-
Расчёт надёжности системы с постоянным общим резервированием
Резервирование
называется общим, если резервируется
вся система, состоящая из последовательного
соединения n
элементов.
Основная
цепь содержит n
элементов.
Число
резервных цепей равно m,
кратность резервирования равна m.
Общее число резервных элементов равно
mn.
Определим
количественные характеристики надёжности
в случае постоянного включения резервных
цепей.
Введём
обозначения
i
= 1, 2, ……..,n
— вероятность безотказной работы элемента
Эio
;
j
= 1, 2, ……..,m;
i
= 1, 2, …….,n
— вероятность безотказной работы элемента
Эij.
Запишем
вероятность безотказной работы j
— ой цепи
j
= 0, 1, ……,m
(1.7)
Вероятность
отказа j
— ой цепи
(1.8)
Определим
вероятность безотказной работы системы
(1.9)
Подставим
(1.7) в (1.9). Получим
Определим
вероятность безотказной работы системы
Частный
случай: основная и резервные цепи имеют
одинаковую надёжность, т.е.
Тогда
;
;
Рассмотрим
экспоненциальный закон надёжности,
т.е.
Тогда
;
или
—
интенсивность отказов цепи, состоящей
из n
элементов.
Вероятность
безотказной работы системы.
Определим
интенсивность отказов системы
;
;
Определим
среднее время безотказной работы
резервированной системы
где
— среднее время безотказной работы
нерезервированной системы.
Т.о.
с увеличением кратности резервирования
m
среднее время безотказной работы растёт,
но очень медленно. Наибольший прирост
наблюдается при переходе от нерезервированной
системы к резервированной с кратностью
m
= 1.
-
Расчёт надёжности системы с постоянным поэлементным резервированием
При
поэлементном резервировании резервируются
отдельно элементы системы.
Определим
количественные характеристики надёжности
системы.
Введём
обозначения:
i
= 1, 2, ……..,n
— вероятность безотказной работы элемента
Эio
на интервале времени (0, t);
j
= 1, 2, ……..,m;
i
= 1, 2, …….,n
— вероятность безотказной работы элемента
Эij
на интервале времени (0, t).
Запишем
вероятность отказа i
— й группы.
Имеем
i
= 1, 2, …….,n.
Запишем
вероятность безотказной работы i
— ой группы. Имеем
Запишем
вероятность безотказной работы системы
с поэлементным резервированием
или
Для
равнонадёжных элементов системы имеем:
-
Режим облегченного (тёплого) резерва
Рассмотрим
случай, когда время безотказной работы
всех элементов изделия подчиняется
экспоненциальному закону распределения.
В этом случае процессы, характеризующие
работу изделия являются марковскими.
Для определения характеристик надёжности
можно использовать математический
аппарат теории марковских случайных
процессов.
В
режиме облегченного резерва резервные
элементы находятся в режиме недогрузки
до момента их включения в работу. Пусть
1 — интенсивность отказа резервного
элемента в режиме недогрузки до момента
их включения в работу. 0 — интенсивность
отказа резервного элемента в состоянии
работы.
Введём
в рассмотрение состояния
,
S0
— основной элемент исправен и работает,
m
резервных элементов исправны и находятся
в режиме недогрузки.
S1
— основной элемент отказал, работает 1
— ый резервный элемент, (m
— 1) резервные элементы исправны и
находятся в режиме недогрузки.
S2
— отказал 1 — ый резервный элемент, работает
2 — ой резервный элемент, (m
— 2) резервных элементов исправны и
находятся в режиме недогрузки.
Si
— отказал i
— й резервный элемент, работает i
— й резервный элемент, (m
— i
) резервных элементов исправны и находятся
в режиме недогрузки.
Sm
— отказал (m
— 1) — ый элемент, работает m
— ый резервный элемент.
Sm+1
— отказал m
-ый резервный элемент.
Запишем
систему дифференциальных уравнений
Колмогорова. Для этого введём обозначения:
P0(t)
— вероятность нахождения резервированной
системы в момент времени t
в состоянии S0.
Pi(t)
— вероятность нахождения резервированной
системы в момент времени t
в состоянии Si
, i
= 0, 1, ….., m,
m
+ 1.
;
………………………………………………….
………………………………………………….
.
Начальные
условия:
.
Применим
к системе дифференциальных уравнений
Колмогорова преобразование Лапласа.
Получим систему линейных алгебраических
уравнений вида: Pi(t)
— оригинал
Pi(S)
— изображение по Лапласу
i
=
0, 1, ……, m +1
…………………………………………….
…………………………………………….
Решая
систему уравнений получим
Найдём
оригинал
.
Имеем
где
Здесь
—
вероятность отказа резервированной
системы с облегченным резервированием.
Определим
вероятность безотказной работы системы
с облегченным резервированием. Имеем:
Определим
среднее время безотказной работы системы
с облегченным резервированием. Имеем:
Формула
бинома Ньютона
где
При
a
= 1 имеем:
Выполнив
преобразование, получим:
где
.
Определим
частоту отказов
резервированной системы. Имеем
;
или
Определим
интенсивность отказов
резервированной системы. Имеем
Соседние файлы в папке ТОПИН.Лекции, задания
- #
11.05.201512.39 Mб571.rtf
- #
- #
- #
- #
- #
Практика
1. Расчет показателей безотказности
1.1 Вероятность безотказной работы
1.2 Вероятность отказа
1.3 Частота отказа
1.4 Интенсивность отказа
1.5 Средняя наработка до отказа
1.6 Среднее значение параметра потока отказов
1.7 Пример расчета показателей безотказности
2. Примеры расчета показателей надежности для различных законов распределения случайных величин
2.1 Экспоненциальный закон распределения
2.2 Закон распределения Вейбулла-Гнеденко
2.3 Закон распределения Рэлея
3. Примеры расчета показателей надежности сложных систем
3.1 Основное соединение элементов
3.2 Резервное соединение
1.1 Вероятность безотказной работы
Вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки не произойдет ни одного отказа.
Вероятность безотказной работы обозначается как P(l), которая определяется по формуле (1.1):
где N0 – число элементов в начале испытания; r(l) – число отказов элементов к моменту наработки.Следует отметить, что чем больше величина N0, тем с большей точностью можно рассчитать вероятность P(l).
В начале эксплуатации исправного локомотива P(0) = 1, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что ни один элемент не откажет, принимает максимальное значение – 1. С ростом пробега l вероятность P(l) будет уменьшаться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность безотказной работы будет стремиться к нулю P(l→∞) = 0. Таким образом в процессе наработки величина вероятности безотказной работы изменяется в пределах от 1 до 0. Характер изменения вероятности безотказной работы в функции пробега показан на рис. 1.1.
Рис.2.1. График изменения вероятности безотказной работы P(l)в зависимости от наработки
Основными достоинствами использования данного показателя при расчетах является два фактора: во-первых, вероятность безотказной работы охватывает все факторы, влияющие на надежность элементов, позволяя достаточно просто судить о его надежности, т.к. чем больше величина P(l), тем выше надежность; во-вторых, вероятность безотказной работы может быть использована в расчетах надежности сложных систем, состоящих из более чем одного элемента.
1.2 Вероятность отказа
Вероятностью отказа называют вероятность того, что при определенных условиях эксплуатации, в пределах заданной наработки произойдет хотя бы один отказ.
Вероятность отказа обозначается как Q(l), которая определяется по формуле (1.2):
В начале эксплуатации исправного локомотива Q(0) = 0, так как при пробеге l = 0 вероятность того, что хотя бы один элемент откажет, принимает минимальное значение – 0. С ростом пробега l вероятность отказа Q(l) будет увеличиваться. В процессе приближения срока эксплуатации к бесконечно большой величине вероятность отказа будет стремиться к единице Q(l→∞) = 1. Таким образом в процессе наработки величина вероятности отказа изменяется в пределах от 0 до 1. Характер изменения вероятности отказа в функции пробега показан на рис. 1.2.Вероятность безотказной работы и вероятность отказа являются событиями противоположными и несовместимыми.
Рис.2.2. График изменения вероятности отказа Q(l) в зависимости от наработки
1.3 Частота отказов
Частота отказов – это отношение числа элементов в единицу времени или пробега отнесенного к первоначальному числу испытуемых элементов. Другими словами частота отказов является показателем, характеризующим скорость изменения вероятности отказов и вероятности безотказной работы по мере роста длительности работы.
Частота отказов обозначается как 
и определяется по формуле (1.3):
где – 
количество отказавших элементов за промежуток пробега 
.
Данный показатель позволяет судить по его величине о числе элементов, которые откажут на каком-то промежутке времени или пробега, также по его величине можно рассчитать количество требуемых запасных частей.
Характер изменения частоты отказов в функции пробега показан на рис. 1.3.
Рис. 1.3. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
1.4 Интенсивность отказов
Интенсивность отказов представляет собой условную плотность возникновения отказа объекта, определяемую для рассматриваемого момента времени или наработки при условии, что до этого момента отказ не возник. Иначе интенсивность отказов – это отношение числа отказавших элементов в единицу времени или пробега к числу исправно работающих элементов в данный отрезок времени.
Интенсивность отказов обозначается как 
и определяется по формуле (1.4):
где 
Как правило, интенсивность отказов является неубывающей функцией времени. Интенсивность отказов обычно применяется для оценки склонности к отказам в различные моменты работы объектов.
На рис. 1.4. представлен теоретический характер изменения интенсивности отказов в функции пробега.
Рис. 1.4. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки
На графике изменения интенсивности отказов, изображенном на рис. 1.4. можно выделить три основных этапа отражающих процесс экс-плуатации элемента или объекта в целом.
Первый этап, который также называется этапом приработки, характеризуется увеличением интенсивности отказов в начальный период эксплуатации. Причиной роста интенсивности отказов на данном этапе являются скрытые дефекты производственного характера.
Второй этап, или период нормальной работы, характеризуется стремлением интенсивности отказов к постоянному значению. В течение этого периода могут возникать случайные отказы, в связи с появлением внезапной концентрации нагрузки, превышающей предел прочности элемента.
Третий этап, так называемый период форсированного старения. Характеризуется возникновением износовых отказов. Дальнейшая эксплуатация элемента без его замены становится экономически не рациональной.
1.5 Средняя наработка до отказа
Средняя наработка до отказа – это средний пробег безотказной работы элемента до отказа.
Средняя наработка до отказа обозначается как L1 и определяется по формуле (1.5):
где li – наработка до отказа элемента; ri – число отказов.
Средняя наработка до отказа может быть использована для предварительного определения сроков ремонта или замены элемента.
1.6 Среднее значение параметра потока отказов
Среднее значение параметра потока отказов характеризует среднюю плотность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая для рассматриваемого момента времени.
Среднее значение параметра потока отказов обозначается как Wср и определяется по формуле (1.6):
1.7 Пример расчета показателей безотказности
Исходные данные.
В течение пробега от 0 до 600 тыс. км., в локомотивном депо произведен сбор информации по отказам ТЭД. При этом количество исправных ТЭД в начале периода эксплуатации составляло N0 = 180 шт. Суммарное количество отказавших ТЭД за анализируемый период составило ∑r(600000) = 60. Интервал пробега принять равным 100 тыс. км. При этом количество отказавших ТЭД по каждому участку составило: 2, 12, 16, 10, 14, 6.
Требуется.
Необходимо рассчитать показатели безотказности и построить их зависимости изменения во времени.
Сначала необходимо заполнить таблицу исходных данных так, как это показано в табл. 1.1.
Таблица 1.1.
| , тыс. км |
0 — 100 | 100 — 200 | 200 — 300 | 300 — 400 | 400 — 500 | 500 — 600 |
 |
2 | 12 | 16 | 10 | 14 | 6 |
 |
2 | 14 | 30 | 40 | 54 | 60 |
Первоначально по уравнению (1.1) определим для каждого участка пробега величину вероятности безотказной работы. Так, для участка от 0 до 100 и от 100 до 200 тыс. км. пробега вероятность безотказной работы составит:
Далее, используя зависимость (1.2) произведем расчет вероятности отказа ТЭД.
Произведем расчет частоты отказов по уравнению (1.3).
Далее по уравнению (1.4) произведем расчет интенсивности отказов ТЭД в зависимости от наработки.
Первоначально рассчитаем среднее количество работоспособных ТЭД на участке от 0 до 100 тыс. км. пробега:
Тогда интенсивность отказов на участке 0-100 тыс.км. будет равна:
Аналогичным образом определим величину интенсивности отказов для интервала 100-200 тыс. км.
По уравнениям (1.5 и 1.6) определим среднюю наработку до отказа и среднее значение параметра потока отказов.
Систематизируем полученные результаты расчета и представим их в виде таблицы (табл. 1.2.).
Таблица 1.2.
| , тыс.км. |
0 — 100 | 100 — 200 | 200 — 300 | 300 — 400 | 400 — 500 | 500 — 600 |
|
2 | 12 | 16 | 10 | 14 | 6 |
|
2 | 14 | 30 | 40 | 54 | 60 |
| P(l) | 0,989 | 0,922 | 0,833 | 0,778 | 0,7 | 0,667 |
| Q(l) | 0,011 | 0,078 | 0,167 | 0,222 | 0,3 | 0,333 |
 10-7, 1/км |
1,111 | 6,667 | 8,889 | 5,556 | 7,778 | 3,333 |
| 10-7, 1/км |
1,117 | 6,977 | 10,127 | 6,897 | 10,526 | 4,878 |
Приведем характер изменения вероятности безотказной работы ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.5.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности безотказной работы примет максимальное значение – 1.
Рис. 1.5. График изменения вероятности безотказной работы в зависимости от наработки
Приведем характер изменения вероятности отказа ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.6.). Необходимо отметить, что первой точкой на графике, т.е. при пробеге равном 0, величина вероятности отказа примет минимальное значение – 0.
Рис. 1.6. График изменения вероятности отказа в зависимости от наработки
Приведем характер изменения частоты отказов ТЭД в зависимости от пробега (рис. 1.7.).
Рис. 1.7. График изменения частоты отказов в зависимости от наработки
На рис. 1.8. представлена зависимость изменения интенсивности отказов от наработки.
Рис. 1.8. График изменения интенсивности отказов в зависимости от наработки
2.1 Экспоненциальный закон распределения случайных величин
Экспоненциальный закон достаточно точно описывает надежность узлов при внезапных отказах, имеющих случайный характер. Попытки применить его для других типов и случаев отказов, особенно постепенных, вызванных износом и изменением физико-химических свойств элементов показали его недостаточную приемлемость.
Исходные данные.
В результате испытания десяти топливных насосов высокого давления получены наработки их до отказа: 400, 440, 500, 600, 670, 700, 800, 1200, 1600, 1800 ч. Предполагая, что наработка до отказа топливных насосов подчиняется экспоненциальному закону распределения.
Требуется.
Оценить величину интенсивности отказов , а также рассчитать вероятность безотказной работы за первые 500 ч. и вероятность отказа в промежутке времени между 800 и 900 ч. работы дизеля.
Во-первых, определим величину средней наработки топливных насосов до отказа по уравнению:
Затем рассчитываем величину интенсивности отказов:
Величина вероятности безотказной работы топливных насосов при наработке 500 ч составит:
Вероятность отказа в промежутке между 800 и 900 ч. работы насосов составит:
2.2 Закон распределения Вэйбулла-Гнеденко
Закон распределения Вейбулла-Гнеденко получил широкое распространение и используется применительно к системам, состоящим из рядов элементов, соединенных последовательно с точки зрения обеспечения безотказности системы. Например, системы, обслуживающие дизель-генераторную установку: смазки, охлаждения, питания топливом, воздухом и т.д.
Исходные данные.
Время простоя тепловозов в неплановых ремонтах по вине вспомогательного оборудования подчиняется закону распределения Вейбулла-Гнеденко с параметрами b=2 и a=46.
Требуется.
Необходимо определить вероятность выхода тепловозов из неплановых ремонтов после 24 ч. простоя и время простоя, в течение которого работоспособность будет восстановлена с вероятностью 0,95.
Найдем вероятность восстановления работоспособности локомотива после простоя его в депо в течение суток по уравнению:
Для определения времени восстановления работоспособности локомотива с заданной величиной доверительной вероятности также используем выражение:
2.3 Закон распределения Рэлея
Закон распределения Рэлея используется в основном для анализа работы элементов, имеющих ярко выраженный эффект старения (элементы электрооборудования, различного рода уплотнения, шайбы, прокладки, изготовленные из резиновых или синтетических материалов).
Исходные данные.
Известно, что наработки контакторов до отказа по параметрам старения изоляции катушек можно описать функцией распределения Рэлея с параметром S = 260 тыс.км.
Требуется.
Для величины наработки 120 тыс.км. необходимо определить вероятность безотказной работы, интенсивность отказов и среднюю наработку до первого отказа катушки электромагнитного контактора.
3.1 Основное соединение элементов
Система, состоящая из нескольких независимых элементов, связанных функционально таким образом, что отказ любого из них вызывает отказ системы, отображается расчетной структурной схемой безотказной работы с последовательно соединенными событиями безотказной работы элементов.
Исходные данные.
Нерезервированная система состоит из 5 элементов. Интенсивности их отказов соответственно равны 0,00007; 0,00005; 0,00004; 0,00006; 0,00004 ч-1
Требуется.
Необходимо определить показатели надежности системы: интенсивность отказов, среднее время наработки до отказа, вероятность безотказной работы, частота отказов. Показатели надежности P(l) и a(l) получить в интервале от 0 до 1000 часов с шагом в 100 часов.
Вычислим интенсивность отказа и среднюю наработку до отказа по следующим уравнениям:
Значения вероятности безотказной работы и частоты отказов получим, используя уравнения приведенные к виду:
Результаты расчета P(l) и a(l) на интервале от 0 до 1000 часов работы представим в виде табл. 3.1.
Таблица 3.1.
| l, час | P(l) | a(l), час-1 |
| 0 | 1 | 0,00026 |
| 100 | 0,974355 | 0,000253 |
| 200 | 0,949329 | 0,000247 |
| 300 | 0,924964 | 0,00024 |
| 400 | 0,901225 | 0,000234 |
| 500 | 0,878095 | 0,000228 |
| 600 | 0,855559 | 0,000222 |
| 700 | 0,833601 | 0,000217 |
| 800 | 0,812207 | 0,000211 |
| 900 | 0,791362 | 0,000206 |
| 1000 | 0,771052 | 0,0002 |
Графическая иллюстрация P(l) и a(l) на участке до средней наработки до отказа представлена на рис. 3.1, 3.2.
Рис. 3.1. Вероятность безотказной работы системы.
Рис. 3.2. Частота отказов системы.
3.2 Резервное соединение элементов
Исходные данные.
На рис. 3.3 и 3.4 показаны две структурные схемы соединения элементов: общего (рис. 3.3) и поэлементного резервирования (рис. 3.4). Вероятности безотказной работы элементов соответственно равны P1(l) = P ’1(l) = 0,95; P2(l) = P’2(l) = 0,9; P3(l) = P ’3(l) = 0,85.
Требуется.
Необходимо рассчитать надежность двух систем.
Рис. 3.3. Схема системы с общим резервированием.
Рис. 3.4. Схема системы с поэлементным резервированием.
Вероятность безотказной работы блока из трех элементов без резервирования рассчитаем по выражению:
Вероятность безотказной работы той же системы при общем резервировании (рис. 3.3) составит:
Вероятности безотказной работы каждого из трех блоков при поэлементном резервировании (рис. 3.4) будут равны:
Вероятность безотказной работы системы при поэлементном резервировании составит:
Таким образом, поэлементное резервирование дает более существенное увеличение надежности (вероятность безотказной работы возросла с 0,925 до 0,965, т.е. на 4%).
Исходные данные.
На рис. 3.5 представлена система с комбинированным соединением элементов. При этом вероятности безотказной работы элементов имеют следующие значения: P1=0,8; Р2=0,9; Р3=0,95; Р4=0,97.
Требуется.
Необходимо определить надежность системы. Также необходимо определить надежность этой же системы при условии, что резервные элементы отсутствуют.
Рис.3.5. Схема системы при комбинированном функционировании элементов.
Для расчета в исходной системе необходимо выделить основные блоки. В представленной системе их три (рис. 3.6). Далее рассчитаем надежность каждого блока в отдельности, а затем найдем надежность всей системы.
Рис. 3.6. Сблокированная схема.
Надежность системы без резервирования составит:
Таким образом, система без резервирования является на 28% менее надежной, чем система с резервированием.
С этим файлом связано 2 файл(ов). Среди них: Практическое занятие расходометры.docx, Практическое занятие монтаж Гамма — 7.docx.
Показать все связанные файлы
Подборка по базе: Курсовая работа по Административному праву.docx, Контрольная работа Институциональная экономика Халилова Эмиллаdo, Практическая работа 3.docx, контрольная работа №3 Давление твёрдых тел, жидкостей и газов.do, Исследовательская работа по теме _Эффективность 2 х схем лечения, Контрольная работа №4 8 кл.docx, Итоговая работа №4.docx, Конфликтология и медиация. Практическая работа Иванова А.А.docx, Практическая работа по теме Законодательство по ИБ РФ.docx, Практическая работа №2 Литус Елена Петровна.docx
Практическая работа № 60 «Расчет надежности сложных систем»
Цель: научить студентов определять показатели надежности объектов, представляющих сложные системы.
Задачи обучения:
- ознакомить с методами резервирования;
- привить навыки построения структуры сложной системы;
- научить рассчитывать показатели надежности системы без резервирования;
- научить рассчитывать показатели надежности системы с резервированием.
Задания и методические указания к их выполнению (алгоритм, форма, сроки отчетности, критерии оценивания):
Пример 6.1. Определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа основной системы, состоящей из пяти элементов, если вероятности безотказной работы элементов равны P1(t)=0,98, P2(t)=0,97, P3(t)=0,99, P4(t)=0,98, P5(t)=0,96.
Решение: вероятность безотказной работы системыPс(t) определяем по формуле (3.1):
,
вероятность отказа Qc(t) системы определяется по формуле (3.5):
.
Ответ:
.
Пример 6.2. Определить среднее время безотказной работы системы, если система состоит из трех элементов, среднее время безотказной работы которых равны 400, 200 и 500 часов, закон распределения – экспоненциальный.
Решение: Определим интенсивности отказов элементов по формуле (2.11)
1/час; 
1/час;
1/час.
Интенсивность отказа системы определяем по формуле (3.7)
1/час.
Наработку до отказа системы рассчитаем по формуле (3.8)
час.
Ответ: 
час.
Пример 6.3. Система состоит из трех элементов, вероятность безотказной работы которых в течении 100 часов равны Р1(100) = 0,95; Р1(100) = 0,99; Р3(100) = 0,97. Найти среднее время безотказной работы системы, закон распределения – экспоненциальный.
Решение: Определим вероятность безотказной работы системы
.
Выразим интенсивность отказа системы из формулы (3.6)
.
Среднее время безотказной работы системы определяем по формуле (3.8)
час.
Ответ: 
час.
Пример 6.4. Система состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отказов которых ср=5,4*10-7 1/час. Определить вероятность безотказной работы, вероятность отказа, плотность вероятности времени безотказной работы за время 100 часов, и среднее время безотказной работы.
Решение: Интенсивность отказов системы определяем по формуле (3.7)
.
Вероятность безотказной работы рассчитаем по формуле (3.6)
,
Вероятность отказа системы
Наработка до отказа системы
час.
Плотность вероятности времени безотказной работы
1/час.
Пример 6.6. Система состоит из трех элементов с равной вероятностью безотказной работы равной 0,9. Определить вероятности безотказной работы системы при различных вариантах резервирования.
Решение: а) расчет показателей надежности системы без резервирования:
Вероятность безотказной работы системы без резервирования определяется по формуле (2.1):
,
Вероятность отказа системы без резервирования определяем по формуле (2.5)
.
б) расчет показателей надежности системы при общем резервировании:
Структурная схема системы с общим резервированием показана на рисунке 3.3.
Рисунок 6.1 – Схема системы с общим резервирование:
Р11, Р12, Р13 – вероятности безотказной работы элементов основной системы;
Р21, Р22, Р23 – вероятности безотказной работы элементов резервной системы
Вероятность отказа системы с общим резервированием определяется по формуле (2.6):
,
где QOC(t) – вероятность отказа основной системы;
QPC(t) – вероятность отказа резервной системы.
Вероятность отказа основной системы определяем по формуле (2.5)
.
Вероятность отказа резервной системы равна
.
Вероятность отказа системы:
.
Вероятность безотказной системы с общим резервированием определяем по формуле (2.8)
.
в) расчет показателей надежности системы при поэлементном резервировании:
Структурная схема системы с поэлементным резервированием показана на рисунке 3.4.
Рисунок 6.2 – Схема системы с поэлементным резервирование:
Р11, Р12, Р13 – вероятности безотказной работы основных элементов;
Р21, Р22, Р23 – вероятности безотказной работы резервных элементов
Вероятность безотказной работы системы с поэлементным резервированием определяем по формуле (2.6):
,
где Р11-21(t) – вероятность безотказной работы группы из первого основного и резервного элементов;
Р12-22(t) – вероятность безотказной работы группы из второго основного и резервного элементов;
Р13-23(t) – вероятность безотказной работы группы из третьего основного и резервного элементов.
Вероятность безотказной работы системы с поэлементным резервированием:
,
Так как вероятности безотказной работы групп элементов близки к единице, можно было воспользоваться формулой для приближенного расчета (2.3):
.
Вероятность отказа основной системы определяем по формуле (2.5)
.
Ответ: для системы без резервирования: 
,
; для системы с общим резервированием 
, 
; для системы с поэлементным резервированием: 
, 
. Таким образом, максимальная надежность достигается при поэлементном резервировании.
Задания для самостоятельной работы студентов
Задача 7.1. Определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из 500 элементов, если вероятность безотказной работы каждого элемента в течение времени tравна P(t) = 0,998.
Задача 7.2. Вероятность безотказной работы системы, состоящей из 150 равнонадежных элементов, в течение времени t равна Рc(t)=0,95. Найти вероятность безотказной работы элемента.
Задача 7.3. Блок управления состоит из 5000 элементов, средняя интенсивность отказов которых равна 2,3·10-6 1/час. Определить вероятность безотказной работы в течении t = 100 час и среднее время безотказной работы.
Задача 7.4. Система состоит из пяти элементов, среднее время безотказной работы которых равно: Т1=104 час; Т2=200 час; Т3=185 час; Т4=350 час; Т5=620 час. Показатели распределены по экспоненциальному закону. Определить среднее время безотказной работы системы.
Задача 7.5. Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t = 50 час равна: P1(50)=0,98; P2(50)=0,99; P3(50)=0,998; P4(50)=0,975; P5(50)=0,985. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора.
Задача 7.6. Установка состоит из 3000 элементов, средняя интенсивность отказов которых 3,8·10-6 1/час. Определить вероятность отказа установки в течении t = 300 час и среднее время безотказной работы аппаратуры.
Задача 7.7. Объект состоит из 200000 элементов, средняя интенсивность отказов которых 0,2·10-6 1/час. Определить вероятность безотказной работы системы в течение 240 часов и среднее время безотказной работы.
Задача 7.8. Прибор состоит из 5 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t , которая равна: P1(t)=0,98; P2(t)=0,99; P3(t)=0,998; P4(t)=0,975; P5(t)=0,985. Необходимо определить вероятность безотказной работы прибора.
Задача 7.9. Определить количество равнонадежных резервных элементов с вероятностью безотказной работы Pi(t)=0,9,необходимых для того, чтобы обеспечить вероятность безотказной работы системы равную Pс(t)=0,99.
Задача 7.10. Система состоит из четырех элементов, имеющих интенсивность отказов равную λ1 = 2,7·10-7 1/час, λ2 = 3,2·10-7 1/час, λ3 = 2,1·10-7 1/час, λ4 = 4,3·10-7 1/час. Изобразить структурную схему системы и определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа в течение 60 часов при общем резервировании системы.
Задача 7.11. Система состоит из четырех элементов, имеющих интенсивность отказов равную λ1 = 2,7·10-7 1/час, λ2 = 3,2·10-7 1/час, λ3 = 2,1·10-7 1/час, λ4 = 4,3·10-7 1/час. Изобразить структурную схему системы и определить вероятность безотказной работы и вероятность отказа в течение 60 часов при
Задача 7.16 Система состоит из трех элементов с вероятностью безотказной работы равной P1(t)=0,9, P2(t)=0,92, P3(t)=0,87. Определить время безотказной работы системы при поэлементном резервировании.
Контрольные вопросы:
- Дайте характеристику сложной системы.
- Как рассчитываются показатели надежности системы без резервирования (основной системы)?
- Что такое резервирование?
- Какие используются виды резервирования?
- Дайте определение и характеристику общему и поэлементному резервированию.
- Дайте определение и характеристику постоянному резервированию и резервированию замещением.
- Дайте определение и характеристику резервированию с восстановлением и без восстановления.
Вероятность отказа основной системы определяем по формуле (2.5)