Означает что в каждый момент времени следующий шаг работы однозначно определяется состоянием системы

Алгори́тм,
от имени учёногоаль-Хорезми(перс.خوارزمی‎
[al-Khwārazmī]) — точный наборинструкций,
описывающих порядок действий исполнителя
для достижения результатарешения
задачиза конечное время. В
старой трактовке вместо слова «порядок»
использовалось слово «последовательность»,
но по мере развития параллельности в
работе компьютеров слово «последовательность»
стали заменять более общим словом
«порядок». Это связано с тем, что работа
каких-то инструкций алгоритма может
быть зависима от других инструкций или
результатов их работы. Таким образом,
некоторые инструкции должны выполняться
строго после завершения работы инструкций,
от которых они зависят. Независимые
инструкции или инструкции, ставшие
независимыми из-за завершения работы
инструкций, от которых они зависят,
могут выполняться в произвольном
порядке, параллельно или одновременно,
если это позволяют используемые процессор
и операционная система.

Ранее часто писали «алгорифм»,
сейчас такое написание используется
редко, но, тем не менее, имеет место
(например,Нормальный
алгорифмМаркова).

Часто в качестве исполнителя выступает
некоторый механизм (компьютер, токарный
станок, швейная машина), но понятие
алгоритма необязательно относится к
компьютерным
программам, так, например, чётко
описанный рецепт приготовления блюда
также является алгоритмом, в таком
случае исполнителем является человек.

Формальные свойства алгоритмов

Различные определения алгоритма в явной
или неявной форме содержат следующий
ряд общих требований:

• Дискретность — алгоритм должен
  представлять процесс решения задачи
  как последовательное выполнение
  некоторых простых шагов. При этом для
  выполнения каждого шага алгоритма
  требуется конечный отрезок времени,
  то есть преобразование исходных данных
  в результат осуществляется во времени
  дискретно.

• Детерминированность(определённость).
  В каждый момент времени следующий шаг
  работы однозначно определяется
  состоянием системы. Таким образом,
  алгоритм выдаёт один и тот же результат
  (ответ) для одних и тех же исходных
  данных. В современной трактовке у разных
  реализаций одного и того же алгоритма
  должен быть изоморфныйграф.
  С другой стороны, существуют вероятностные
  алгоритмы, в которых следующий шаг
  работы зависит от текущего состояния
  системы и генерируемого случайного
  числа. Однако при включении метода
  генерации случайных чисел в список
  «исходных данных», вероятностный
  алгоритм становится подвидом обычного.

• Понятность — алгоритм для исполнителя
  должен включать только те команды,
  которые ему (исполнителю) доступны,
  которые входят в его систему команд.

• Завершаемость (конечность) — при
  корректно заданных исходных данных
  алгоритм должен завершать работу и
  выдавать результат за конечное число
  шагов.^{[источник не указан 43 дня]}С другой стороны, вероятностный алгоритм
  может и никогда не выдать результат,
  но вероятность этого равна 0.

• Массовость (универсальность). Алгоритм
  должен быть применим к разным наборам
  исходных данных.

• Результативность — завершение
  алгоритма определёнными результатами.

• Алгоритм содержит ошибки, если приводит
  к получению неправильных результатов
  либо не даёт результатов вовсе.

• Алгоритм не содержит ошибок, если он
  даёт правильные результаты для любых
  допустимых исходных данных.

История термина

Современное формальное определение
алгоритма было дано в 30—50-х годы XX
векав работахТьюринга,Поста,Чёрча(тезис
Чёрча — Тьюринга),Н.
Винера,А. А. Маркова.

Само слово «алгоритм» происходит от
имени учёного Абу
Абдуллах Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми(алгоритм — аль-Хорезми). Около825
годаон написал сочинение, в
котором впервые дал описание придуманной
в Индии позиционной десятичной системы
счисления. К сожалению, арабский оригинал
книги не сохранился. Аль-Хорезми
сформулировал правила вычислений в
новой системе и, вероятно, впервые
использовалцифру
0для обозначения пропущенной
позиции в записи числа (её индийское
название арабы перевели какas-sifrили простоsifr, отсюда такие слова,
как «цифра» и «шифр»). Приблизительно
в это же время индийские цифры начали
применять и другие арабские учёные. В
первой половинеXII
векакнига аль-Хорезми в латинском
переводе проникла в Европу. Переводчик,
имя которого до нас не дошло, дал ей
названиеAlgoritmi de numero Indorum(«Алгоритми
о счёте индийском»). По-арабски же книга
именоваласьКитаб аль-джебр валь-мукабала(«Книга о сложении и вычитании»). Из
оригинального названия книги происходит
словоАлгебра(алгебра — аль-джебр).

Таким образом, мы видим, что латинизированное
имя среднеазиатского учёного было
вынесено в заглавие книги, и сегодня ни
у кого нет сомнений, что слово «алгоритм»
попало в европейские языки именно
благодаря этому сочинению. Однако вопрос
о его смысле длительное время вызывал
ожесточённые споры. На протяжении многих
веков происхождению слова давались
самые разные объяснения.

Одни выводили algorismиз греческихalgiros(больной) иarithmos(число). Из
такого объяснения не очень ясно, почему
числа именно «больные». Или же лингвистам
больными казались люди, имеющие несчастье
заниматься вычислениями? Своё объяснение
предлагал иэнциклопедический
словарь Брокгауза и Ефрона. В
нёмалгорифм(кстати, до революции
использовалось написаниеалгориѳм,
черезфиту)
производится «от арабского слова
Аль-Горетм, то есть корень». Разумеется,
эти объяснения вряд ли можно счесть
убедительными.

Упомянутый выше перевод сочинения
аль-Хорезми стал первой ласточкой, и в
течение нескольких следующих столетий
появилось множество других трудов,
посвящённых всё тому же вопросу —
обучению искусству счёта с помощью
цифр. И все они в названии имели слово
algoritmiилиalgorismi.

Про аль-Хорезми позднейшие авторы ничего
не знали, но поскольку первый перевод
книги начинается словами: «Dixit algorizmi: …»
(«Аль-Хорезми говорил: …»), всё ещё
связывали это слово с именем конкретного
человека. Очень распространённой была
версия о греческом происхождении книги.
В англо-норманнской рукописи XIII
века, написанной в стихах,
читаем:

«Алгоризм был придуман в Греции.
Это частьарифметики.
Придуман он был мастером по имени
Алгоризм, который дал ему своё имя. И
поскольку его звали Алгоризм, Он назвал
свою книгу «Алгоризм».

Около 1250
годаанглийский астроном и
математикИоанн
Сакробосконаписал труд по
арифметикеAlgorismus vulgaris, на столетия
ставший основным учебником по вычислениям
вдесятичной
позиционной системе счисленияво многих европейских университетах.
Во введении Сакробоско назвал автором
науки о счёте мудреца по имени Алгус
(Algus). А в популярной средневековой
поэме «Роман
о Розе» (1275—1280)Жана
де Мена«греческий философ
Алгус» ставится в один ряд сПлатоном,Аристотелем,ЕвклидомиПтолемеем!
Встречался также вариант написания
имени Аргус (Argus). И хотя, согласно
древнегреческой мифологии, корабль
«Арго»
был построенЯсоном,
именно этому Арго приписывалось
строительство корабля.

«Мастер Алгус» (или Аргус) стал в
средневековой литературе олицетворением
счётного искусства. И в уже упоминавшейся
«Романе о розе», и в известной итальянской
поэме «Цветок», написанной Дуранте,
имеются фрагменты, в которых говорится,
что даже «mestre Argus» не сумеет подсчитать,
сколько раз ссорятся и мирятся влюблённые.
Английский поэтДжефри
Чосерв поэме «Книга
герцогини» (1369г.)
пишет, что даже «славный счётчик Аргус»
(noble countour Argu) не сможет счесть чудовищ,
явившихся в кошмарных видениях герою.

Впрочем, греческая версия была не
единственной. Мифический Алгор (Algor)
именовался то королёмКастилии(Rex quodam Castelliae), тоиндийским
королём, тоарабскиммудрецом (philosophus Algus nomine Arabicus).

Однако со временем такие объяснения
всё менее занимали математиков, и слово
algorism(илиalgorismus), неизменно
присутствовавшее в названиях математических
сочинений, обрело значение способа
выполнения арифметических действий
посредством арабских цифр, то есть на
бумаге, без использованияабака.
Именно в таком значении оно вошло во
многиеевропейские
языки. Например, с пометкой
«устар.» оно присутствует в представительном
словаре английского языкаWebster’s New
World Dictionary, изданном в1957г.

Алгоритм — это искусство счёта с
помощью цифр, но поначалу слово «цифра»
относилось только к нулю. Знаменитый
французский труверГотье
де Куанси(Gautier de Coincy, 1177—1236) в
одном из стихотворений использовал
словаalgorismus-cipher(которые означали
цифру 0) как метафору для характеристики
абсолютно никчёмного человека. Очевидно,
понимание такого образа требовало
соответствующей подготовки слушателей,
а это означает, что новая система
счисления уже была им достаточно хорошо
известна.

Многие века абак был фактически
единственным средством для практичных
вычислений, им пользовались и купцы, и
менялы, и учёные. Достоинства вычислений
на счётной доске разъяснял в своих
сочинениях такой выдающийся мыслитель,
как Герберт
Аврилакский(938—1003), ставший в
999 г.папой
римскимпод именем Сильвестра
II. Новое с огромным трудом пробивало
себе дорогу, и в историю математики
вошло упорное противостояние лагерей
алгорисмиков иабацистов(иногда называемых гербекистами), которые
пропагандировали использование для
вычислений абака вместо арабских цифр.
Интересно, что известный французский
математикНиколя
Шюке(Nicolas Chuquet, 1445—1488) в реестр
налогоплательщиков городаЛионабыл вписан как алгорисмик (algoriste). Но
прошло не одно столетие, прежде чем
новый способ счёта окончательно
утвердился, столько времени потребовалось,
чтобы выработать общепризнанные
обозначения, усовершенствовать и
приспособить к записи на бумаге методы
вычислений. В Западной Европе учителей
арифметики вплоть доXVII
векапродолжали называть
«магистрами абака», как, например,
математикаНикколо
Тарталью(1500—1557).

Итак, сочинения по искусству счёта
назывались Алгоритмами. Из многих
сотен можно выделить и такие необычные,
как написанный в стихах трактатCarmen
de Algorismo(латинскоеcarmenи означает
стихи) Александра де Вилла Деи (Alexander de
Villa Dei, ум. 1240) или учебник венского
астронома и математикаГеорга
Пурбаха(Georg Peurbach, 1423—1461)Opus
algorismi jocundissimi(«Веселейшее сочинение
по алгоритму»).

Постепенно значение слова расширялось.
Учёные начинали применять его не только
к сугубо вычислительным, но и к другим
математическим процедурам. Например,
около 1360 г. французский философ
Николай
Орем(Nicolaus Oresme, 1323/25-1382) написал
математический трактатAlgorismus
proportionum(«Вычисление пропорций»), в
котором впервые использовал степени с
дробными показателями и фактически
вплотную подошёл к идее логарифмов.
Когда же на смену абаку пришёл так
называемый счёт на линиях, многочисленные
руководства по нему стали называтьAlgorithmus linealis, то есть правила счёта
на линиях.

Можно обратить внимание на то, что
первоначальная форма algorismiспустя
какое-то время потеряла последнюю букву,
и слово приобрело более удобное для
европейского произношения видalgorism.
Позднее и оно, в свою очередь, подверглось
искажению, скорее всего, связанному со
словомarithmetic.

В 1684
годуГотфрид
Лейбницв сочиненииNova Methodvs
pro maximis et minimis, itemque tangentibus…впервые
использовал слово «алгоритм» (Algorithmo)
в ещё более широком смысле: как
систематический способ решения проблем
дифференциального исчисления.

В XVIII
векев одном из германских
математических словарей,Vollstandiges
mathematisches Lexicon(изданном вЛейпцигев1747г.),
терминalgorithmusвсё ещё объясняется
как понятие о четырёх арифметических
операциях. Но такое значение не было
единственным, ведь терминология
математической науки в те времена ещё
только формировалась. В частности,
выражениеalgorithmus infinitesimalisприменялось
к способам выполнения действий с
бесконечно малыми величинами. Пользовался
словом алгоритм иЛеонард
Эйлер, одна из работ которого
так и называется — «Использование
нового алгоритма для решения проблемы
Пелля» (De usu novi algorithmi in problemate Pelliano
solvendo). Мы видим, что понимание Эйлером
алгоритма как синонима способа решения
задачи уже очень близко к современному.

Однако потребовалось ещё почти два
столетия, чтобы все старинные значения
слова вышли из употребления. Этот процесс
можно проследить на примере проникновения
слова «алгоритм» в русский язык.

Историки датируют 1691
годомодин из списков древнерусского
учебника арифметики, известного как
«Счётная мудрость». Это сочинение
известно во многих вариантах (самые
ранние из них почти на сто лет старше)
и восходит к ещё более древним рукописямXVIв.
По ним можно проследить, как знание
арабских цифр и правил действий с ними
постепенно распространялось на Руси.
Полное название этого учебника —
«Сия книга, глаголемая по еллински и по
гречески арифметика, а по немецки
алгоризма, а по русски цифирная счётная
мудрость».

Таким образом, слово «алгоритм» понималось
первыми русскими математиками так же,
как и в Западной Европе. Однако его не
было ни в знаменитом словаре
В. И. Даля, ни спустя сто
лет в «Толковом словаре русского языка»
под редакцией Д. Н. Ушакова (1935 г.).
Зато слово «алгорифм» можно найти и в
популярном дореволюционномЭнциклопедическом
словаре братьев Гранат, и в
первом изданииБольшой
советской энциклопедии(БСЭ),
изданном в 1926 г. И там, и там оно
трактуется одинаково: как правило, по
которому выполняется то или иное из
четырёх арифметических действий в
десятичной системе счисления. Однако
к началу XX в. для математиков слово
«алгоритм» уже означало любой
арифметический или алгебраический
процесс, выполняемый по строго определённым
правилам, и это объяснение также даётся
в следующих изданиях БСЭ.

Алгоритмы становились предметом всё
более пристального внимания учёных, и
постепенно это понятие заняло одно из
центральных мест в современной математике.
Что же касается людей, от математики
далёких, то к началу сороковых годов
это слово они могли услышать разве что
во время учёбы в школе, в сочетании
«алгоритм Евклида». Несмотря на это,
алгоритм всё ещё воспринимался как
термин сугубо специальный, что
подтверждается отсутствием соответствующих
статей в менее объёмных изданиях. В
частности, его нет даже в десятитомной
Малой
советской энциклопедии(1957 г.),
не говоря уже об однотомных энциклопедических
словарях. Но зато спустя десять лет, в
третьем изданииБольшой
советской энциклопедии(1969 г.)
алгоритм уже характеризуется как одна
из основных категорий математики, «не
обладающих формальным определением в
терминах более простых понятий, и
абстрагируемых непосредственно из
опыта». Как мы видим, отличие даже от
трактовки первым изданием БСЭ разительное!
За сорок лет алгоритм превратился в
одно из ключевых понятий математики, и
признанием этого стало включение слова
уже не в энциклопедии, а в словари.
Например, оно присутствует в академическом
«Словаре русского языка» (1981 г.) именно
как термин из области математики.

Одновременно с развитием понятия
алгоритма постепенно происходила и его
экспансия из чистой математики в другие
сферы. И начало ей положило появление
компьютеров, благодаря которому слово
«алгоритм» вошло в 1985 г. во все школьные
учебники информатики и обрело новую
жизнь. Вообще можно сказать, что его
сегодняшняя известность напрямую
связана со степенью распространения
компьютеров. Например, в третьем томе
«Детской энциклопедии» (1959 г.) о
вычислительных машинах говорится
немало, но они ещё не стали чем-то
привычным и воспринимаются скорее как
некий атрибут светлого, но достаточно
далёкого будущего. Соответственно и
алгоритмы ни разу не упоминаются на её
страницах. Но уже в начале 70-х гг. прошлого
столетия, когда компьютеры перестали
быть экзотической диковинкой, слово
«алгоритм» стремительно входит в обиход.
Это чутко фиксируют энциклопедические
издания. В «Энциклопедии
кибернетики» (1974 г.) в статье
«Алгоритм» он уже связывается с
реализацией на вычислительных машинах,
а в «Советской военной энциклопедии»
(1976 г.) даже появляется отдельная
статья «Алгоритм решения задачи на
ЭВМ». За последние полтора-два десятилетия
компьютер стал неотъемлемым атрибутом
нашей жизни, компьютерная лексика
становится всё более привычной. Слово
«алгоритм» в наши дни известно, вероятно,
каждому. Оно уверенно шагнуло даже в
разговорную речь, и сегодня мы нередко
встречаем в газетах и слышим в выступлениях
политиков выражения вроде «алгоритм
поведения», «алгоритм успеха» или даже
«алгоритм предательства». Академик
Н. Н. Моисеев назвал свою книгу
«Алгоритмы развития», а известный врачН. М. Амосов—
«Алгоритм здоровья» и «Алгоритмы
разума». А это означает, что слово живёт,
обогащаясь всё новыми значениями и
смысловыми оттенками.

Соседние файлы в папке Понятия

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Алгоритм работы микроконтроллера

Алгоритм — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения некоторого результата.

Алгоритм существует не сам по себе, а предназначен для определённого исполнителя. Он описывается в командах исполнителя, который этот алгоритм будет выполнять. Объекты, над которыми исполнитель может совершать действия, образуют среду исполнителя. Исходные данные и результаты любого алгоритма всегда принадлежат среде того исполнителя, для которого предназначен алгоритм [5].

Любой алгоритм обладает следующими свойствами.

Дискретность — алгоритм должен представлять процесс решения задачи как последовательное выполнение некоторых простых шагов. При этом для выполнения каждого шага алгоритма требуется конечный отрезок времени, т.е. преобразование исходных данных в результат осуществляется во времени дискретно. Можно считать, что шаги выполняются мгновенно в моменты времени t0, t1, t2…, а между этими моментами ничего не происходит.

Элементарность шагов означает, что объем работы, выполняемой на любом шаге зависит от характеристик исполнителя алгоритмов, но не зависит от входных данных и промежуточных значений, получаемых алгоритмом. Для численных алгоритмов такими элементарными шагами могут быть, например, сложение, вычитание, умножение, деление, сравнение двух 32-разрядных чисел, пересылка одного числа из некоторого места памяти в другое. К элементарным шагам не относится сравнение двух файлов, так как время сравнения зависит от длины файлов, а длина потенциально неограниченна.

Детерминированность — определённость. В каждый момент времени следующий шаг работы однозначно определяется состоянием системы: алгоритм выдаёт один и тот же результат для одних и тех же исходных данных. Результаты не зависят ни от каких случайных факторов. С другой стороны, существуют вероятностные алгоритмы, в которых следующий шаг работы зависит от текущего состояния системы и генерируемого случайного числа. Однако при включении метода генерации случайных чисел в список «исходных данных», вероятностный алгоритм становится подвидом обычного.

Понятность — алгоритм для исполнителя должен включать только те команды, которые ему (исполнителю) доступны, которые входят в его систему команд.

Завершаемость (конечность, определённость) — при корректно заданных исходных данных алгоритм должен завершать работу и выдавать результат за конечное число шагов. С другой стороны, вероятностный алгоритм может и никогда не выдать результат, но вероятность этого равна 0.

Конечность алгоритма означает, что для получения результата нужно выполнить конечное число шагов, т.е. исполнитель в некоторый момент времени останавливается. Требуемое число шагов зависит от входных данных алгоритма.

Массовость — алгоритм должен быть применим к разным наборам исходных данных.

Результативность — завершение алгоритма определенными результатами. Если же входные данные уникальны, то алгоритм в силу свойства определенности (детерминированности) будет давать всегда один и тот же результат и само построение алгоритма теряет смысл [6].

Алгоритм содержит ошибки, если приводит к получению неправильных результатов либо не дает результатов вовсе.

Алгоритм не содержит ошибок, если он дает правильные результаты для любых допустимых исходных данных.

Функции бизнес-логики по сбору и обработке данных, и получение результата, в разрабатываемой информационной системе, выполняются микроконтроллером. Поэтому основным алгоритмом работы информационной системы будет являться алгоритм работы микроконтроллера.

С момента начала отопительного сезона система отопления здания должна функционировать непрерывно. Отсюда следует что в основе алгоритма микроконтроллера будет заложен определенный цикл, который будет выполняться бесконечно, пока не поступит команда из вне о прерывании цикла или выход из строя какого ни будь датчика.

После того, как смонтировано и настроено все оборудование, происходит запуск алгоритма контроллера. Блок схема алгоритма работы контроллера представлена на рисунках 5.1 и 5.2.

Контроллер считывает с внутренней памяти проект программы, и производит компиляцию для дальнейшего ее исполнения. После компиляции программного кода происходит проверка успешности и целостности скомпилированной программы. Если во время компиляции произошла ошибка контроллер выдает сигнал об ошибке и приостанавливает свою работу. После успешной процедуры компиляции происходит запуск главного рабочего цикла контроллера.

Рабочий цикл контроллера состоит из следующих этапов:

1) опрос входов;

2) выполнение пользовательской программы;

3) установление значений на выходах.

Если хотя бы один из этапов завершиться с ошибкой цикл прерывается, контроллер выдает ошибку, и приостанавливает свою работу. Если все этапы проходят успешно, то рабочий цикл будет повторяться бесконечное количество раз, пока не будет прерван из вне.

Рисунок 5.1 — Блок — схема алгоритма работы контроллера (начало)

Рисунок 5.2 — Блок — схема алгоритма работы контроллера (конец)

Выполнение пользовательской программы состоит из пяти важных этапов. Первый этап — измерение давления. Полученный сигнал с входа преобразуется в численное значение после чего, происходит сравнение этого значения.

Если давление в системе отопления выходит за пределы рабочего диапазона, меньше 1 или больше 2,9 атмосферы, то в строковую переменную записывается значение «Авария! Давление в системе выше или ниже нормы». Цифровым выходам присваивается значение «FALSE», переменной «i», (номер режима работы) присваивается значение «1». После чего происходит сравнение значения переменной «n», (предыдущий режим работы), с значением переменной «i». Если значения равны, рабочий цикл запускается заново. В противном случае, происходит запись всех переменных в log-file, и так же происходит переход к началу рабочего цикла.

Если значение давление в системе отопления укладывается в рабочий диапазон, то начинается выполнение второго этапа — измерение температуры жидкости в системе отопления.

Во втором этапе, после того как сигнал с датчика температуры жидкости преобразован в численное значение, снова встречается условное ветвление программы типа «Если». Данное условие проверяет находится ли значение температуры жидкости в своем рабочем диапазоне. Так как в системах отопления чаще всего применяется обыкновенная вода, то минимальная температура жидкости должна быть не ниже 4 градусов по Цельсию. При более низкой температуре состояние воды начнет меняться, переходить в твердое состояние — замерзать. А максимальная температура жидкости должна быть не выше 90 градусов по Цельсию, в противном случае вода будет стремится перейти в газообразное состояние — пар. Поэтому, если измеряемая температура воды в системе отопления выйдет за границы указанного диапазона, цифровым выходам присваивается значение «FALSE», в строковую переменную записывается значение «Авария! Температура жидкости в системе выше или ниже нормы.» А переменной «i» присваивается значение «2». После чего снова идет сравнение переменных «i» и «n». Если они равны, то происходит возврат к началу рабочего цикла контроллера. Если нет, то происходит перезапись переменной «n» значением переменной «i», и происходит запись значений всех переменных в log-file, и возврат к началу рабочего цикла.

Если значение температуры жидкости соответствует заданному условию, программа переходит к выполнению третьего этапа.

Третий этап — измерение температуры воздуха окружающей среды. Осенью, когда отопительный сезон уже начался, и весной, когда он еще не закончился температура окружающей среды может достигать высоких значений днем и низких в ночное время. Для экономии энергоресурсов вводим дополнительное условие. После перевода сигнала с аналогово входа в цифровой вид, оценим значение: является ли температура воздуха снаружи здания ниже 10 градусов по Цельсию. Если значение удовлетворяет условию переходим к четвертому этапу.

Четвертый этап — измерение и первая оценка температуры внутри здания. После получения цифрового значения температуры воздуха в помещении необходимо выполнить оценку: является ли полученное значение комфортной температурой. При этом комфортная температура в разное время года может изменять свое значение и зависит от значения температуры окружающей среды. Для этого будет необходимо найти уравнение зависимости комфортной температуры в помещении от температуры окружающей среды.

Если значение температуры воздуха в помещении ниже рассчитанного значения комфортной температуры, то происходит переход к пятому этапу.

При отрицательном исходе условного ветвления в третьем и четвертом этапе программа выполняет одинаковые действия. Значения на цифровых выходах равны «FALSE», переменной «i» присваивается значение «3». Так же, как и в предыдущих случаях происходит сравнение переменных «текущего» и «прошлого» состояния. Если значения равный программа начинает свою работу с начала, в противном случае переменная «n» принимает значение переменной «i», и происходит запись информации в log-file. Далее программа начинает выполняться заново. Отличие отрицательного ветвления третьего и четвертого этапа заключается в присваиваемом значении в строковую переменную. В третьем этапе записывается строка: «Отопление здания не требуется», а в четвертом этапе: «Система отопления работает исправно».

Пятый этап — второе условие оценки температуры воздуха внутри помещений. При правильной эксплуатации здания, поддержания его в исправном состоянии, и правильно подобранного нагревательного оборудования разница температуры внутри помещения с минимальной комфортной температуры не должна отличаться более чем на 5 градусов по Цельсию в меньшую сторону. Минимальная комфортная температура для административных зданий равна 19 градусам по Цельсию, значит значение для оценки данного условия равно 14. Если значение температуры выше оценочного на данном этапе, то первому и второму цифровому выходу присваивается значение «TRUE», а третьему и четвертому значение «FALSE».

Значения для строковой переменной и переменной «текущего» состояния, а также сравнения переменных «текущего» и «прошлого» состояния происходит как на четвертом этапе. И происходит возврат к началу программы.

Если температура воздуха на пятом этапе ниже оценочного значения, значит произошел сбой в работе оборудования или данная ситуация получилась в результате неправильной эксплуатации здания. Для предотвращения наихудших вариантов развития, необходимо подключит дополнительные мощности по нагреву здания. Для этого значения всех цифровых выходов принимают значения «TRUE». В строковую переменную заносится предупреждающее сообщение: «Внимание! Резкое охлаждение помещений», а значение переменной «i» становиться равной 4. Далее снова следует сравнение значений «текущего» и «прошлого» состояния для того что бы узнать о необходимости произвести запись данных о работе котельной в log-file. После этого происходит переход к началу алгоритма.

Уравнение зависимости комфортной температуры в здании от температуры воздуха окружающей среды

Комфортная температура воздуха в административных зданиях в зимний период должна укладываться в диапазон от 19 до 25 градусов по Цельсию. При этом, чем холоднее становиться температура окружающей среды, тем выше должна быть температура в помещениях, но укладываясь в диапазон комфортных температур. В таблице 5.1 показано соотношение температуры окружающей среды к температуре воздуха внутри помещений.

Таблица 5.1 — Соотношение температур.

Температура окружающей среды	—35	—30	—25	—20	—15	—10	—5	00	55	110	115	220	225	330	335
Температура воздуха в помещениях	225	225	225	225	224	224	223	222	221	220	220	119	119	118	118

Для нахождения уравнения зависимости этих двух величин необходимо построить график, представлено на рисунке 5.3 На оси «x» расположим данные температуры окружающей среды, на оси «у» — значения температуры воздуха в помещении.

Получившаяся кривая линия из всех стандартных функций. Ближе всего подходит к линейному уравнению, вида y=kx+b. Для нахождения данного уравнения необходимо выделить две основные точки графика. Зная координаты этих точек мы можем составить систему уравнений и найти коэффициенты требуемого линейного уравнения. Координаты этих точек будут (-35; 25) и (15; 20).

Рисунок 5.3 — График соотношения температур

Решая систему уравнений нашли значения коэффициентов k и b, они равны — 0.1 и 21.5 соответственно. Подставляя значения получили линейное уравнение зависимости температуры внутри здания от температуры окружающей среды: y = — 0.1x+21.5 График получившейся функции, представленный на рисунке 5.4, приближенно похож на исходный график, представленный на рисунке 5.3.

Получаемые значения, в ходе решения найденной зависимости, полностью удовлетворяют требованиям поддержания комфортной температуры внутри здания.

Таким образом в алгоритм работы контроллера заложена зависимость включения нагрева здания от уличной температуры.

Данный алгоритм работы полностью решает все поставленные задачи. Происходит проверка всех важных параметров системы отопления, происходит выбор наилучшего режима обогрева здания, для установления комфортной температуры, любые отклонения от нормальной работы сигнализируются и записываются в электронный журнал — log-file.

Рисунок 5.4 — График функции y = — 0.1x + 21.5

Логин или адрес электронной почты

Пароль

Некоторые курсы, возможно, открыты для гостей

Алгори́тм — набор инструкций, описывающих порядок действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное число действий. В старой трактовке вместо слова «порядок» использовалось слово «последовательность», но по мере развития параллельности в работе компьютеров слово «последовательность» стали заменять более общим словом «порядок». Это связано с тем, что работа каких-то инструкций алгоритма может быть зависима от других инструкций или результатов их работы. Таким образом, некоторые инструкции должны выполняться строго после завершения работы инструкций, от которых они зависят. Независимые инструкции или инструкции, ставшие независимыми из-за завершения работы инструкций, от которых они зависят, могут выполняться в произвольном порядке, параллельно или одновременно, если это позволяют используемые процессор и операционная система.

Ранее часто писали «алгорифм», сейчас такое написание используется редко, но, тем не менее, имеет место (например, Нормальный алгорифм Маркова).

Часто в качестве исполнителя выступает некоторый механизм (компьютер, токарный станок, швейная машина), но понятие алгоритма необязательно относится к компьютерным программам, так, например, чётко описанный рецепт приготовления блюда также является алгоритмом, в таком случае исполнителем является человек.

Понятие алгоритма относится к первоначальным, основным, базисным понятиям математики. Вычислительные процессы алгоритмического характера (арифметические действия над целыми числами, нахождение наибольшего общего делителя двух чисел и т. д.) известны человечеству с глубокой древности. Однако, в явном виде понятие алгоритма сформировалось лишь в начале XX века.

Частичная формализация понятия алгоритма началась с попыток решения проблемы разрешения (нем. Entscheidungsproblem), которую сформулировал Давид Гильберт в 1928 году. Следующие этапы формализации были необходимы для определения эффективных вычислений^[1] или «эффективного метода»^[2]; среди таких формализаций — рекурсивные функции Геделя — Эрбрана — Клини 1930, 1934 и 1935 гг., λ-исчисление Алонзо Чёрча 1936 г., «Формулировка 1» Эмиля Поста 1936 года и машина Тьюринга. В методологии алгоритм является базисным понятием и получает качественно новое понятие как оптимальности по мере приближения к прогнозируемому абсолюту. В современном мире алгоритм в формализованном выражении составляет основу образования на примерах, по подобию. На основе сходства алгоритмов различных сфер деятельности была сформирована концепция (теория) экспертных систем.

История термина

Современное формальное определение алгоритма было дано в 30—50-е годы XX века в работах Тьюринга, Поста, Чёрча (тезис Чёрча — Тьюринга), Н. Винера, А. А. Маркова.

Само слово «алгоритм» происходит от имени хорезмского учёного Абу Абдуллах Мухаммеда ибн Муса аль-Хорезми (алгоритм — аль-Хорезми). Около 825 года он написал сочинение, в котором впервые дал описание придуманной в Индии позиционной десятичной системы счисления. К сожалению, персидский оригинал книги не сохранился. Аль-Хорезми сформулировал правила вычислений в новой системе и, вероятно, впервые использовал цифру 0 для обозначения пропущенной позиции в записи числа (её индийское название арабы перевели как as-sifr или просто sifr, отсюда такие слова, как «цифра» и «шифр»). Приблизительно в это же время индийские цифры начали применять и другие арабские учёные. В первой половине XII века книга аль-Хорезми в латинском переводе проникла в Европу. Переводчик, имя которого до нас не дошло, дал ей название Algoritmi de numero Indorum («Алгоритмы о счёте индийском»). По-арабски же книга именовалась Китаб аль-джебр валь-мукабала («Книга о сложении и вычитании»). Из оригинального названия книги происходит слово Алгебра (алгебра — аль-джебр — восполнение).

Таким образом, мы видим, что латинизированное имя среднеазиатского учёного было вынесено в заглавие книги, и сегодня считается, что слово «алгоритм» попало в европейские языки именно благодаря этому сочинению. Однако вопрос о его смысле длительное время вызывал ожесточённые споры. На протяжении многих веков происхождению слова давались самые разные объяснения.

Одни выводили algorism из греческих algiros (больной) и arithmos (число). Из такого объяснения не очень ясно, почему числа именно «больные». Или же лингвистам больными казались люди, имеющие несчастье заниматься вычислениями? Своё объяснение предлагал и энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. В нём алгорифм (кстати, до революции использовалось написание алгориѳм, через фиту) производится «от арабского слова Аль-Горетм, то есть корень». Разумеется, эти объяснения вряд ли можно счесть убедительными.

Упомянутый выше перевод сочинения аль-Хорезми стал первой ласточкой, и в течение нескольких следующих столетий появилось множество других трудов, посвящённых всё тому же вопросу — обучению искусству счёта с помощью цифр. И все они в названии имели слово algoritmi или algorismi.

Про аль-Хорезми позднейшие авторы ничего не знали, но поскольку первый перевод книги начинается словами: «Dixit algorizmi: …» («Аль-Хорезми говорил: …»), всё ещё связывали это слово с именем конкретного человека. Очень распространённой была версия о греческом происхождении книги. В англо-норманнской рукописи XIII века, написанной в стихах, читаем:

Алгоризм был придуман в Греции. Это часть арифметики. Придуман он был мастером по имени Алгоризм, который дал ему своё имя. И поскольку его звали Алгоризм, Он назвал свою книгу «Алгоризм».

Около 1250 года английский астроном и математик Иоанн Сакробоско написал труд по арифметике Algorismus vulgaris, на столетия ставший основным учебником по вычислениям в десятичной позиционной системе счисления во многих европейских университетах. Во введении Сакробоско назвал автором науки о счёте мудреца по имени Алгус (Algus). А в популярной средневековой поэме «Роман о Розе» (1275—1280) Жана де Мена «греческий философ Алгус» ставится в один ряд с Платоном, Аристотелем, Евклидом и Птолемеем! Встречался также вариант написания имени Аргус (Argus). И хотя, согласно древнегреческой мифологии, корабль «Арго» был построен Ясоном, именно этому Арго приписывалось строительство корабля.

«Мастер Алгус» (или Аргус) стал в средневековой литературе олицетворением счётного искусства. И в уже упоминавшейся «Романе о розе», и в известной итальянской поэме «Цветок», написанной Дуранте, имеются фрагменты, в которых говорится, что даже «mestre Argus» не сумеет подсчитать, сколько раз ссорятся и мирятся влюблённые. Английский поэт Джефри Чосер в поэме «Книга герцогини» (1369 г.) пишет, что даже «славный счётчик Аргус» (noble countour Argu) не сможет счесть чудовищ, явившихся в кошмарных видениях герою.

Впрочем, греческая версия была не единственной. Мифический АлГор (Algor) именовался то королём Кастилии (Rex quodam Castelliae), то индийским королём, то арабским мудрецом (philosophus Algus nomine Arabicus), то египетским божеством. Соответственно АлГорРитм — это ритм (порядок) бога Гора (АлГора).

Однако со временем такие объяснения всё менее занимали математиков, и слово algorism (или algorismus), неизменно присутствовавшее в названиях математических сочинений, обрело значение способа выполнения арифметических действий посредством арабских цифр, то есть на бумаге, без использования абака. Именно в таком значении оно вошло во многие европейские языки. Например, с пометкой «устар.» оно присутствует в представительном словаре английского языка Webster’s New World Dictionary, изданном в 1957 г.

Алгоритм — это искусство счёта с помощью цифр, но поначалу слово «цифра» относилось только к нулю. Знаменитый французский трувер Готье де Куанси (Gautier de Coincy, 1177—1236) в одном из стихотворений использовал слова algorismus-cipher (которые означали цифру 0) как метафору для характеристики абсолютно никчёмного человека. Очевидно, понимание такого образа требовало соответствующей подготовки слушателей, а это означает, что новая система счисления уже была им достаточно хорошо известна.

Многие века абак был фактически единственным средством для практичных вычислений, им пользовались и купцы, и менялы, и учёные. Достоинства вычислений на счётной доске разъяснял в своих сочинениях такой выдающийся мыслитель, как Герберт Аврилакский (938—1003), ставший в 999 г. папой римским под именем Сильвестра II. Новое с огромным трудом пробивало себе дорогу, и в историю математики вошло упорное противостояние лагерей алгорисмиков и абацистов (иногда называемых гербекистами), которые пропагандировали использование для вычислений абака вместо арабских цифр. Интересно, что известный французский математик Николя Шюке (Nicolas Chuquet, 1445—1488) в реестр налогоплательщиков города Лиона был вписан как алгорисмик (algoriste). Но прошло не одно столетие, прежде чем новый способ счёта окончательно утвердился, столько времени потребовалось, чтобы выработать общепризнанные обозначения, усовершенствовать и приспособить к записи на бумаге методы вычислений. В Западной Европе учителей арифметики вплоть до XVII века продолжали называть «магистрами абака», как, например, математика Никколо Тарталью (1500—1557).

Итак, сочинения по искусству счёта назывались Алгоритмами. Из многих сотен можно выделить и такие необычные, как написанный в стихах трактат Carmen de Algorismo (латинское carmen и означает стихи) Александра де Вилла Деи (Alexander de Villa Dei, ум. 1240) или учебник венского астронома и математика Георга Пурбаха (Georg Peurbach, 1423—1461) Opus algorismi jocundissimi («Веселейшее сочинение по алгоритму»).

Постепенно значение слова расширялось. Учёные начинали применять его не только к сугубо вычислительным, но и к другим математическим процедурам. Например, около 1360 г. французский философ Николай Орем (Nicolaus Oresme, 1323/25-1382) написал математический трактат Algorismus proportionum («Вычисление пропорций»), в котором впервые использовал степени с дробными показателями и фактически вплотную подошёл к идее логарифмов. Когда же на смену абаку пришёл так называемый счёт на линиях, многочисленные руководства по нему стали называть Algorithmus linealis, то есть правила счёта на линиях.

Можно обратить внимание на то, что первоначальная форма algorismi спустя какое-то время потеряла последнюю букву, и слово приобрело более удобное для европейского произношения вид algorism. Позднее и оно, в свою очередь, подверглось искажению, скорее всего, связанному со словом arithmetic.

В 1684 году Готфрид Лейбниц в сочинении Nova Methodvs pro maximis et minimis, itemque tangentibus… впервые использовал слово «алгоритм» (Algorithmo) в ещё более широком смысле: как систематический способ решения проблем дифференциального исчисления.

В XVIII веке в одном из германских математических словарей, Vollstandiges mathematisches Lexicon (изданном в Лейпциге в 1747 г.), термин algorithmus всё ещё объясняется как понятие о четырёх арифметических операциях. Но такое значение не было единственным, ведь терминология математической науки в те времена ещё только формировалась. В частности, выражение algorithmus infinitesimalis применялось к способам выполнения действий с бесконечно малыми величинами. Пользовался словом алгоритм и Леонард Эйлер, одна из работ которого так и называется — «Использование нового алгоритма для решения проблемы Пелля» (De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo). Мы видим, что понимание Эйлером алгоритма как синонима способа решения задачи уже очень близко к современному.

Однако потребовалось ещё почти два столетия, чтобы все старинные значения слова вышли из употребления. Этот процесс можно проследить на примере проникновения слова «алгоритм» в русский язык.

Историки датируют 1691 годом один из списков древнерусского учебника арифметики, известного как «Счётная мудрость». Это сочинение известно во многих вариантах (самые ранние из них почти на сто лет старше) и восходит к ещё более древним рукописям XVI в. По ним можно проследить, как знание арабских цифр и правил действий с ними постепенно распространялось на Руси. Полное название этого учебника — «Сия книга, глаголемая по еллински и по гречески арифметика, а по немецки алгоризма, а по русски цифирная счётная мудрость».

Таким образом, слово «алгоритм» понималось первыми русскими математиками так же, как и в Западной Европе. Однако его не было ни в знаменитом словаре В. И. Даля, ни спустя сто лет в «Толковом словаре русского языка» под редакцией Д. Н. Ушакова (1935 г.). Зато слово «алгорифм» можно найти и в популярном дореволюционном Энциклопедическом словаре братьев Гранат, и в первом издании Большой советской энциклопедии (БСЭ), изданном в 1926 г. И там, и там оно трактуется одинаково: как правило, по которому выполняется то или иное из четырёх арифметических действий в десятичной системе счисления. Однако к началу XX в. для математиков слово «алгоритм» уже означало любой арифметический или алгебраический процесс, выполняемый по строго определённым правилам, и это объяснение также даётся в следующих изданиях БСЭ.

Алгоритмы становились предметом всё более пристального внимания учёных, и постепенно это понятие заняло одно из центральных мест в современной математике. Что же касается людей, от математики далёких, то к началу сороковых годов это слово они могли услышать разве что во время учёбы в школе, в сочетании «алгоритм Евклида». Несмотря на это, алгоритм всё ещё воспринимался как термин сугубо специальный, что подтверждается отсутствием соответствующих статей в менее объёмных изданиях. В частности, его нет даже в десятитомной Малой советской энциклопедии (1957 г.), не говоря уже об однотомных энциклопедических словарях. Но зато спустя десять лет, в третьем издании Большой советской энциклопедии (1969 г.) алгоритм уже характеризуется как одна из основных категорий математики, «не обладающих формальным определением в терминах более простых понятий, и абстрагируемых непосредственно из опыта». Как мы видим, отличие даже от трактовки первым изданием БСЭ разительное! За сорок лет алгоритм превратился в одно из ключевых понятий математики, и признанием этого стало включение слова уже не в энциклопедии, а в словари. Например, оно присутствует в академическом «Словаре русского языка» (1981 г.) именно как термин из области математики.

Одновременно с развитием понятия алгоритма постепенно происходила и его экспансия из чистой математики в другие сферы. И начало ей положило появление компьютеров, благодаря которому слово «алгоритм» вошло в 1985 г. во все школьные учебники информатики и обрело новую жизнь. Вообще можно сказать, что его сегодняшняя известность напрямую связана со степенью распространения компьютеров. Например, в третьем томе «Детской энциклопедии» (1959 г.) о вычислительных машинах говорится немало, но они ещё не стали чем-то привычным и воспринимаются скорее как некий атрибут светлого, но достаточно далёкого будущего. Соответственно и алгоритмы ни разу не упоминаются на её страницах. Но уже в начале 70-х гг. прошлого столетия, когда компьютеры перестали быть экзотической диковинкой, слово «алгоритм» стремительно входит в обиход. Это чутко фиксируют энциклопедические издания. В «Энциклопедии кибернетики» (1974 г.) в статье «Алгоритм» он уже связывается с реализацией на вычислительных машинах, а в «Советской военной энциклопедии» (1976 г.) даже появляется отдельная статья «Алгоритм решения задачи на ЭВМ». За последние полтора-два десятилетия компьютер стал неотъемлемым атрибутом нашей жизни, компьютерная лексика становится всё более привычной. Слово «алгоритм» в наши дни известно, вероятно, каждому. Оно уверенно шагнуло даже в разговорную речь, и сегодня мы нередко встречаем в газетах и слышим в выступлениях политиков выражения вроде «алгоритм поведения», «алгоритм успеха» или даже «алгоритм предательства». Академик Н. Н. Моисеев назвал свою книгу «Алгоритмы развития», а известный врач Н. М. Амосов — «Алгоритм здоровья» и «Алгоритмы разума». А это означает, что слово живёт, обогащаясь всё новыми значениями и смысловыми оттенками.

Определения алгоритма

Формальное определение

Разнообразные теоретические проблемы математики и ускорение развития физики и техники поставили на повестку дня точное определение понятия алгоритма.

Первые попытки уточнения понятия алгоритма и его исследования осуществляли в первой половине XX века Алан Тьюринг, Эмиль Пост, Жак Эрбран, Курт Гедель, А. А. Марков, Алонзо Чёрч. Было разработано несколько определений понятия алгоритма, но впоследствии было выяснено, что все они определяют одно и то же понятие (см. Тезис Чёрча — Тьюринга)^[3]

Машина Тьюринга

Основная идея, лежащая в основе машины Тьюринга, очень проста. Машина Тьюринга — это абстрактная машина (автомат), работающая с лентой отдельных ячеек, в которых записаны символы. Машина также имеет головку для записи и чтения символов из ячеек, которая может двигаться вдоль ленты. На каждом шагу машина считывает символ из ячейки, на которую указывает головка, и, на основе считанного символа и внутреннего состояния, делает следующий шаг. При этом, машина может изменить свое состояние, записать другой символ в ячейку или передвинуть головку на одну ячейку вправо или влево.^[4]

На основе исследования этих машин был выдвинут тезис Тьюринга (основная гипотеза алгоритмов):

Этот тезис является аксиомой, постулатом, и не может быть доказан математическими методами, поскольку алгоритм не является точным математическим понятием.

Рекурсивные функции

С каждым алгоритмом можно сопоставить функцию, которую он вычисляет. Однако возникает вопрос, можно ли произвольной функции сопоставить машину Тьюринга, а если нет, то для каких функций существует алгоритм? Исследования этих вопросов привели к созданию в 1930-х годах теории рекурсивных функций^[5].

Класс вычислимых функций был записан в образ, напоминающий построение некоторой аксиоматической теории на базе системы аксиом. Сначала были выбраны простейшие функции, вычисление которых очевидно. Затем были сформулированы правила (операторы) построения новых функций на основе уже существующих. Необходимый класс функций состоит из всех функций, которые можно получить из простейших применением операторов.

Подобно тезису Тьюринга в теории вычислительных функций была выдвинута гипотеза, которая называется тезис Чёрча:

Доказательство того, что класс вычислимых функций совпадает с исчисляемыми по Тьюрингу, происходит в два шага: сначала доказывают вычисление простейших функций на машине Тьюринга, а затем — вычисление функций, полученных в результате применения операторов.

Таким образом, неформально алгоритм можно определить как четкую систему инструкций, определяющих дискретный детерминированный процесс, который ведет от начальных данных (на входе) к искомому результату (на выходе), если он существует, за конечное число шагов; если искомого результата не существует, алгоритм или никогда не завершает работу, либо заходит в тупик.

Нормальный алгоритм Маркова

Нормальный алгоритм Маркова — это система последовательных применений подстановок, которые реализуют определенные процедуры получения новых слов из базовых, построенных из символов некоторого алфавита. Как и машина Тьюринга, нормальные алгоритмы не выполняют самих вычислений: они лишь выполняют преобразование слов путем замены букв по заданным правилам^[6].

Нормально вычислимой называют функцию, которую можно реализовать нормальным алгоритмом. То есть, алгоритмом, который каждое слово из множества допустимых данных функции превращает в ее исходные значения^[7]..

Создатель теории нормальных алгоритмов А. А. Марков выдвинул гипотезу, которая получила название принцип нормализации Маркова:

Подобно тезисам Тьюринга и Черча, принцип нормализации Маркова не может быть доказан математическими средствами.

Стохастические алгоритмы

Однако, приведенное выше формальное определение алгоритма в некоторых случаях может быть слишком строгим. Иногда возникает потребность в использовании случайных величин^[8]. Алгоритм, работа которого определяется не только исходными данными, но и значениями, полученными из генератора случайных чисел, называют стохастическим (или рандомизированным, от англ. randomized algorithm)^[9]. Формально, такие алгоритмы нельзя называть алгоритмами, поскольку существует вероятность (близкая к нулю), что они не остановятся. Однако, стохастические алгоритмы часто бывают эффективнее детерминированных, а в отдельных случаях — единственным способом решить задачу^[8].

На практике вместо генератора случайных чисел используют генератор псевдослучайных чисел.

Однако следует отличать стохастические алгоритмы и методы, которые дают с высокой вероятностью правильный результат. В отличие от метода, алгоритм дает корректные результаты даже после продолжительной работы.

Некоторые исследователи допускают возможность того, что стохастический алгоритм даст с некоторой заранее известной вероятностью неправильный результат. Тогда стохастические алгоритмы можно разделить на два типа^[10]:

• алгоритмы типа Лас-Вегас всегда дают корректный результат, но время их работы не определено.
• алгоритмы типа Монте-Карло, в отличие от предыдущих, могут давать неправильные результаты с известной вероятностью (их часто называют методами Монте-Карло).

Другие формализации

Для некоторых задач названные выше формализации могут затруднять поиск решений и осуществление исследований. Для преодоления препятствий были разработаны как модификации «классических» схем, так и созданы новые модели алгоритма. В частности, можно назвать:

• многоленточная и недетерминированная машины Тьюринга;
• регистровая и РАМ машина — прототип современных компьютеров и виртуальных машин;
• конечные и клеточные автоматы

и другие.

Формальные свойства алгоритмов

Различные определения алгоритма в явной или неявной форме содержат следующий ряд общих требований:

• Дискретность — алгоритм должен представлять процесс решения задачи как последовательное выполнение некоторых простых шагов. При этом для выполнения каждого шага алгоритма требуется конечный отрезок времени, то есть преобразование исходных данных в результат осуществляется во времени дискретно.
• Детерминированность (определённость). В каждый момент времени следующий шаг работы однозначно определяется состоянием системы. Таким образом, алгоритм выдаёт один и тот же результат (ответ) для одних и тех же исходных данных. В современной трактовке у разных реализаций одного и того же алгоритма должен быть изоморфный граф. С другой стороны, существуют вероятностные алгоритмы, в которых следующий шаг работы зависит от текущего состояния системы и генерируемого случайного числа. Однако при включении метода генерации случайных чисел в список «исходных данных», вероятностный алгоритм становится подвидом обычного.
• Понятность — алгоритм должен включать только те команды, которые доступны исполнителю и входят в его систему команд.
• Завершаемость (конечность) — при корректно заданных исходных данных алгоритм должен завершать работу и выдавать результат за конечное число шагов.^{[источник не указан 713 дней]} С другой стороны, вероятностный алгоритм может и никогда не выдать результат, но вероятность этого равна 0.
• Массовость (универсальность). Алгоритм должен быть применим к разным наборам исходных данных.
• Результативность — завершение алгоритма определёнными результатами.
• Алгоритм содержит ошибки, если приводит к получению неправильных результатов либо не даёт результатов вовсе.
• Алгоритм не содержит ошибок, если он даёт правильные результаты для любых допустимых исходных данных.

Виды алгоритмов

Особую роль выполняют прикладные алгоритмы, предназначенные для решения определённых прикладных задач. Алгоритм считается правильным, если он отвечает требованиям задачи (например, даёт физически правдоподобный результат). Алгоритм (программа) содержит ошибки, если для некоторых исходных данных он даёт неправильные результаты, сбои, отказы или не даёт никаких результатов вообще. Последний тезис используется в олимпиадах по алгоритмическому программированию, чтобы оценить составленные участниками программы.

Важную роль играют рекурсивные алгоритмы (алгоритмы, вызывающие сами себя до тех пор, пока не будет достигнуто некоторое условие возвращения). Начиная с конца XX — начала XXI века активно разрабатываются параллельные алгоритмы, предназначенные для вычислительных машин, способных выполнять несколько операций одновременно.

Нумерация алгоритмов

Нумерация алгоритмов играет важную роль в их исследовании и анализе^[11]. Поскольку любой алгоритм можно задать в виде конечного слова (представить в виде конечной последовательности символов некоторого алфавита), а множество всех конечных слов в конечном алфавите счётное, то множество всех алгоритмов также счётное. Это означает существование взаимно однозначного отображения между множеством натуральных чисел и множеством алгоритмов, то есть возможность присвоить каждому алгоритму номер.

Нумерация алгоритмов является одновременно и нумерацией всех алгоритмически исчисляемых функций, причем любая функция может иметь бесконечное количество номеров.

Существование нумерации позволяет работать с алгоритмами так же, как с числами. Особенно полезна нумерация в исследовании алгоритмов, работающих с другими алгоритмами.

Алгоритмически неразрешимые задачи

Формализация понятия алгоритма позволила исследовать существование задач, для которых не существует алгоритмов поиска решений. Впоследствии была доказана невозможность алгоритмического вычисления решений ряда задач, что делает невозможным их решение на любом вычислительном устройстве. Функцию называют вычислимой (англ. computable), если существует машина Тьюринга, которая вычисляет значение для всех элементов множества определения функции. Если такой машины не существует, функция называют невычислимой. Функция будет считаться невычислимой, даже если существуют машины Тьюринга, способные вычислить значение для подмножества из всего множества входных данных^[12].

Случай, когда результатом вычисления функции является логическое выражение «истина» или «ложь» (или множество {0, 1}), называют задачей, которая может быть решаемой или нерешаемой в зависимости от вычислимости функции ^[12].

Важно точно указывать допустимое множество входных данных, поскольку задача может быть решаемой для одного множества и нерешаемой для другого.

Одной из первых задач, для которой была доказана нерешаемость, является проблема остановки. Формулируется она следующим образом:

Доказательство неразрешимости проблемы остановки важно тем, что к ней можно свести другие задачи. Например, простую проблему остановки можно свести к задаче остановки на пустой строке (когда нужно определить для заданной машины Тьюринга, остановится ли она, будучи запущенной на пустой строке), доказав тем самым неразрешимость последней. ^[12].

Анализ алгоритмов

Вместе с распространением информационных технологий увеличился риск программных сбоев. Одним из способов избежания ошибок в алгоритмах и их реализациях служат доказательства корректности систем математическими средствами.

Использование математического аппарата для анализа алгоритмов и их реализаций называют формальными методами. Формальные методы предусматривают применение формальных спецификаций и, обычно, набора инструментов для синтаксического анализа и доказательства свойств спецификаций. Абстрагирование от деталей реализации позволяет установить свойства системы независимо от ее реализации. Кроме того, точность и однозначность математических утверждений позволяет избежать многозначности и неточности естественных языков^[14].

По гипотезе Ричарда Мейса, «избежание ошибок лучше устранения ошибок»^[15]. По гипотезе Хоара, «доказательство программ решает проблему корректности, документации и совместимости»^[16]. Доказательство корректности программ позволяет выявлять их свойства по отношению ко всему диапазону входных данных. Для этого понятие корректности было разделено на два типа:

• Частичная корректность — программа дает правильный результат для тех случаев, когда она завершается.
• Полная корректность — программа завершает работу и выдает правильный результат для всех элементов из диапазона входных данных.

Во время доказательства корректности сравнивают текст программы со спецификацией желаемого соотношения входных-выходных данных. Для доказательств типа Хоара эта спецификация имеет вид утверждений, которые называют предусловиями и постусловиями. В совокупности с самой программой, их еще называют тройкой Хоара. Эти утверждения записывают

P{Q}R

где P — это предусловие, что должно выполняться перед запуском программы Q, а R — постусловие, правильное после завершения работы программы.

Формальные методы были успешно применены для широкого круга задач, в частности: разработке электронных схем, искусственного интеллекта, автоматических систем на железной дороге, верификации микропроцессоров, спецификации стандартов и спецификации и верификации программ^[17].

Время работы

Распространенным критерием оценки алгоритмов является время работы и порядок роста продолжительности работы в зависимости от объема входных данных.^[18]

Для каждой конкретной задачи составляют некоторое число, которое называют ее размером. Например, размером задачи вычисления произведения матриц может быть наибольший размер матриц-множителей, для задач на графах размером может быть количество ребер графа.

Время, которое тратит алгоритм как функция от размера задачи , называют временной сложностью этого алгоритма T(n). Асимптотику поведения этой функции при увеличении размера задачи называют асимптотичной временной сложностью, а для ее обозначения используют специальную нотацию.

Именно асимптотическая сложность определяет размер задач, которые алгоритм способен обработать. Например, если алгоритм обрабатывает входные данные размером за время cn², где c — некоторая константа, то говорят, что временная сложность такого алгоритма O(n²).

Часто, во время разработки алгоритма пытаются уменьшить асимптотическую временную сложность для наихудших случаев. На практике же бывают случаи, когда достаточным является алгоритм, который «обычно» работает быстро.

Грубо говоря, анализ средней асимптотической временной сложности можно разделить на два типа: аналитический и статистический. Аналитический метод дает более точные результаты, но сложен в использовании на практике. Зато статистический метод позволяет быстрее осуществлять анализ сложных задач^[19].

В следующей таблице приведены распространенные асимптотические сложности с комментариями^[20].

Сложность	Комментарий	Примеры
O(1)	Устойчивое время работы не зависит от размера задачи	Ожидаемое время поиска в в хеш-таблице
O(log log n)	Очень медленный рост необходимого времени	Ожидаемое время работы интерполирующего поиска n элементов
O(log n)	Логарифмический рост — удвоение размера задачи увеличивает время работы на постоянную величину	Вычисление xn; Двоичный поиск в массиве из n элементов
O(n)	Линейный рост — удвоение размера задачи удвоит и необходимое время	Сложение/вычитание чисел из n цифр; Линейный поиск в массиве из n элементов
O(n log n)	Линеаритмичный рост — удвоение размера задачи увеличит необходимое время чуть более чем вдвое	Сортировка слиянием или кучей n элементов; нижняя граница сортировки сопоставлением n элементов
O(n²)	Квадратичный рост — удвоение размера задачи увеличивает необходимое время в четыре раза	Элементарные алгоритмы сортировки
O(n³)	Кубичный рост — удвоение размера задачи увеличивает необходимое время в восемь раз	Обычное умножение матриц
O(cn)	Экспоненциальный рост — увеличение размера задачи на 1 приводит к c-кратному увеличению необходимого времени; удвоение размера задачи увеличивает необходимое время в квадрат	Некоторые задачи коммивояжёра, алгоритмы поиска полным перебором

Наличие исходных данных и некоторого результата

Алгоритм — это точно определённая инструкция, последовательно применяя которую к исходным данным, можно получить решение задачи. Для каждого алгоритма есть некоторое множество объектов, допустимых в качестве исходных данных. Например, в алгоритме деления вещественных чисел делимое может быть любым, а делитель не может быть равен нулю.

Алгоритм служит, как правило, для решения не одной конкретной задачи, а некоторого класса задач. Так, алгоритм сложения применим к любой паре натуральных чисел. В этом выражается его свойство массовости, то есть возможности применять многократно один и тот же алгоритм для любой задачи одного класса.

Для разработки алгоритмов и программ используется алгоритмизация — процесс систематического составления алгоритмов для решения поставленных прикладных задач. Алгоритмизация считается обязательным этапом в процессе разработки программ и решении задач на ЭВМ. Именно для прикладных алгоритмов и программ принципиально важны детерминированность, результативность и массовость, а также правильность результатов решения поставленных задач.

Алгоритм — это понятное и точное предписание, исполнительно совершить последовательность действий, направленных на достижение цели.

Представление алгоритмов

Формы записи алгоритма:

• словесная или вербальная (языковая, формульно-словесная);
• дракон-схема;
• псевдокод (формальные алгоритмические языки);
• схематическая:
  • структурограммы (схемы Насси-Шнайдермана);
  • графическая (блок-схемы).

Обычно сначала (на уровне идеи) алгоритм описывается словами, но по мере приближения к реализации он обретает всё более формальные очертания и формулировку на языке, понятном исполнителю (например, машинный код).

Эффективность алгоритмов

Хотя в определении алгоритма требуется лишь конечность числа шагов, требуемых для достижения результата, на практике выполнение даже хотя бы миллиарда шагов является слишком медленным. Также обычно есть другие ограничения (на размер программы, на допустимые действия). В связи с этим вводят такие понятия как сложность алгоритма (временна́я, по размеру программы, вычислительная и др.).

Для каждой задачи может существовать множество алгоритмов, приводящих к цели. Увеличение эффективности алгоритмов составляет одну из задач современной информатики. В 50-х гг. XX века появилась даже отдельная её область — быстрые алгоритмы. В частности, в известной всем с детства задаче об умножении десятичных чисел обнаружился ряд алгоритмов, позволяющих существенно (в асимптотическом смысле) ускорить нахождение произведения. См. быстрое умножение

Ярким примером является алгоритм Чудновского для вычисления числа .

Пример

В качестве примера можно привести алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида — эффективный метод вычисления наибольшего общего делителя (НОД). Назван в честь греческого математика Евклида; один из древнейших алгоритмов, который используют до сих пор^[21].

Описан в «Началах» Евклида (примерно 300 до н. э.), а именно в книгах VII и X. В седьмой книге описан алгоритм для целых чисел, а в десятой — для длин отрезков.

Существует несколько вариантов алгоритма, ниже записанный в псевдокоде рекурсивный вариант:

функция нод(a, b)
    если b = 0
       возврат a
    иначе
       возврат нод(b, a mod b)

НОД чисел 1599 и 650:

Шаг 1	1599 = 650*2 + 299
Шаг 2	650 = 299*2 + 52
Шаг 3	299 = 52*5 + 39
Шаг 4	52 = 39*1 + 13
Шаг 5	39 = 13*3 + 0

См. также

• Список алгоритмов
• Адаптивный алгоритм
• Метаалгоритм
• Теория алгоритмов

Примечания

Литература

• Томас Х. Кормен, Чарльз И. Лейзерсон, Рональд Л. Ривест, Клиффорд Штайн. Алгоритмы: построение и анализ = INTRODUCTION TO ALGORITHMS. — 2-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 1296. — ISBN 0-07-013151-1
• Дональд Кнут Искусство программирования, том 1. Основные алгоритмы = The Art of Computer Programming, vol.1. Fundamental Algorithms. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2006. — С. 720. — ISBN 0-201-89683-4

• Порублев Илья Николаевич, Ставровский Андрей Борисович. Алгоритмы и программы. Решение олимпиадных задач. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 480. — ISBN 978-5-8459-1244-2

• Игошин В. И. Математическая логика и теория алгоритмов. — 2-е изд., стер.. — М.: ИЦ «Академия», 2008. — 448 с. — ISBN 5-7695-1363-2

Ссылки

	алгоритм в Викисловаре?
	Что такое алгоритм в Викиучебнике?

• «Слово „алгоритм“: происхождение и развитие», В. В. Шилов, Журнал «Потенциал» — источник исторических сведений.
• Алгоритмы, методы, исходники — сайт по алгоритмам и методам программирования
• Дискретная математика: Алгоритмы — список алгоритмов
• Юрий Лифшиц. Курс лекций Алгоритмы для Интернета
• Геометрические алгоритмы
• об алгоритме в энциклопедии «Кругосвет»
• Сборник алгоритмов на сайте e-maxx.ru

Алгоритм (от латинской формы имени среднеазиатского математика аль-Хорезми) — правило действий, последовательность проведения вычислительных операций, способ нахождения искомого результата.

В традиционной трактовке алгоритм — это точный набор инструкций, описывающих последовательность действий исполнителя для достижения результата решения задачи за конечное время. По мере развития параллельности в работе компьютеров слово «последовательность» стали заменять более общим словом «порядок». Это связано с тем, что какие-то действия алгоритма должны быть выполнены только друг за другом, но какие-то могут быть и независимыми. Ранее часто писали «алгорифм», сейчас такое написание используется редко.

Часто в качестве исполнителя выступает некоторый механизм (компьютер, токарный станок, швейная машина), но понятие алгоритма необязательно относится к компьютерным программам, так, например, чётко описанный рецепт приготовления блюда также является алгоритмом — в таком случае исполнителем является человек.

Понятие алгоритма — одно из основных в программировании и информатике. Запись алгоритма на формальном языке называется программой. Иногда само понятие алгоритма отождествляется с его записью, так что слова «алгоритм» и «программа» — почти синонимы. 

Определения и признаки алгоритма

Единого «истинного» определения понятия «алгоритм» нет, (см. перечень определений).

Современное формальное определение алгоритма было разработано в 30–50-х гг. XX века в работах Тьюринга, Поста, Чёрча (тезис Чёрча — Тьюринга), Н. Винера, А.А. Маркова.

Различные определения алгоритма в явной или неявной форме содержат следующий ряд общих требований: 

• Детерминированность — определённость. В каждый момент времени следующий шаг работы однозначно определяется состоянием системы. Таким образом, алгоритм выдаёт один и тот же результат (ответ) для одних и тех же исходных данных. В современной трактовке у разных реализаций одного и того же алгоритма должен быть изоморфный граф. С другой стороны, существуют вероятностные алгоритмы, в которых следующий шаг работы зависит от текущего состояния системы и генерируемого случайного числа. Однако при включении метода генерации случайных чисел в список «исходных данных», вероятностный алгоритм становится подвидом обычного.
• Понятность — алгоритм для исполнителя должен включать только те команды, которые ему (исполнителю) доступны, которые входят в его систему команд.
• Завершаемость (конечность) — при корректно заданных исходных данных алгоритм должен завершать работу и выдавать результат за конечное число шагов. С другой стороны, вероятностный алгоритм может и никогда не выдать результат, но вероятность этого равна 0.
• Массовость — алгоритм должен быть применим к разным наборам исходных данных.
• Результативность — завершение алгоритма определенными результатами. 

Профессор Дейкстра первым показал в своих статьях и книге «Дисциплина программирования», как составляются алгоритмы и программы без ошибок с доказательствами их правильности.

История термина

 Откуда взялось слово алгоритм? Перевод сочинения аль-Хорезми стал первой ласточкой, и в течение нескольких следующих столетий появилось множество других трудов, посвящённых обучению искусству счёта с помощью цифр. И все они в названии имели слово algoritmi или algorismi, восходящее к имени учёного. 

Про аль-Хорезми позднейшие авторы ничего не знали, но поскольку первый перевод книги начинается словами: «Dixit algorizmi: …» («Аль-Хорезми говорил: …»), всё ещё связывали это слово с именем конкретного человека. Очень распространённой была версия о греческом происхождении книги.

Около 1250 года английский астроном и математик Иоанн Сакробоско написал труд по арифметике «Algorismus vulgaris», на столетия ставший основным учебником по вычислениям в десятичной позиционной системе счисления во многих европейских университетах. Во введении Сакробоско назвал автором науки о счёте мудреца по имени Алгус (Algus). А в популярной средневековой поэме «Роман о розе» (1275—1280) Жана де Мена «греческий философ Алгус» ставится в один ряд с Платоном, Аристотелем, Евклидом и Птолемеем! Встречался также вариант написания имени Аргус (Argus). И хотя, согласно древнегреческой мифологии, корабль «Арго» был построен Ясоном, именно этому Арго приписывалось строительство корабля.

«Мастер Алгус» (или Аргус) стал в средневековой литературе олицетворением счетного искусства. И в уже упоминавшейся «Поэме о розе», и в известной итальянской поэме «Цветок», написанной Дуранте, имеются фрагменты, в которых говорится, что даже «mestre Argus» не сумеет подсчитать, сколько раз ссорятся и мирятся влюблённые. Великий английский поэт Джефри Чосер в поэме «Книга герцогини» (1369) пишет, что даже «славный счётчик Аргус» (noble countour Argus) не сможет счесть чудовищ, явившихся в кошмарных видениях герою.

Однако со временем такие объяснения всё менее занимали математиков, и слово algorism (или algorismus), неизменно присутствовавшее в названиях математических сочинений, обрело значение способа выполнения арифметических действий посредством арабских цифр, то есть на бумаге, без использования абака. Именно в таком значении оно вошло во многие европейские языки. Например, с пометкой «устар.» оно присутствует в представительном словаре английского языка Webster’s New World Dictionary, изданном в 1957 г.

Знаменитый французский трувер Готье де Куанси (Gautier de Coincy, 1177–1236) в одном из стихотворений использовал слова algorismus-cipher (которые означали цифру 0) как метафору для характеристики абсолютно никчёмного человека. Очевидно, понимание такого образа требовало соответствующей подготовки слушателей, а это означает, что новая система счисления уже была им достаточно хорошо известна.

Многие века абак был фактически единственным средством для практичных вычислений, им пользовались и купцы, и менялы, и учёные. Достоинства вычислений на счётной доске разъяснял в своих сочинениях такой выдающийся мыслитель, как Герберт Аврилакский (938–1003), ставший в 999 г. Папой римским под именем Сильвестра II. Новое с огромным трудом пробивало себе дорогу, и в историю математики вошло упорное противостояние лагерей абацистов и алгорисмиков (первых иногда ещё называли гербекистами), которые пропагандировали использование для вычислений абака вместо арабских цифр. Интересно, что известный французский математик Николя Шюке (Nicolas Chuquet, 1445–1488) в реестр налогоплательщиков города Лиона был вписан как алгорисмик (algoriste). Но прошло не одно столетие, прежде чем новый способ счёта окончательно утвердился, столько времени потребовалось, чтобы выработать общепризнанные обозначения, усовершенствовать и приспособить к записи на бумаге методы вычислений. В Западной Европе учителей арифметики вплоть до XVII века продолжали называть «магистрами абака», как, например, математика Никколо Тарталью (1500–1557).

Итак, сочинения по искусству счёта назывались Алгоритмами. Из многих сотен можно выделить и такие необычные, как написанный в стихах трактат «Carmen de Algorismo» (латинское carmen и означает стихи) Александра де Вилла Деи (Alexander de Villa Dei, ум. 1240) или учебник венского астронома и математика Георга Пурбаха (Georg Peurbach, 1423–1461) «Opus algorismi jocundissimi» («Веселейшее сочинение по алгоритму»).

Постепенно значение слова расширялось. Учёные начинали применять его не только к сугубо вычислительным, но и к другим математическим процедурам. Например, около 1360 г. французский философ Николай Орем (Nicolaus Oresme, 1323/25–1382) написал математический трактат «Algorismus proportionum» («Вычисление пропорций»), в котором впервые использовал степени с дробными показателями и фактически вплотную подошёл к идее логарифмов. Когда же на смену абаку пришёл так называемый счёт на линиях, многочисленные руководства по нему стали называть «Algorithmus linealis», то есть правила счёта на линиях. Первоначальная форма algorismi спустя какое-то время потеряла последнюю букву, и слово приобрело более удобное для европейского произношения вид algorism. Позднее и оно, в свою очередь, подверглось искажению, скорее всего, связанному со словом arithmetic.

В 1684 г. Готфрид Лейбниц в сочинении «Nova Methodvs pro maximis et minimis, itemque tangentibus…» впервые использовал слово «алгоритм» (Algorithmo) в ещё более широком смысле: как систематический способ решения проблем дифференциального исчисления.

В XVIII в. в одном из германских математических словарей, Vollstandiges mathematisches Lexicon (изданном в Лейпциге в 1747 г.), термин algorithmus всё ещё объясняется как понятие о четырёх арифметических операциях. Но такое значение не было единственным, ведь терминология математической науки в те времена ещё только формировалась. В частности, выражение algorithmus infinitesimalis применялось к способам выполнения действий с бесконечно малыми величинами. Пользовался словом алгоритм и Леонард Эйлер, одна из работ которого так и называется — «Использование нового алгоритма для решения проблемы Пелля» («De usu novi algorithmi in problemate Pelliano solvendo»). Понимание Эйлером алгоритма как синонима способа решения задачи уже очень близко к современному.

Однако потребовалось ещё почти два столетия, чтобы все старинные значения слова вышли из употребления. Этот процесс можно проследить на примере проникновения слова «алгоритм» в русский язык.

Историки датируют 1691 годом один из списков древнерусского учебника арифметики, известного как «Счётная мудрость». Это сочинение известно во многих вариантах (самые ранние из них почти на сто лет старше) и восходит к ещё более древним рукописям XVI в. По ним можно проследить, как знание арабских цифр и правил действий с ними постепенно распространялось на Руси. Полное название этого учебника — «Сия книга, глаголемая по еллински и по гречески арифметика, а по немецки алгоризма, а по русски цифирная счётная мудрость».

Таким образом, слово «алгоритм» понималось первыми русскими математиками так же, как и в Западной Европе. Однако его не было ни в знаменитом словаре В.И. Даля, ни спустя сто лет в «Толковом словаре русского языка» под редакцией Д.Н. Ушакова (1935). Зато слово «алгорифм» можно найти и в популярном дореволюционном Энциклопедическом словаре братьев Гранат, и в первом издании Большой Советской Энциклопедии (БСЭ), изданном в 1926 г. И там, и там оно трактуется одинаково: как правило, по которому выполняется то или иное из четырёх арифметических действий в десятичной системе счисления. Однако к началу XX в. для математиков слово «алгоритм» уже означало любой арифметический или алгебраический процесс, выполняемый по строго определённым правилам, и это объяснение также даётся в БСЭ.

Алгоритмы становились предметом все более пристального внимания учёных, и постепенно это понятие заняло одно из центральных мест в современной математике. Что же касается людей, от математики далёких, то к началу сороковых годов это слово они могли услышать разве что во время учебы в школе, в сочетании «алгоритм Евклида». Несмотря на это, алгоритм все ещё воспринимался как термин сугубо специальный, что подтверждается отсутствием соответствующих статей в менее объёмных изданиях. В частности, его нет даже в десятитомной Малой Советской Энциклопедии (1957), не говоря уже об однотомных энциклопедических словарях. Но зато спустя десять лет, в третьем издании Большой советской энциклопедии (1969) алгоритм уже характеризуется как одна из основных категорий математики, «не обладающих формальным определением в терминах более простых понятий, и абстрагируемых непосредственно из опыта». Отличие даже от трактовки первым изданием БСЭ разительное! За сорок лет алгоритм превратился в одно из ключевых понятий математики, и признанием этого стало включение слова уже не в энциклопедии, а в словари. Например, оно присутствует в академическом «Словаре русского языка» (1981) именно как термин из области математики.

Одновременно с развитием понятия алгоритма постепенно происходила и его экспансия из чистой математики в другие сферы. И начало ей положило появление компьютеров, благодаря которому слово «алгоритм» вошло в 1985 г. во асе школьные учебники информатики и обрело новую жизнь. Вообще можно сказать, что его сегодняшняя известность напрямую связана со степенью распространения компьютеров. Например, в третьем томе «Детской энциклопедии» (1959) о вычислительных машинах говорится немало, но они ещё не стали чем-то привычным и воспринимаются скорее как некий атрибут светлого, но достаточно далёкого будущего. Соответственно и алгоритмы ни разу не упоминаются на её страницах. Но уже в начале 70-х гг. прошлого столетия, когда компьютеры перестали быть экзотической диковинкой, слово «алгоритм» стремительно входит в обиход. Это чутко фиксируют энциклопедические издания. В «Энциклопедии кибернетики» (1974) в статье «Алгоритм» он уже связывается с реализацией на вычислительных машинах, а в «Советской военной энциклопедии» (1976) даже появляется отдельная статья «Алгоритм решения задачи на ЭВМ».

За последние полтора-два десятилетия компьютер стал неотъемлемым атрибутом нашей жизни, компьютерная лексика становится все более привычной. Слово «алгоритм» в наши дни известно, вероятно, каждому. Оно уверенно шагнуло даже в разговорную речь, и сегодня мы нередко встречаем в газетах и слышим в выступлениях политиков выражения вроде «алгоритм поведения», «алгоритм успеха» или даже «алгоритм предательства». Академик Н.Н. Моисеев назвал свою книгу «Алгоритмы развития», а известный врач Н.М. Амосов — «Алгоритм здоровья» и «Алгоритмы разума». Слово обогащалось все новыми значениями и смысловыми оттенками.

Виды алгоритмов

Особую роль выполняют прикладные алгоритмы, предназначенные для решения определенных прикладных задач. Алгоритм считается правильным, если он отвечает требованиям задачи (например, даёт физически правдоподобный результат). Алгоритм (программа) содержит ошибки, если для некоторых исходных данных он дает неправильные результаты, сбои, отказы или не дает никаких результатов вообще. Последний тезис используется в олимпиадах по алгоритмическому программированию, чтобы оценить составленные участниками программы.

Важную роль играют рекурсивные алгоритмы (алгоритмы, вызывающие сами себя до тех пор, пока не будет достигнуто некоторое условие возвращения). Начиная с конца XX — начала XXI века активно разрабатываются параллельные алгоритмы, предназначенные для вычислительных машин, способных выполнять несколько операций одновременно.

Наличие исходных данных и некоторого результата

Алгоритм — это точно определённая инструкция, последовательно применяя которую к исходным данным, можно получить решение задачи. Для каждого алгоритма есть некоторое множество объектов, допустимых в качестве исходных данных. Например, в алгоритме деления вещественных чисел делимое может быть любым, а делитель не может быть равен нулю.

Алгоритм служит, как правило, для решения не одной конкретной задачи, а некоторого класса задач. Так, алгоритм сложения применим к любой паре натуральных чисел. В этом выражается его свойство массовости, то есть возможности применять многократно один и тот же алгоритм для любой задачи одного класса.

Для разработки алгоритмов и программ используется алгоритмизация — процесс систематического составления алгоритмов для решения поставленных прикладных задач. Алгоритмизация считается обязательным этапом в процессе разработки программ и решении задач на ЭВМ. Именно для прикладных алгоритмов и программ принципиально важны детерминированность, результативность и массовость, а также правильность результатов решения поставленных задач.

Форма алгоритмов

Алгоритм может быть записан словами и изображён схематически. Обычно сначала (на уровне идеи) алгоритм описывается словами, но по мере приближения к реализации он обретает всё более формальные очертания и формулировку на языке, понятном исполнителю (например, машинный код). Например, для описания алгоритма применяются блок-схемы. Другим вариантом описания, не зависимым от языка программирования, является псевдокод.

Эффективность алгоритмов

Хотя в определении алгоритма требуется лишь конечность числа шагов, требуемых для достижения результата, на практике выполнение даже хотя бы миллиарда шагов является слишком медленным. Также обычно есть другие ограничения (на размер программы, на допустимые действия). В связи с этим вводят такие понятия, как сложность алгоритма (временнáя, по размеру программы, вычислительная и др.). Для каждой задачи может существовать множество алгоритмов, приводящих к цели. Увеличение эффективности алгоритмов составляет одну из задач современной информатики.

Источники: 

• Что такое алгоритм?
• Что такое алгоритм?

Дополнительно на Genon.ru:

Откуда взялось слово алгоритм?