По гистограмме приблизительно оцените среднее время работы чайника в годах

Как оценить среднее значение и медиану любой гистограммы

1.

04.03.2023г
Классная работа
Гистограмма

2.

Повторение
Определение
• Частота результата = (сколько раз результат встретился) : (общее
количество измерений)
Например: Всего измерений данных — 19
Один и тот же результат А встретился 5 раз.
Значит, частота данного результата А равна 5:19 ≈ 0,26

3.

Повторение
Определение
Процентная частота = частота · 100%
Например: если частота результата равна 5:19 ≈ 0,26,
то процентная частота будет равна:
0,26 · 100 = 26%
Часто ответы для процентных частот могут быть не
точными, а приближенными

4.

Повторение
Определение
• Диаграмма – графическое представление данных. В отличие от
таблиц, диаграммы не передают информацию совершенно
точно, зато они наглядны и позволяют сравнивать величины
быстро – на глаз. Самые распространенные виды диаграммы круговые и столбчатые.

5.

Повторение
Определение
• Когда различных результатов измерений слишком много,
их
объединяют в группы – применяют группировку данных .
• Чтобы сгруппировать данные, нужно разбить прямую на одинаковые
промежутки – интервалы группировки. Длина интервала называется
шагом группировки. Затем надо подсчитать, сколько значений или
какая доля значений попала в каждый интервал. Долю значений,
попадающих в каждый из интервалов, называют частотой
попадания в интервал, поскольку она показывает, как часто значение
попадает в этот интервал. Частоты выражают в долях единиц.
• Сумма всех частот равна единице
• Данные заносят в таблицу и строят диаграммы частот, которые
называются гистограммы.

6.

Примеры
Табл. 1 Рост девушек, см (малая выборка)
164
167
170
164
160
168
163
164
170
167
171
165
166
164
169
158
166
159
165
167
На основе данных исследования построим гистограмму. Для этого нужно
сгруппировать данные и найти частоту. Выберем шаг группировки 1 см и найдем
частоту для каждого интервала значений
Табл. 2 Группировка данных и нахождение частот (малая выборка)
Рост (см), с
158 159 160
шагом 1 см
количество
1
1
1
повторений
частота
0,05 0,05 0,05
(доля)
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
0
0
1
4
2
2
3
1
1
2
1
0
0
0,05
0,2
0,1
0,1
0,15
0,05
0,05
0,1
0,05

7.

рост
158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171
кол-во
1
1
0
0
1
4
2
2
3
1
1
2
1
1
повторений
0 0,05 0,2 0,1 0,1 0,15 0,05 0,05 0,1 0,05
частота
0,05 0,05 0,05 0
Гистограмма роста, 20 измерений

8.

Табл. 3 Рост девушек, см (средняя выборка)
164
167
161
158
163
170
164
169
166
169
160
168
162
168
161
163
164
170
167
162
170
167
168
161
163
171
165
165
167
160
166
164
165
165
166
169
158
166
168
169
166
159
164
165
172
165
167
173
164
160
Когда данных много, и они почти не повторяются, обычные
диаграммы непригодны. В таких случаях для наглядного
представления и изучения изменчивости данных строят
гистограмму – диаграмму частот. Данные группируются по
величине, вычисляется частота (доля) данных в каждом
интервале группировки, и уже по найденным частотам строится
столбиковая диаграмма.

9.

Табл. 3 Рост девушек, см (средняя выборка)
164
167
161
158
163
170
164
169
166
169
160
168
162
168
161
163
164
170
167
162
170
167
168
161
163
171
165
165
167
160
166
164
165
165
166
169
158
166
168
169
166
159
164
165
172
165
167
173
164
160
Табл. 2 Группировка данных и нахождение
относительных частот(средняя выборка)
158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173
4
4
3
1
1
1
2
1
3
3
1
4
6
6
5
5
0.04 0.02 0.06 0.06 0.02 0.08 0.12 0.12 0.1 0.1 0.08 0.08 0.06 0.02 0.02 0.02

10.

Гистограмма роста, 50 измерений

11.

Гистограмма роста, 300 измерений
Колоколообразная
кривая
Очень малые и очень
большие значения редки,
большая часть наблюдений
концентрируется
вблизи
среднего значения.

12.

Гистограмма роста, 50 измерений
Задачи:
• №1.
Определите
долю
девушек,
рост
которых
не превышает 160см.
Решение:
Доля девушек с ростом, не
превышающим 160 см отражена
в 1, 2 и 3 столбце гистограммы
Значит, 0,04+0,02+0,06 = 0,12
Ответ: 0,12

13.

Гистограмма роста, 50 измерений
Задачи:
• №2. Определите какой процент
девушек имеет рост выше 170
см.
Решение:
Доля девушек с ростом выше 170 см
отражена в последних трех столбцах
гистограммы.
Значит, 0,02+0,02+0,02 = 0,06.
Переведем в проценты:
0,06 *100%=6%
Ответ: 6%

14.

Домашнее задание:
выполнить письменно в тетрадях по теории вероятностей
№1, №2, №3
№1.

15.

Домашнее задание:
Задание: Выразите частоту в процентах и постройте гистограмму
Интервал
времени,
мин
Кол-во
повторений
Частота
3 – 11
6
0,06
11 – 19
8
0,08
19 – 27
17
0,17
27 – 35
24
0,24
35 – 43
23
0,23
43 – 51
13
0,13
51 — 59
9
0,09
Процент
частоты
Гистограмма времени на дорогу в школу

16.

Домашнее задание:
№2.

17.

Домашнее задание:
1. Оцените приблизительно по
гистограмме среднее время
работы чайника.
2. Производитель определил
гарантийный срок 4 года.
Оцените, какая доля проданных
чайников выходит из строя в
течение гарантийного срока.
3. Каким должен быть
гарантийный срок, чтобы в
течение гарантийного срока из
строя выходило не более 10%
проданных чайников?

18.

Домашнее задание:
№3.

Примеры решения задач по статистике

Задача Статистическая сводка и группировка.

Теория по решению задачи.

Статистическая сводка – научно обработанный материал статистического наблюдения в целях получения обобщенной характеристики изучаемого явления.

Группировка – распределение единиц изучаемого объекта на однородные типичные группы по существенным для них признакам.

Интервал – разница между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.

, где

i – величина интервала;

R – размах колебания (R=xmax-xmin)

n – принятое число групп;

xmax, xmin – наибольшее и наименьшее значение признака в изучаемой совокупности.

, где

N – число наблюдений

Типовая задача № 1

Распределите потребительские общества по размеру товарооборота на 3 группы с равными интервалами. В каждой группе подсчитайте количество потребительских обществ, сумму товарооборота, сумму издержек обращения. Результаты группировок представьте в табличной форме. К какому виду статистических таблиц относится составление вами таблица, и какой вид группировки она содержит?

Имеются основные экономические показатели потребительских обществ за отчетный период:

Таблица № 1

№ п/п	Товарооборот в млн. грн.	Издержки обращения, в млн. грн.	Прибыль, в млн. грн.
1	390	14	40
2	190	8	15
3	180	8	15
4	450	16	42
5	200	10	20
6	390	14	40
7	180	10	13
8	250	11	25
9	330	12	25
10	240	8	21
11	300	11	24
12	230	10	15
13	420	12	36
14	190	14	12
15	450	15	42
16	200	8	23
Итого	4590	181	408

Ход решения задачи:

Т. к. нам известен группировочный признак, работу необходимо начать в определения величины интервала по формуле:

Образец 3 группы потребительских обществ по размеру товарооборота.

Определяем границы групп:

1 группа: 180+90=270 (180-270)

2 группа: 270+90=360 (270-360)

3 группа: 360+90+450 (360-450)

После того, как выбран группировочный признак, намечено число групп и образованы сами группы, необходимо отобрать показатели, которыми будут характеризоваться группы, и определить их величину по каждой группе.

В нашем примере каждую группу необходимо охарактеризовать следующими показателями:

а) количеством потребительских обществ;

б) суммой товарооборота;

в) суммой издержек обращения.

Для заполнения итоговой таблицы составим предварительно рабочие таблицы № 2, 3, 4.

Группа потребительских обществ с товарооборотом от 180 до 270 млн. грн.

Таблица № 2

№ п/п	Номер потребительского общества	Товарооборот, в млн. грн.	Сумма издержек обращения, в млн. грн.
1	2	190	8
2	3	180	8
3	5	200	10
4	7	180	10
5	8	250	11
6	10	240	8
7	12	230	10
8	14	190	14
9	16	200	8
Итого	9	1860	87

Группа потребительских обществ с товарооборотом от 270 до 3660 млн. грн.

Таблица № 3

№ п/п	Номер потребительского общества	Товарооборот, в млн. грн.	Сумма издержек обращения, в млн. грн.
1	9	330	12
2	11	300	11
Итого	2	630	23

Группа потребительских обществ с товарооборотом от 360 до 450 млн. грн.

Таблица № 4

№ п/п	Номер потребительского общества	Товарооборот, в млн. грн.	Сумма издержек обращения, в млн. грн.
1	1	390	14
2	4	450	16
3	6	390	14
4	13	420	12
5	15	450	15
Итого	5	2100	71

Итоговые показатели рабочих таблиц занесем в окончательную итоговую таблицу и получим групповую таблицу № 5.

Группировка потребительских обществ, по размеру товарооборота:

Таблица № 5

Группы потребительских обществ по размеру товарооборота, млн. грн.	Количество потребительских обществ	Товарооборот, в млн. грн.	Сумма издержек обращения, в млн. грн.
180-270	9	1860	87
270-360	2	630	23
360-450	16	4590	181

Вывод: По результатам итоговой таблицы можно сделать вывод, что с увеличением объема товарооборота потребительских обществ, относительный показатель уровня издержек обращения снижается. Следовательно, между ними существует обратная связь. Составленная нами таблица является групповой таблицей, т. к. ее подлежащее содержит группы потребительских обществ по размеру товарооборота. Она содержит аналитический вид группировки.

Задача — Ряды распределения и статистические таблицы.

Теория по решению задачи.

Статистический ряд распределения – упорядоченное распределение единиц совокупности на группы по определенному варьирующему признаку.

Дискретный вариационный ряд – характеризует распределение единиц совокупности по дискретному (прерывному) признаку.

Интервальный вариационный ряд – характеризует распределение единиц совокупности по интервальному (непрерывному) признаку.

Для изображения дискретных вариационных рядов распределения используется «полигон распределения». Для графического изображения интервального вариационного ряда применяются «гистограмма» и «кумулята».

Задача 1.

На экзамене по истории студенты получили оценки:

3 4 4 4 3 4

3 4 3 5 4 4

5 5 2 3 2 3

3 4 4 5 3 3

5 4 5 4 4 4

Построить дискретный вариационный ряд распределения студентов по баллам и изобразить его графически.

Ход решения задачи:

Определяем элементы ряда распределения: варианты, частоты, частоты.

Оценка, баллы	Кол-во студентов с такой оценкой, человек	В процентах к итогу
2	2	6,7
3	9	30
4	13	43,3
5	6	20
Итого	30	100

Теперь графически изобразим дискретный ряд распределения в виде помпона распределения.

 

Можно сделать вывод о том, что преобладающее большинство студентов получило «4» (43,3 %).

Задача 2.

Во время выборочной проверки было установлено, что продолжительность одной покупки в кондитерском отделе магазина была такой: (секунды).

77 70 82 81 81

82 75 80 71 80

81 89 75 67 78

73 76 78 73 76

82 69 61 66 84

72 74 82 82 76

Построить интервальный вариационный ряд распределения покупок по продолжительности, создав 4 группы с одинаковыми интервалами. Обозначить элементы ряда. Изобразить его графически, сделать вывод.

Ход решения задачи по статистике:

Определяем элементы ряда распределения: варианты, частоты, частости, накопленные частоты.

Но прежде рассчитаем границы 4 заданных групп с одинаковыми интервалами:

Величину интервала определим по формуле .

В нашем случае

Границы групп соответственно равны:

I 61+7=68 (61-68)

II 68+7=75 (68-75)

III 75+7=82 (75-82)

IV 82+7=89 (82-89)

Группы покупок по продолжительности, сек.	Число покупок	В процентах к итогу	Накопленные частоты
61-68	3	10	3
68-75	9	30	12
75-82	16	53,3	28
82-89	2	6,7	30
Итого	30	100

Теперь графически отобразим наш интервальный вариационный ряд в виде гистограммы и кумуляты.

 

По таблице и графика можно сделать вывод о том, что преобладающее большинство покупок (16 или 53.3%) находится во временном интервале 75-82, сек.

Статистика задача — Абсолютные и относительные величины.

Теория по решению статистической задачи.

Абсолютные величины – показатели, которые выражают размеры общественных явлений и процессов числом единиц совокупности.

Относительные величины – показатели, выражающие количественные соотношения численностей или величин признаков изучаемых явлений.

Виды относительных величин:

1)  Относительная величина выполнения плана:

2)  Относительная величина планового задания:

3)  Относительная величина динамики:

4)  Относительная величина структуры:

5)  Относительная величина сравнения отражает соотношение двух объемов или уровней в пространстве: соотношение производства автомобилей в Украине и России, соотношение уровней оплаты труда в разных хозяйствах, соотношение уровней производительности на разных предприятиях отрасли и т. д.

6)  Относительная величина координации получается посредством деления друг на друга разноименных исходных показателей, она дает типичную характеристику соотношения одно-порядковых по значимости исходных показателей, во-первых, непосредственно связанных между собой, во-вторых, обладающих некоторой общностью.

7)  Относительная величина интенсивности:

Типовая задача № 1

Два консервных завода выработали по 100 тыс. шт. банок виноградного сока. На первом заводе емкость каждой банки составляет 500 см3, а на втором – 200 см3. Можно ли сказать, что оба завода работали одинаково?

Ход решения задачи по статистике:

Для того, чтобы ответить на этот вопрос необходимо установить коэффициенты перевода фактического объема банок в условные банки и затем умножить количество выпущенных банок на эти коэффициенты. Представим расчет в таблице № 1.

Таблица № 1

Заводы	Количество выпущенных банок, тыс. шт.	Объем банки см3	Коэффициенты перевода	Количество выпущенных условных банок, тыс. шт.
№ 1	100	500		100*1,414=141,4
№ 2	100	200		100*0,566=56,6

Таким образом, завод № 1 по сравнению с заводом № 2 выпустил виноградного сока на 84,8 тыс. Банок больше (141,4-56,6).

Статистика — Типовая задача № 2

Имеются следующие данные розничного товарооборота:

Таблица № 2

Универмаги	Розничный товарооборот (млн. грн.)
Фактически за базисный год	Отчетный год
По плану	Фактически
«Крым»	105	110	98
«Центральный»	137	148	150

Определить:

1.  Относительную величину выполнения плана.

2.  Относительную величину планового задания.

3.  Относительную величину динамики.

Ход решения задачи:

1.  Определяем относительную величину выполнения плана по двум универмагам:

2.  Определим относительную величину планового задания:

3.  Определяем относительную величину динамики:

Статистическая задача — Средние и структурные средние величины.

Теория по решению статистической задачи:

Средние величины – это показатели. Выражающие типичные черты и дают обобщающую количественную характеристику уровня признака по совокупности однородных явлений.

1.  Средняя арифметическая:

2.  Средняя гармоническая:

3.  Средняя квадратическая:

4.  Средняя хронологическая:

5.  Средняя геометрическая:

К1, К2, К3 и Кn – коэффициенты динамики по отношению к предыдущему периоду.

6.  мода интервальных рядов распределения вычисляется по следующей формуле:

х0 – минимальная граница модального интервала;

i – величина интервала;

f2 – частота модального интервала;

f1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f3 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода для дискретных рядов распределения – это наиболее часто встречающаяся величина признака в данной совокупности.

7.  Медиана для интервальных рядов распределения вычисляется по формуле:

x0 – нижняя граница медианного интервала;

i – величина медианного интервала;

∑f – сумма частот ряда;

SМЕ-1 – сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

fМЕ – частота медианного интервала.

Чтобы определить медиану в дискретном вариационном ряду. Необходимо сумму частот разделить пополам и к полученному результату добавить ½.

Типовая задача № 1

Имеются следующие данные о заработной плате рабочих:

Таблица № 1

Месячная заработная плата (грн.) (х)	Число рабочих (f)	х*f
х1=120	27	3240
х2=145	33	4785
х4=200	48	9600
х5=208	51	10608
х6=250	16	4000
х7=337	28	9436
Итого	203	41669

Определите среднюю заработную плату одного рабочего.

Ход решения:

Среднюю заработную плату определим по формуле средней арифметической взвешенной:

Т. о. средняя заработная плата рабочего составила 205,27 грн.

Типовая задача (статистика) № 2

Имеются, следующие данные выпуска литья в литейном цехе завода за пятилетний период:

Таблица № 2

Годы	1-й	2-й	3-й	4-й	5-й
Выпуск литья, тонн	528,34	336,98	439,24	297,55	672,17
В % к предыдущему году	—	63,8	130,3	67,7	225,9

Требуется определить средний темп выпуска литья.

Ход решения задачи:

Для определения среднего темпа выпуска литья используем формулу средней геометрической:

Типовая задача № 3

Имеются следующие данные:

Таблица № 3

Група рабочих по размеру заработной платы (в грн.)	Число рабочих	SМЕ
150-200	28	28
200-250	54	82
250-300	30	112
300-350	47	159
350-400	63	222
400-450	18	240
450-500	22	262
Итого	262	—

Определить моду и медиану.

Ход решения задачи:

1.  Определяем моду:

2.  Определяем медиану:

Практические задачи  по статистике для самостоятельного решения с ответами

Задача по статистике 1.

Имеются следующие данные об урожайности зерновых культур:

Урожайность зерновых культур	Количество хозяйств
До 20	30
20-30	40
30-40	60
40 и выше	20

Определить среднюю урожайность зерновых культур, моду и медиану.

Ответ.

средняя урожайность: 30,3 ц/га

мода: 33,3

медиана: 30,8

Задача 2.

Годы	97г.	98г.	99г.	2000г.	2001г.
Производства зерна, тыс. тонн	150	168	179	186	191

Требуется определить: (цепным и базисным способом):

1)  абсолютный прирост;

2)  темп роста и прироста;

3)  средний абсолютный прирост;

4)  средние темпы роста и прироста.

Ответ 2.

цепным способом                             базисным способом

абсолютный прирост 18                      абсолютный прирост 18

11                                                        29

7                                                          36

5                                                          41

темп роста 1,12                                 темп роста 1,12

1,07                                                      1,19

1,04                                                      1,24

1,03                                                      1,27

темп прироста 0,12                            темп прироста 0,12

0,07                                                      0,19

0,04                                                      0,24

0,03                                                      0,27

средний абсолютный прирост: 31       средний абсолютный прирост: 31

средний темп роста 1,02                    средний темп роста: 1,05

средний темп прироста 0,02                средний темп прироста: 0,05

Задача 3.

Методом случайной повторной выборки было взято для проверки на вес 200 шт. деталей. В результате проверки был установлен средний вес детали 30 г. при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,954 требуется определить предел в котором находится средний вес деталей в генеральной совокупности.

Ответ.

Средний вес детали колеблется в пределах 29,44 ‹ х ‹ 30,56.

Задача 4.

По имеющимся данным определить индивидуальные и общий индексы себестоимости и экономию (перерасход) от снижения (роста) себестоимости.

Вид товара	Общие затраты, грн.	Имеющие единицы себестоимость в отчетном году, %
Базисный год	Отчетный год
Электробритва	9500	10244	-1,5
Электрофен	600	612	+2,0

Ответ.

Индивидуальный индекс себестоимости по электробритве 0,985

Индивидуальный индекс себестоимости электрофену 1,02

Общий индекс себестоимости 0,99.

Перерасход денежных средств от роста себестоимости 144 грн.

Задача 5.

Полная первоначальная стоимость оборудования 250,4 тыс. грн. Это оборудование может работать 20 лет при условии проведения в капитальных ремонтов на сумму 2,5 тыс. грн. каждый. После полного износа оборудования может быть реализовано как металлолом за 1 тыс. грн. Затраты на модернизацию в течении срока службы 62,6 тыс. грн. Определить сумму ежегодных амортизационных отчислений, общую норму амортизации.

Ответ.

Сумма ежегодных отчислений 16,6 тыс. грн.

Общая норма амортизации 6,6 %.

Задача по статистике 6.

Определить календарный, режимный, располагаемый (плановый) и фактический фонды станочного времени по 2 видам станков и коэффициенты использования станочного времени за апрель по таким данным:

Виды станков	Количество установленных станков	Фактически отработано станкочасов	Запланировано на ремонт станков, станкочасов
Токарные	48	15127	60
Фрезерные	52	16420	80

Число рабочих дней в апреле 22. Режим работы – 2 смены. Установленная продолжительность смены: 8 часов.

Ответ.

Календарный фонд 72000 станкочасов

Режимный фонд 35200 станкочасов

Плановый фонд 35060 станкочасов

Фактический фонд 31547 станкочасов

Коэффициент использования календарного фонда 43,8 %

Коэффициент использования режимного фонда 89,6 %

Коэффициент использования планового фонда 90 %

Задача 7.

В квартале 62 рабочих дня, отработало 136400 человеко-дней; целодневные простои 930 человеко-дней; неявок по различным причинам (включая праздничные и выходные) 69670 человеко-дней. Определить: коэффициенты использования среднесписочной и среднеявочной численности.

Ответ.

К использования среднесписочной численности 0,96 %

Коэффициент использования среднеявочной численности 0,99 %

Задача 8.

На заводе с численностью персонала 3000 человек производительность труда выросла на 25 %, а на заводе, где работают 5000 человек, снизилась на 5 %. Как изменилась производительность труда на 2-х заводах вместе.

Ответ.

Увеличилась на 6 % производительность на двух заводах.

Задача 9 по статистике

Объем продукции в натуральном выражении на предприятии вырос за отчетный период на 28 %, а производственные затраты в целом возросли на 19 %. Определить как изменилась себестоимость единицы продукции.

К задаче 9 ответ

Себестоимость единицы продукции снизилась на 7 %.

Задача 10.

Какой была численность населения в начале и конце года, если среднегодовой показатель ее за этот год составил 800 тыс. человек, сальдо миграции + 32 тысячи человек, коэффициент естественного прироста 30 % 0.

Ответ — Численность на начало года 772000 человек.

К задаче 10.

Численность на конец года 828000 человек.

В 9 классе по учебнику Алгебра-9 под ред.
Дорофеева Г. В. учащиеся завершают изучение
вероятностно-статистической линии всего курса
основной школы. Здесь осуществляется переход от
описательной статистики к начальному знакомству
с математической статистикой. В последней теме
курса основной школы учащиеся изучают примеры
комплексных статистических исследований, в ходе
которых используются полученные  ранее знания
о случайных экспериментах, способах
представления данных и статистических
характеристик, а также вводятся некоторые новые
понятия, отражающие специфику данного
исследования.

При решении задач учащимся придется выполнять
много математических расчетов. Актуальным
становится и умение находить отношение величин и
выражать их в процентах. Придется также
планировать собственную деятельность, понимать
содержание описанного алгоритма и
самостоятельно действовать в соответствии с его
этапами. Поэтому изучение этого раздела даст
серьезный импульс для совершенствования
вычислительных умений школьников, развития
алгоритмического мышления.

При описании исследования используются уже
известные учащимся вероятностно-статистические
понятия, а также вводятся некоторые новые. Новые
понятия возникают естественным путем, когда
этого требует логика изложения. В связи с этим по
ходу ознакомления с материалом полезно
составлять словарь новых терминов. Он будет
выглядеть так: генеральная совокупность,
выборочное исследование, репрезентативная
выборка, ранжирование данных и т.д. Надо
стремиться к тому, чтобы учащиеся понимали
выписанные термины и могли использовать их в
речи.

Цель задач этого пункта – осознание
приемов проведения статистических исследований,
освоение введенных терминов. Каждая из задач
является комплексной, многошаговой. Проведение
исследований, составляющих содержание задач, как
и реальных статистических исследований, должно
осуществляться в ходе коллективной работы.
Результаты исследования какой-либо из групп
должны быть представлены в классе для общего
обсуждения.

Задача № 675

Закинул старик в реку невод. Пришел невод с
таким уловом (в порядке вытаскивания):
П, О,Л, С, Я, П, К, О, З, К, П, К, Я, С, О, П, П, Л, О, О, Л, С, О,
П, Л, П, К, Л, К, П, П, С, П, П, З, К, Я, П, З, С, О, О, Я, П, П,
О, Л, С, Л, С, П, О, П, Л, К, С, О, Я, Л, П, С, О, Л, П, О, К, Л,
П, О, О, П, О, Я, Л, П, С, П, О, Л, П, З.  Буквами
обозначены: З – Золотая рыбка; К — Карась; Л – Лещ;
О – Окунь; П – Пескарь; С – Сом; Я – Язь.

а) Произведите ранжирование ряда данных в
алфавитном порядке.
б) Составьте таблицу относительных частот.
в) Какой процент пойманной рыбы составляют
золотые рыбки?
г) Используя полученную стариком выборку,
оцените, какие виды рыб наиболее и наименее
распространены в местах, где старик закинул
невод.

Решение.

а) Ранжируем числовые данные в алфавитном
порядке.

З, З, З, З;   
К, К, К, К, К, К, К, К; 
Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л, Л;
О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О, О; 
П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П, П;
С, С, С, С, С, С, С, С, С, С;
Я, Я, Я, Я, Я, Я.

б) Составим таблицу относительных частот.

Вид рыбы	З	К	Л	О	П	С	Я
Частота	4	8	13	17	22	10	6
Относительная частота, %	5	10	16	21	28	12	8

в) 5 % всей рыбы составляют золотые рыбки.

г) Более распространены в местах лова: лещи,
окуни, пескари; менее – караси, язи, золотые
рыбки.

Задача № 676

В детском обувном магазине за декаду было
куплено 750 пар обуви. Кладовщик Калошин проводил
статистическое исследование и с этой целью
записывал размеры каждой пятой из затребованных
пар. Эти числа составили следующий ряд данных: 23,
24, 16, 21, 18, 17, 20, 23, 18, 16, 19, 18, 22, 19, 21, 17, 24, 15, 23, 19, 16, 22, 18,
24, 19, 17, 22, 19, 15, 23, 21, 23, 19, 23, 17, 22,16, 19, 22, 18, 20, 15, 21, 23, 19, 18,
23, 22, 20, 17, 19, 23, 21, 24, 22, 23, 20, 22, 21, 18, 16, 19, 22, 23, 20, 24, 21, 19,
24, 16, 20, 23, 24, 18 22, 17, 15, 21, 24, 20, 19, 17, 21, 20, 15, 23, 24, 18, 16, 22, 23,
24, 21, 15, 23, 22, 20, 23, 19, 20, 17, 22, 19, 20, 24, 15, 23, 18, 22, 23, 15, 21, 24,
19, 18, 19, 17, 15, 19, 23, 20, 17, 22, 23, 20, 18, 22, 19, 20, 18, 19, 24, 18, 16, 21,
24, 17, 15, 20, 22, 21, 24, 22, 18, 22, 18, 24, 15, 21.

а) Постройте таблицу частот.
б) Определите моду ряда (самый распространенный
размер).
в) Постройте диаграмму частот.
г) Найдите средний размер по этой выборке.

Решение.

а) Сначала при просмотре всей выборки выясним,
какие в ней встречаются размеры, и расположим их
в порядке возрастания: 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24.
Далее подсчитаем количество пар каждого размера
в выборке (т.е. частоту появления каждого размера)
и сведем данные в таблицу

Размер обуви	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
Частота	12	8	11	16	19	15	14	19	20	16

Подсчеты можно вести с помощью ранжирования
ряда.

б) Мода данного ряда – число 23.

в) Воспользуемся данными таблицы для
построения диаграммы частот, в которой по
горизонтальной оси отложены номера имеющихся
размеров, по вертикальной оси – количество пар
каждого размера.

г) Найдем средний размер. Для этого сначала
вычислим сумму всех членов ряда: 15 ·12 + 16 · 8 + 17· 11 +
18 · 16 + 19 · 19 + 20 · 15 + 21 · 13 + 22 · 19 + 23 · 20 + 24 ·16 = 3000,
затем общее количество ленов ряда. Это удобно
сделать, сложив частоты: 12 + 8 + 11+ +16 + 19 + 15 + 14 + 19 + 20 +
16 = 150, далее, разделив первый результат на второй,
получим средний размер: 3000 / 150= 20.

Задача № 677

На некотором маршруте метрополитена провели
исследование пассажиропотока. Для этого каждый
час в случайно выбранном вагоне электропоезда на
протяжении всего пути считали число пассажиров
разных возрастов. Результаты исследования 
представлены в следующей таблице.

Время Возраст	6 ч 30 мин	7 ч 30 мин	8 ч 30 мин	9 ч 30 мин	10 ч 30 мин	11 ч 30 мин
До 7	1	3	5	13	16	11
7-10	3	5	15	20	11	5
10-20	9	11	20	18	15	7
20-30	15	25	38	35	17	15
30-40	12	36	50	42	37	18
40-50	15	31	43	36	29	12
50-60	4	9	24	17	16	14
60-70	1	4	5	5	6	6
Старше 70	0	2	0	3	1	2

а) Определите час пик – время, когда в вагоне
едут максимальное число людей.
б) Найдите время, когда  относительная частота
возрастной категории от 30-40 лет максимальна.
в) Какой процент пассажиров вагона,
отправившегося в 11ч 30 мин, составляют люди в
возрасте от 20 до 50 лет?

Решение.

а) Чтобы определить час пик, найдем общее
количество людей, едущих в вагоне, каждый час. Для
этого проссумируем данные таблицы по столбцам.

Время	6 ч 30 мин	7 ч 30 мин	8 ч 30 мин	9 ч 30 мин	10 ч 30 мин	11 ч 30 мин
Количество людей	60	126	200	189	146	90

Из выборки видно, что час пик наступает в 8ч 30
мин.
б) Сначала найдем относительную частоту
указанной возрастной категории за каждый час.
Для этого, воспользовавшись исходной таблицей и
таблицей  из пункта а), вычислим отношение
числа людей данного возраста к общему числу
людей в вагоне.

Время	6 ч 30 мин	7 ч 30 мин	8 ч 30 мин	9 ч 30 мин	10 ч 30 мин	11 ч 30 мин
Относительная частота числа людей в возрасте от 30 до 40 лет (в долях и в процентах)	1/5 (20 %)	2/7 (29 %)	? (25 %)	14/63 (22 %)	? (25 %)	1/5 (20%)

Таким образом, искомое время – 7 ч 30 мин.
в) В вагоне, отправляющемся в 11 ч 30 мин, находятся
15 + 18 + 12 =  45 пассажиров в возрасте от 20 до 50 лет.
Они составляют 45/90 = 0,5, т.е. 50 % пассажиров вагона.

Задача № 678

Девятиклассники отгадывали кроссворд (каждый
самостоятельно). После этого они сравнили число
неразгаданных слов. Данные представлены в
таблице:

Имя	Вася	Петя	Валя	Катя	Гена	Аня	Гоша	Вера	Оля	Дима	Галя	Паша	Таня	Зоя	Боря	Лена	Тоня	Ваня
Число неразгаданных слов	3	2	1	2	4	3	1	2	3	3	2	4	3	2	4	2	1	3

а) Для каждого количества неразгаданных слов
найдите число ребят, не отгадавших ровно
столько-то слов.
б) Какая величина для каждого исхода будет
определена, если каждое из чисел, найденных в
пункте «а», разделить на число ребят в классе?
в) Составьте таблицу относительных частот.
г) Постройте полигон относительных частот.
д) Найдите процент ребят, не разгадавших более
двух слов.
е)Найдите среднее число слов неразгаданных в
кроссворде.

Решение.

а)

Неразгаданные слова	1	2	3	4
Число ребят	3	6	6	2

б) Если каждое из чисел, найденных в пункте «а»,
разделить на число ребят в классе, то получится
частота появления события « число ребят,
неразгадавших столько-то слов».

в)

Неразгаданные слова	1	2	3	4
Число ребят	3	6	6	2
Относительная частота, %	18	35	35	12

г) Полигон относительных частот.

 

д) Не разгадали более двух слов 35 % + 12 % = 47 %
учащихся.

е) Среднее число неразгаданных слов (1 · 3 + 2 · 6 + 3
· 6 + 4 · 12) : 17 = 81 : 17 ~ 4 слова

Задача № 679

Известно, что «о» – самая распространенная
гласная в русском языке. Прочитайте отрывок из
петербургской повести А.С. Пушкина «Медный
всадник»:

На берегу пустынных волн
Стоял он, дум великих полн,
И вдаль глядел. Пред ним широко
Река неслася; белый челн
По ней стремился одиноко.
По мшистым, топким берегам
Чернели избы здесь и там,
Приют убого чухонца;
В тумане спрятанного солнца,
Кругом шумел.
И думал он:
Отсель грозить мы будем шведу,
Здесь будет город заложен
Назло надменному соседу.
Природой здесь нам суждено
В Европу  прорубить окно,
Ногою твердой встать при море.
Сюда по новым им волнам
Все флаги в гости будут к нам,
И запируем на просторе.

а) Подтверждает ли этот отрывок правильность
утверждения, приведенного в условии задачи?
б) Сравните относительные частоты гласный «у» и
«и» в стихотворении.
в) Постройте полигон относительных частот
появлении гласных в этом отрывке.

Решение.

а) Для каждой гласной подсчитаем, сколько раз
она встречается в тексте.

Гласная	а	я	у	ю	о	ё	ы	и	э	е
Частота	23	5	21	3	47	2	8	24	0	35

Из таблицы видно, что гласная «о» действительно
встречается в тексте чаще, чем любая другая
гласная.

б) Всего в стихотворении 23 + 5 + 47 + 2 + 21 + 3 + 8 + 24 + 0 + 35
= 168 гласных.
Относительная частота буквы «у» равны 21:168,
относительная частота буквы «и» – 24 : 168.
следовательно, относительная частота буквы «и»
больше.

в) Сначала найдем относительную частоту
появления каждой буквы (в процентах).

Гласная	а	я	у	ю	о	ё	ы	и	э	е
Относительная частота, %	14	3	13	2	28	1	5	14	0	21

Теперь построим полигон относительных частот.

Задача № 680

Фирма «Буренка и компания» производит молоко
разной жирности. Объемы продаж за месяц сведены в
диаграмме.

а) Определите наиболее популярный сорт молока.
б) Какой процент проданного количества молока
составляет полностью обезжиренное?
в) Считая, что всего было продано 40 000 литров
молока, составьте таблицу частот.
г) Определите средний процент жирности
потребляемого молока.

Решение.

а) Наиболее популярный сорт молока 3,5 % жирности.
б) Полностью обезжиренное молоко составляет 10 %.
в) Составим таблицу частот, считая, что было
продано 40 000 литров молока.

Жирность молока, %	0,0	0,5	1,0	1,5	2,5	3,5	5,0
Относительная частота, %	10	5	5	15	20	30	15
Частота (всего 40 000 литров молока)	4 000	2 000	2 000	6 000	8 000	12 000	6 000

г) Средний процент жирности потребляемого
молока.

(4000 · 0 + 0,5 · 2 000 + 2 000 · 1,0 + 1,5· 6 000 + 2,5 ·
8 000 + 3,5 · 12 000 + 5 · 6 000) : 40 000 = 104 000 :
40 000 = 2,6 %.

Задача № 681

Администрация города опубликовала данные о
числе комнат в квартирах горожан. Результаты
показаны в диаграмме.

Чтобы проверить эти данные, представители
независимой организации ста прохожим на улице
задали вопрос: «Сколько комнат в вашей
квартире?». Ниже приведены ответы в порядке
поступления: 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 2, 4, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 2, 5, 1, 1,
2, 5, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 6, 1, 1, 6, 2, 3, 1, 2, 1, 4, 2, 1, 1, 3, 1, 2, 2, 5, 4, 2, 1,
2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 4, 1, 1, 2, 4, 1, 1, 2, «. 4, 3, 3, 6, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 1,
5, 3, 1, 2, 2, 2, 5, 1, 3, 1, 2, 4, 2, 3, 6, 3, 2, 4.
Соответствуют ли данные, полученные по выборке,
приведенной диаграмме?

Решение.

Ранжируем числовые данные в порядке
возрастания. В результате ранжирования ряд
примет вид:

1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
4 4 4 4 4 4 4 4 4 4
5 5 5 5 5
6 6 6 6 6 , всего опрошенных 100 человек.

Составив таблицу относительных частот.

Число комнат	1	2	3	4	5	6
Частота	30	35	15	10	5	5
Относительная частота, %	30	35	15	10	5	5

Построим диаграмму частот.

Диаграмма исходная и получившаяся совпадают,
то данные полученные по выборке соответствуют
приведенной диаграмме.

Ответ: соответствуют.

Задача № 682

Среди учащихся школы был проведен опрос на тему
«Трудно ли вам учиться?». Опросили мальчиков –
учеников 9 класса. Как вы думаете, можно ли
считать эту выборку учеников репрезентативной:

а) если нужно выяснить степень нагрузки в целом
по школе?
б) если нужно получить данные по 9 классу?

Решение.

а) Для получения объективных данных по школе,
нужно, чтобы в опросе участвовали учащиеся всех
классов, а не только девятиклассники.
Следовательно, выборка не является
репрезентативной.
б) Нет, так как в опросе не участвовали девочки.

Задача № 683

Определите, является ли репрезентативной
выборка:

а) число автомобильных аварий в июне, если
необходимо составить статистический отчет по
авариям в городе за год;
б) городские жители при подсчете числа
автомобилей на душу населения в стране;
в) люди в возрасте от 40 до 50 лет при выяснении
рейтинга молодежной телепрограммы.

Решение.

а) Выборка не является репрезентативной. Летом
нет снега и наледи на дорогах, а это одна из
основных причин аварий.
б) Выборка не является репрезентативной. Понятно,
что в городе машин намного больше, чем в сельских
районах. Это необходимо учитывать.
в) Выборка не является репрезентативной. Люди в
возрасте от 40 до 50 лет едва ли проявят интерес к
программе, ориентированной на молодежную
аудиторию. При использовании такой выборки,
рейтинг может сильно упасть, но это не отразит
реального положения вещей.

Задача № 684

Статистика аварий говорит о том, что за 10 лет
пришествия на самолетах авиакомпании ABC
происходили в три раза чаще, чем у компании DEF, но
в два раза реже, чем на лайнерах компании GHI.

а) Определите относительную частоту
происшествий на самолетах компании DEF.
б) Постройте диаграмму относительных частот
аварий.
в) Если всего за 10 лет случилось 300 происшествий,
то сколько пришлось на каждую компанию?

Решение.

а) Пусть на самолетах компании DEF произошло х
аварий. Тогда на самолетах компании ABC произошло 3х
аварий, а на самолетах компании GHI – 6х
аварий. Всего произошло 10х аварий.
Относительная частота происшествий на самолетах
компании DEF составляет х : 10х = 0,1, т.е. 10 %.

б) Составим таблицу относительных частот.

Авиакомпания	ABC	DEF	GHI
Относительная частота аварий, %	30	10	60

Построим диаграмму относительных частот: по
горизонтальной оси укажем названия
авиакомпаний, а по вертикальной оси –
относительную частоту.

в) Вычислим количество происшествий за 10 лет.

Авиакомпания	ABC	DEF	GHI
Количество аварий	90	30	180

Затем учащиеся знакомятся с понятием
интервальный ряд и гистограмма. Особо стоит
обратить внимание на то, что при построении
интервального ряда можно по-разному 
разбивать его на промежутки. Поэтому при решении
одной и той же задачи могут получаться разные
гистограммы, а также различные средние
арифметические.
Для того чтобы подчеркнуть эту особенность
построения интервальных рядов, следует
специально создать соответствующую ситуацию.
Вообще при построении интервального ряда
годятся любое разумное число промежутков и любая
удобная длина интервалов.

Задача № 685

Используя таблицу из задачи № 677, постройте
гистограмму частот по возрастам пассажиров для
поезда, отправляющегося в 6 ч 30 мин.

Решение.

Время Возраст	6 ч 30 мин
До 7 лет 7-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 Старше 70	1 3 9 15 12 15 4 1 0

Построим гистограмму частот.

Задача № 686

На гистограмме представлены данные о площадях
квартир в одном из микрорайонов города N.

а) Составьте таблицу частот для средних
значений каждого интервала, указанного на
гистограмме, если всего в выборке 1500 квартир.
б) Найдите среднюю площадь квартиры в
исследуемом микрорайоне.

Решение.

а) Срединное значение для каждого интервала
найдем как среднее арифметическое значений на
концах интервала. Соответствующее значение
частот получим, умножив число 1500 на процент
квартир для этого интервала.
Например, для интервала от 25-35 срединное значение
равно (25 + 35) : 2 = 30. По исходной гистограмме
определяем, что квартиры такой площади
составляют 20 %. Их количество равно: 1500 · 0,2 = 300.

Срединное значение	30	40	50	60	70	80
Количество квартир (частота)	300	450	300	225	150	75

б) Среднюю площадь квартиры находим используя
исходную таблицу: 30 · 0,2 + 40 · 0,3 + 50 · 0,2 + 60 · 0,15 + 70 ·
0,1 + 80 · 0,05 = 48 (м²).

Ответ: 48 кв.м.

Задача № 687

В небоскребе 90 этажей. За день лифт вызывали на
каждый этаж несколько раз. К вечеру получилось,
что число вызовов составляет (в порядке
возрастания порядкового номера этажа) следующий
ряд:
29, 9, 27, 11, 18, 6, 20, 21, 7, 12, 25, 28, 22,  21, 19, 23, 15, 24, 13, 19, 17, 26,
17, 24, 8. 10, 13, 16, 27, 15, 14, 27, 11, 20, 9, 15, 6, 17, 22, 23, 12, 19, 7, 16, 24,
12, 5, 14, 26, 5, 10, 21, 17, 8, 25, 18, 29, 21, 17, 15, 28, 12, 26, 22, 10Ю 26, 11, 18,
16, 22, 29, 13, 6, 20, 7, 19, 23, 28, 13, 5, 20, 14, 7, 15, 16, 19, 8, 22, 18, 14..
(т.е. на первый этаж лифт вызывали 29 раз, на второй
– 9 раз, на третий – 27 раз и т.д.).

а) Определите размах ряда и выберите наиболее
удобную, с вашей точки зрения, длину промежутка
для построения интервального ряда.

б) Составьте таблицу и постройте гистограмму.

Решение.

29 – 5 = 24 – размах ряда.

Теперь весь промежуток значений ряда данных
разобьём на несколько интервалов и подсчитаем,
сколько данных попадет в каждый интервал.
Выберем длину каждого интервала равной 24 : 6 = 4. За
начало первого интервала возьмем значение 5 – 2 =
3. Подсчитаем границы всех интервалов, получим: 3;
7; 11; 15; 19; 23; 27; 31. Найдем частоту события «попасть в
данный интервал». При этом значение, оказавшееся
на границе двух интервалов, будем считать
лежащим в правом промежутке. Сведем все данные по
интервальному ряду в одну таблицу.

Интервал вызовов лифта	Подсчет
3-7	6
7-11	12
11-15	15
15-19	18
19-23	18
23-27	12
27-31	9

Построим гистограмму.

Задача № 688

В таблице приведены данные по температуре в
городе N в июне 1980 г. и в июне 1990 г. В ней отражена
информация об ежедневных наблюдениях.

Температурные интервалы, oС	Июнь 1980 г.	Июнь 1990 г.
14-18	2	1
18-22	9	6
22-26	12	15
26-30	6	3
30-34	1	5

а) В каком году было больше дней, когда
температура превышала 25^o?
б) Вычислите средние температуры за июнь в 1980 и 1990
г. В каком году она больше?
в) Постройте гистограмму частот для 1980 г.

Решение.

а) В 1990 г.
б) Найдем середину каждого интервала, получим
таблицу 1980 г.

Температура, oС	Частота
16	2
20	9
24	12
28	6
32	1

Найдем среднее арифметическое (16 · 2 + 20 · 9 + 24 ·12 +
28 · 6 + 32 · 1) : 30 = 700 : 30 = 23^o.
Найдем середину каждого интервала, получим
таблицу 1990 г.

Температура, oС	Частота
16	1
20	6
24	15
28	3
32	5

Найдем среднее арифметическое (16 · 1 + 20 · 6 + 24 ·15 +
28 · 3 + 32 · 5) : 30 = 740 : 30 = 25^o.

Средние температуры за июнь в 1990 г. больше.

в) Построим гистограмму частот для 1980 г.

Задача № 689

Работниками телевидения был проведен опрос
молодежи с целью определения времени просмотра
телевизионных программ. Всего было опрошено 1000
человек. Зависимость числа  зрителей от
времени суток показана на гистограмме.

а) В какой период времени число людей, смотрящих
телевизор, превосходило 500 человек? Какой процент
от всего времени показа составляет время, когда
телевизор смотрят более 500 человек?
б) Сколько человек в среднем смотрят телевизор в
течение часа в период с 16 до 19 часов? какой
процент от числа опрошенных составляют эти люди?
в) Определите, какое число зрителей приходится в
среднем на 1 час вещания?

Решение.

а) Более пятисот человек смотрят телевизор в
период с 17 до 19 ч и с 20 до 23 ч. Показ передач
начинается в 6 ч и заканчивается в 2 ч следующего
дня. Таким образом, время телевещания – 20 ч.
Больше пятисот человек находятся у экранов в
течение 5 ч. Это составляет 5/20 = 1/4, т.е. 25 % всего
времени показа.

б) Воспользуемся данными гистограммы. В течение
трех часов с 16 ч до 19 ч телевизор смотрят 500 + 550 + 600
= 1650 человек. Следовательно, в среднем в этот
период на час приходится 1650 : 3 = 550 человек. Они
составляют 55 % от числа опрошенных, т.е.100 человек.

в) За весь период вещания, т.е. за 20 ч, на один час
в среднем приходится: (50 · 2 + 100 · 2 + 150 · 3 + 200 · + 250 · +
300) : 20 + (400 + 450 + 500 · 2 + 550 · 2 + 600 + 650 + 700) : 20 = 6600 : 20 = 330
человек.

В последнем пункте темы рассматриваются
понятия «выборочная дисперсия» и «среднее
квадратичное отклонение», хотя эти понятия более
основательно предполагается изучить в старших
классах. Далее сообщается, что сумма отклонений
значений ряда от их среднего арифметического
равна нулю, приводятся расчеты среднего
квадратичного отклонения для двух числовых
рядов, содержащих данные о зарплате на двух
предприятиях. Подсчет среднего квадратичного
отклонения удобно выполнять с помощью таблицы,
которая заполняется последовательно:

1) заполнить левый столбец, содержащий данные из
рассматриваемого ряда,
2) заполнить средний  столбец, содержащий
модули отклонений этих данных от их среднего
арифметического,
3) заполнить правый столбец, содержащий квадраты
чисел второго ряда.

Задача №  690

Жалобы на опоздание электричек, поступившие в
диспетчерскую станцию Семафорово в течение
недели, позволили составить следующую диаграмму
частот по опозданиям за неделю. Определите
среднее число опозданий за неделю и
среднеквадратичное отклонение.

Решение.

Найдем на диаграмме частот количество
опозданий в каждый из семи дней недели и вычислим
их среднее арифметическое a:   а = (2
+ 3 + 4 + 5 + 4 + 2 + 2) : 7 = 3.
Теперь найдем среднеквадратичное отклонение.
Для этого сначала составим таблицу (буквой х обозначено
количество опозданий).

День недели	Пн	Вт	Ср	Чт	Пт	Сб	Вс
х	2	3	4	5	4	2	1
|х – а|	1	0	1	2	1	1	2
|х – а|2	1	0	1	4	1	1	4

Среднеквадратичное отклонение равно: = = 1,3.
Оно характеризует величину рассеивания ряда
данных от среднего, т.е. от числа 3.

Ответ: 3; 1,3.

Задача №  691

На стройку с кирпичного завода привезли 20
упаковок кирпича. Чтобы проверить качество
партии, из каждой упаковки вытащили случайным
образом по кирпичу и измерили длину каждого. Ниже
представлены полученные величины (в см): 20,5; 20,1;
21,3; 20,3; 19,8; 19,2; 20,1; 19,6; 20,2; 20; 20,5; 19,7; 19,9; 20,5; 19,6; 20,1; 19,4;
19,8; 19,1; 20,3.

а) Определите среднюю длину кирпича.
б) Найдите величину среднеквадратичного
отклонения длины кирпича от средней.
в) Каков процент кирпичей, длина которых
отличается от средней больше чем на 0,2 см? больше
чем на величину среднеквадратичного отклонения?

Решение.

а) Средняя  длина кирпича  а = (20,5 + 20,1 +
21,3 + 20,3 + 19,8 + 19,2 + 20,1 + 19,6 + 20,2 + 20 + 20,5 + 19,7 + 19,9 + 20,5 + 19,6 +
20,1 + 19,4 + 19,8 + 19,1 + 20,3) : 20 = 19,5
б) Составим таблицу. Обозначим х – длина
кирпича.

х	|х-а|	|х-а|
20,5	1	1
20,1	0,6	0,36
21,3	1,8	3,42
20,3	0,8	0,36
19,8	0,3	0,09
19,2	0,3	0,09
20,1	0,6	0,36
19,6	0,1	0,01
20,2	0,7	0,49
20	0,5	0,25
20,5	1	1
19,7	0,2	0,04
20,5	1	1
19,9	0,4	0,16
19,6	0,1	0,01
20,1	0,6	0,36
19,4	0,1	0,01
19,8	0,3	0,09
19,1	0,4	0,09
20,3	0,8	0,64

Найдем среднеквадратичное отклонение  = 0,7. Оно
характеризует величину рассеивания ряда данных
от среднего, т.е. от числа 19,5.

в) Найдем процент  кирпичей, длина которых
отличается от средней больше чем на 0,2 см: 16 : 20 = 0,8
или 80 %. Найдем процент  кирпичей, длина которых
отличается от средней больше, чем на величину
среднеквадратичного отклонения: 6 : 20 = 0,3 или 30 %.

Задача №  692

Пасечник заметил, что пчелы в двух его ульях
производят мед неравномерно. Раз в 10 дней он
вынимал соты из ульев и заносил в таблицу массу (в
кг) снятого меда, выработанного пчелами за десять
дней.

Интервал времени	Масса меда (в кг)
1-й улей	2-й улей
С 20 по 30 апреля	11,4	11,9
С 30 апреля по 10 мая	12	10,8
С 10 по 20 мая	11,5	13,2
С 20 по 30 мая	11,7	12,6
С 30 мая по 10 июня	11	11,1
С 10 по20 июня	10,6	11,4
С 20 по 30 июня	13,1	13,2
С 30 июня по10 июля	12,8	12,9
С 10 по 20 июля	11,9	13,5
С 20 по 30 июля	13	10,9
С 30 июля по 10 августа	12,5	12,3
С 10 по 20 августа	12,9	11,7
С 20 по 30 августа	11,6	12
С 30 августа по 10 сентября	12	10,5

а) Пчелы какого из ульев работают более
стабильно? (Сделайте вывод, вычислив величину
среднеквадратичного отклонения количества
произведенного меда).

б) Если в первом улье живет 100 пчел, а во втором –
75 пчел, то сколько в среднем добыла за период с 20
по 30 августа каждая пчела 1-го и 2-го ульев?

Решение.

а) Найдем среднее 1-го улья: а = (11,4 + 12 + 11,5 + 11,7
+ 11 + 10,6 + 13,1 = 1,9 + 13 + 12,5 + 12,9 + 11,6 + 12) : 14 = 12 (кг).

Найдем среднеквадратичное отклонение (буквой х
обозначено количество меда за 10 дней).

х	|х – а|	|х – а|2
11,4	0.6	0,36
12	0	0
11,5	0,5	0,25
11,7	0,3	0,09
11	1	1
10,6	0,4	0,16
13,1	1,1	1,21
12,8	0,8	0,64
11,9	0,1	0,01
13	1	1
12,5	0,5	0,25
12,9	0,9	0,81
11,3	0,7	0,49
12	0	0

Среднеквадратичное отклонение равно = 0,7

Найдем среднее 2-го улья: а = (11,9 + 10,8 + 10,5 + 13,2 +
12,6 + 11,1 + 11,4 + 13,2 + 12,9 + 13,5 + 10,9 + 12,3 + 11,7 + 12) : 14 = 12 (кг).
Найдем среднеквадратичное отклонение (буквой х
обозначено количество меда за 10 дней).

х	|х – а|	|х – а|2
11,9	0.1	0,01
10,8	0,2	0,04
13,2	1,2	1,44
12,6	0,6	0,36
11,1	0,9	0,81
11,4	0,6	0,36
13,2	1,2	1,44
12,9	0,9	0,81
13,5	1,5	2,25
10,9	0,1	0,01
12,3	0,3	0,09
11,7	0,3	0,09
12	0	0
10,5	0,5	0,25

Среднеквадратичное отклонение равно = 0,7.
Пчелы обоих ульев работают одинаково.
б) Каждая пчела из первого улья добыла 11,2 : 100 = 0,112
(кг),  а каждая пчела из второго улья – 12 : 75 = 0,16
(кг) меда.
Ответ: а) пчелы обоих ульев работают одинаково; б)
0,112 кг, 0,16 кг.