автомобилей
выпускает два различных типа деталей
Х и Y.
Завод располагает фондом рабочего
времени в 4000 чел.-ч в неделю. Для
производства одной детали типа Х
требуется 1 чел.-ч, а для производства
одной детали типа Y
– 2 чел.-ч. Производственные мощности
завода позволяют выпускать максимум
2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа Y
в неделю. Каждая деталь типа Х требует
2 кг металлических стержней и 5 кг
листового металла, а для производства
одной детали типа Y
необходимо 5 кг металлических стержней
и 2 кг листового металла. Уровень запасов
каждого вида металла составляет 10000 кг
в неделю. Кроме того, еженедельно завод
поставляет 600 деталей типа Х своему
постоянному заказчику. Существует
также профсоюзное соглашение, в
соответствии с которым общее число
производимых в течение одной недели
деталей должно составлять не менее
1500 штук.

Сколько
деталей каждого типа следует производить,
чтобы максимизировать общий доход за
неделю, если доход от производства одной
детали типа Х составляет 30 ден. ед., а от
производства одной детали типа Y
– 40 ден. ед.?

Финансовый
консультант фирмы «АВС» консультирует
клиента по оптимальному инвестиционному
портфелю. Клиент хочет вложить средства
(не более 25000$) в два наименования акций
крупных предприятий в составе холдинга
«Дикси».

Анализируются акции «Дикси –Е» и «Дикси
–В». Цены на акции: «Дикси –Е» — 5$ за
акцию; «Дикси –В» — 3$ за акцию.

Клиент уточнил, что он хочет приобрести
максимум 6000 акций обоих наименований,
при этом акций одного из наименований
должно быть не более 5000 штук.

По оценкам «АВС» прибыль от инвестиций
в эти две акции в следующем году составит:
«Дикси –Е» — 1,1$; «Дикси –В» — 0,9$.

Задача консультанта состоит в том, чтобы
выдать клиенту рекомендации по оптимизации
прибыли от инвестиций.

Продукция двух видов (краска для
внутренних (I) и наружных
(Е) работ) поступает в оптовую продажу.
Для производства красок используются
два исходных продукта А и В. Максимально
возможные суточные запасы этих продуктов
составляют 6 и 8 тонн, соответственно.
Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих
красок приведены в таблице.

Исходный продукт

Расход
исходных продуктов на тонну краски,
т

Максимально
возможный запас, т

Краска Е

Краска I

Изучение рынка сбыта показало, что
суточный спрос на краску Iникогда не превышает спроса на краску
Е более чем на 1 т. Кроме того, установлено,
что спрос на краскуIникогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые
цены одной тонны красок равны: 3000 ден.
ед. для краски Е и 2000 ден. ед. для краски
I. Какое количество краски каждого вида
должна производить фабрика, чтобы доход
от реализации продукции был максимальным?

На имеющихся у фермера 400 гектарах земли
он планирует посеять кукурузу и сою.
Сев и уборка кукурузы требует на каждый
гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден.
ед. На покрытие расходов, связанных с
севом и уборкой, фермер получил ссуду
в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный
кукурузой, принесет 30 центнеров, а
каждый гектар, засеянный соей – 60
центнеров. Фермер заключил договор на
продажу, по которому каждый центнер
кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый
центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно
этому договору, фермер обязан хранить
убранное зерно в течение нескольких
месяцев на складе, максимальная
вместимость которого равна 21 тыс.
центнеров.

Фермеру хотелось бы знать, сколько
гектар нужно засеять каждой из этих
культур, чтобы получить максимальную
прибыль.

Инвестор, располагающий суммой в 300
тыс. ден. ед., может вложить свой капитал
в акции автомобильного концерна А и
строительного предприятия В. Чтобы
уменьшить риск, акций А должно быть
приобретено по крайней мере в два раза
больше, чем акций В, причем последних
можно купить не более чем на 100 тыс. ден.
ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8% в
год, по акциям В – 10%. Какую максимальную
прибыль можно получить в первый год?

ЗАДАНИЕ 2. Графическое решение ЗЛП

Решить графически ЗЛП:

1)	2)	3)
4)		6)
7)		9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20) 20	21)
22)	23)	24)
25)	26)	27)
28)	29(	30)
31)

ЗАДАНИЕ 3. Решение ЗЛП симплекс-методом.
Двойственные задачи

Для данной ЗЛП составить двойственную
задачу,
решить ее с помощью симплекс-таблиц,
используя теоремы двойственности,
найти решение исходной задачи.
Решить обе задачи средствами Excel

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22).

23)

24)

25)

ЗАДАНИЕ 4. Построение математической
модели межотраслевого баланса
Леонтьева

Экономическая система состоит из трех
отраслей, для которых матрица прямых
затрат A и вектор конечного продукта Y
известны.

Определить: 1) Матрицу коэффициентов
полных материальных затрат B.

2) Проверить продуктивность матрицы A.

3) Вектор валового выпуска X.

4) Межотраслевые поставки продукции x_ij

Варианты ЗЛП еще

Задачи

Предприятие
располагает ресурсами сырья и рабочей
силы, необходимыми для производства
двух видов продукции. Затраты ресурсов
на изготовление одной тонны каждого
продукта, прибыль, получаемая
предприятием от реализации тонны
продукта, а также запасы ресурсов
указаны в следующей таблице:

Составить оптимальный план производства
, обеспечивающий максимальную прибыль

Фирма производит два типа химикатов.
На предстоящий месяц она заключила
контракт на поставку следующего
количества этих химикатов:

Сколько химикатов типа 1 и типа 2 следует
производить фирме м сколько закупать?

Нефтеперерабатывающая установка может
работать в двух различных режимах. При
работе в первом режиме из одной тонны
нефти производится 300 кг темных и 600 кг
светлых нефтепродуктов; при работе во
втором режиме — 700 кг темных и 200 кг
светлых нефтепродуктов. Ежедневно на
этой установке необходимо производить
110 т темных и 70 т светлых нефтепродуктов.
Это плановое задание необходимо
ежедневно выполнять, расходуя минимальное
количество нефти.

Сколько тонн нефти следует ежедневно
перерабатывать в первом и сколько во
втором режиме?

Фирма «Television» производит
два вида телевизоров: «Астро» и «Космо».

В цехе 1 производят телевизионные трубки.
На производство одной трубки к телевизору
«Астро» требуется потратить 1,2
человекочаса, а на производство трубки
к «Космо» — 1,8 человекочаса. В настоящее
время в цехе 1 на производство трубок к
обеим маркам телевизоров может быть
затрачено не более 120 человекочасов в
день.

В цехе 2 производят шасси с электронной
схемой телевизора. На производство
шасси для телевизора любой марки
требуется затратить 1 человекочас. На
производство шасси к обеим маркам
телевизоров в цехе 2 может быть затрачено
не более 90 человеко-часов в день.

Продажа каждого телевизора марки «Астро»
обеспечивает прибыль в размере 1500
руб., а марки «Космо» — 2000 руб.

Фирма заинтересована в максимизации
прибыли.

Сколько телевизоров «Астро» следует
производить ежедневно?

Чулочно-носочная фирма производит и
продает два вида товаров: мужские носки
и женские чулки. Фирма получает прибыль
в размере 10 руб. от производства и
продажи одной пары чулок и в размере 4
руб. от производства и продажи одной
пары носков.

Производство каждого изделия осуществляется
на трех участках. Затраты труда (в
часах) на производство одной пары указаны
в следующей таблице для каждого участка:

Руководство рассчитало, что в следующем
месяце фирма ежедневно будет
располагать следующими ресурсами
рабочего времени на каждом из участков:
60 ч на участке 1; 70 ч на участке 2 и 100 ч на
участке 3.

Сколько пар носков следует производить
ежедневно, если фирма хочет максимизировать
прибыль?

Василий Иванов — владелец небольшого
мебельного цеха. Он производит столы
трех моделей: А, Ви С. Каждая модель
требует определенных затрат времени
на выполнение трех операций: производство
заготовок, сборка и покраска.

Постройте модель линейного программирования,
которая помогла бы Иванову найти
такую программу выпуска продукции,
чтобы прибыль в следующем месяце была
максимальной. Предполагается, что
по каждому виду работ возможны трудозатраты
до 100 ч. В следующей таблице указаны
время (в часах), необходимое для
выполнения операций по производству
столов каждой модели, и прибыль (в руб.),
которая может быть получена от реализации
каждого изделия:

Сколько столов и каких модели Аследует производить?

После предпринятой рекламной кампании
фирма «Давидко» испытывает необыкновенный
рост спроса на два типа мангалов для
приготовления шашлыков на открытом
воздухе — газовые и угольные. Фирма
заключила контракт на ежемесячную
поставку в магазины 300 угольных и 300
газовых мангалов.

Производство мангалов ограничивается
мощностью следующих трех участков:
производства деталей, сборки и упаковки.
В таблице показано, сколько человекочасов
затрачивается на каждом участке на
каждую единицу продукции, а также
приведен допустимый ежемесячный
объем трудозатрат:

Фирма «Давидко» не может обеспечить
выполнение контракта своими силами.
Поэтому она провела переговоры с другим
производителем, который в настоящее
время располагает избыточными
мощностями. Этот производитель согласился
поставлять фирме «Давидко» в любом
количестве угольные мангалы по 3 тыс.
руб. за штуку и газовые мангалы по 5 тыс.
руб. за штуку. Эти цены превышают
себестоимость мангалов на заводе фирмы
«Давидко» на 1,5 тыс. руб. за каждый
угольный мангал и на 2 тыс. руб. за каждый
газовый мангал. Задача фирмы «Давидко»
состоит в том, чтобы найти такое
соотношение закупаемых и производимых
мангалов, которое обеспечило бы
выполнение контракта с минимальными
общими затратами.

Сколько и каких мангалов следует
ежемесячно производить и покупать
фирме «Давидко»?

Компания «Видео», производитель
видеомагнитофонов, планирует
производство и запасы продукции на
первое полугодие следующего года.
Прогноз спроса на соответствующие
шесть месяцев отражен в таблице. «Видео»
хотела бы иметь такой план, который
обеспечит возможность полностью
удовлетворить спрос.

Из-за колебаний затрат на сырье и энергию
себестоимость продукции (затраты на
единицу продукции) изменяется от месяца
к месяцу. Максимальный объем производства
компании «Видео» также колеблется из
месяца в месяц из-за неравномерного
ремонта оборудования и различного числа
рабочих дней в месяце.

Компания не проводит политику частого
изменения числа рабочих. Поэтому,
чтобы предотвратить простои, она
устанавливает минимальный объем
производства, составляющий 50% от
максимального. В таблице представлены
также максимальный и минимальный
уровни запасов на каждый месяц:

На 1 января запас видеомагнитофонов
отсутствует. Страховой уровень запасов,
который компания старается регулярно
поддерживать, составляет 2500 шт.; это
означает, что и в конце каждого месяца
такое количество видеомагнитофонов
должно храниться на складе как минимально
допустимое. Однако площади складов
позволяют хранить 7000 магнитофонов. Это
отражено в предпоследнем столбце
таблицы.

Бухгалтерия «Видео» подсчитала, что
хранение одного видеомагнитофона
на складе обходится в 8 руб. в месяц.
Затраты на хранение следует определять
по величине запаса на конец месяца.

Определите объемы производства и запасов
на каждый месяц, при которых суммарные
затраты (затраты на производство плюс
затраты на хранение) минимальны при
условии удовлетворения спроса на
продукцию без отсрочки поставок.

Сколько магнитофонов следует произвести
в каждый месяц?

Предприятие производит пиломатериалы
и фанеру, используя для этого еловые и
пихтовые лесоматериалы. Для приготовления
1 м3 пиломатериалов необходимо
израсходовать 1 м3 еловых и 2.5 м3 пихтовых
лесоматериалов. Для изготовления 100 м2
фанеры требуется 5 м3 еловых и 10 м3
пихтовых лесоматериалов. Запасы
предприятия составляют 80 м3 еловых и
180 м3 пихтовых лесоматериалов.

Необходимо, чтобы фирма выпускала за
неделю не менее 100 приемников модели
А, 150 модели В и 75 модели С. Каждая модель
характеризуется определенным временем,
необходимым для изготовления
соответствующих деталей, сборки изделия
и его упаковки. Так, в частности, в
расчете на 10 приемников модели А
требуется 3 ч для изготовления деталей,
4 ч на сборку и 1 ч на упаковку.
Соответствующие показатели в расчете
на 10 приемников модели В равны 3.5, 5 и
1.5 часов, а на 10 приемников модели С –
5, 8 и 3 часа. В течение недели фирма может
израсходовать на производство деталей
150 часов, на сборку 200 часов и на упаковку
60 часовСоставить модель нахождения
оптимального производственного плана,
если прибыль от продажи приемников
моделей A, И и C составляет 1000, 1500 и 1200
руб. соответственно.
На предприятии выпускается два изделия
И1 и И2. Изделия состоят из деталей: И1
состоит из 2 штук детали Д1, 4-х штук
детали Д2 и 2-х штук детали Д3, а изделие
И2 состоит из 4 штук детали Д1, 3-х штук
детали Д2 и 3-х штук детали Д3. Для
изготовления деталей используются
ресурсы Р1 и Р2. Для изготовления 1 штуки
детали Д1 требуется 12 единиц ресурса
Р1 и 15 единиц ресурса Р2, для изготовления
1 штуки детали Д2 требуется 8 единиц
ресурса Р1 и 10 единиц ресурса Р2, а для
изготовления 1 штуки детали Д3 требуется
5 единиц ресурса Р1 и 7 единиц ресурса
Р2. В плановом периоде предприятие
располагает 12500 ед. ресурса Р1 и 17100 ед.
ресурса Р2. Прибыль от реализации одного
изделия И1 составляет 17 ед., а от реализации
одного изделия И2 – 35 ед.

Составить план производства, максимизирующий
прибыль предприятия

Фирма выпускает радиоприемники различных
моделей: А, В, С. Каждое изделие казанных
моделей приносит доход в размере 8, 15,
25 ед., соответственно. Необходимо, чтобы
фирма выпускала за неделю не менее 100
приемников модели А, 150 модели В и 75
модели С. Каждая модель характеризуется
определенным временем, необходимым
для изготовления соответствующих
деталей, сборки изделия и его упаковки.
Так, в частности, в расчете на 10 приемников
модели А требуется 3 ч для изготовления
деталей, 4 ч на сборку и 1 ч на упаковку.
Соответствующие показатели в расчете
на 10 приемников модели В равны 3.5, 5 и
1.5 часов, а на 10 приемников модели С –
5, 8 и 3 часа. В течение недели фирма может
израсходовать на производство деталей
150 часов, на сборку 200 часов и на упаковку
60 часов. Составить модель нахождения
оптимального производственного плана.
Предприятие располагает ресурсами
сырья, рабочей силой и оборудованием
для производства любого из четырех
видов производимых товаров. Затраты
ресурсов на изготовление единицы
каждого вида товара, прибыль, получаемая
предприятием, а также объем ресурсов
указан в таблице. Определить оптимальный
план производства товаров при условии,
что товаров 1 вида требуется не более
10 единиц, 2 вида не менее 8 единиц, а 3 и
4 видов не менее 10 единиц

Ресурсы	Затраты ресурсов на единицу товара	Объем ресурсов
1	2	3	4
Сырьё (кг)	3	5	1	4	600
Рабочая сила (чел.)	21	10	12	30	4000
Оборудование (станко-ч)	10	14	6	16	16000
Прибыль на ед. товара (руб.)	30	25	50	50

Автомобилестроительный завод выпускает
три модели автомобилей, которые
изготавливаются последовательно в
трех цехах. Мощность цехов составляет
300, 250 и 200 человекодней в декаду. В
первом цехе для сборки одного автомобиля
первой модели требуется б человекодней,
второй модели — 4 и третьей модели — 2
человекодня в декаду соответственно.
Во втором цехе трудоемкость равна
3,4 и 5 человекодней соответственно, в
третьем — по 3 человекодня на каждую
модель. Прибыль, получаемая заводом от
продажи одного автомобиля каждой
модели, составляет соответственно
15, 13 и 10 тыс. долл.

Постройте модель для определения
оптимального плана.

Животноводческая ферма имеет возможность
закупать корма четырех видов по
различным ценам. В кормах содержатся
питательные вещества трех видов,
необходимые для кормления коров.
Составьте еженедельный рацион кормления
коровы, обеспечивающий с минимальными
затратами нормы содержания питательных
веществ.

В аптеке продаются поливитамины пяти
наименований. Каждый поливитамин
содержит витамины и вещества, наиболее
важные для Павла Кутикова, перенесшего
простудное заболевание. Необходимо
определить, какие поливитамины и в
каком количестве следует принимать
Павлу для восстановления нормальной
работоспособности. В следующей таблице
указано количество витаминов и веществ
(в мг), которое должен получить Павел
за весь курс лечения, а также данные о
содержании витаминов и веществ в
поливитаминах (в мг на 1 г) и цены за 1 г
поливитаминов (в руб.):

Определите, какие поливитамины следует
принимать, чтобы с минимальными затратами
пройти курс лечения.

Мощности завода позволяют произвести
в текущем месяце ингредиенты для
производства удобрений в следующем
количестве: 10 т нитратов, 15 т фосфатов
и 12 т поташа. В результате смешения
этих активных ингредиентов с инертными,
запасы которых не ограничены, на
заводе могут быть получены четыре
типа удобрений.

Удобрение 1 содержит 5% нитратов, 10%
фосфатов и 5% поташа.

Удобрение 2 содержит 5% нитратов, 10%
фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 3 содержит 10% нитратов, 10%
фосфатов и 10% поташа.

Удобрение 4 содержит 10% нитратов, 5%
фосфатов и 5% поташа.

Цены на удобрения соответственно 400,
500, 400 и 450 руб. за тонну.

Объем спроса на удобрения практически
не ограничен.

Стоимость производства одной тонны
нитратов 360 руб., фосфатов 240 руб. и
поташа 200 руб.

Инертные ингредиенты закупаются заводом
по цене 100 руб. за тонну.

На текущий месяц завод уже заключил
контракт на поставку 10 т удобрения 3.

На кондитерской фабрике изготовляют
два вида продуктов — восточные сладости,
для которых используют орехи: миндаль,
фундук и арахис. Миндаль фабрика закупает
по цене 75 руб. за килограмм, фундук —
60 руб., а арахис — 45 руб. Продукт 1 должен
содержать не менее 12% миндаля и не более
18% фундука, продукт 2 — не менее 25%
миндаля.

Сочинский винзавод производит три
марки сухого вина: «Черный лекарь»,
«Букет роз» и «Белые ночи». Оптовые
цены, по которым реализуется готовая
продукция, соответственно 68, 57 и 60
руб. за литр. Ингредиентами для
приготовления этих вин являются белое,
розовое и красное сухие вина, закупаемые
в Краснодаре. Эти вина стоят соответственно
70, 50 и 40 руб. за литр. В среднем на сочинский
винзавод поставляется ежедневно 2000 л
белого, 2500 л розового и 1200 л красного
вина.

Имеются запасы
кормов: 2000 кг ячменя, 2500 кг бобов и 200 кг
сенной муки. Эти корма используются
для откорма свиней. Суточный рацион
должен содержать: не менее 2,3 кг кормовых
единиц, 270 г. перевариваемого протеина
и 8 мг каротина. При этом в одном кг
ячменя содержится 1.2 кг кормовых единиц,
80 г перевариваемого протеина и 1 мг
каротина, в одном кг бобов содержится
1.25 кг кормовых единиц, 280 г перевариваемого
протеина и 1 мг каротина, в одном кг
сенной муки 0.75 кг кормовых единиц, 100 г
перевариваемого протеина и 100 мг
каротина. Поголовье свиней составляет
50 голов. На сколько дней хватит
заготовленных кормов ?
Составить оптимальный
суточный рацион для откорма свиней,
живой вес которых
составляет 30-40 кг. Рацион одной свиньи
должен содержать не менее 2,3 кг кормовых
единиц, 270 г. перевариваемого протеина
и 8 мг каротина. Рацион составляют из
трех видов кормов: концентрированного
ячменя, концентрированных бобов и
сенной муки. В одном кг ячменя содержится
1.2 кг кормовых единиц, 80 г перевариваемого
протеина и 1 мг каротина, в одном кг
бобов содержится 1.25 кг кормовых единиц,
280 г перевариваемого протеина и 1 мг
каротина, в одном кг сенной муки 0.75 кг
кормовыхединиц,
100 г перевариваемого протеина и 100 мг
каротина. Цена одного кг ячменя 6 ед.,
бобов – 8 ед., сенной муки – 4.5 ед.
Составить рацион минимальной стоимости
Нефтеперерабатывающее предприятие
использует два технологических процесса
приготовления смесей. Технологический
процесс 1 характеризуется следующими
показателями: из 1 ед. объема сырой нефти
А и 3 ед. объема сырой нефти В получают
5 ед. объема бензина Х и 2 ед.а бензина
Y. Технологический процесс
2: из 4 ед. объема сырой нефти А и 2 ед.
объема сырой нефти В получают 3 ед.
объема бензинаXи

На предприятии изготавливаются три
изделия И1, И2, И3. Каждое изделие может
изготавливаться как на оборудовании
Г1, так и на оборудовании Г2.

отпускная цена изделий: C1=60;
C2=88;
C3=148;

sji– затраты (себестоимость
изготовления, руб.) на изготовления
одной штуки изделияiна
оборудованииj(j=1,2i=1,2,3 );

план производства (штук) по изделиям:
d1=510;
d2=310;
d3=500;

bj– ресурс времени работы
(нормочасов) оборудования в рассматриваемом
плановом периодеb1=350
; b2=320

Существует три рациональных способа
раскроя единицы материала Ана
заготовки трех типов. Эти же заготовки
могут быть получены двумя рациональными
способами при раскрое единицы материалаВ.Количество заготовок, получаемых
каждым из этих способов, показано в
следующей таблице:

Вопросы:

1. Сколько рациональных способов раскроя
следует использовать?

3. Сколько единиц материала Аследует
раскраивать третьим способом?

При раскрое деталей для производства
единственного изделия на швейной
фабрике используются два артикула
ткани. Ширина ткани 1 м. Изделие
собирается из двух деталей, причем
каждая из них может быть получена путем
раскроя ткани любого типа. Ткани можно
раскраивать тремя способами, количество
деталей каждого вида, полученных из
одного погонного метра ткани, указано
в следующей таблице:

Вопросы:

1. Сколько способов раскроя ткани 1
следует использовать?

2. Какая часть (в %) ткани 1 должна быть
раскроена способом 1?

На производство поступила партия
стержней длиной 250 и 190 см. Необходимо
получить 470 заготовок длиной 120 см и 450
заготовок длиной 80 см. Отходы должны
быть минимальны.

Вопросы:

1. Какое количество стержней длиной 250
см надо разрезать?

2. Какое количество стержней длиной 190
см надо разрезать?

3. Какова величина отходов (в см)?

5. На сколько при этом увеличатся отходы
(в см)?

Завод заключил договор на поставку
комплектов стержней длиной 18, 23 и 32
см. Причем количество стержней разной
длины в комплекте должно быть в
соотношении 1:5:3. На сегодняшний день
имеется 80 стержней длиной по 89 см. Как
их следует разрезать, чтобы количество
комплектов было максимальным?

Вопросы:

1. Сколько существует рациональных
способов раскроя?

2. Сколько комплектов стержней будет
выпущено?

3. Какова при этом величина отходов (в
см)?

Из партии досок длиной 6 метров в
количестве 1000 штук необходимо изготовить
максимальное число комплектов, состоящих
из 1 доски по 2.3 м и двух досок по 1.4 м.
Сколько комплектов можно изготовить
из имеющихся досок?
Для нарезки заготовок длиной 20, 25 и 30
см используются прутки длиной 75 см. За
смену требуется нарезать 300 штук
заготовок по 20 см, 270 штук по 25 см и 350
штук по 30 см. Сколько прутков (по 75 см)
для этого потребуется
Из минимального количества листов
стекла размером 8 х 6 м²требуется
вырезать 10 оконных стекол размером 4 х
4 м², 20 оконных стекол размером
4 х 5 м²и 30 оконных стекол размером
3х3 м². Множество вариантов раскроя
(см. главу 3) показано в следующей таблице:

Построите модель для определения плана
раскроя, требующего минимального
количества материала.

Из прямоугольного листа железа размером
100 х 60 см необходимо изготовить квадратные
заготовки со сторонами 50,40 и 20 см. Эти
заготовки нужны в качестве перегородок
при изготовлении пластмассовых
коробок для хранения инструментов.
Чтобы сделать одну коробку, нужно иметь
четыре заготовки со стороной 50 см, шесть
заготовок со стороной 40 см и двенадцать
— со стороной 20 см. На складе находится
100 листов материала. Построите модель
для определения плана раскроя, требующего
минимального количества материала
Завод-производитель
высокоточных элементов для автомобилей
выпускает два различных типа деталей
Х и Y.
Завод располагает фондом рабочего
времени в 4000 чел.-ч в неделю. Для
производства одной детали типа Х
требуется 1 чел.-ч, а для производства
одной детали типа Y
– 2 чел.-ч. Производственные мощности
завода позволяют выпускать максимум
2250 деталей типа Х и 1750 деталей типа Y
в неделю. Каждая деталь типа Х требует
2 кг металлических стержней и 5 кг
листового металла, а для производства
одной детали типа Y
необходимо 5 кг металлических стержней
и 2 кг листового металла. Уровень запасов
каждого вида металла составляет 10000 кг
в неделю. Кроме того, еженедельно завод
поставляет 600 деталей типа Х своему
постоянному заказчику. Существует
также профсоюзное соглашение, в
соответствии с которым общее число
производимых в течение одной недели
деталей должно составлять не менее
1500 штук.

Финансовый
консультант фирмы «АВС» консультирует
клиента по оптимальному инвестиционному
портфелю. Клиент хочет вложить средства
(не более 25000$) в два наименования акций
крупных предприятий в составе холдинга
«Дикси».

Анализируются акции «Дикси –Е» и «Дикси
–В». Цены на акции: «Дикси –Е» — 5$ за
акцию; «Дикси –В» — 3$ за акцию.

Задача консультанта состоит в том, чтобы
выдать клиенту рекомендации по оптимизации
прибыли от инвестиций.

Продукция двух видов (краска для
внутренних (I) и наружных
(Е) работ) поступает в оптовую продажу.
Для производства красок используются
два исходных продукта А и В. Максимально
возможные суточные запасы этих продуктов
составляют 6 и 8 тонн, соответственно.
Расходы продуктов А и В на 1 т соответствующих
красок приведены в таблице.

Исходный продукт

Расход
исходных продуктов на тонну краски,
т

Максимально
возможный запас, т

Краска Е

Краска I

На имеющихся у фермера 400 гектарах земли
он планирует посеять кукурузу и сою.
Сев и уборка кукурузы требует на каждый
гектар 200 ден. ед. затрат, а сои – 100 ден.
ед. На покрытие расходов, связанных с
севом и уборкой, фермер получил ссуду
в 60 тыс. ден. ед.. Каждый гектар, засеянный
кукурузой, принесет 30 центнеров, а
каждый гектар, засеянный соей – 60
центнеров. Фермер заключил договор на
продажу, по которому каждый центнер
кукурузы принесет ему 3 ден. ед., а каждый
центнер сои – 6 ден. ед. Однако, согласно
этому договору, фермер обязан хранить
убранное зерно в течение нескольких
месяцев на складе, максимальная
вместимость которого равна 21 тыс.
центнеров.

Инвестор, располагающий суммой в 300
тыс. ден. ед., может вложить свой капитал
в акции автомобильного концерна А и
строительного предприятия В. Чтобы
уменьшить риск, акций А должно быть
приобретено по крайней мере в два раза
больше, чем акций В, причем последних
можно купить не более чем на 100 тыс. ден.
ед.

Из пункта
А в пункт В ежедневно отправляются
пассажирские и скорые поезда. Данные
об организации перевозок следующие:

Поезда	Количество вагонов в поезде
багажный	почтовый	плацкарт	купе	СВ
скорый	1	1	5	6	3
пассажирский	1	—	8	4	1
число пассажиров	—	—	58	40	32
парк вагонов	12	8	81	70	26

Сколько
должно быть сформировано скорых и
пассажирских поездов, чтобы перевезти
наибольшее количество пассажиров?

Как изменится модель, если пропускная
способность дороги такова, что в день
по ней могут пройти не более 6 пассажирских
поездов?

Фирма производит из одного вида сырья
два продукта: A и B, продаваемых
соответственно по 0,08 и 0,15 ед. за упаковку.
Рынок сбыта для каждого из продуктов
практически не ограничен.

Продукт A обрабатывают на машине 1,
продукт B − на машине 2. Затем оба продукта
упаковывают на фабрике. Один килограмм
сырья стоит 0,06 ед.

Машина 1 обрабатывает 5000 кг сырья за
один час с потерями 10 %. Машина 2 обрабатывает
4000 кг. сырья за один час с потерями 20 %.

Машина 1 доступна 6 ч в день; ее использование
стоит 228 ед. в час. Машина 2 доступна 5 ч
в день; ее использование обходится 186
ед. в час. Фабрика может работать 10 часов
в день. Один час работы фабрики обходится
в 360 ед. За один час можно изготовить
12000 упаковок продукта A или 8000 упаковок
продукта B. Упаковка продукта A весит
0,25 кг, упаковка продукта B − 0,33 кг. Сколько
сырья для производства продуктов A и B
нужно закупать ежедневно, чтобы
максимизировать прибыль?

Требуется составить оптимальный план
жилищного строительства с минимальными
издержками. Исходные данные приведены
в таблице:

	Вид дома	Требуемое число квартир
Квартиры	1	2	3	4	5
1	10	0	42	20	30	850
2	25	15	10	0	20	600
3	20	10	50	40	35	2500
4	0	50	100	0	50	2000
5	40	0360	20	25	30	1500
Стоимость дома (единицы)	640		840	450	920

Мебельная фабрика выпускает столы,
стулья, бюро и книжные шкафы. При
изготовлении мебели используют два
различных типа досок, в наличии имеется
1500 м досок 1-го типа и 1000 м досок 2-го
типа. Кроме того, заданы трудовые ресурсы
− 800 чел.-ч. В таблице приведены нормы
затрат каждого из видов ресурсов на
изготовление одного изделия и прибыль
от продажи одного изделия.

	Тип досок	Трудовые ресурсы	Прибыль, руб./шт.
Изделие	1	2
стул	5	2	3	12
стол	1	3	2	5
бюро	3	4	5	15
Книжный шкаф	12	1	10	10

Определить оптимальный ассортимент,
максимизирующий прибыль,

если количество столов относится к
числу стульев как 1:6.

Авиакомпания должна перевезти 5000
пассажиров самолетами трех

типов. Сколько самолетов каждого типа
надо использовать, если для

формирования экипажей имеется не более
440 человек, а издержки

должны быть минимальными.

Тип самолета	Экипаж. чел	Число пассажиров, чел	Стоимость эксплуатации, ден.ед.
1	3	38	7620
2	7	80	11000
3	4	46	8500

. Автомобильный завод выпускает машины
типов A, B, C, D.

Производственные мощности цехов и
участков приведены в таблице.

	Тип машины
Наименование Цехов и участков	A	B	C	D
Подготовка производства	125	110	120	115
Кузовной цех	80	320	200	160
Цех шасси	110	110	100	170
Сборочный цех	160	80	120	100
Участок испытаний	280	70	140	210
Прибыль от выпуска одной машины	3100	2300	1800	2500

Определить оптимальную производственную
программу.

Фирма рекламирует свою продукцию с
использованием четырех средств:
телевидения, радио, газет и афиш. Из
различных рекламных экспериментов,
которые проводились в прошлом, известно,
что эти средства приводят к увеличению
прибыли соответственно на 10, 3, 7, 4
денежные ед. в расчете на 1 денежную
ед., затраченную на рекламу. Фирма не
может выделить на рекламу более 500 000
денежных единиц.

Кроме того, фирма считает, что следует
расходовать не более 40 % рекламного
бюджета на телевидение и не более 20 %
бюджета на афиши, а, на радио планируется
расходовать, по крайней мере, половину
того, что планируется расходовать на
телевидение. Как целесообразнее
распределить рекламный бюджет?

Требуется составить диету, содержащую,
по крайней мере, 20 единиц белков, 30
единиц углеводов, 10 единиц жиров и 40
единиц витаминов. Как дешевле всего
составить диету из 5 имеющихся продуктов:
хлеб, соя, сушеная рыба, фрукты, молоко?
В таблице указаны цены продуктов за 1
кг (или л) в денежных единицах и содержание
в продуктах компонентов диеты в условных
единицах

Питательные вещества	Хлеб	Соя	Сушеная рыба	Фрукты	Молоко
Белки	2	12	10	1	2
Углеводы	12	0	0	4	3
Жиры	1	8	3	0	4
Витамины	2	2	4	6	2
Цена	24	75	64	36	10

Фирма выпускает шляпы двух фасонов.
Трудоемкость изготовления шляпы фасона
1 вдвое выше трудоемкости изготовления
шляпы фасона 2. Если бы фирма выпускала
только шляпы фасона 1, суточный объем
производства составил бы 500 шляп.
Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов
находится в диапазоне от 150 до 200 штук.
Прибыль от продажи шляпы фасона 1 равна
8 ед., а шляпы фасона 2 − 5 ед. Фирма хочет
максимизировать свою прибыль.

Требуется рационально организовать
работу городского автобусного парка.
Собраны данные о потребности в автобусах
на одной из линий. Оказалось, что в
пределах каждого из следующих друг за
другом четырехчасовых интервалов
требуемое количество автобусов можно
считать величиной постоянной. Эти
значения указаны в таблице. Продолжительность
непрерывной работы автобуса не должна
превышать 8 ч в сутки

Интервал времени, ч	24 − 04	04 − 08	08 − 12	12 − 16	16 − 20	20 − 24
Требуется автобусов	4	8	10	7	12	4

Минимизировать количество
автобусов, выходящих на линию в

течение суток.

Бройлерное хозяйство фабрики насчитывает
20 000 цыплят, которых выращивают до
восьминедельного возраста и затем
продают. Недельный расход корма для
цыплят зависит от их возраста, но можно
положить, что в среднем одному цыпленку
требуется 500 г корма в сутки. Кормовой
рацион должен удовлетворять определенным
требованиям по питательности, для чего
составляются смеси из различных
ингредиентов. Для простоты ограничимся
тремя составляющими: известняком,
зерном и соевыми бобами. Учитываются
три вида питательных веществ: кальций,
белок, клетчатка. Данные о содержании
питательных веществ в ингредиентах
приведены в таблице.

	Содержание питательных веществ, (кг/кг ингредиента)	Стоимость, ед/кг
Ингредиент	Кальций	Белок	Клетчатка
Известняк	0,38	0	0	0,08
Зерно	0,001	0,09	0,02	0,30
Соевые бобы	0,002	0,2	0,08	0,80

Получить кормовую смесь минимальной
стоимости удовлетворяющую перечисленным
требованиям.

Фирма выпускает изделия трех моделей:
1, 2, и 3. Для их изготовления используются
два вида ресурсов: A и B, запасы которых
составляют 4000 и 6000 единиц. Расходы
ресурсов на одно изделие каждой модели
приведены в таблице. Трудоемкость
изготовления изделия модели 1 вдвое
больше, чем изделия модели 2 и втрое
больше, чем изделия модели 3. Если бы
фирма выпускала только изделия модели
1, то ежедневный выпуск составил бы 1500
штук.

	Расход ресурса на одно изделие
Ресурс	1	2	3
A	2	3	5
B	4	2	7

Анализ рынка сбыта показал, что
ежедневно можно продать не менее чем
200 изделий модели 1, 200 изделий модели 2,
150 изделий модели 3. Кроме того, соотношение
выпуска изделий моделей 1, 2 и 3 должно
быть 3:2:5. Прибыль от реализации одного
изделия равна: для модели 1 − 40 ед., для
модели 2 − 20 ед., для модели 3 − 30 ед.
Требуется максимизировать
прибыль.

Некоторому производству требуется
уголь с содержанием фосфора не более
0, 03 % и с долей зольных примесей не более
3,25 %. Три сорта угля (A, B, C) доступны по
следующим ценам за 1 т:

	Содержание веществ, %,	ЦенаСтоимость, ден. ед./т
	Фосфора,%	Золы, ед.
Сорт угля
A	0.06	2	30
B	0.04	4	30
C	0.02	3	45

Как следует смешать эти три сорта
угля, чтобы удовлетворить заданным
требованиям с минимальными затратами?

Средства для очистки пола оценивают
по трем показателям: очищающие свойства;
дезинфицирующие свойства; раздражающее
воздействие на кожу. Каждый из этих
показателей оценивается по линейной
шкале от 0 до 100 единиц. В конечном
продукте должно быть не менее 60 единиц
очищающих свойств и не менее 60 единиц
дезинфицирующих свойств. Раздражающее
воздействие на кожу должно быть
минимальным. Это продукт нужно получить,
смешав три основных очистителя,
характеристики которых приведены в
таблице

	Свойства
	Очищающее	Дезинфицирующее.	Раздражающее
Очиститель
A	90	30	70
B	65	85	50
C	45	70	10

Требуется получить оптимальную смесь.

Нефтяная компания получает нефть из
нескольких источников (W, X, Y, Z) очищает
ее, производя различные виды (A, B, C)
смазочных масел. Имеются также ограничения
на состав масел

	Состав, %	Возможный спрос, баррели
	W	X	Y	Z
Масло
A	≥10	—	—	≤25	2140
B	≥15	—	—	—	2400
C	—	≥20	≤50	—	2900

Цены (в условных единицах) одного
барреля сырья и смазочных масел приведены
ниже.

Сырье	Масло
W	X	Y	Z	A	B	C
31.5	30.2	25.3	28	37.8	36.5	35.3

Предполагая, что сырая нефть доступна
в неограниченном количестве, максимизировать
прибыль компании.

Необходимо вырезать из фанеры заготовки
трех видов для 450 изделий. На одно изделие
идет 2 заготовки первого вида, 4 − второго
и 3 − третьего. Имеется три способа
раскроя. По первому способу из листа
фанеры получается 10 заготовок первого
вида, 5 заготовок второго и 8 заготовок
третьего вида. По второму − 4 первого,
6 второго и 10 третьего. По третьему − 6
первого, 10 второго и 6 третьего. Сколько
листов фанеры нужно кроить каждым
способом, чтобы минимизировать расход
фанеры?

В угольном бассейне добывают уголь
трех сортов в соотношении 1:3:1. Этот
уголь доставляют 6 энергетическим
установкам. Известны теплотворные
способности каждого из сортов угля
(ккал/кг): 2800, 3000, 3500 и потребности
установок (млрд. ккал): 7, 14, 11, 25, 17, 9.
Затраты на добычу 1 т угля каждого сорта
(ед.) таковы: 8, 10, 15. Найти нужный объем
добычи и распределение разных сортов
угля между энергетическими установками
из условия минимизации суммарных затрат

Компания импортирует красные вина трех
марок, которые смешивают для получения
столовых вин трех марок. Необходимые
сведения приведены в таблицах

	Цена одной бутылки, ед	Годовой импорт, бутылок
Марка вина
Французское бургундское	1,08	100 000
Французское бордо	0,96	130 000
Испанское красное	0.50	150 000

	Содержание красного вина, %	Максимальный сбыт за год, бутылок	Цена бутылки ден. ед.
	Не менее	Не более
Марка столового вина
Божеле	30 бург	50 исп	200 000	1,96
Нюи-Сент-Жорж	30 бург	. 30 исп	Неограничен	2,46
Сент-Эмильон	60 бордо	30 исп	180 000	2,08

Максимизировать прибыль от продажи
столовых вин

.При производстве изделий A, B, C используют
два вида оборудования. На первом для
изготовления одного изделия A требуется
1,15 ч, B − 1,5 ч, C − 2,1 ч. Для второго вида
оборудования затраты времени составляют
соответственно 1,3; 1,6; 1,5 ч. На производство
изделий выделено 3000 часов работы первого
оборудования и 2400 часов − второго.
Прибыль от реализации одного изделия
A равна 80 ед., одного изделия B − 60 ед.
одного изделия C − 70 ед. За каждый час
простоя оборудования взимается штраф
10 ед. Требуется максимизировать прибыль.

Под посев 5 культур отведено 3 различных
участка земли площадью 35, 40, 60 га. В
таблице приведены данные о среднем
урожае с 1 га каждой культуры на каждом
участке, прибыли от продажи одного
центнера культуры и минимально
необходимом количестве каждой культуры.
Как обеспечить максимальную выручку?

	Урожайность на участках, ц/га	Потребности в культуре, ц	Прибыль, ед
Культура	1	2	3
1	43	41	50	1500	15
2	39	43	40	1300	19
3	60	70	67	2000	12
4	55	53	50	1600	14
5	35	34	40	1100	22

Из пункта A в пункт B и обратно отправляются
4 поезда в соответствии со следующим
расписанием: из A в B: в 9, 12, 16, 20 ч 30 мин.
Из B в A: в 10, 15, 18, 22 ч. Время в пути для
всех поездов одинаково и равно 5 ч.
Локомотивы, ведущие поезда, совершают
в сутки 2 рейса: один из пункта, к которому
локомотив прикреплен, второй обратно,
с ближайшим очередным рейсом.

Найти оптимальное закрепление локомотивов
за пунктами A и B, обеспечивающее минимум
суммарного времени простоя локомотивов

Четыре авиалинии (A, B, С, D) обслуживают
три типа самолетов. Количество пассажиров
(тыс. чел.), которых нужно перевезти по
каждой из авиалиний за некоторый
промежуток времени, таково: по лини A −
20, B − 10, C − 15, D − 30. Число самолетов типа
1 равно 15, типа 2 − 10, типа 3 − 25. В таблице
указано, сколько пассажиров (чел.) может
перевезти самолет каждого типа по
данной по данной авиалинии за данный
период времени (числитель) и заданы
эксплуатационные расходы (ед.) на один
самолет (знаменатель).

Распределить самолеты по авиалиниям
так, чтобы минимизировать суммарные
расходы.

	Авиалинии
	A	B	C	D
Тип самолета
1	500/5	1200/7	1000/20	2200/12
2	750/9	1800/4	1500/8	3300/10
3	1000/6	2450/8	2000/4	4350/5

Требуется доставить железную руд с
трех месторождений четырем заводам.
Стоимость перевозки (ед.) одной тонны
руды от каждого месторождения каждому
заводу задана матрицей

	Завод
	1	2	3	4
Месторождение
1	3	4	3	5
2	6	7	6	3
3	8	3	7	9

Запасы добытой руды на месторождениях
за некоторый период времени составили
200, 200 и 250 т соответственно. Потребности
заводов за тот же период времени были
такими: 100, 200, 100 и 300 т. Как организовать
поставки руды заводам, чтобы минимизировать
стоимость перевозок и полностью
обеспечить рудой четвертый завод?

Строительный песок добывается в трех
карьерах и доставляется на четыре
строительные площадки. Производительности
карьеров (т) таковы: карьер A − 96, карьер
B − 15, карьер C − 40. Потребности (т)
строительных площадок в песке за то же
время равны 40, 35, 30 и 45 т соответственно.
Затраты на добычу песка и транспортные
расходы (ед./т) приведены в таблице.

	Строительная площадка	Затраты на добычу песка
	W	X	Y	Z
Карьер
A	6	3	4	7	4
B	3	7	8	5	6
C	4	8	9	6	2

Найти оптимальное закрепление строительных
площадок за карьерами. 27. Минимально
необходимое количество автобусов в i-й
час суток равно bi, i = 1, 2,L, 24 . Каждый
автобус используется на линии непрерывно
в течение 6 часов. Превышений числа
автобусов в i-ый час величины bi приводит
к дополнительным издержкам ci на один
машино- час. Нужно минимизировать
суммарные дополнительные издержки

. Группа, исследующая рынок, собирает
сведения в пяти городах. Группа намерена
провести полдня в каждом городе.
Хозяйства, предназначенные для опроса,
выбраны заранее. Основываясь на уже
накопленном опыте, группа оценила
вероятности успешных контактов в каждом
городе. Эти вероятности представлены
в таблице:

	Город
	A	B	C	D	E
Время
Среда до полудня	0,67	0,62	0,50	0,52	0,63
Среда после полудня	0,9	0,7	0,87	0,65	0,63
Четверг до полудня	0,57	0,25	0,60	0,60	0,53
Четверг после полудня	0,40	0,52	0,43	0,45	0,50
Пятница до полудня	0,63	0,60	0,36	0,40	0,67
Число назначенных опросов	30	40	40	30	30

Требуется максимизировать ожидаемое
число успешных опросов.

Производитель безалкогольных напитков
располагает двумя различными машинами
− A и B. Машина A спроектирована для пол-
литровых бутылок, машина B − для литровых.
Но каждая из них может использоваться
для обоих типов бутылок с некоторой
потерей эффективности в соответствии
со следующими данными

	Производительность, бут/мин
	Пол-литровые	Литровые
Машина
A	50	20
B	40	30

Каждая из машин работает ежедневно по
6 часов при пятидневной рабочей неделе.
Прибыль от продажи пол-литровой бутылки
равна 4 денежным единицам, литровой −
10. Недельная продукция не должна
превосходить 50000 литров, причем рынок
принимает не более 44000 пол- литровых
бутылок 30000 литровых. Максимизировать
прибыль.

Для получения сплавов A и B используют
4 разных металла. В таблице приведены
требования к содержанию этих металлов
в сплавах

	Требования к содержанию металлов	Стоимость 1 т сплава (ед.)
	1	2	3	4
Сплав
A	≤ 80 %	≥ 30 %	—	≥ 50 %	5 000
B	—	40 − 60 %	≥ 30 %	≤ 70 %	7 500

Характеристики и запасы руд, из которых
добываются металл 1, 2, 3, 4 указаны в
таблице.

	Содержание металлов, %	Стоимость, ед./т	Запас, т
	1	2	3	4
Руда
A	5	10	6	4	600	1000
B	6	8	5	10	800	2000
C	5	5	15	9	1000	3000

Максимизировать прибыль от продажи
сплавов.

Обработка деталей трех видов производится
на трех различных станках. В таблице
указаны нормы времени (ч) на обработку
станком соответствующей детали, прибыль
от продажи одной детали (ед.), стоимость
одного часа работы каждого станка (ед.)
и предельное время работы каждого
станка (ч).

	Нормы времени обработки деталей.ч	Стоимость 1 ч работы станка, ед.	Время работы станка, ч
	A	B	C
Станок
1	0.2	0.1	0.05	30	40
2	0.6	0.2	0.2	10	60
3	0.2	0.4	0.4	20	30
Прибыль (ед.)	10	16	12

Далее описаны 15 условий. В каждом
случае нужно построить математическую
модель

1. Получить максимум товарной продукции,
если любая деталь может производиться
на любом из станков.

2. Максимизировать суммарную прибыль,
если любая деталь может производиться
на любом из станков.

3. Минимизировать суммарные затраты
времени на обработку, если требуется
изготовить 300 деталей A, 500 деталей B, 100
деталей C, если любая деталь может
производиться на любом из станков..

4. Изготовить максимум комплектов,
состоящих из 3-х деталей A, 2-х деталей
B, 1-й деталей C, если любая деталь может
производиться на любом из станков..

5. Максимизировать суммарную прибыль,
если задан ассортимент − 3:2:1, если любая
деталь может производиться на любом из
станков..

6. Максимизировать суммарную прибыль,
если требуется изготовить не менее 200
деталей A, 400 деталей B, 100 деталей C, если
любая деталь может производиться на
любом из станков..

7. Добиться максимальной загрузки
станков при заданном ассортименте −
3:2:1, если любая деталь может производиться
на любом из станков..

8. Максимизировать суммарное число
изготовленных деталей при одинаковом
времени работы всех станков, если любая
деталь может производиться на любом из
станков..

9. Максимизировать прибыль, если каждый
станок загрузить производством только
одного вида детали. Кроме того, нужно
изготовить не менее 100 штук деталей
каждого вида, если любая деталь может
производиться на любом из станков..

10. Максимизировать выпуск товарной
продукции при дополнительных условиях
п. 9, если любая деталь может производиться
на любом из станков..

11. Получить максимум товарной продукции,
если каждая деталь проходит последовательную
обработку на каждом станке.

12. Максимизировать суммарную прибыль,
если каждая деталь проходит последовательную
обработку на каждом станке.

13 Минимизировать суммарные затраты
времени на обработку, если требуется
изготовить 300 деталей A, 500 деталей B, 100
деталей C, если каждая деталь проходит
последовательную обработку на каждом
станке..

14. Изготовить максимум комплектов,
состоящих из 3-х деталей A, 2-х деталей
B, 1-й деталей C, если каждая деталь
проходит последовательную обработку
на каждом станке.

15. Максимизировать суммарную прибыль,
если задан ассортимент − 3:2:1, если
каждая деталь проходит последовательную
обработку на каждом станке.

Источник

Глава 1. оптимизация плана производства

Цели

В данной главе показаны возможности использования модели линейного программирования (ЛП) для определения плана производства. Эти возможности обобщаются для случая, когда закупка готовой продукции для последующей реализации может оказаться для производителя предпочтительнее, чем использование собственных мощностей. Рассматривается также задача производственного планирования, учитывающая динамику спроса, производства и хранения продукции. Наиболее часто такого рода задачи возникают на уровне агрегированного планирования и оперативного управления микроэкономическими объектами.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• целевую функцию;

• ограничения;

• допустимый план;

• множество допустимых планов;

• модель линейного программирования;

• оптимальный план;

• двойственные оценки;

• границы устойчивости.

Общая постановка задачи планирования производства: необходимо определить план производства одного или нескольких видов продукции, который обеспечивает наиболее рациональное использование имеющихся материальных, финансовых и других видов ресурсов. Такой план должен быть оптимальным с точки зрения выбранного критерия — максимума прибыли, минимума затрат на производство и т.д.

Модели

Введем обозначения:

п — количество выпускаемых продуктов;

т — количество используемых производственных ресурсов (например, производственные мощности, сырье, рабочая сила);

аij — объем затрат i-го ресурса на выпуск единицы j-й продукции;

сj — прибыль от выпуска и реализации единицы j-го продукта;

bi — количество имеющегося i-го ресурса;

хj — объем выпуска j-го продукта.

Формально задача оптимизации производственной программы может быть описана с помощью следующей модели линейного программирования:

(1)

(2)

(3)

Здесь (1) — целевая функция (максимум прибыли);

(2) — система специальных ограничений (constraint) на объем фактически имеющихся ресурсов;

(3) — система общих ограничений (на неотрицательность переменных);

хj — переменная (variable).

Задача (1)—(3) называется задачей линейного программирования в стандартной форме на максимум.

Задача линейного программирования в стандартной форме на минимум имеет вид

(4)

(5)

(6)

Вектор х = (x1, x2, …, xn), компоненты хj которого удовлетворяют ограничениям (2) и (3) (или (5) и (6) в задаче на минимум), называется допустимым решением или допустимым планом задачи ЛП.

Совокупность всех допустимых планов называется множеством допустимых планов.

Допустимое решение задачи ЛП, на котором целевая функция (1) (или (3) в задаче на минимум) достигает максимального (минимального) значения, называется оптимальным решением задачи ЛП.

С каждой задачей ЛП связывают другую задачу ЛП, которая записывается по определенным правилам и называется двойственной задачей ЛП.

Двойственной к задаче ЛП (1)—(3) является задача

Соответственно, двойственной к задаче ЛП (7)—(9) является задача (1)—(3). Каждой переменной (специальному ограничению) исходной задачи соответствует специальное ограничение (переменная) двойственной задачи. Если исходная задача ЛП имеет решение, то имеет решение и двойственная к ней задача, при этом значения целевых функций для соответствующих оптимальных решений равны.

Компонента оптимального решения двойственной задачи (7)—(9) называется двойственной оценкой (Dual Value) ограничения исходной задачи ЛП.

Пусть j = max (), где хj — компонента допустимого решения задачи (1)—(3).

Тогда при выполнении условий невырожденности оптимального решения имеют место следующие соотношения:

Изменим значение правой части bi одного основного ограничения (RHS) исходной задачи ЛП.

Пусть — минимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение у* двойственной задачи не изменится. Тогда величину называют нижней границей (Lower Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Пусть — максимальное значение правой части основного ограничения, при котором решение y* двойственной задачи не изменится. Тогда величину называют верхней границей (Upper Bound) устойчивости по правой части ограничения.

Изменим значение одного коэффициента сj целевой функции исходной задачи ЛП.

Пусть — минимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение x* исходной задачи не изменится. Тогда величину называют нижней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

Пусть — максимальное значение коэффициента целевой функции, при котором оптимальное решение х* исходной задачи не изменится. Тогда величину называют верхней границей устойчивости по коэффициенту целевой функции.

Примеры

Пример 1. Сколько производить?

Предприятие располагает ресурсами сырья и рабочей силы, необходимыми для производства двух видов продукции. Затраты ресурсов на изготовление одной тонны каждого продукта, прибыль, получаемая предприятием от реализации тонны продукта, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:

Вопросы:

1. Сколько продукта 1 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

2. Сколько продукта 2 следует производить для того, чтобы обеспечить максимальную прибыль?

3. Какова максимальная прибыль?

4. На сколько возрастет максимальная прибыль, если запасы сырья увеличатся на 1 т?

5. На сколько возрастет максимальная прибыль, если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч?

Решение. Пусть х1 — объем выпуска продукта 1 в тоннах, х2 — объем выпуска продукта 2 в тоннах. Тогда задача может быть описана в виде следующей модели линейного программирования:

Используя пакет РОМ for WINDOWS (далее POMWIN), исходную информацию для решения этой задачи можно представить в виде следующей таблицы:

Решая эту задачу, получаем следующий результат:

В нижней строке указан объем выпуска каждого продукта, удовлетворяющий ограничениям на ресурсы и обеспечивающий максимальную прибыль. Величина 988,24 — максимальное значение целевой функции.

Чтобы обеспечить максимальную прибыль, следует производить 16,47 т продукта 1 и 14,12 т продукта 2.

Максимальная прибыль равна 988,24 тыс. руб.

В правом столбце таблицы указаны двойственные оценки для каждого ограничения. Так, величина 3,82 показывает, что при увеличении запаса сырья на 1 т (до 121) максимальное значение целевой функции для нового оптимального плана увеличится по сравнению с 988,24 на 3,82 тыс. руб. Аналогично можно интерпретировать значение двойственной оценки 1,32 для второго ресурса.

Следующая таблица содержит дополнительную информацию, предоставляемую пакетом POMWIN:

Два правых столбца таблицы — границы устойчивости по значениям коэффициентов целевой функции (верхняя часть таблицы) и правых частей ограничений (нижняя часть).

Так, в случае если прибыль, получаемая от реализации 1 т продукта 1, изменится, но останется в пределах от 21 до 40,83, количество продукта 1 в оптимальном плане не изменится.

В случае если запас сырья изменится, но останется в пределах от 85,71 до 166,66, двойственная оценка этого ресурса не изменится.

Соответственно, если допустимый объем трудозатрат изменится в пределах от 288 до 560 ч, двойственная оценка этого ресурса не изменится.

Если допустимый объем трудозатрат увеличится с 400 до 500 ч, то максимальная прибыль увеличится на 132 тыс. руб.

Пример 2. Производить или покупать?

Фирма производит два типа химикатов. На предстоящий месяц она заключила контракт на поставку следующего количества этих химикатов:

Производство фирмы ограничено ресурсом времени работы двух химических реакторов. Каждый тип химикатов должен быть обработан сначала в реакторе 1, а затем в реакторе 2. Ниже в таблице приведен фонд рабочего времени, имеющийся у каждого реактора в следующем месяце, а также время на обработку одной тонны каждого химиката в каждом реакторе:

Из-за ограниченных возможностей, связанных с существующим фондом времени на обработку химикатов в реакторах, фирма не имеет достаточных мощностей, чтобы выполнить обязательства по контракту. Выход заключается в следующем: фирма должна купить какое-то количество этих химикатов у других производителей, чтобы использовать эти закупки для выполнения контракта. Ниже приводится таблица затрат на производство химикатов самой фирмой и на закупку их со стороны:

Цель фирмы состоит в том, чтобы обеспечить выполнение контракта с минимальными издержками. Это позволит ей максимизировать прибыль, так как цены на химикаты уже оговорены контрактом. Другими словами, фирма должна принять решение: сколько химикатов каждого типа производить у себя, а сколько — закупать со стороны для того, чтобы выполнить контракт с минимальными издержками.

Вопросы:

1. Сколько химикатов типа 1 следует производить фирме?

2. Сколько химикатов типа 2 следует производить фирме?

3. Сколько химикатов типа 1 следует закупать со стороны?

4. Сколько химикатов типа 2 следует закупать со стороны?

5. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?

6. Следует ли изменить объем закупок химикатов типа 2 со стороны, если их цена возрастет до 75 тыс. руб. за тонну?

7. На сколько возрастут минимальные издержки, если фонд времени работы реактора 2 сократится с 400 до 300 ч?

Решение. Введем обозначения:

x1 — количество продукта 1, производимого компанией;

z1 — количество продукта 1, закупаемого компанией;

x2 — количество продукта 2, производимого компанией;

z2 — количество продукта 2, закупаемого компанией.

Модель линейного программирования приведена в следующей таблице:

Условия неотрицательности переменных: ; ; ; .

Таблица исходной информации для расчетов в POMWIN имеет следующий вид:

Результаты расчетов:

Таблица двойственных оценок и границ устойчивости:

Из таблицы двойственных оценок и границ устойчивости видно, что в пределах изменения закупочной цены на химикат типа 2 от 61 до 76 (ее фактическое значение 66) оптимальный план не изменится.

Из таблицы также видно, что изменение ресурса времени работы реактора 2 в пределах от 225 до 765 не приведет к изменению двойственной оценки соответствующего ограничения.

Ответы: 1. 55,55 т. 2. 38,89 т. 3. 44,44 т. 4. 81,11 т.

5. 11 475,56 тыс. руб. 6. Нет, не следует.

7. Ha 111 тыс. руб.

Вопросы

Вопрос 1. Дана задача линейного программирования

Если эта задача имеет решение, то какие знаки имеют переменные y1 и y2 двойственной задачи?

Варианты ответов:

Вопрос 2. На предприятии — два цеха. Проведены оптимизационные расчеты по определению программы развития предприятия с минимальными затратами. Получены оптимальный план и двойственные оценки ограничений по загрузке мощностей двух цехов. Оказалось, что двойственная оценка ограничений на производственные мощности первого цеха равна нулю, а второго — строго положительна. Это означает, что:

1) информации для ответа недостаточно;

2) мощности обоих цехов недогружены;

3) мощности обоих цехов использованы полностью;

4) мощности цеха 1 использованы полностью, а цеха 2 недогружены;

5) мощности цеха 1 недогружены, а цеха 1 использованы полностью.

Вопрос 3. Рассматривается задача планирования нефтеперерабатывающего производства, описанная в виде модели линейного программирования. Критерий — минимум издержек. В результате решения лимитирующим фактором оказалась мощность Оборудования, измеряемая в тоннах перерабатываемой нефти. В каких единицах измеряется двойственная оценка соответствующего ограничения?

Варианты ответов:

1) т/руб.; 2) руб./ч; 3) ч/руб.; 4) руб./т; 5) т.

Вопрос 4. Рассматривается задача оптимизации плана производства нефтепродуктов. Объем производства измеряется в тоннах. Задача решается на минимум издержек. Учитывается ограничение на время использования оборудования. В каких единицах измеряется значение коэффициентов матрицы для этого ограничения?

Варианты ответов:

Вопрос 5. Рассматривается задача оптимизации производственной программы. Критерий — максимум прибыли. Оптимальное значение критерия — 100. Двойственная оценка ограничения по трудозатратам равна 0,5, по объему производства — 1,5. Чему будет равна максимальная прибыль, если общий объем трудозатрат сократится на 10 единиц?

Варианты ответов:

1) 85; 2) 90; 3) 95; 4) 100; 5) 110.

Вопрос 6. Для всякого ли многогранника существует задача линейного программирования, допустимым множеством которой он является?

Варианты ответов:

1) да, для всякого;

2) нет, только для многогранника, имеющего более трех вершин;

3) нет, только для многогранника с положительными координатами вершин;

4) нет, только для выпуклого многогранника с неотрицательными координатами вершин;

5) нет, только для выпуклого многогранника.

Вопрос 7. Допустимое решение задачи линейного программирования:

1) должно одновременно удовлетворять всем ограничениям задачи;

2) должно удовлетворять некоторым, не обязательно всем, ограничениям задачи;

3) должно быть вершиной множества допустимых решений;

4) должно обеспечивать наилучшее значение целевой функции;

5) не удовлетворяет указанным выше условиям.

Вопрос 8. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

при условиях

Оптимальное значение целевой функции в этой задаче равно:

1) 1600; 2) 1520; 3) 1800; 4) 1440;

5) не равно ни одному из указанных значений.

Вопрос 9. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

пои условиях

Какая из следующих точек с координатами (X, Y) не является допустимой?

Варианты ответов:

5) ни одна из указанных.

Вопрос 10. Рассмотрим следующую задачу линейного программирования:

при условиях

Множество допустимых планов имеет следующие четыре вершины: (48, 84), (0, 120), (0, 0), (90, 0). Чему равно оптимальное значение целевой функции?

Варианты ответов:

1) 1032; 2) 1200; 3) 360; 4) 1600;

5) ни одному из указанных значений.

Задачи

Задача 1. Нефтеперерабатывающая установка может работать в двух различных режимах. При работе в первом режиме из одной тонны нефти производится 300 кг темных и 600 кг светлых нефтепродуктов; при работе во втором режиме — 700 кг темных и 200 кг светлых нефтепродуктов. Ежедневно на этой установке необходимо производить 110 т темных и 70 т светлых нефтепродуктов. Это плановое задание необходимо ежедневно выполнять, расходуя минимальное количество нефти.

Вопросы:

1. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать в первом режиме?

2. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать во втором режиме?

3. Каков минимальный ежедневный расход нефти?

Задача 2. Фирма «Television» производит два вида телевизоров: «Астро» и «Космо».

Продажа каждого телевизора марки «Астро» обеспечивает прибыль в размере 1500 руб., а марки «Космо» — 2000 руб.

Фирма заинтересована в максимизации прибыли.

Вопросы:

1. Сколько телевизоров «Астро» следует производить ежедневно?

2. Какова максимальная ежедневная прибыль телевизионной компании?

3. На сколько рублей в день увеличится прибыль, если ресурс времени в цехе 2 возрастет на 5 человекочасов?

4. Следует ли изменить план производства, если прибыль от телевизора «Космо» увеличится до 2200 руб.?

Задача 3. Чулочно-носочная фирма производит и продает два вида товаров: мужские носки и женские чулки. Фирма получает прибыль в размере 10 руб. от производства и продажи одной пары чулок и в размере 4 руб. от производства и продажи одной пары носков.

Вопросы:

1. Сколько пар носков следует производить ежедневно, если фирма хочет максимизировать прибыль?

2. Какую максимальную прибыль фирма может получать ежедневно?

3. На сколько увеличится прибыль, если ресурс времени на участке 1 увеличится на 10ч?

4. На сколько увеличится прибыль, если ресурс времени на участке 2 увеличится на 10 ч?

Задача 4. Василий Иванов — владелец небольшого мебельного цеха. Он производит столы трех моделей: А, В и С. Каждая модель требует определенных затрат времени на выполнение трех операций: производство заготовок, сборка и покраска.

Василий имеет возможность продать все столы, которые он изготовит. Более того, модель С может быть продана и без покраски (модель Cб.п.). При этом прибыль уменьшается на 200 руб. за штуку. Василий нанимает нескольких рабочих, которые работают у него по совместительству, так что количество часов, отводимое на каждый вид работ, изменяется от месяца к месяцу.

Вопросы:

1. Какую максимальную прибыль может получить Василий в течение месяца?

2. Сколько столов модели А следует производить?

3. Следует ли продавать неокрашенные столы модели С?

Задача 5. После предпринятой рекламной кампании фирма «Давидко» испытывает необыкновенный рост спроса на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе — газовые и угольные. Фирма заключила контракт на ежемесячную поставку в магазины 300 угольных и 300 газовых мангалов.

Вопросы:

1. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?

2. Сколько угольных мангалов следует ежемесячно производить фирме «Давидко»?

3. Сколько газовых мангалов следует ежемесячно производить?

4. Сколько газовых мангалов следует приобретать?

Задача 6. Компания «Видео», производитель видеомагнитофонов, планирует производство и запасы продукции на первое полугодие следующего года. Прогноз спроса на соответствующие шесть месяцев отражен в таблице. «Видео» хотела бы иметь такой план, который обеспечит возможность полностью удовлетворить спрос.

Вопросы:

1. Сколько магнитофонов следует произвести в феврале?

2. Каков запас на складе на конец апреля?

3. Каковы минимальные издержки на выполнение полугодового плана (в тыс. руб.)?

Ситуации

Ситуация 1. Производство обмоточной проволоки. Ярославу Алексееву понравилась его первая рабочая неделя в качестве менеджера-стажера в фирме «Электрокабель». Он еще не приобрел достаточных знаний о процессе производства, но уже получил общую информацию, побывав на заводе и встретившись со многими людьми.

Один из основных видов продукции, выпускаемой фирмой «Электрокабель», — обмоточная проволока, которая используется в производстве электрических трансформаторов. Эдуард Третьяков, менеджер, отвечающий за контроль производства, описал Алексееву стандартную процедуру обмотки. Последовательность производства проволоки такова: подготовка чертежей, протяжка, наматывание, контроль и упаковка. После технического контроля хороший товар упаковывается и отсылается на склад готовой продукции, а дефектная продукция хранится отдельно до тех пор, пока не будет отдана на переработку.

В начале марта Борис Лагутин, первый вице-президент фирмы «Электрокабель», зашел в офис Алексеева и пригласил его на собрание персонала.

«Ну что ж, давайте начнем», — сказал Лагутин, открывая собрание. «Вы уже знакомы с Ярославом Алексеевым, нашим новым менеджером-стажером. Ярослав закончил магистратуру экономического факультета МГУ, поэтому я думаю, что он сможет помочь нам решить проблему, которую мы давно обсуждаем. Я уверен, что каждый из вас будет сотрудничать с Ярославом».

Лагутин обратился к Эдуарду Третьякову с просьбой вкратце описать проблему, с которой столкнулась фирма. «Сейчас, — начал Третьяков, — мы получаем больше заказов, чем можем выполнить. Еще несколько месяцев проблему можно будет решать за счет нового оборудования, но уже в апреле нам это не поможет. В прошлом году мы сократили нескольких работников из чертежного отдела. Я собираюсь снова временно привлечь их к работе, чтобы увеличить в этом отделе объем производства. Так как мы планируем рефинансировать нашу долгосрочную задолженность по кредитам, необходимо оценить величину апрельской прибыли.

Я нахожусь в затруднительном положении, подсчитывая и оценивая, какие заказы осуществлять, а какие отложить, поэтому надо сформировать оптимальный план производства. Надеюсь, Ярослав Алексеев сможет мне помочь».

Ярослав был несколько озадачен, получив такое важное поручение в самом начале своей карьеры. Сдержав волнение, он сказал: «Дайте мне данные и день или два времени». Ему предоставили информацию в виде следующих таблиц:

Примечание: По договору с основным поставщиком фирма должна произвести в апреле 600 единиц (катушек) продукта W0007X и 150 единиц продукта W0075C.

Примечание: Объем работы по контролю качества — не проблема, так как можно работать сверхурочно, чтобы приспособиться к любому графику.

Средняя производственная выработка в месяц — 2400 ед.

Среднее использование машинного времени — 63%.

Средний процент посланной на переработку продукции — 5% (большей частью из намоточного отдела).

Задания

1. Проведите детальный анализ проблемы (с построением таблиц, графиков и использованием компьютера).

2. Ответьте на следующие вопросы:

Какие рекомендации должен дать Ярослав Алексеев и с какими обоснованиями?

Есть ли необходимость в использовании временных работников в чертежном отделе?

Следует ли расширять парк машин?

Ситуация 2. Западно-сибирская корпорация «Химикаты и удобрения».

В декабре 2002 г. Василий Маслов, генеральный директор западно-сибирского отделения корпорации «Химикаты и удобрения», получил письмо от Юрия Черноусова из компании «Сибирь-газ». В письме корпорацию уведомляли о новом порядке подачи природного газа. «Сибирьгаз» — поставщик природного газа для корпорации — сообщал о сокращении поставок газа на 40% в течение зимних месяцев. Одобрение Федеральной комиссии по энергетике было уже получено.

При сокращении действуют следующие приоритеты (начиная с самого нежелательного варианта и заканчивая более приемлемым):

1. Отопление жилья и рабочих мест.

2. Коммерческие организации, использующие природный газ в качестве сырья.

3. Коммерческие организации, использующие природный газ в качестве промышленного топлива.

Практически все производство корпорации подпадало под приоритеты 2 и 3, следовательно, сокращение поставок было неминуемым.

Причины сокращения поставок были следующими.

Во-первых, «Сибирьгаз» является частью системы газопроводов, по которым газ поставляется для отопления жилья и рабочих мест на Дальний Восток и в Казахстан. Следовательно, зимой ожидается рост потребления газа. Во-вторых, спрос на природный газ постоянно увеличивается, потому что газ — самое экологически чистое и наиболее эффективное топливо. При его использовании исчезают проблемы с загрязнением окружающей среды, камеры сгорания зафязняются меньше, а компьютеризированный контроль за сжиганием газа проще, чем при других видах топлива. И наконец, добыча газа уменьшается — традиционно низкая цена на газ не стимулирует разработку новых месторождений.

Руководство корпорации «Химикаты и удобрения» знало о возможных сокращениях подачи газа и разрабатывало способы замены газа нефтью и углем. Однако эти исследования все еще находились в стадии разработки, поэтому незамедлительно требовался план для минимизации негативных последствий сокращения поставок газа для группы ее заводов. Федеральная комиссия по энергетике и компания «Сибирьгаз» предоставили самой корпорации право решать, как ей перераспределить поставки между заводами, а Юрий Черноусов из компании «Сибирьгаз» добавил: «Это ваш пирог, и нам все равно, как вы его разделите, если он станет меньше».

Этим «пирогом» стал газ для шести западно-сибирских заводов корпорации «Химикаты и удобрения». Заводы выпускали следующую продукцию, которая требовала значительных затрат газа: фосфорную кислоту, мочевину, фосфат аммония, нитрат аммония, хлор, каустическую соду, мономер винилхлорида, гидрофосфорную кислоту.

Корпорация провела совет технического персонала для того, чтобы обсудить возможные варианты перераспределения газа между производствами в случае сокращения. Целью была минимизация воздействия на прибыль. На этот совет были представлены данные в виде следующей таблицы:

Контракт корпорации с компанией «Сибирьгаз» предусматривал максимальное потребление 36 млн м3 природного газа в неделю для всех шести заводов. Технологически допустимый минимум производства каждого продукта составляет 30% от проектной мощности.

На основе этих данных была предложена модель, которая установила изменения объемов производства при сокращении поставок природного газа. (Изменения основаны на потреблении, предусмотренном контрактом, а не на текущем потреблении.)

Задания

1. Постройте модель и найдите объемы производства при сокращении поставок газа на 20 и 40%.

2. Объясните, какой продукт требует наибольшего внимания с точки зрения энергосбережения.

3. Ответьте на следующие вопросы:

Какие проблемы можно предвидеть, если производство не будет сокращено запланированным образом? Какое влияние окажет сокращение поставок газа на прибыль компании?

Ответы и решения

Ответы на вопросы:

Задача 1. Решение.

Таблица двойственных оценок и границ устойчивости:

Ответы: 1. 75 т. 2. 125 т. 3.200 т. 4. На 11,1 т.

Задача 2. Решение.

Ответы: 1. 70 телевизоров. 3. На 2500 руб.

2. 145 000 руб. 4. Нет, не следует.

Задача 3. Решение.

Ответы: 1. 3000 пар носков. 2. 25 333 руб.

3. Прибыль не увеличится. 4. На 2666 руб.

Задача 4. Решение.

Ответы: 1. 12 000 руб. 2. Восемь столов. 3. Следует.

4. На 500 руб. 5. Не менее чем на 182,5 руб.

Задача 5. Решение.

Ответы: 1. 1700 тыс. руб. 2. 200 мангалов. 3. 200 мангалов.

4. 100 мангалов. 5. Нет, объемы закупок следует изменить.

Задача 6. Решение.

(П — производство; З — запас)

Окончание таблицы

Ответы: 1. 5000 магнитофонов. 2. 2500 магнитофонов.3. 11,452 млн.руб.

Источник

Задача 5. После предпринятой рекламной кампании фирма «Давидко» испытывает необыкновенный рост спроса на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе — газовые и угольные. Фирма заключила контракт на ежемесячную поставку в магазины 300 угольных и 300 газовых мангалов.

Вопросы:

1. Каковы минимальные издержки на выполнение контракта?

2. Сколько угольных мангалов следует ежемесячно производить фирме «Давидко»?

3. Сколько газовых мангалов следует ежемесячно производить?

4. Сколько газовых мангалов следует приобретать?

Вопросы:

1. Сколько магнитофонов следует произвести в феврале?

2. Каков запас на складе на конец апреля?

3. Каковы минимальные издержки на выполнение полугодового плана (в тыс. руб.)?

Поделитесь с Вашими друзьями:

Источник

Глава 1. оптимизация плана производства

Другие крутые статьи на нашем сайте: