Полный резерв времени работы сети исчисляется по формуле

В
табл. 6.1 приведены основные
временные параметры сетевых графиков.

Таблица
6.1

Элемент cети, характеризуемый параметром	Наименование параметра	Условное обозначение параметра
Событие i	Ранний срок свершения события	tp(i)
Поздний срок свершения события	tn(i)
Резерв времени события	R(i)
Работа (i, j)	Продолжительность работы	t(i,j)
Ранний срок начала работы	tрн(i , j)
Ранний срок окончания работы	tро(i, j)
Поздний срок начала работы	tпн(i, j)
Поздний срок окончания работы	tпо(i, j)
Полный резерв времени работы	RП(i, j)
Частный резерв времени работы первого вида	R1(i, j)
Частный резерв времени работы второго видаили свободный резерв времени работы	Rс(i, j)
Независимый резерв времени работы	RН(i, j)
Путь L	Продолжительность пути	t(L)
Продолжительность критического пути	tкр
Резерв времени пути	R(L)

Рассмотрим
содержание и расчет указанных параметров.

Начнем
с параметров
событий. Как
уже отмечалось, событие не может наступить
прежде, чем свершатся все предшествующие
работы. Поэтому ранний
(или ожидаемый) срок t_p(i)
свершения i-го события определяется
продолжительностью максимального пути,
предшествующего этому событию:

,
(6.1)

где
L_Пi
—
любой путь, предшествующий i-му
событию, т.е. путь от исходного до
i-го
события сети.

Если
событие
i
имеет несколько предшествующих путей,
а следовательно, несколько предшествующих
событий j,
то ранний срок свершения события i
удобно находить по формуле:

. (6.2)

Задержка
свершения события i
по отношению к своему раннему сроку не
отразится на сроке свершения завершающего
события (а значит, и на сроке выполнения
комплекса работ) до тех пор, пока сумма
срока свершения этого события и
продолжительности (длины) максимального
из последующих за ним путей не превысит
длины критического пути.

Поэтому
поздний
(или предельный) срок t_П(i)

свершения
i-го
события равен:

, (6.3)

где
L_ci
— любой
путь, следующий за i-м
событием,
т.е. путь от
i-го
до завершающего события сети.

Если
событие i
имеет
несколько последующих путей, а,
следовательно, несколько последующих
событий j,
то
поздний срок свершения события i
удобно находить по формуле:

. (6.4)

Резерв
времени R(i)
i-го
события определяется как разность между
поздним и ранним сроками его свершения:

R(i)
=t_П(i)
—t_p(i). (6.5)

Резерв
времени события показывает, на какой
допустимый период времени можно задержать
наступление этого события, не вызывая
при этом увеличения срока выполнения
комплекса работ.

Критические
события резервов времени не имеют, так
как любая задержка в свершении события,
лежащего на критическом пути, вызовет
такую же задержку в свершении завершающего
события.

Из
этого следует, что для того чтобы
определить длину и топологию критического
пути, вовсе не обязательно перебирать
все полные пути сетевого графика и
определять их длины. Определив
ранний срок наступления завершающего
события сети, мы тем самым определяем
длину критического пути, а выявив события
с нулевыми резервами времени, определяем
его топологию.

Задача
1. Определить
временные параметры событий и критический
путь для сетевого графика, изображенного
на рис. 6.4.

Решение.
Найденные параметры сведем в табл. 6.2.

При
определении ранних сроков свершения
событий t_p(i)
двигаемся
по сетевому графику слева направо и
используем формулы (6.1) и (6.2).

Для
i=0
(нулевого события) очевидно, что t_Р(0)
= 0.
Для i=1
t_p(1)=t_p(0)+t(0,1)
=
0+8 = 8 (суток), так как для события 1
существует только один предшествующий
путь L_n1:
0 →1. Для
i=
2 t_p(2)
=
t_p(1)+t(1,2)
= 8+9
= 17 (суток), так как для события 2
существует
только один предшествующий путь L_n2:
0 →1→2. Для
i
=
3 t_p(3)
=
max{t_p(0)+t(0,3);
t_p(1)+t(1,3)}
= mах{0+13;
8+4} = mах{13;
12} = 13 (суток), так как для события 3
существуют
два предшествующих пути L_n3
0 →1→3 и
0→3
и
два предшествующих события –
0
и
1.

Таблица
6.2

Номер события	Сроки свершения события, сутки	Резерв времени R(i), сутки
ранний tp(i)	поздний tп(i)
0	0	0	0
1	8	9	1
2	17	40	23
3	13	13	0
4	23	26	3
5	20	20	0
6	29	29	0
7	33	43	10
8	37	38	1
9	42	42	0
10	48	48	0
11	61	61	0

Аналогично:

t_p(4)
=
max{t_p(1)+t(1,4);
t_p(3)+t(3,4)}
= mах{8+6;
13+10} = mах{14;
23} = 23(суткам),

t_p(5)
=
max{t_p(3)+t(3,5);
t_p(0)+t(0,5)}
= mах{13+7;
0+9} = mах{20;
9} = 20(суткам),

t_p(6)
=
max{t_p(4)+t(3,4);
t_p(3)+t(3,6);
t_p(5)+t(5,6)}
= mах{23+3;
13+6; 20+9} = mах{26;
19; 29} = 29 (суткам) и т.д.

Длина
критического пути равна раннему сроку
свершения завершающего события 11
(см. табл.
6.2):

t_кр=t_р,(11)=61
(суткам).

При
определении поздних сроков свершения
событий t_П(i)
двигаемся по сети в обратном направлении,
т.е. справа налево, и используем формулы
(6.3) и (6.4).

Для
i=11
(завершающего
события) поздний срок свершения события
должен равняться его раннему сроку
(иначе изменится длина критического
пути): t_n(11)=t_p(11)=61
(сутки).

Для
i=10
t_П(10)=t_p(11)-t(10,11)=61-13=48
(суток), так как для события 10
существует
только один последующий путь L_С10:10→11.

Для
i=9
t_П(9)
=
min{t_П(10)-t(9,10);
t_П(11)-t(9,10)}
= min{48-6;
61-17} = min{42;
44}=42 (суткам), так как для события 9
существуют два последующих пути
L_C9:9→10→11
и
9→11
и
два последующих события –
10
и
11.

Аналогично:

t_П(8)=t_П(9)-t(8,9)=42-4=
38 (суткам);

t_П(7)=t_П(10)-t(7,10)=
48-5
= 43 (суткам);

t_П(6)
=
min{t_П(7)-t(6,7);
t_П(10)-t(6,10);
t_П(9)-t(6,
9); t_П(8)-t(6,8);}
=min
(43-4;
48-5; 42-13; 38-8) = min
(39; 43; 29; 30)= 29 (суткам) и т.д.

По
формуле (6.5) определяем резервы времени
i-го
события:

R(0)
= 0; R(1)
= 9-8 = 1; R(2)=
40-17 = 23
и т.д.

Резерв
времени, например, события 2
— R(2)
= 23
–
означает, что время свершения события
2
может
быть задержано на 23 суток без увеличения
общего срока выполнения проекта.
Анализируя табл. 2, видим, что не имеют
резервов времени события 0,
3, 5, 6, 9, 11. Эти
события и образуют критический путь
(на рис. 5 он выделен жирным шрифтом)

Теперь
перейдем к параметрам
работ.

Отдельная работа
может начаться (и окончиться) в ранние,
поздние или другие промежуточные сроки.
В дальнейшем при оптимизации графика
возможно любое размещение работы в
заданном интервале.

Очевидно,
что ранний срок t_рн(i,
j)
начала
работы
(i,
j)
совпадает
с ранним сроком наступления начального
(предшествующего) события i,
т.е.:

t_рн(i,
j)
=
t_p(i). (6.6)

Тогда
ранний срок t_ро(i,
j)
окончания
работы (i,j)
определяется
по формуле:

t_рo(i,
j)

= ‘t_p(i)+t(i,j).
(6.7)

Ни
одна работа не может окончиться позже
допустимого позднего срока своего
конечного события. Поэтому поздний срок
окончания работы (i,j)
определяется
соотношением:

t_по(i,
j)=t_П(j),
(6.8)

а
поздний срок t_nн(i,
j)
начала
этой работы — соотношением:

. (6.9)

(6.9)

Таким
образом, в рамках сетевой модели моменты
начала и окончания работы тесно связаны
с соседними событиями ограничениями
(6.6)—(6.9).

Прежде
чем рассматривать резервы времени
работ, обратимся к резерву времени пути.
Такие резервы имеют все некритические
пути. Резерв
времени пути
R(L)
определяется как разность между длиной
критического и рассматриваемого пути:

R(L)=t_кр
— t(L). (6.10)

Он
показывает, насколько в сумме могут
быть увеличены продолжительности всех
работ, принадлежащих этому пути. Если
затянуть выполнение работ, лежащих на
этом пути, на время большее чем R(L),
то
критический путь переместится на путь
L.

Отсюда
можно сделать вывод, что любая
из работ пути L
на его участке, не совпадающем с
критическим путем (замкнутым между
двумя событиями критического пути),
обладает резервом времени.

Среди
резервов времени работ выделяют четыре
разновидности.

Полный
резерв времени R_П(i,
j)
работы (i,
j)
показывает, насколько можно увеличить
время выполнения данной работы при
условии, что срок выполнения комплекса
работ не изменится. Полный резерв R_П(i,
j)
определяется по формуле:

. (6.11)

Полный
резерв времени работы равен резерву
максимального из путей, проходящего
через данную работу. Этим резервом можно
располагать при выполнении данной
работы, если ее начальное событие
свершится в самый ранний срок, и можно
допустить свершение конечного события
в его самый поздний срок (рис. 6.6).

(6.11)

Важным
свойством полного резерва времени
работы является то, что он принадлежит
не только этой работе, но и всем полным
путям, проходящим через нее. При
использовании полного резерва времени
только для одной работы резервы времени
остальных работ, лежащих на максимальном
пути, проходящем через нее, будут
полностью исчерпаны. Резервы времени
работ, лежащих на других (не максимальных
по длительности) путях, проходящих через
эту работу, сократятся соответственно
на величину использованного резерва.

Остальные
резервы времени работы являются частями
ее полного резерва.

Частный
резерв времени первого вида r_i
работы
(i,
j)
есть часть полного резерва времени, на
которую можно увеличить продолжительность
работы, не изменив при этом позднего
срока ее начального события. Этим
резервом можно располагать при выполнении
данной работы в предположении, что ее
начальное и конечное события свершаются
в свои самые поздние сроки (см. рис. 6.6).

R₁
находится по формуле:

R₁(i,j)=t_n(j)-t_p(i)-t(i,j), (6.12)

R₁(i,
j)=R_П(i,
j)-R(i). (6.13)

Частный
резерв времени второго вида, или
свободный
резерв времени R_c
работы
(i,
j)
представляет часть полного резерва
времени, на которую можно увеличить
продолжительность работы, не изменив
при этом раннего срока ее конечного
события. Этим
резервом можно располагать при выполнении
данной работы в предположении, что ее
начальное и конечное события свершатся
в свои самые ранние сроки.
R_c
находится по формуле:

R_c(i,
j)=t_p(j)-t_p(i)-t(i,
j),
(6.14)

R₁(i,
j)=R_П(i,
j)-R(j). (6.15)

Свободным
резервом времени можно пользоваться
для предотвращения случайностей, которые
могут возникнуть в ходе выполнения
работ. Если планировать выполнение
работ по ранним срокам их начала и
окончания, то всегда будет возможность
при необходимости перейти на поздние
сроки начала и окончания работ.

Независимый
резерв времени R_н,
работы (i,
j)
— часть полного резерва времени,
получаемая для случая, когда все
предшествующие работы заканчиваются
в поздние сроки, а все последующие работы
начинаются в ранние сроки.

R_н(i,
j)=t_p(j)-t_П(i)-t(i,
j), (6.16)

или

R_н(i,j)=R_П(i,j)-r(i).
(6.17)

Использование
независимого резерва времени не влияет
на величину резервов времени других
работ. Независимые резервы стремятся
использовать тогда, когда окончание
предыдущей работы произошло в поздний
допустимый срок, а последующие работы
хотят выполнить в ранние сроки. Если
величина независимого резерва,
определяемая по формуле (6.16) или (6.17),
равна нулю или положительна, то такая
возможность есть. Если же величина R_н(i,
j)
отрицательна,
то этой возможности нет, так как предыдущая
работа еще не оканчивается, а последующая
уже должна начаться. Поэтому отрицательное
значение R_н(i,
j)
не имеет
реального смысла. А фактически независимый
резерв имеют лишь те работы, которые не
лежат на максимальных путях, проходящих
через их начальные и конечные события.

Следует
отметить, что резервы времени работы
(i,
j),
показанные на рис. 6.6, могут состоять из
двух временных отрезков, если интервал
продолжительности работы t(i,
j)
занимает
промежуточную позицию между двумя его
крайними положениями, изображенными
на графиках.

Таким
образом, если
частный резерв времени первого вида
может быть использован на увеличение
продолжительности данной и последующих
работ без затрат резерва времени
предшествующих работ, а свободный резерв
времени — на увеличение продолжительности
данной и предшествующих работ без
нарушения резерва времени последующих
работ, то независимый резерв времени
может быть использован для увеличения
продолжительности только данной работы.

Работы,
лежащие на критическом пути, так же как
и критические события, резервов времени
не имеют.

Если
на критическом пути лежит начальное
событие i,
то

R_п(i,
j)
=R₁(i,
j).
(6.18)

Если
на критическом пути лежит конечное
событие j,
то

R_п(i,
j)
=R_с(i,
j).
(6.19)

Если
на критическом пути лежат начальное и
конечное события i
и j,
но
сама работа не принадлежит этому пути,
то

R_п(i,
j) =R₁(i,
j)=R_с(i,
j) =R_н(i,
j). (6.20)

Соотношения
(6.18) — (6.20) можно использовать при проверке
правильности расчетов резервов времени
отдельных работ.

Задача
2.
Вычислить временные параметры работ
для сетевого графика, изображенного на
рис. 6.4.

Результаты
расчетов сведем в табл. 6.3.

Вычисление
временных параметров работы (i,
j)
покажем
на примере работы (1,
4):

ранний
срок начала работы (по формуле (6.16)):
t_pн(1,4)=t_р(1)=8(суток),

ранний
срок окончания работы (по формуле 6.17):
t_pо(1,4)=t_р(1)+t(1,4)=
=8+6=14
(суток);

поздний
срок начала работы (по формуле 6.19):
t_пн(1,4)=t_п(4)-t(1,4)=
26
—6 = 20 (суток), где t_n(4)
= 26
(см. табл. 6.2);

поздний
срок окончания работы (по формуле 6.18):
t_по(1
4)=t_п(4)=26(суток).

Таким
образом, работа (t,
4) должна
начаться в интервале [8; 28] (суток) и
окончиться в интервале [12; 26] (суток) от
начала выполнения проекта.

Полный
резерв работы (1,
4) (по формуле
6.11): R_n(1,4)=t_п(4)-t_p(1)-
—t(1,4)
= 26-8-6=12
(суток), т.е. срок выполнения данной
работы можно увеличить на 12 суток, при
этом срок выполнения комплекса работ
не изменится.

Таблица
6.3

№ п/п	Работа (i,j)	Продолжитель- ностьработы t(i,j)	Сроки начала и окончания работы	Резервы времени работы
tрн(i,j)	tрo(i,j)	tпн(i,j)	tпо(i,j)	Rп(i,j)	Rj(i,j)	Rc(i,j)	Rн(i,j)
1	(0,1)	8	0	8	1	9	1	1	0	0
2	(0,3)	13	0	13	0	13	0	0	0	0
3	(0,5)	9	0	9	11	20	11	11	11	11
4	(1,2)	9	8	17	31	40	23	22	0
5	(1,4)	6	8	14	20	26	12	11	9	8
6	(1,3)	4	8	12	9	13	1	0	1	0
7	(2,7)	3	17	20	40	43	23	0	13
8	(3,4)	10	13	23	16	26	3	3	0	0
9	(3,5)	7	13	20	13	20	0	0	0	0
10	(3,6)	б	13	19	23	29	10	10	10	10
11	(4,7)	8	23	31	35	43	12	9	2	—
12	(4,6)	3	23	26	26	29	3	0	3	0
13	(5,6)	9	20	29	20	29	0	0	0	0
14	(5,8)	10	20	30	28	38	8	8	7	7
15	(5,9)	6	20	26	36	42	16	16	16	16
16	(6,7)	4	29	33	39	43	10	10	0	0
17	(6,10)	5	29	34	43	48	14	14	14	14
18	(6,9)	13	29	42	29	42	0	0	0	0
19	(6,8)	8	29	37	30	38	1	1	0	0
20	(7,10)	5	33	38	43	48	10	0	10	0
21	(8,9)	4	37	41	38	42	1	0	1	0
22	(9,10)	6	42	48	42	48	0	0	0	0
23	(9,11)	17	42	59	44	61	2	2	2	2
24	(10,11)	13	48	61	48	61	0	0	0	0

Покажем
на примере работы (1,
4), что
полный резерв времени работы равен
продолжительности максимального из
путей, проходящих через данную работу.

Через
работу (1,
4)
проходят
семь полных путей (см. рис. 6.4):

	Путь	Продолжительность, сутки
L1	0→1→4→6→7→10→11	39
L2	0→1→4→6→8→9→10→11	48
L3	0→1→4→6→8→9→11	46
L4	0→1→4→6→9→10→11	49
L5	0→1→4→6→9→11	47
L6	0→1→4→6→10→11	35
L7	0→1→4→7→10→11	40

Отсюда
максимальным из путей, проходящих через
работу (1,
4),
является
путь L₄
продолжительностью
49 (суток), резерв времени которого (по
формуле (6.10)) R(L₄)
=61-49=12
(суток).

Как
видим, полный резерв времени работы (1,
4)
оказался
равным резерву пути L₄
–
максимального из путей, проходящих
через эту работу. Если увеличить
продолжительность выполнения работы
t(1,
4) на
12 суток, т.е. с 6 до 18 суток, то полностью
будет исчерпан резерв времени пути L₄
, т.е.
этот путь станет также критическим, а
резервы времени других путей уменьшатся
соответственно на 12 суток.

Частный
резерв времени работы (1, 4)
первого
вида определим по формуле (6.12) (или по
формуле 13): R₁(1,
4) = t_n(4)-t_n(1)=t(1,
4)= 26-9-6=11
(суток) (или R₁(1,
4)
=
R_n(1,
4)
– R_n(1,4)-R(1)
= 12
— 1 = 11 (суток), т.е. при сохранении общего
срока выполнения проекта на 11 суток
может быть задержано выполнение работы
(1, 4)
и
последующих работ (по любому из путей
L₁,
l₂,,
…,
L₇)
без затрат резерва времени предшествующих
ей работ (в данном случае без затрат
резерва времени одной предшествующей
работы (0,1)).

Частный
резерв времени второго вида, или свободный
резерв времени, работы (1,
4) найдем
по формуле (6.14) (или 6.15)): R_c(1,
4)
= t_p(4)-t_p(1)
— —t(l,4)
= 23-8-6
= 9 (суток) (или R_c(1,
4)
= R_n(1,
4)-R(4)
= 12-3
= 9 (суток), т.е. при сохранении общего
срока выполнения проекта на 9 суток
может быть задержано выполнение работы
(1,
4) и
предшествующих ей работ (в данном случае
работы (0,
1)) без
нарушения резерва времени последующих
работ.

Независимый
резерв времени работы (1,
4)
определим
по формуле (6.16) (или (6.17)): R_H(1,
4) = t_p(4)-t_n(1)-t(1,
4) =
23-9-6 = 8 (суток) (или R_н(1,4)
=
=R_n(1,4)-R(1)-R(4)
= 12-1-3
= 8 (суток), т.е. на 8 суток может быть
увеличена продолжительность работы
(1,
4)
без
изменения резервов времени всех остальных
работ.

Обратим
внимание на то, что независимые резервы
работ (1,
2),
(2, 7) и
(4,
7) отрицательны
(в табл. 6.3 они обозначены прочерком).
Например, R_н(2,
7) =t_p(7)-t_n(2)-t(2,
7)
= 33-40-3 = -10. Это означает, что работа (2,
7) продолжительностью
3 (суток) должна закончиться на 33-и сутки
после начала комплекса работ, а начаться
на 40-е сутки, что, естественно, невозможно.

Подчеркнем,
что резервы критических работ (0,
3), (3, 5), (5, 6), (6, 9), (9, 10), (10, 11), так
же как и резервы критических событий,
равны нулю.

Следует
отметить, что в случае достаточно простых
сетевых графиков результаты расчета
их временных параметров можно фиксировать
прямо на графике. Параметры событий
записываются в кружках, разделенных на
четыре части, а параметры работ –
над соответствующими стрелками (рис.
6.7). При этом отпадает необходимость
составления таблиц.

Анализ сетевой модели

Параметры сетевой
модели. Параметрами сетевой модели являются:

Наиболее раннее возможное время наступления -го события
определяется следующей рекуррентной формулой:

где —
продолжительность -й
работы; — множество событий, предшествующих -му событию.

Вычисления по формуле (14.1) выполняются шаг за шагом, двигаясь в порядке
нумерации событий.

Самое позднее допустимое время наступления события
определяется с помощью аналогичной рекуррентной формулы, но обращаясь не
к предшествующим, а к последующим событиям.

где —
множество событий, следующих за -м событием.

Для определения по формуле (14.2) надо двигаться от
конечного события к исходному событию 0, при
этом .

Резервом времени данного события называется
разность между и , которая вычисляется по формуле

Полный резерв времени работы вычисляется по формуле

Свободный резерв времени работы вычисляется по формуле