Объем работы выполненный за единицу времени называется

Математика

5 класс

Урок № 69

Задачи на совместную работу

Перечень рассматриваемых вопросов:

— введение понятий производительность, общая производительность, время работы;

— алгоритм решения задач на совместную работу арифметическим способом;

— отработка применения алгоритма при решении задач.

Тезаурус

Производительность (Р) – объём работы, выполняемый за единицу времени.

Время работы (Т) – время выполнения всей работы.

Общая производительность – объём работы, выполняемый совместно всеми работниками за единицу времени.

Обязательная литература

Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.

Дополнительная литература

Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 классы. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На предыдущих уроках мы научились выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями. Сегодня мы рассмотрим, как с помощью обыкновенных дробей решать задачи на совместное выполнение некоторой работы.

Под совместной работой можно понимать абсолютно любое действие: и одновременный поток воды из двух труб при наполнении бассейна, и изготовление деталей двумя рабочими, и вспашку поля несколькими тракторами, и набор текста на компьютере.

Всю работу мы будем принимать за единицу. А объём выполненной работы выражать как часть этой единицы.

Если какая-то работа выполняется за шесть часов, то за час выполняется одна шестая часть этой работы.

Объём работы, выполненный за единицу времени, называется производительностью. Она обозначается как Р.

Рассмотрим задачу.

Первый столяр может выполнить заказ за 36 часов, а второй – за 18 часов. За сколько часов этот заказ выполнят оба столяра, работая вместе?

Вся работа – 1

1-й столяр – 36 ч

2-й столяр – 18 ч

1-й и 2-й столяр – ? ч

(первый столяр за один час, или производительность Р₁ первого столяра)

(второй столяр за один час, или производительность Р₂ второго столяра)

(оба столяра за один час, или общая производительность Р)

(время выполнения всей работы совместно)

Ответ: за 12 ч.

Рассмотрим следующую задачу.

Одна труба заполняет бассейн за 60 минут, а вторая – за 20 минут. За сколько минут заполнится бассейн при включении обеих труб?

Вся работа – 1

1-я труба – 60 минут

2-я труба – 20 минут

Обе трубы – ?

часть бассейна (наполняет первая труба за одну минуту, или производительность Р₁)

часть бассейна (наполняет вторая труба за одну минуту, или производительность Р₂)

часть бассейна (заполняют обе трубы, работая вместе, или общая производительность Р)

минут (время заполнения бассейна двумя трубами)

Ответ: за 15 минут.

Рассмотрим задачу, в которой, зная время выполнения работы совместно, надо найти время работы одного из участников.

Работая вместе, два мастера Гжели выполняют заказ за шесть дней. Первый мастер, работая один, может выполнить этот заказ за 10 дней. За сколько дней этот заказ может выполнить второй мастер?

Вся работа – 1

1-й и 2-й мастер – 6 дней

1-й мастер – 10 дней

2-й мастер – ? дней

часть заказа (первый и второй мастера за один день, или общая производительность Р)

часть заказа (первый мастер за один день, или производительность Р₁)

часть заказа (выполнит второй мастер за один день, или производительность Р₂)

дней – время выполнения заказа вторым мастером

Ответ: за 15 дней.

Алгоритм решения задач на совместную работу

Т₁ – время, за которое первый объект самостоятельно выполнит всю работу;

Т₂ – время, за которое второй объект самостоятельно выполнит всю работу.

Всю выполненную работа принимаем за единицу.
Находим часть работы, выполненную первым объектом за единицу времени (производительность Р₁= 1 ꞉ Т₁).
Находим часть работы, выполненную вторым объектом за единицу времени (производительность Р₂ = 1 ꞉ Т₂).
Находим часть работы, выполненную двумя (или более) объектами за единицу времени (общая производительность Р = Р₁ + Р₂).
Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми объектами (Т = 1 ꞉ Р).

Тренировочные задания

№ 1. Путешественник планирует пройти маршрут за семь дней. Какую часть маршрута он пройдёт за один день? За три дня? За пять дней? Какая часть маршрута останется не пройденной за эти же промежутки времени? Используйте следующие значения ; ; ; ; .

За 1 день

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 3 дня

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

За 5 дней

Пройденная часть маршрута – ?

Осталось пройти – ?

Пройденная часть маршрута за день – это производительность путешественника. И находится она так же, как и другая производительность. Найдём часть маршрута, пройденную за один день:

Очевидно, что за три дня путешественник пройдет в три раза больше, чем за день. Рассчитаем эту часть пути:

Чтобы найти оставшуюся часть маршрута, надо из всего маршрута, то есть единицы, вычесть пройденную часть. Найдём, например, какую часть маршрута осталось пройти через три дня: .

Аналогично действуем и в остальных случаях.

Правильный ответ:

За 1 день

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 3 дня

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

За 5 дней

Пройденная часть маршрута –

Осталось пройти –

№ 2. Подберите к каждому действию правильное пояснение.

Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?

Пояснения к действиям:

Время выполнения всей работы вторым трактористом;
Общая производительность обоих трактористов;
Часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за один час.

Действия:

Рассмотрим первое действие. Единица делится на шесть, где единица – это вся работа, а шесть – время совместной работы. Значит, этим действием мы находим общую производительность обоих тракторов.

Во втором действии из общей производительности вычитаем . Так как первый тракторист выполняет работу за 10 часов, то – это производительность первого тракториста. Значит, мы находим производительность второго тракториста, то есть объём работы, который он выполнил за один час.

В третьем действии единица (вся работа) делится на производительность второго тракториста: таким образом, мы находим время выполнения всей работы вторым трактористом.

Правильный ответ:

– это общая производительность обоих трактористов.

– это часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за 1 ч.

ч – это время выполнения всей работы вторым трактористом.

Источник

Как известно, труд является важнейшей частью современной экономики. В теории социально-трудовых отношений различают такие экономические категории как производительный труд, непроизводительный труд, производительная сила труда.

Производительный труд – это труд, непосредственно участвующий в создании натурально-вещественной формы общественного богатства, совокупного общественного продукта, национального дохода, независимого от общественно-экономической формы производства.

Производительная сила труда – это мера эффективности целесообразной производственной деятельности человека.

Категория производительной силы труда в качестве основного элемента включается в содержание закона экономии затрат труда, в систему элементов которого входят:

уровень и динамика производительной силы живого труда;
высокий уровень и повышение отдачи затрат прошлого труда, (овеществленного в средствах и предметах труда);
необходимость более высоких темпов роста результатов относительно затрат живого и прошлого труда.

Этот закон включает причинно-следственную (прямую и обратную) связь, характеризующуюся минимизацией затрат живого и овеществленного труда и максимализацией результатов материального производства на основе постоянного совершенствования научнотехнических знаний общества, повышения производительной силы живого труда, роста отдачи средств и предметов труда.

Эффективность (результативность) трудового процесса есть не что иное, как отношение продукта к породившим его затратам живого и овеществленного труда.

Суммарную эффективность общественного производства можно найти, сложив эффективность живого труда, эффективность функционирующих средств труда и эффективность предметов труда.

Эффективность живого труда можно найти как отношение суммарных результатов процесса производства к затратам живого труда работников материального производства.

Эффективность функционирующих средств труда – как отношение суммарных результатов процесса производства к затратам функционирующих средств труда.

Эффективность предметов труда – как отношение суммарных результатов процесса производства к затратам функционирующих предметов труда.

Уровень эффективности (результативности), находящий выражение в отношении продукта к трудовым затратам, стремится к максимуму, поскольку уровень способностей работников должен неуклонно возрастать, а условия производства в ходе научного, техническо-технологического и информационного процесса постоянно совершенствоваться.

Такое определение эффективности (результативности) общественного производства подчеркивает трудовое происхождение эффекта.

Как следует из содержания закона экономики труда, повышение эффективности использования затрат живого и овеществленного труда, рост его производительной силы, снижение издержек производства на основе научных, технологических и иных достижений ведут к росту производительности общественного труда, к эффективности общественного (национального) производства в целом.

Экономическая эффективность может выступать и как общеэкономическая и как социально-экономическая эффективность.

Интересно

Общеэкономическая эффективность – это эффективность материально-технической стороны производства. Она характеризуется экономией труда при производстве определенной массы продукта при имеющемся производственном аппарате и выступает здесь как функция объективного закона экономии рабочего времени.

В рамках процесса труда, как главной составляющей материального производства, сущность эффективности производства заключена в уровне производительности труда.

Такой вывод следует из самого внутреннего содержания процесса труда. В нем участвуют рабочая сила, средства труда и предметы труда – три основных фактора производства.

Активное начало всего процесса – рабочая сила, деятельность которой и есть труд.

Собственно, труд приводит в действие средства производства, совершается процесс труда, подчиненный конкретной цели, созданию материального продукта (потребительной стоимости). Все факторы процесса труда являются источниками создания материального продукта, но не каждый в отдельности, а совокупно, реализуясь через труд.

Таким образом, эффективность труда измеряют с помощью показателя производительности труда.

Производительность труда играет очень важную роль не только в производстве, но и в формировании общественных отношений. Чем выше ее показатели, тем больше национальный доход. Это означает рост экономического могущества и экономической независимости государства.

Накопленные национальные богатства при распределении повышают уровень благосостояния всех граждан страны и способствуют формированию определенных отношений в обществе, влияют на развитие его политической системы.

Производительность труда – это показатель эффективности целесообразной деятельности работников, которая измеряется количеством работы (продукции, услуг), сделанной в единицу времени.

Производительность труда характеризует способность работников создавать своим трудом товары и услуги за час, смену, неделю, декаду, месяц, квартал, год.

Производительность труда – это количество продукции, произведенное за определенный период в расчете на одного работника или затраты рабочего времени на единицу продукции.

На изменение производительности труда влияют следующие условия: изменения политических условий как в мире, так и в стране; особенности окружающей среды; экономическая ситуация в мире; изменения в структуре производства; совершенствование управленческой системы предприятия (фирмы, отрасли); последствия научно-технического прогресса; социально-психологические условия («человеческий фактор»).

Показатель, определяющий количество продукции, произведенной в единицу времени называется выработкой. Выработка характеризует результативность труда.

Трудоемкость – это количество труда, необходимое для выработки единицы продукции. Трудоемкость является характеристикой затратности труда (расходования рабочей силы).

В качестве измерителей количества произведенной продукции используют натуральные (т, м, м3, шт. и т.д.) и стоимостные показатели.

Выработка определяется в расчете на одного основного рабочего, на одного рабочего и одного работающего.

При определении выработки на одного основного рабочего количество произведенной продукции делится на численность основных рабочих.

Если рассчитывается выработка на одного рабочего, количество произведенной продукции делится на суммарную численность основных и вспомогательных рабочих.

Для определении выработки на одного работающего количество произведенной продукции делится на численность всего промышленно – производственного персонала (формула 39):

де В – выработка продукции;

К – количество произведенной за период продукции в натуральных или стоимостных измерителях;

Ч – численность работников (основных рабочих, основных и вспомогательных, промышленно-производственного персонала).

Применяются три метода измерения производительности труда: стоимостной, натуральный и трудовой.

Интересно

Стоимостной метод измерения позволяет сравнивать производительность труда работников разных профессий, квалификаций, но недостатком этого метода является влияние ценового фактора – конъюнктуры рынка и инфляция.

Стоимостный подход отражает производительность труда в денежном выражении. Его считают универсальным, так как он позволяет сравнивать динамику производительности труда в разные промежутки времени и оценивать работу сотрудников разного уровня квалификации и даже разных специальностей.

Формула будет иметь следующий вид (формула 40):

где X–количество задействованных рабочих;

S– стоимость продукции в денежном эквиваленте.

Натуральный метод измерения производительности труда применяется в случае производства однородной продукции.

Натуральный способ выражает произведенную продукции в физических единицах (метры, килограммы, литры, штуки). Несколько видоизменив приведенную выше формулу, мы получим новую формулу, отражающую особенности натурального метода (формула 41):

где P – производительность труда;

X– общее количество задействованных рабочих;

V– выпускаемая продукция в выбранных единицах измерения (кг, м, л, шт. и т. д.).

Замечание 1: Недостатком данного метода является его неэффективность в случае неоднородности продукции.

Разновидностью натурального метода является условно-натуральный метод, когда объем работы учитывается в условных единицах однородной продукции.

Условно-натуральный метод удобен для применения, так как производство многих разнообразный товаров с помощью переводных коэффициентов можно привести в сопоставимый вид.

Например, затраты на реализацию муки, хлеба и макаронных изделий можно выразить через коэффициенты пересчета в затраты на реализацию одного условного килограмма хлебобулочных изделий.

В основе трудового метода лежит измерение объемов продукции с помощью условной трудоемкости производства или продажи продукции. При измерении производительности труда трудовым методом используются нормативы времени на производство единицы продукции или продажу единицы товара.

Трудовой подход позволяет отразить производительность труда для различных видов работ и услуг на производство единицы товара. При его применении необходимо учитывать установленные нормативы для различных видов деятельности.

Данный метод подходит для оценки производительности на любых предприятиях без учета их структуры.

Для расчетов применяется формула 42:

где G– объем работы, выполненный за единицу времени.

Средняя производительность определяется по формуле 43:

где V – общее количество выработанной продукции;

Y– коэффициент трудоемкости для соответствующего изделия.

Преимуществом трудового метода является возможность его применения ко всем видам работ и услуг. Но для широкого использования метода необходимы нормативы времени на каждый вид работ, которые имеются не всегда. Этим методом нельзя пользоваться для расчета производительности труда работников, находящихся на повременной оплате труда, для которых не применяются нормы времени.

На производительность труда оказывает влияние трудоемкость работ.

Трудоемкость – это показатель, характеризующий затраты живого труда, выраженные в рабочем времени, затраченном на производство продукции (услуг).

Трудоемкостью называется количество труда (человеко-часов), которое необходимо для производства единицы продукции.

Трудоемкость измеряется обычно в нормо-часах (фактических часах работы, затраченных на производство единицы работы). Этот показатель является обратным показателю производительности трудаи рассчитывается как отношение рабочего времени к количеству произведенной продукции.

Трудоемкость продукции, как и выработка, может быть рассчитана в разных вариантах. Различают технологическую, производственную и полную трудоемкость.

Технологическую трудоемкость продукции находят путем деления затрат труда основных рабочих на количество произведенной ими продукции.

Производственную трудоемкость продукции рассчитывают делением затрат труда основных и вспомогательных рабочих на количество произведенной продукции.

Полную трудоемкость определяют делением затрат труда промышленно-производственного персонала на количество произведенной продукции (формула 44):

где Т – трудоемкость продукции;

Зтр – затраты труда различных категорий работников на производство продукции;

В – объем произведенной продукции.

Но наиболее точным считают следующий способ расчета производительности труда (формула 45):

где P – производительность;

V– объем продукции в единицах;

K– коэффициент простоя;

F– затраты труда на одного работника;

N– среднее число персонала.

Необходимо отметить, что в любом готовом продукте концентрируется живой и овеществленный труд. Благодаря такому совокупному труду и создаются материальные ценности.

Живой труд – это энергозатраты человеческого организма. При физическом труде затрачивается энергия мышц, которая измеряется в калориях; при умственном труде затрачивается энергия умственной деятельности. Естественно, что затраты живого труда имеют физиологические границы.

Овеществленный труд характеризует воплощенный в предметах и средствах труда – в машинах, механизмах, оборудовании, автоматике – живой труд в прошлом (прошлый труд).

Интересно

По мере развития общества живой труд охватывает все большую массу овеществленного труда. В результате в совокупном труде при увеличении доли овеществленного труда снижается доля живого труда. Это основной признак роста производительности труда.

Внедрение новых технологий, средств автоматизации приводит к росту механизации труда.

Показатель уровня механизации можно определить как отношение численности работников механизированного труда к общей среднесписочной численности работников.

К работникам механизированного труда относят тех, кто свою работу выполняет при помощи машин и механизмов.

Повышение уровня механизации (автоматизации) труда свидетельствует об увеличении доли овеществленного труда и возможностях роста производительности труда без увеличения затрат живого труда. Важной характеристикой живого труда является интенсивность.

Интенсивность труда – это степень напряженности живого труда, определяемая затратами (физической, умственной и нервной энергии в единицу времени).

Научная организация труда предполагает использование нормальной интенсивности труда, при которой не происходит необратимые отрицательные изменения в жизнедеятельности работника.

В понятии «производительность труда» и расчетах этого показателя имеется еще немало до конца не выясненных моментов. При огромном разнообразии видов трудовой деятельности не всегда возможно достоверное определение этого показателя.

Так, если определять по изложенной выше методике производительность врача, принимающего десять пациентов в час, и другого врача, принимающего лишь двух пациентов за это же время, то можно сделать неверный вывод о высокой результативности труда первого врача. Аналогичным образом можно подойти к вопросу о результативности труда парикмахера, швеи в ателье или художника.

Наиболее обоснованный подход к определению производительности труда достигается при соблюдении следующих требований:

учет всех затрат труда на данный вид работы;
устранение искажений, связанных с различиями в трудоемкости;
исключение повторного счета (в частности, прошлого труда);
возможности соизмерения темпов изменения производительности труда и средней заработной платы.

Операционная деятельность является главным компонентом всей деятельности, основной целью его функционирования. Эту деятельность обслуживает основной объем активов и персонал.

В условиях динамичных изменении внешней среды «бережливое производство» становится важнейшим фактором повышения конкурентоспособности предприятия и является наиболее эффективным, надежным и малозатратным способом выхода предприятия из кризиса.

Методы бережливого производства позволяют без капитальных затрат улучшить качество продукции или услуг, сократить издержки, время производственного цикла.

Бережливое производство 5s – метод, который позволяет устранить потери и непроизводственные затраты за счёт стандартизации процессов и оптимизации рабочего места.

Под «Бережливым производством» понимается система управления, включающая следующие подсистемы:

подсистема «Стратегическое управление» (концентрация на нуждах заказчика, управление по ключевым показателям эффективности, развертывание стратегических целей);
подсистема «Процессы» (выявление и снижение потерь, организация непрерывного потока изделий, структурированное решение проблем);
подсистема «Персонал» (постоянное совершенствование: кайзен и рационализаторство, командная работа, открытый обмен информацией), что в совокупности позволяет предприятию обеспечить инновационный базис управления, направленный на повышение производительности труда и конкурентоспособности продукции.

Сущность бережливого производства представлена на рисунке 18.

Основными целями бережливого производства являются:

сокращение затрат, в том числе трудовых;
сокращение сроков создания продукции;
сокращение производственных и складских площадей;
гарантия поставки продукции заказчику;
максимальное качество при определённой стоимости либо минимальная стоимость при определённом качестве.

Принципы внедрения бережливого производства:

Внедрение инструментов бережливого производства будет результативным только тогда, когда работу возглавят топ-менеджеры, для чего необходимо изменить структуру управления предприятием.
В процесс совершенствования управления предприятием и внедрения бережливого производства необходимо вовлекать всех сотрудников организации.
Для внедрения бережливого производства необходимо воспитывать лидеров и готовить специалистов по внедрению принципов бережливого производства.
Начинать необходимо с пилотных проектов, чтобы показать сотрудникам организации результативности инструментов бережливого производства и использовать принцип «иди и смотри».
Ключевым звеном «бережливого производства» является стандартизация, закрепления достигнутого, без которого не будет развития, и возврат на исходную позицию станет неизбежным.

Организационные механизмы внедрения бережливого производства представлены на рисунке 19.

Источник

Обновлено: 21.03.2023

Историческая справка . Задачи, о которых пойдёт речь, на 50 лет были исключены из обучения математике в школе. Произошло это в ходе реформы математического образования конца 60-х годов прошлого века. В ходе той реформы исчезли задачи типа А , но остались задачи типа B , которые учащиеся решали плохо именно потому, что их не учили решать более простые обратные задачи типа A .

A . Первая бригада может выполнить задание за 15 ч, вторая бригада может выполнить то же задание за 10 ч. За сколько часов две бригады выполнят то же задание при совместной работе.

B . Первой бригаде выполнение задания требуется на 5 ч больше, чем второй бригаде, а при совместной работе эти бригады выполняют такое задание за 6 ч. За сколько часов каждая бригада, работая отдельно может выполнить это задание?

то для второй реформы больше подходит другой эпиграф:

Теперь от грустных шуток о происходящем с математическим образованием давайте перейдём собственно к задачам на совместную работу. Они известны из глубокой древности. Но начнём мы с задачи, понятной современным школьникам.

Задача 1. Один ученик уберёт класс за 20 минут, а второй за 30 минут. За сколько минут они уберут класс при совместной работе?

II способ. Предположим, что ученики работали совместно 60 минут, но убирали разные классы.

1) 60 : 20 = 3 (класса) — убрал первый ученик,
2) 60 : 30 = 2 (класса) — убрал второй ученик,
3) 2 + 3 = 5 (классов) — убрали они вместе,
4) 60 : 5 = 12 (мин) — потратят два ученика на уборку класса при совместной работе.

Ответ. За 12 мин.

Задача 2. Валя и Галя пропалывают грядку 8 минут, а одна Галя — за 10 минут. За сколько минут пропалывает грядку одна Валя? [Сборник заданий для подготовки к ЕГЭ 2018.]

II способ. Предположим, что Валя и Галя работали совместно 40 минут.

1) 40 : 8 = 5 (грядок) — пропололи вдвоём Валя и Галя,

2) 40 : 10 = 4 (грядки) — прополола за 40 минут Галя,

3) 5 – 4 = 1 (грядку) — прополола за 40 минут Валя.

Значит, одна Валя пропалывает грядку за 40 минут.

III способ. Предположим, грядка была длиной 40 м, тогда Валя и Галя при совместной работе пропалывали 40 : 8 = 5 (м/мин), а одна Галя — 40 : 10 = 4 (м/мин). Тогда одна Валя пропалывала 5 – 4 = 1 (м/мин). На всю грядку Вале требуется 40 : 1 = 40 (мин).

Ответ. За 40 мин.

Мы рассмотрели задачи двух типов с двумя участниками совместной работы — в первой время совместной работы не известно, а во второй известно. Решение первой приводит к сложению дробей, а второй — к вычитанию дробей. Но с дробями научились решать такие задачи не так давно.

Вот пример задачи из русской математической рукописи и её решение.

Задача 3. Один человек выпьет кадь кваса в 14 дней, а с женою выпьет ту же кадь в 10 дней. Спрашивается, в сколько дней жена его отдельно выпьет ту же кадь.

Решение. Вынь 10 из 14: останется 4. Молви: 4 даст 10. Что даст 14? Умножь 14 на 10, будет 140; дели 140 на 4, будет 35 дней. За 35 дней одна жена кадь квасу выпьет.

2-й способ. За 140 дней человек выпьет 10 бочонков, а вместе с женой за 140 дней они выпьют 14 бочонков. Значит, за 140 дней жена выпьет 14 – 10 = 4 бочонка. Один бочонок она выпьет за 140 : 4 = 35 дней.

Отметим, что известна задача ещё более раннего периода.

Задача 4. Китай, II в. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит
9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся?

Решение задачи приводит к дробному ответу. Задачу надо упомянуть для того, чтобы спросить адептов веры в то, что учить в школе надо только тому, что пригодится на практике. Вопрос: какое практическое применение искали китайцы в то давнее время, давая детям решать задачу про утку и гуся? Думается, что никакого, кроме применения на практике мышления, развитого с помощью таких задач.

Рассмотрим ещё пару задач. Первая составлена С. Сатиным (я изменил только первую строку для получения круглого ответа).

Задача 5.
За пять недель пират Ерёма
Способен выпить бочку рома.
А у пирата у Емели
Ушло б на это две недели.
За сколько дней прикончат ром,
Пираты действуя вдвоём?

Задача 6.
За пять недель маляр Истомин
Покрасит стены в целом доме.
А лучший мастер Глеб Куделин
Покрасит стены в две недели.
За сколько дней, нам интересно,
Они всё сделают совместно?

Мы рассмотрели только простейшие задачи на совместную работу для двух участников. К сожалению, развитие темы здесь на канале затруднительно из-за необходимости писать формулы, поэтому задачи для работы ищите в источниках, упомянутых в предыдущих моих заметках, развитие темы для учащихся постарше смотрите здесь:

Производительность (Р) – объём работы, выполняемый за единицу времени.

Время работы (Т) – время выполнения всей работы.

Общая производительность – объём работы, выполняемый совместно всеми работниками за единицу времени.

Обязательная литература

Дополнительная литература

Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 классы. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Всю работу мы будем принимать за единицу. А объём выполненной работы выражать как часть этой единицы.

Если какая-то работа выполняется за шесть часов, то за час выполняется одна шестая часть этой работы.

Объём работы, выполненный за единицу времени, называется производительностью. Она обозначается как Р.

1-й столяр – 36 ч

2-й столяр – 18 ч

1-й и 2-й столяр – ? ч

(первый столяр за один час, или производительность Р₁ первого столяра)

(второй столяр за один час, или производительность Р₂ второго столяра)

(оба столяра за один час, или общая производительность Р)

(время выполнения всей работы совместно)

Рассмотрим следующую задачу.

1-я труба – 60 минут

2-я труба – 20 минут

часть бассейна (наполняет первая труба за одну минуту, или производительность Р₁)

часть бассейна (наполняет вторая труба за одну минуту, или производительность Р₂)

часть бассейна (заполняют обе трубы, работая вместе, или общая производительность Р)

минут (время заполнения бассейна двумя трубами)

Ответ: за 15 минут.

1-й и 2-й мастер – 6 дней

1-й мастер – 10 дней

2-й мастер – ? дней

часть заказа (первый и второй мастера за один день, или общая производительность Р)

часть заказа (первый мастер за один день, или производительность Р₁)

часть заказа (выполнит второй мастер за один день, или производительность Р₂)

дней – время выполнения заказа вторым мастером

Ответ: за 15 дней.

Алгоритм решения задач на совместную работу

Т₁ – время, за которое первый объект самостоятельно выполнит всю работу;

Т₂ – время, за которое второй объект самостоятельно выполнит всю работу.

Всю выполненную работа принимаем за единицу.
Находим часть работы, выполненную первым объектом за единицу времени (производительность Р₁ = 1 ꞉ Т₁).
Находим часть работы, выполненную вторым объектом за единицу времени (производительность Р₂ = 1 ꞉ Т₂).
Находим часть работы, выполненную двумя (или более) объектами за единицу времени (общая производительность Р = Р₁ + Р₂).
Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми объектами (Т = 1 ꞉ Р).

Тренировочные задания

№ 1. Путешественник планирует пройти маршрут за семь дней. Какую часть маршрута он пройдёт за один день? За три дня? За пять дней? Какая часть маршрута останется не пройденной за эти же промежутки времени? Используйте следующие значения ; ; ; ; .

Пройденная часть маршрута – ?

Очевидно, что за три дня путешественник пройдет в три раза больше, чем за день. Рассчитаем эту часть пути:

Аналогично действуем и в остальных случаях.

Пройденная часть маршрута –

№ 2. Подберите к каждому действию правильное пояснение.

Пояснения к действиям:

Время выполнения всей работы вторым трактористом;
Общая производительность обоих трактористов;
Часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за один час.

Большинство задач на совместную работу можно решить с помощью дробного рационального уравнения. Для решения более сложных задач составляют систему уравнений.

Как и другие задачи на работу, задачи на совместную работу связывают время работы, производительность труда и время работы соотношением:

Чаще всего за x принимают время работы, а производительность труда выражают через x.

1) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 20 дней. За сколько дней может выполнить задание каждый из них, работая самостоятельно, если одному из них для этого надо на 9 дней больше, чем другому?

Примем все задание за единицу. Пусть II рабочий, работая самостоятельно, может выполнить все задание за x дней, тогда I — за x+9 дней.

$frac<1> >$

$[frac<1> ]$

Вместе за 1 день рабочие выполняют

$[frac > + frac]$

задания. За 20 дней вместе они выполнят все задание. Составим уравнение:

$[20 cdot (frac > + frac) = 1]$

$[frac ^>>>> + frac^>>> - > = 0]$

$[frac<<20x + 20(x + 9) - x(x + 9)> ><<x(x + 9)>> = 0]$

$[frac<<20x + 20x + 180 - <x^2> - 9x>><<x(x + 9)>> = 0]$

$[frac<< - + 31x + 180>><<x(x + 9)>> = 0 Leftrightarrow left< begin - + 31x + 180 = 0\x(x + 9) ne 0end right.]$

Второй корень не подходит по смыслу задачи (так как время не может быть отрицательным числом). Значит, II рабочий, работая самостоятельно, может выполнить всю работу за 36 дней, а I — за 36+9=45 дней.

Ответ: за 45 дней и 36 дней.

И еще одна задача на совместную работу.

2) Один насос может наполнить бассейн на 24 часа быстрее, чем другой. Через 8 часов после того, как был включен второй насос, включили первый, и через 20 часов совместной работы оказалось, что заполнено 2/3 бассейна. За сколько часов может наполнить бассейн каждый насос, работая самостоятельно?

Примем весь бассейн за 1. Пусть I насос, работая самостоятельно, может наполнить весь бассейн за x часов, тогда II — за x+24 часа.

$frac<1> >$

$[frac<1> ]$

Известно, что II насос был включен 8+20=28 часов, а I — 20 часов, и за это время они наполнили 2/3 бассейна. Составим и решим уравнение:

$[frac<<20> > + frac>> = frac]$

Обе части уравнения делим почленно на 2 и переносим все слагаемые в левую часть:

$[frac<<<<10> ^>>> + frac^>>>> - ^> = 0]$

$[frac<<30(x + 24) + 42x - x(x + 24)> ><<3x(x + 9)>> = 0]$

$[frac<<30x + 720 + 42x - <x^2> - 24x>><<3x(x + 24)>> = 0]$

$[frac<< - + 48x + 720>><<3x(x + 24)>> = 0 Leftrightarrow left< begin - + 48x + 720 = 0\3x(x + 24) ne 0end right.]$

Второй корень — посторонний. Значит, I насос может наполнить бассейн самостоятельно за 60 часов, а II — за 60+24=84 часа.

В данном видеоуроке мы будем решать задачи на совместную работу. Ведь каждому из нас порой приходится потрудиться, а выполнять работу в компании друзей веселее и быстрее.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Задачи на совместную работу»

Каждому из вас порой приходится потрудиться. Любите ли вы трудиться? Наверное, не всегда.

Но вот если вы будете выполнять работу в компании друзей, то дела пойдут веселее и быстрее.

Вот сегодня мы и будем решать задачи на совместную работу.

Задача первая. Первый столяр каждые 3 ч делает по 72 деревянные детали, а второй каждые 2 ч делает по 36 деталей. Какое количество деталей сделают они вместе за 6 ч?

Эта задача напоминает задачу на движение, ведь в ней есть скорость и время. Вот только скорость и время не движения, а работы. А вместо расстояния в ней – весь объём работы.

Задача вторая. Библиотеке надо переплести 450 книг. Первая мастерская может выполнить эту работу за 10 дней, а вторая – за 15. За сколько дней выполнят эту работу мастерские, если будут работать вместе?

Третья задача. Токарь может обточить 36 заготовок за 3 ч, а его ученику потребуется в 2 раза больше времени. За сколько часов они обточат 144 заготовки при совместной работе?

Следующая задача. В бассейн вмещается 600 л воды. Через первый кран его можно заполнить за 3 ч, а через второй – за 6 ч. За сколько часов можно заполнить бассейн открыв оба крана?

И решим ещё одну задачу. Саша и Паша ели пирожки с повидлом. Саша съедал один пирожок за 4 мин, а Паша – за 6 мин. Вместе они съели 15 пирожков. Сколько пирожков съел каждый?

Читайте также:

Сообщение фредерик шопен танцевальная музыка

Схема терминалов в шереметьево и сообщение между ними

Постмодернизм и информационные технологии сообщение

Пещера большая орешная сообщение

Сообщение первые московские князья

Источник

2-й способ решения – без таблицы

Как обойтись без составления таблицы?

Сразу составить уравнение.

Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.

Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.

Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.

Напомню, что первый работал на ( displaystyle 2) часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить ( displaystyle 2):

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2)

То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.

А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.

Во-первых, сравним формулы:

Движение	Работа
( displaystyle v=frac{S}{t})	( displaystyle P=frac{A}{t})
Скорость движения	Скорость выполнения работы, т.е. производительность
Пройденный путь	Выполненная работа
Потраченное на движение время	Потраченное на работу время

Теперь рассмотрим задачу:

Пример №1

Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.

Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?

Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).

Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:

( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).

То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.

Как решать задачи на совместную работу

Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

Пример №2

Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).

За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?

Решение

Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.

Придумал?

Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).

А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.

Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!

Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.

Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.

Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).

С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час, – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть производительности складываются:

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}})

То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: ( displaystyle v={{v}_{1}}+{{v}_{2}}).

Итак,

( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).

Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):

( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)

Итак, правило:

При совместной работе производительности складываются

А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.

Пример 8

На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?

Решение:

Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).

Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).

Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).

( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.

То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).

Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:

Источник

Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы рассмотрим очень интересную физическую величину — производительность.

Что такое сила?

Сила — это физическое явление, способное изменять форму материальных тел, вызывать их движение, менять направление и скорость движения этих тел или приводить тело в состояние покоя.

Примеры сил:

ребята слепили снеговика, а хулиганы его разрушили. Получается, что хулиганы приложили к снеговику свою силу, тем самым вызвали изменение формы снеговика;

на дворе стояла тележка. Прохожий случайно задел её и тележка сдвинулась с места. Получается, что прохожий применил силу к тележке и вызвал её движение;

далее тот же прохожий остановил тележку, чтобы она далеко не уехала. Получается, что прохожий применил силу, тем самым привел тележку в состояние покоя.

Сила является физической величиной — мерой воздействия на тело других тел. Сила обозначается заглавной латинской буквой F.

Что такое работа?

Работа — это количественная мера действия силы на тело. Работа зависит от количества силы, приложенной на тело и от направления этой силы, а также от перемещения данного тела.

Например, если мы попробуем сдвинуть шкаф с места и он сдвинется, то можно сказать, что мы совершили работу, поскольку сила, которую мы приложили, привела к тому, что шкаф совершил перемещение на некоторое расстояние.

Если же мы, к примеру, попробуем толкнуть стену, то стена с места не сдвинется, а значит и работа не будет совершена, поскольку сила была приложена, но эта сила не вызвала никакого перемещения стены.

Работа обозначается заглавной латинской буквой A.

Производительность

Производительностью называют работу, выполненную за единицу времени. Под единицей подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Производительность обозначается латинской буквой v

Рассмотрим следующий пример. Два пекаря пекли булочки. Первый пекарь испёк 40 булочек за 10 минут, а второй 15 булочек за 5 минут. Как узнать, кто из пекарей работал быстрее, первый или второй?

Работал быстрее тот, кто за одну минуту выпекает больше булочек. Говорят, что у него производительность больше. Для нахождения производительности предусмотрено следующее правило:

Чтобы найти производительность, надо выполненную работу разделить на время работы.

Также, можно воспользоваться формулой:

где v — производительность, A — выполненная работа, t — время работы.

Вернемся к нашей задаче. Зная правило или формулу нахождения производительности, можно определить сколько булочек приходится на одну минуту.

Найдём производительность первого пекаря. Разделим работу, которую он выполнил, на время которое он на нее затратил. Выполненная работа это количество испеченных им булочек, то есть 40, а время — 10 минут

40 : 10 = 4 булочки в минуту

Аналогично найдём производительность второго пекаря. Разделим 15 на 5

15 : 5 = 3 булочки в минуту

4 > 3

Первый пекарь в минуту выпекает больше булочек чем второй, значит его производительность выше. Отсюда делаем вывод, что работает он быстрее второго пекаря.

Также можно воспользоваться формулой нахождения производительности. В этом случае решение принимает следующий вид:

Под буквой v можно делать метки, указывающие для кого/чего мы находим производительность.

Задача 2. Тому нужно за 2 дня прочитать книгу, в которой 100 страниц. В первый день он читал 4 часа со скоростью 12 страниц в час. С какой скоростью ему надо читать оставшуюся часть книги, если у него есть на это 4 часа?

Узнаем сколько страниц Том прочитал в первый день. Он читал 12 страниц в час. Чтению в первый день он посвятил 4 часа, поэтому для нахождения количества прочитанных страниц в первый день, нужно 12 умножить на 4

12 × 4 = 48 страниц прочитано в первый день

Узнаем сколько страниц осталось прочесть. Вычтем из общего количества страниц (100) количество прочитанных страниц (48)

100 − 48 = 52 страницы осталось прочесть

Осталось прочесть 52 страницы. Теперь найдем такую производительность, при которой Том сможет прочесть 52 страницы за 4 часа. Раскидаем 52 страницы на 4 часа поровну

52 : 4 = 13 страниц в час

Ответ: чтобы прочитать оставшуюся часть книги за 4 часа, Том должен читать ее со скоростью 13 страниц в час.

Замечание. В некоторых источниках слово «производительность» может быть заменено на слова «скорость», «эффективность», «продуктивность», «плодотворность».

Задача 3. Один насос работал 4 часа, выкачивая 158 вёдер воды в час, а другой — 3 часа, выкачивая 169 вёдер воды в час. Определить какой из насосов выкачал больше вёдер.

Решение

Определим сколько всего вёдер выкачал каждый насос по отдельности. Для этого умножим их производительность на время их работы:

158 в/ч × 4 = 632 вёдер выкачал первый насос

169 в/ч × 3 = 507 вёдер выкачал второй насос

632 > 507

Ответ: первый насос выкачала больше вёдер, чем второй.

Задача 4. За 2 часа насос выкачал 80 литров воды. Определить сколько литров он выкачает за 5 часов.

Решение

Сначала нужно определить сколько литров воды насос выкачивает за час. Для этого 80 литров разделим на 2 часа — получим 40 литров

80 : 2 = 40 литров в час

За один час насос выкачивает 40 литров воды. За 5 часов выкачает в пять раз больше

40 × 5 = 200 литров

Ответ: за 5 часов насос выкачает 200 литров воды.

Если известны производительность и время работы, то можно найти выполненную работу. Выполненная работа равна производительности умноженной на время работы:

A = v × t

Например, если производительность пекаря составляет 50 булочек в час, и он проработал 4 часа, то можно найти всю выполненную работу за эти четыре часа. Для этого производительность (50 бул/ч) нужно умножить на время его работы (4ч)

50 × 4 = 200 булочек

Если известны работа и производительность, то можно найти время работы. Время работы равно отношению выполненной работы к производительности:

Например, если в неделю бригада отстраивает 2 этажа, то можно узнать сколько недель потребуется для отстройки 8 этажей. Чтобы определить время отстройки восьми этажей, нужно выполненную работу (8 этажей) разделить на производительность (2 эт./нед):

8 : 2 = 4 нед.

Либо с помощью формулы, приведенной выше:

Если в неделю строится 2 этажа, то 8 этажей будет отстроено за четыре недели. В данном случае вся работа была равна восьми. Производительность была равна двум, поскольку по определению производительность есть работа, выполненная за единицу времени – в нашем случае два этажа за неделю.

Задача 6. Принтер работает с производительностью 70 стр./ч. Сколько страниц он напечатает за 5 часов?

Решение

Если в час принтер печатает 70 страниц, то за 5 часов он напечатает в 5 раз больше:

70 × 5 = 350 страниц

Также, решение можно записать с помощью формулы нахождения работы. В данном случае, количество напечатанных страниц являются выполненной работой:

A = v × t = 70 × 5 = 350 страниц

A = 350 страниц

Задача 7. Принтер напечатал 350 страниц за 5 часов. С какой производительностью он работал?

Решение

Если в течении пяти часов принтер напечатал 350 страниц, то в течении часа он печатал . То есть работал с производительностью 70 страниц в час:

350 : 5 = 70 стр./ч.

Либо с помощью формулы нахождения производительности:

Задача 8. Принтер работал с производительностью 70 страниц в час и напечатал 350 страниц. Определить время работы принтера.

Решение

Выражение «работал с производительностью 70 страниц в час» означает, что в каждом часе принтер печатал по 70 страниц. И это продолжалось до тех пор, пока он не напечатал 350 страниц. Очевидно, что разделив 350 страниц по 70, мы определим время работы принтера, то есть узнаем сколько часов он работал

350 : 70 = 5 ч.

Либо с помощью формулы нахождения времени:

Задача 9. Машинистка в первый день напечатала 48 страниц рукописи, а во второй день — на 12 страниц больше, чем в первый. На всю работу в эти 2 дня она затратила 9 часов. Сколько часов работала она в каждый из этих дней, если производительность её не менялась ?

Решение

Определим сколько страниц напечатала машинистка во второй день. В условии сказано, что напечатала она на 12 страниц больше, чем в первый:

48 + 12 = 60 страниц во второй день.

Определим сколько страниц машинистка напечатала за два дня:

48 + 60 = 108 страниц за два дня.

На эту работу машинистка затратила 9 часов. Также сказано, что производительность её не менялась. Если мы разделим выполненную работу (108) на время выполнения (9), то определим производительность машинистки:

108 : 9 = 12 страниц в час.

Теперь мы можем определить сколько часов работала машинистка в каждый из двух дней. Для этого поочередно разделим выполненные работы в каждом из двух дней на производительность:

48 : 12 = 4 часа работала машинистка в первый день

60 : 12 = 5 часов работала машинистка во второй день.

Задача 10. Джон решил 10 примеров за 5 минут. С какой производительностью он решал эти примеры?

10 примеров это выполненная Джоном работа. 5 минут — время работы. Разделим выполненную работу на время работы и определим производительность Джона:

10 : 5 = 2 примера в минуту.

Производительность Джона равна двум примерам в минуту.

Задача 11. Джон решил несколько примеров за 5 минут. С какой производительностью он решил эти примеры?

Это та же самая задача, что и предыдущая, но в ней работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что Джон выполнил эту работу за 5 минут. Поэтому, конкретную производительность в такой задаче узнать нельзя. Но можно воспользоваться дробями. Обозначим выполненную работу через единицу. Тогда производительность работы Джона будет выражаться дробью – частью примеров, решенных за единицу времени. Если вы изучили задачи на дроби, то должны понимать о чем идёт речь.

Итак, обозначим выполненную работу через единицу:

A = 1

Мы знаем, что для нахождения производительности, выполненную работу нужно разделить на время. Время работы у нас равно пяти минутам. Поэтому, единицу делим на пять минут:

Дробь выражает часть работы, выполненную Джоном за единицу времени. Если мы вернемся к предыдущей задаче, где выполненная работа была равна десяти примерам и найдем одну пятую от этой работы, то получим 2

Выражать выполненную работу через единицу часто приходится при решении задач на совместную работу.

Задачи на совместную работу

Задача 1. Первый мастер за 2 часа изготавливает 64 детали, а второй за 3 часа – 72 детали. За сколько часов они изготовят 336 деталей?

В данной задаче речь идет о совместной работе. Необходимо определить производительность обоих мастеров и найти время за которое они изготовят 336 деталей.

Для начала определим производительность первого мастера:

64 : 2 = 32 дет./час

Определим производительность второго мастера:

72 : 3 = 24 дет./час

Определим совместную производительность мастеров. Для этого сложим количество деталей, которые они изготавливают по отдельности за единицу времени. То есть сложим их производительности:

32 дет./час + 24 дет./час = 56 дет./час

Вместе за один час мастера изготавливают 56 деталей. Чтобы узнать за сколько часов они изготовят 336 деталей, нужно определить сколько раз 336 содержит по 56

336 : 56 = 6 часов

Задача 2. Первый мастер может покрасить забор за 20 минут, а второй мастер – за 30 минут. За сколько минут, работая вместе, они могут покрасить забор?

Решение

В данной задаче, в отличие от предыдущей, работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что эту работу первый мастер может выполнить за 20 минут, а второй за 30 минут.

В такой ситуации можно воспользоваться дробями. Мы можем обозначить всю работу (покраску забора) через единицу.

Итак, обозначим работу (покраску забора) через единицу:

A = 1

Производительность первого мастера будет выражáться дробью . То есть за одну минуту он покрасит одну двадцатую часть забора. Единица это вся работа, а двадцать минут это время работы. Запишем производительность первого мастера с помощью формулы нахождения производительности:

А производительность второго мастера будет выражáться дробью . То есть за одну минуту он покрасит одну тридцатую часть забора:

Определим общую производительность мастеров. Для этого сложим дроби, выражающие производительность первого и второго мастеров:

это дробь, выражающая общую производительность обоих мастеров. То есть за одну минуту мастера вместе покрасят часть забора.

Определим время за которое мастера покрасят забор вместе. Для этого воспользуемся формулой нахождения времени: разделим выполненную работу на общую производительность мастеров. Выполненная работа у нас выражена единицей, а производительность — дробью

Ответ: работая вместе, мастера покрасят забор за 12 минут.

Задача 3. Первый рабочий может выполнить заказ за 8 часов, а второй за 6 часов. Два часа они работали вместе, а заканчивал работу один второй рабочий. Сколько времени потребовалось для выполнения этого заказа?

Решение

Обозначим всю работу через единицу

A = 1

Тогда первый рабочий за один час может выполнить часть работы, а второй рабочий часть работы. А вместе за один час они могут выполнить часть работы

Рабочие работали вместе два часа, поэтому умножим часть работы, выполняемую ими за один час на 2:

Остальную часть работы, а именно работы заканчивал один второй рабочий:

Второй рабочий за один час мог выполнить часть работы. Чтобы определить время за которое он завершил оставшуюся часть работы, воспользуемся формулой нахождения времени.

Переменная A теперь равна , переменная v —

Теперь определим общее время заказа. Первые два часа рабочие работали вместе, остальную часть работы второй рабочий выполнил за два с половиной часа, отсюда имеем 4,5 ч.

2 + 2,5 = 4,5 ч.

Ответ: для выполнения заказа потребовалось 4,5 ч.

Задача 4. Одна труба наполняет бассейн за 6 ч, а другая – за 4 ч. За
сколько часов наполняют бассейн обе трубы, работая вместе?

Решение

Обозначим работу (наполнение бассейна) через единицу

A = 1

Тогда первая труба за один час выполнит часть работы, а вторая труба — часть работы. Работая вместе за один час они выполнят часть работы:

Определим время за которое обе трубы наполняют бассейн, работая вместе:

2,4 это два целых часа и четыре десятых часа

2,4 = 2 ч + 0,4 ч

А четыре десятых часа это 24 минуты

60 мин. × 0,4 = 24 мин.

Ответ: работая вместе обе трубы наполнят бассейн за 2 ч 24 мин.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Первая бригада может выполнить некоторое задание за 12 часов, вторая – за 4 часа. За сколько часов они выполнят задание, если будут работать вместе?

Решение

Обозначим работу через единицу:

A = 1

Тогда первая бригада за один час выполнит часть работы, а вторая за один час часть работы. Их общая производительность равна сумме дробей и :

Определим время за которое обе бригады выполнят задание, работая вместе:

Ответ: обе бригады выполнят задание за 3 часа.

Задача 2. Лошадь съедает копну сена за 1 сутки, корова может съесть такую же копну за 3 суток, а овца за 6 суток. За какое время съедят эту копну лошадь, корова и овца вместе.

Решение

Работа в данном случае это съедание копны сена. Обозначим её через единицу:

A = 1

Тогда производительность лошади будет выражáться единицей, производительность коровы — дробью , производительность овцы — дробью . Их совместная производительность равна следующей сумме:

Определим время, за которое лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена:

Ответ: лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена за суток или 16 часов.

Задача 3. Сосуд наполняется шлангом за 12 мин, а полный сосуд опорожняется при открытии крана за 20 мин. За какое время наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду через шланг?

Решение

Работа в данном случае это наполнение сосуда. Обозначим эту работу через единицу:

A = 1

В условии сказано, что сосуд наполняется шлангом за 12 минут. Значит в минуту будет наполняться часть сосуда. При этом сказано, что одновременно открыт кран сосуда и из него вытекает вода, которой наполняется сосуд. Вода, которая вытекает равна части сосуда, поскольку в условии сказано, что полный сосуд опорожняется за 20 минут.

В сосуд поступает воды больше, чем вытекает. Дробь больше, чем .

Несмотря на то, что часть поступающей в сосуд воды будет вытекать, с каждой минутой сосуд будет пополняться на определенную часть. Узнаем, что эта за часть. Для этого из поступающей части вычтем ту часть, которая вытекает:

Каждую минуту сосуд будет наполняться на .

Определим время за которое наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду через шланг:

Ответ: если одновременно открыть кран и вливать в пустой сосуд воду через шланг, то он наполнится за 30 минут.

Задача 4. Через первую трубу бассейн можно заполнить за 20 ч, через вторую за 30 ч. Какая часть бассейна заполнится через обе трубы за 1 ч?

Решение

Работа в данном случае это заполнение бассейна. Обозначим эту работу через единицу:

A = 1

Производительность заполнения бассейна через первую трубу будет выражáться дробью , через вторую трубу — дробью . Совместная производительность будет выражáться дробью

Производительность по определению есть работа, выполненная за единицу времени. Значит дробь является ответом к задаче, поскольку нас интересовало какая часть бассейна заполнится через обе трубы за 1 час. Это можно проверить, воспользовавшись формулой нахождения работы. Переменная v у нас имеет значение , а переменная t равна единице (одному часу). Формула нахождения работы позволит нам определить какая часть работы будет выполнена за 1 час:

Ответ: за один час заполнится часть бассейна.

Задача 5. На прокладку траншеи требуется затратить 10 ч. Экскаватор проработал 8 ч, после чего ему осталось пройти 50 м. Найти общую длину траншеи.

Решение

В задаче подразумевается, что экскаватор работал с одинаковой производительностью на протяжении всей работы. На работу требовалось затратить 10 ч. Проработано было 8 ч. Значит осталось еще 2 часа. На 2 часа приходятся оставшиеся 50 метров траншеи. Если разделить 50 метров на 2, то можно определить сколько метров экскаватор прокладывает за один час:

50 : 2 = 25 м./ч

В час экскаватор прокладывал 25 метров. Работал он 10 часов. Умножим 25 на 10, мы определим общую длину траншеи:

25 × 10 = 250 м

Ответ: общая длина траншеи составляет 250 м.

Задача 6. Ванна заполняется холодной водой за 6 мин 40 с, горячей – за 8 мин. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 мин 20 с. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?.

Решение

Для удобства переведем время данное в задаче в секунды

6 мин 40 с = 400 с
8 мин = 480 с
13 мин 20 с = 800 с

Обозначим заполнение ванны через единицу:

A = 1

Производительность первого крана будет выражáться дробью , производительность второго крана — дробью . Совместная производительность обоих кранов равна сумме дробей и

Одновременно с открытыми двумя кранами, вынута пробка из ванны. Поэтому часть поступающей в ванну воды сразу выходит через слив. Эта часть будет выражáться дробью .

С каждой секундой ванна будет пополняться на определенную часть воды. Узнаем какая это часть. Для этого из поступающей части воды вычтем ту часть, которая вытекает через слив.

Определим сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну:

Ванна наполнится за 300 секунд. Поскольку задача завершена, секунды можно обратно перевести в минуты. Триста секунд это пять минут:

300 : 60 = 5 мин

Ответ: ванна заполнится за 5 мин.

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Источник