По бизнес плану четырехлетний проект предполагает начальное вложение 25 млн рублей по итогам каждого

Спрятать решение

Спрятать критерии

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 7. Задача 15.

Производство х тыс. единиц продукции в q=2x²+5x+10 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q. При каком наименьшем значении p через 12 лет суммарная прибыль может составить не менее 744 млн рублей при некотором значении х?

Решение.

Так как при цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q, то за 12 лет суммарная прибыль составит 12px-12q млн рублей, и по условию эта сумма должна быть не менее 744 млн рублей при некотором значении х.

Получаем неравенство: 12px-12q ≥ 744.

Подставим данное значение q=2x²+5x+10. Получим:

12px-12(2x²+5x+10) ≥ 744. Упростим, разделив обе части неравенства на 12.

px-(2x²+5x+10) ≥ 62;

px-2x²-5x-10 ≥ 62;

-2x²+px-5x-10 ≥ 62;

-2x²+(p-5)x-10-62 ≥ 0;

2x²-(p-5)x+72 ≤ 0.

Для того, чтобы это неравенство имело решения, дискриминант квадратного уравнения 2x²-(p-5)x+72 = 0 должен быть неотрицательным.

D=b²-4ac=(p-5)²-4∙2∙72=(p-5)²-576 ≥ 0;

(p-5)²-24² ≥ 0;

(p-5+24)(p-5-24) ≥ 0;

(p+19)(p-29) ≥ 0.

Последнее неравенство будет верным при p ≤ -19 или p ≥ 29. Но значение p не может быть отрицательным, значит, наименьшее значение p=29.

Мы ответили на вопрос задачи, но интересно знать значение х. Подставим значение p=29 в неравенство 2x²-(p-5)x+72 ≤ 0.

2х²-24х+72 ≤ 0;

х²-12х+36 ≤ 0;

(х-6)² ≤ 0. Единственно возможное значение х=6.

Таким образом, при производстве 6 тысяч единиц продукции при цене 29 тысяч рублей за единицу через 12 лет прибыль составит не менее 744 млн рублей.

Ответ: 29.

Экономические задачи ЕГЭ    Это страница с нужной вам задачей

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 8. Задача 15.

Производство х тыс. единиц продукции в q=3x²+6x+13 млн рублей в год. При цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q. При каком наименьшем значении p через пять лет суммарная прибыль может составить не менее 70 млн рублей при некотором значении х?

Решение.

Так как при цене p тыс. рублей за единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн рублей) составляет px-q, а за пять лет суммарная прибыль должна составить не менее 70 млн рублей при некотором значении х, то за год эта возможная прибыль будет не менее 70:5=14 млн. рублей.

Получаем неравенство: px-q ≥ 14.

Подставим данное значение q=3x²+6x+13. Получим:

px-3x²-6x-13 ≥ 14;

-3x²+px-6x-27 ≥ 0;

3x²-(p-6)x+27 ≤ 0.

Для того, чтобы это неравенство имело решения дискриминант квадратного уравнения 3x²-(p-6)x+27 = 0 должен быть неотрицательным.

D=b²-4ac=(p-6)²-4∙3∙27=(p-6)²-324 ≥ 0;

(p-6)²-18² ≥ 0;

(p-6+18)(p-6-18) ≥ 0;

(p+12)(p-24) ≥ 0.

Последнее неравенство будет верным при p ≤ -12 или p ≥ 24. Но значение p не может быть отрицательным, значит, наименьшее значение p=24.

Подставим найденное значение p=24 в неравенство 3x²-(p-6)x+27 ≤ 0.

3х²-18х+27 ≤ 0;

х²-6х+9 ≤ 0;

(х-3)² ≤ 0. Единственно возможное значение х=3.

Таким образом, при производстве 3 тысяч единиц продукции при цене 24 тысячи рублей за единицу через пять лет прибыль составит не менее 70 млн рублей.

Ответ: 24.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 20. Задача 15.

Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки 200p рублей. Если на втором объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки (50p+300) рублей. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?

Решение.

Пусть в 1-й бригаде работает p человек, тогда во 2-й бригаде (30-p) человек. Тогда суммарная суточная зарплата составит:

200p∙p+(50(30-p)+300)(30-p). Упростим выражение.

200p²+(1500-50p+300)(30-p)=

=200p²+(1800-50p)(30-p)=

=200p²+54000-1500p-1800p+50p²=

250p²-3300p+54000.

Составим функцию F(p) – зависимости суточной зарплаты от количества рабочих p на 1-м объекте и исследуем её на минимум с помощью производной.

F(p)=250p²-3300+54000.

F’(p)=500p-3300.

F’(p)=0 при 500p=3300; p=6,6 – критическая точка.

Так как F’(p) < 0 при p < 6,6 и F’(p) > 0 при p > 6,6, то

p=6,6 – точка минимума функции F’(p).

Но так как p – целое число, то округлим значение 6,6 до 7.

p = 6,6 ≈ 7.

Итак, на 1-м объекте будут работать 7 человек,

а на 2-м объекте 30-7=23 человека.

Следовательно, суммарная суточная зарплата составит:

F(7)=250 ∙ 7² -3300 ∙ 7+54000 = 250∙49-23100+54000 =

= 12250+54000-23100 = 66250-23100 = 43150 (рублей).

Ответ: 1-й объект – 7 рабочих; 2-й объект – 23 рабочих; 43150 рублей – суммарная суточная зарплата.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 27. Задача 15.

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 25 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.

Решение.

1 год. Итоги 1,2∙25=30 (здесь и далее все величины в млн рублей).

Вложение 30+n.

2 год. Итоги 1,2(30+n)=36+1,2n.

Вложение 36+1,2n +n=36+2,2n.

Так как за два года первоначальные вложения как минимум удвоятся, то

36+2,2n ≥ 2∙25;

2,2n ≥ 50-36;

2,2n ≥ 14;

n ≥ 140:22;

n ≥ 6,36… .

n = 7 – наименьшее целое.

3 год. Итоги 1,2(36+2,2∙7)=1,2(36+15,4)=1,2∙51,4=61,68.

Вложение 61,68+m.

4 год. Итоги 1,2(61,68+m)=74,016+1,2m.

Вложение. 74,016+2,2m.

Так как за четыре года первоначальные вложения вырастут как минимум в четыре раза, то

74,016+2,2m ≥ 4∙25;

2,2m ≥ 100-74,016;

2,2m ≥ 25,984;

m ≥ 259,84:22;

m ≥ 11,81… .

m = 12 – наименьшее целое.

Ответ: 7 млн рублей и 12 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 28. Задача 15.

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.

Решение.

1 год. Итоги 1,15∙20=23 (здесь и далее все величины в млн рублей).

Вложение 23+n.

2 год. Итоги 1,15(23+n)=26,45+1,15n.

Вложение 26,45+1,15n+n=26,45+2,15n.

Так как за два года первоначальные вложения как минимум удвоятся, то

26,45+2,15n ≥ 2∙20;

2,15n ≥ 40-26,45;

2,15n ≥ 13,55;

n ≥ 1355:215;

n ≥ 6,30… .

n = 7 – наименьшее целое.

3 год. Итоги 1,15(26,45+2,15∙7)=1,15(26,46+15,05)=1,15∙41,5=47,725.

Вложение 47,725+m.

4 год. Итоги 1,15(47,725+m)=54,88375+1,15m.

Вложение. 54,88375+2,15m.

Так как за четыре года первоначальные вложения как минимум утроятся, то

54,88375+2,15m ≥ 3∙20;

2,15m ≥ 60-54,88375;

2,15m ≥ 5,11625;

m ≥ 511,625:215;

m ≥ 2,379… .

m = 3 – наименьшее целое.

Ответ: 7 млн рублей и 3 млн рублей.

ЕГЭ 2022 ФИПИ. Вариант 30. Задача 15.

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 12 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года вырастут как минимум в полтора раза, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся.

Решение.

1 год. Итоги 1,12∙10=11,2 (здесь и далее все величины в млн рублей).

Вложение 11,2+n.

2 год. Итоги 1,12(11,2+n)=12,544+1,12n.

Вложение 12,544+1,12n+n=12,544+2,12n.

Так как за два года первоначальные вложения вырастут как минимум в полтора раза, то

12,544+2,12n ≥ 1,5∙10;

2,12n ≥ 15-12,544;

2,12n ≥ 2,456;

n ≥ 245,6:212;

n ≥ 1,16… .

n = 2 – наименьшее целое.

Итак, в проекте 12,544 + 2,12∙2=16,784 млн рублей.

3 год. Итоги 1,12∙16,784=18,79808.

Вложение 18,79808+m.

4 год. Итоги 1,12(18,79808+m)=21,0538496+1,12m.

Вложение. 21,0538496+2,12m.

Так как за четыре года первоначальные вложения как минимум утроятся, то

21,0538496+2,12m ≥ 3∙10;

2,12m ≥ 30-21,0538496;

2,12m ≥ 8,9461504;

m ≥ 894,61504:212;

m ≥ 4,22… .

m = 5 – наименьшее целое.

Ответ: 2 млн рублей и 5 млн рублей.

Задание 17. Вариант 7. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов.

Задание 17. По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение — 25 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн рублей и в третий, и в четвёртый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.

Решение.

К началу 2-го года получится   млн вложений, а к началу 3-го года –

По условию  . Наименьшее целое решение n = 7. Тогда к началу 3-го года получится

36+15,4 = 51,4 млн.

К началу 4-го года имеем   млн, а в конце проекта

По условию  ,

откуда

Получаем, что m = 12 – наименьшее целое решение.

Ответ: 7 и 12 млн. руб.

Экзаменационные задания по математике (профильный уровень) содержат задачу с экономическим содержанием под №17. Это задание повышенного уровня сложности, которое оценивается максимально в 3 балла. Для того, чтобы успешно решать подобные задачи, ученики должны не только владеть определенным математическим инструментарием, но и уметь строить простейшие математические модели по заданным условиям. При подготовке учащихся к решению данных задач возникает ряд вопросов, которые надо с ними предварительно обсудить.

1. Что нам дает решение экономических задач?

На самом деле при решении экономических задач формируются навыки, столь необходимые в реальности. Это:

• навык моделирования процесса по реальной ситуации;
• знакомство с кредитной системой изнутри;
• понимание основ расчета прибыли и затрат;
• навык анализа информации;
• навык решения практических задач;
• развитие алгоритмического мышления;
• умение структурировать информацию.

2. Какие типы экономических задач нам могут встретиться на экзамене?

В отличие от других экзаменационных заданий, «экономические» задачи не отличаются большим разнообразием и встречаются лишь нескольких типов. Это:

Задачи на кредиты и вклады:

• вклады;
• кредиты с различными схемами выплат.

Задачи на оптимальный выбор:

• экстремальные задачи;
• задачи на ограничение производственных возможностей.

Прежде, чем приступить, собственно, к решению задач, следует провести предварительную подготовку, которая заключается в следующем:

• Хорошо объяснить проценты и разобрать различные задачи на понимание процента;
• Простой и сложный процент;
• Понимание расчета выгоды и альтернативной стоимости;
• Вычисление производной, нахождение минимума и максимума;
• Моделирование процесса, описанного в задаче;

Перед началом объяснения экономической задачи полезно повторить темы:

• Задачи на проценты
• Арифметическая прогрессия
• Производная

Полезные задачи на проценты

1) На сколько процентов 5 больше, чем 4? На сколько процентов 4 меньше, чем 5?

Должно быть понимание того, что основа — это то, с чем сравниваем.

5:4=1,25, то есть 5 больше, чем 4 на 25%.

4:5=0,8, то есть 4 меньше, чем 5 на 20 %.

2) Сколько процентов от 20 составляет 25? Сколько процентов от 25 составляет 20?

25:20=1,25=125%

20:25=0.8=80%

3) Цена винограда в сентябре увеличилась на 10%, а в октябре снизилась на 10%. Как изменилась цена винограда по сравнению с первоначальной?

Можно пока показать в рублях: 100р → 110р → 99р.

Затем перейти решению задачи:

Пусть х — начальная цена, тогда цена в сентябре — 1,1х, а цена в октябре-

1,1х-1,1х*0,1=0,99х, то есть цена понизилась на 1%.

Полезные задачи на арифметическую прогрессию

1. В кинотеатре в каждом ряду на 2 сиденья больше, чем в предыдущем. В первом ряду 12 сидений, всего 30 рядов. Сколько мест в кинотеатре?

При изучении темы «Арифметическая прогрессия» решение подобных задач не вызывает затруднений у учащихся. Достаточно применить формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии.

а₃₀ = 70, S₃₀ = (12+70)*30/2=1230.

А после предложить задачу:

2. Первоначальный долг составлял 200 тыс. руб., и каждый месяц убывал на 20 тыс.руб. За сколько месяцев был выплачен этот долг?

Можно воспользоваться схемой:

200 тыс → 180 т ыс → 160 тыс → … → 0, за 10 месяцев

Полезные задачи на понимание процесса:

1) Доходы фирмы составили 200 тыс.руб., а расходы — 180 тыс.руб. Чему была равна прибыль компании?

Решение:

П(прибыль)= Д(доход)-Р(расходы)

П=200 тыс-180тыс

П=20 тыс. р.

Ответ: 20 000 рублей.

2) Доходы и расходы фирмы зависят от того, какое количество продукта она произвела. Фирма производит Q единиц продукции. Доходы считаются по формуле 150Q, а расходы Q²+10Q-3000. По какой формуле можно рассчитать прибыль фирмы? При каком значении Q прибыль будет максимальной? Найдите эту максимальную прибыль.

Решение:

П(прибыль)= Д(доход)-Р(расходы)

П=150Q-(Q²+10Q-3000)

П= -Q²+140Q+3000

(П)ꞌ= -2Q+140

-2Q+140=0

Q=70 — точка максимума.

Max П=П(70)=7900(р)

Ответ: 7900 рублей.

3) На заводе можно за день произвести 100 деталей первого типа либо 50 деталей второго типа, при этом оборудование и материалы будут использованы полностью. Прибыль от детали первого типа 700 рублей, а второго — 1000 рублей. Сегодня нужно изготовить 20 деталей первого типа, а остальные — второго. Какое наибольшее количество деталей второго типа можно произвести? Какую прибыль при этом можно получить?

Решение:

1. 20/100=20% мощности потратили

2. На 2 тип деталей осталось 80%

0,8*50=40(дет)

3. П= 20*700+40*1000=54000(р)

Ответ: 54000 рублей

И, после того, как была проведена соответствующая подготовка, можно приступать к решению задач. Разумеется, решение следует начинать с более простых задач, постепенно усложняя разбираемые ситуации.

Задачи, которые я буду рассматривать, взяты из сборника по подготовке к ЕГЭ под редакцией И.В.Ященко 2020 г.

Наибольшее количество задач, которые встречаются в этом сборнике (и не только) — это задачи на кредиты и вклады.

Математическая модель: вклады и кредиты

(Вариант 3)

«В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1,587 млн. рублей.

Сколько млн. рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?»

Решение:

Пусть сумма кредита равна S, тогда

n	Долг до начисления %	Долг после начисления %	Выплаты
1г	S	1,15 *S	1,587
2г	1,15 *S-1,587	1,15*(1,15 *S-1,587)	1,587
3г	0

Поскольку долг стал равен нулю после второй выплаты, то можно составить уравнение:

1,15*(1,15 *S-1,587) -1,587=0

1,152S- 1,15*1,587=1,587

S=2,58 (млн. р.)

Ответ: 2,58 млн. р.

(Вариант 16)

«31 декабря 2014 года Михаил взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на10%), затем Михаил переводит в банк 2928200 рублей. Какую сумму взял Михаил в банке, если он выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)?»

Решение:

Пусть Михаил взял в банке S млн. рублей, тогда:

n	Долг до начисления %	Долг после начисления %	Выплаты
1г	S	1,1 *S	2928200
2г	1,1 *S-2928200	1,1*(1,1 *S-2928200)	2928200
3г	1,1*(1,1*S-2928200)—2928200	1,1*(1,1*(1,1 *S-2928200)-2928200)	2928200
4г	1,1*(1,1*(1,1*S-2928200)-2928200)-2928200	1,1*(1,1*(1,1*(1,1*S-2928200)-2928200)-2928200)	2928200
5г	0

Поскольку долг стал равен нулю после четвертой выплаты, то можно составить уравнение:

1,1*(1,1*(1,1*(1,1 *S-2928200)-2928200)-2928200)- 2928200=0

1,14S-1,13*2928200-1,12*2928200-1,1*2928200-2928200=0

S= 9282000 (р)

Ответ: 9282000 рублей.

(Вариант 7)

«По бизнес-плану четырехлетний проект предполагает начальное вложение — 25 млн. рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 20% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме того, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн. рублей и в первый, и во второй годы, а также целое число m млн. рублей и в третий, и в четвертый годы. Найдите наименьшее значение n, при котором первоначальные вложения за два года, как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года вырастут как минимум в четыре раза.»

Решение:

Итак, имеем:

n	Вклад до начисления %	Вклад после начисления %	Дополнительные вложения
1	25	1,2*25=30	n
2	30+n	1,2*(30+n)=36+1,2n	n
3	36+2,2n	1,2*(36+2,2n)=43,2+2,64n	m
4	43,2+2,64n+m	1,2*(43,2+2,64n+m)	m
5	1,2*(43,2+2,64n+m)+m

1) Поскольку за первые два года начальные вложения, как минимум, должны удвоиться, получаем неравенство:

36+2,2n ≥ 2*25

n ≥ 6,3

Но, по условию, n-целое число. Значит n=7.

2) За четыре года первоначальные вложения вырастут, как минимум, в четыре раза. Значит:

1,2*(43,2+2,64n+m)+m ≥ 4*25

Если n=7, то

1,2*(43,2+2,64*7+m)+m ≥ 4*25

m ≥ 11,8

По условию m-целое число. Значит m=12.

Ответ: n=7; m=12.

(Вариант 5)

«15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 600 000 рублей на n+1 месяц. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по n -й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• 15 числа n-го месяца долг составит 200 тыс. рублей;
• к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите n, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 852 000 рублей?»

Решение:

По условию задачи имеем:

Пусть S — сумма кредита (по условию задачи, 600 тыс. руб.), p = 3% — банковский процент. За первые n месяцев долг уменьшился на 600 − 200 = 400 (тыс. руб.), а так как по условию долг уменьшается равномерно (т.е. каждый месяц на одну и ту же величину), то за каждый месяц он уменьшался на величину x = 400/n (тыс. руб.). Кроме основного долга (600 тыс. руб.), клиент выплачивает банку ежемесячные проценты (начисляются 1 числа каждого месяца на оставшуюся на данный момент сумму долга), запишем суммы всех переплат банку в таблицу:

n	Долг до начисления %	Начисленный %
1	S	S*0,03
2	S-x	(S-x)*0,03
3	S-2x	(S-2x)*0.03
…	…	…
n	S-(n-1)x	(S-(n-1)x)*0.03
n+1	200	200*0.03

Сумму всех выплат можно выразить формулой Sв= Sк + S%. Значит, получаем уравнение:

600+0,03*(600+ … +200)= 852.

Но выражение, записанное в скобках, есть сумма (n+1) члена арифметической прогрессии, которую можно переписать в виде:

(600+200)*(n+1)/2 = 400*(n+1)

Тогда уравнение принимает вид:

Ответ: 20

(Вариант 13)

«15-го июня планируется взять кредит в банке на сумму 1300 тысяч рублей на 16 месяцев. Условия возврата таковы:

• 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
• со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
• 15-го числа каждого месяца с 1-го по 15-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
• 15 числа 15-го месяца долг составит 100 тыс. рублей;
• к 15-му числу 16-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1636 тысяч рублей?»

Решение:

По условию задачи имеем:

Пусть S — сумма кредита (по условию задачи, 1300 тыс. руб.), p = r% — банковский процент. За первые 15 месяцев долг уменьшился на 1300 − 100 = 1200 (тыс. руб.), а так как по условию долг уменьшается равномерно (т.е. каждый месяц на одну и ту же величину), то за каждый месяц он уменьшался на величину 1200/15=80 (тыс. руб.). Кроме основного долга (1300 тыс. руб.), клиент выплачивает банку ежемесячные проценты (начисляются 1 числа каждого месяца на оставшуюся на данный момент сумму долга), запишем суммы всех переплат банку в таблицу:

n	Долг до начисления %	Начисленный %
1	S	S*r/100
2	S-80	(S-80)* r/100
3	S-2*80	(S-2*80)* r/100
…	…	…
15	S-14*80	(S-14*80)* r/100
16	100	100* r/100

Сумму всех выплат можно выразить формулой Sв= Sк + S%. Значит, получаем уравнение:

1300+ (1300*r/100 + … +100* r/100) =1636

1300+ r/100*(1300+ … +100) =1636

Но выражение, записанное в скобках, есть сумма 16 членов арифметической прогрессии, которую можно переписать в виде:

(1300+100)*16/2 =1400*8 =11200

Тогда уравнение принимает вид:

1300+ r/100*11200=1636

Откуда r = 3%

Ответ: 3%

См. продолжение статьи

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение

36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 28 Задание 18 № задачи в базе 2734

По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение — 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы. Найдите наименьшие значения n, при котором первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, и наименьшее значение m, такое, что при найденном ранее значении n первоначальные вложения за четыре года как минимум утроятся

Ответ: 7 и 3

ФИПИ 2023 🔥 …

Примечание: По бизнес-плану четырёхлетний проект предполагает начальное вложение ! 36 вариантов ФИПИ Ященко 2022 Вариант 28 Задание 18 # 36 вариантов ЕГЭ 2021 ФИПИ школе Ященко Вариант 18 Задание 17 # Задача-Аналог   1514

Рейтинг сложности задачи: