Найти производительность труда для работы в момент времени

11 Модель
равновесных цен . Рассмотрим теперь
балансовую модель, двойственную к модели
Леонтьева – так называемую модель
равновесных цен. Пусть, как и прежде, А
— матрица прямых затрат,

(x_l,
x₂,…,x_n)
– вектор валового выпуска. Обозначим
через

(р₁,
р₂,
…р_n
– вектор цен, i-я координата которого
равна цене единицы продукции i-й отрасли;
тогда, например, первая отрасль получит
доход, равный p₁,
х₁.

Часть своего
дохода эта отрасль потратит на закупку
продукции у других отраслей. Так, для
выпуска единицы продукции ей необходима
продукция первой отрасли в объеме a₁₁,
второй отрасли в объеме а₂₁,
n-й отрасли в объеме a_n1
т. д. На покупку этой продукции ею будет
затрачена сумма, равная a₁₁
p₁
+ a₂₁ p₂
+…+ a_nl
p_n.
Следовательно, для выпуска продукции
в объеме х₁
первой отрасли необходимо потратить
на закупку продукции других отраслей
сумму равную x₁(a₁₁p₁ + a₂₁p₂ +…+ a_n1p_n).
Оставшуюся часть дохода, называемую
добавленной стоимостью, мы обозначим
V₁ (эта
часть дохода идет на выплату зарплаты
и налогов, предпринимательскую прибыль
и инвестиции).

Таким образом,
имеет место следующее равенство:

x₁
p₁
=
x₁
(a₁₁
p₁
+a₂₁
p₂
+… +a_n1
p_n)
+ V₁.
Разделив это равенство на х₁
получаем p₁
= (a₁₁
p₁
+a₂₁
p₂
+… +a_n1
p_n)
+ v₁,
где v₁

– норма добавленной стоимости (величина
добавленной стоимости на единицу
выпускаемой продукции). Подобным же
образом получаем для остальных отраслей

p₂
=
a₁₂
p₁
+ a₂₂
p₂
+ … + a_n2
p_n
+v₂

……………………………………

p_n
=
a_1n
p₁
+ a_2n
p₂
+…+ a_nn
p_n
+v₂

Найденные равенства
могут быть записаны в матричной форме
следующим образом:

, где

— вектор норм добавленной стоимости.

Как мы видим,
полученные уравнения очень похожи на
уравнения модели Леонтьева с той лишь
разницей, что

заменен
на
,

– на
,
А – на А^т.

Модель
равновесных цен позволяет, зная величины
норм добавленной стоимости, прогнозировать
цены на продукцию отраслей. Она также
позволяет прогнозировать изменение
цен и инфляцию, являющиеся следствием
изменения цены в одной из отраслей.

12 ?
Определение
10.1. Ненулевой вектор


называется собственным вектором
квадратной матрицы А порядка n,
если

где

– некоторое число. При этом число

называется собственным значением
матрицы А. Говорят так:

есть собственный вектор матрицы А,
принадлежащий ее собственному значению

.

13
Определение Уравнение

называется
характеристическим
уравнением матрицы А.
Таким
образом, собственные
значения матрицы А являются корнями ее
характеристического уравнения.

14
Определение. Максимальное по модулю
собственное значение неотрицательной
матрицы А называется числом Фробениуса
матрицы А, а соответствующий ему
неотрицательный собственный вектор —
вектором Фробениуса для А.

15 Определение.
Функцию, выражающую зависимость между
стоимостью выпускаемой продукции и
стоимостью суммарных затрат на ее
производство, называют однофакторной
производственной функцией.

16 Функция, в
которой роль независимой переменной
играют затраты, а зависимая переменна
определяет уровень выпуска, называется
функцией выпуска. В функции затрат,
наоборот, независимая переменная-
выпуск, а зависимая- затраты.

Пример 1. Если
затраты

прямо пропорциональны объему выпуска

,
то функция затрат имеет вид

.

С помощью
однофакторных производственных функций
описывается также зависимость объема
выпускаемой продукции от затрат
некоторого специфического вида ресурса
(трудовые ресурсы, основные производственные
фонды, объем капиталовложений, различные
виды сырья и др.). При этом затраты всех
других участвующих в производстве
ресурсов считаются постоянными.

Пример 2. С помощью
функции вида

можно охарактеризовать
зависимость урожайности

некоторой сельскохозяйственной культуры
от количества

внесенных
удобрений. При отсутствии удобрений
урожайность составляет

единиц. С увеличением объема используемых
удобрений урожай сначала возрастает и
при

достигает наибольшего значения.

Дальнейшее
наращивание затрат удобрений оказывается
неразумным, так как приводит к снижению
урожая и даже полной его потере при

(рис.1).

Пример 3.
Гиперболическая зависимость

применяется,
например, для моделирования зависимости
затрат

на единицу выпускаемой продукции от
объема производства

(рис.2). Величина

уменьшается с увеличением

,
это означает, что с увеличением объема
производства доля затрат неограниченно
убывает. При большом объеме производства
(
)
удельные затраты лишь незначительно
отличаются от

(
).

Пример 4.
Экспоненциальная производственная
функция

используется,
например, для исследования динамики
изменения объема производств

с течением времени

.
В начальный момент времени

объем производства

.
Крутизна кривой зависит от коэффициентов

.
Зависимость

имеет место ив следующей ситуации. Если
на банковский счет кладется сумма

,
то через

лет на счете будет сумма

,
если банк выплачивает

%
годовых.

Пример
5. Показательная функция

может моделировать
влияние затрат переменного ресурса

на выпуск

продукции, если уровень выпуска не может
быть больше некоторой предельной
величины

.
Так как

,
то с ростом

неограниченно убывает, а

возрастает. Если

,
то

.
При

выпуск равен

Пример 6. Степенная
производственная функция

обычно описывает
ситуации, в которых рост затрат

некоторого ресурса

ведет к неограниченному увеличению
выпуска

.
Насколько быстро растет

зависит от величины параметров

.

За период времени
от

до

количество произведенной продукции
изменится от значения

до значения

.
Тогда средняя производительность труда
за этот период времени равна

.
Очевидно, что производительность труда
в момент времени

можно определить как предельное значение
средней производительности за период
времени от

до

при

,
т.е. равна

.

Экономический
смысл производной:
производительность труда есть производная
объема произведенной продукции по
времени.

Производная
логарифмической функции

называется логарифмической производной,
а так же относительной скоростью
изменения функции или темпом изменения
функции.

Пример 7. Объем
продукции

,
произведенной бригадой рабочих, может
быть описан уравнением

,

,
где

—
рабочее время в часах. Вычислить
производительность труда, скорость и
темп ее изменения через час после начала
работы и за час до ее окончания.

Производительность
труда выражается производной

,
а скорость и темп изменения производительности
– соответственно производной

и логарифмической производной

В заданные моменты
времени

соответственно имеем:

Итак, к концу
работы производительность труда
существенно снижается; при этом изменение
знака

и логарифмической производной с плюса
на минус свидетельствует о том, что
увеличение производительности труда
в первые часы рабочего дня сменяется
её снижением в последние часы.

18 Теорема Ферма.
Если дифференцируемая на промежутке

функция

достигает наибольшего или наименьшего
значения во внутренней точке

этого промежутка, то производная функции
в этой точке равна нулю, т.е.

Один из базовых законов теории производства
звучит так: оптимальный для производства
уровень пуска товара определяется
равенством предельных издержек и
предельного дохода.

Обозначим функцию
прибыли за

.
Тогда

,
где

—
функция дохода,

—
функция издержек. Очевидно, что оптимальным
уровнем производства является тот, при
котором прибыль максимальна, т.е. такое
значение выпуска

,
при котором функция

имеет экстремум (максимум). По теореме
Ферма в этой точке

.
Но

,
поэтому

,
т.е. предельные издержки

и предельный доход

равны при оптимальном выпуске

.

19 Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на промежутке и дифференцируема в , то существует по крайней мере одна точка , такая, что справедливо неравенство: .

Экономический
смысл теоремы Лагранжа. Пусть

описывает зависимость выпуска

от затрат

некоторого специфического ресурса.
Если объем затрат увеличили с

до

единиц, то разность

выражает соответствующее изменение
выпуска.

20 Закон убывающей доходности: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.Д.), с некоторого момента убывает.

Закон убывающей
полезности: с ростом количества товара
дополнительная полезность от каждой
новой его единицы с некоторого момента
убывает.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Лекция 2. Экономический смысл производной и некоторых теорем дифференциального исчисления

         Пусть функция  выражает количество произведенной продукции  за время . Необходимо найти производительность труда в момент времени .

         За период времени от  до  количество произведенной продукции изменится от значения  до значения . Тогда средняя производительность труда за этот период времени равна . Очевидно, что производительность труда в момент времени  можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от  до  при , т.е. равна

.

         Экономический смысл производной: производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Производная логарифмической функции  называется логарифмической производной, а так же относительной скоростью изменения функции или темпом изменения функции.

         Пример 7. Объем продукции , произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением , , где — рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

         Производительность труда выражается производной

Рекомендуемые материалы

,

а скорость и темп изменения производительности – соответственно производной  и логарифмической производной

В заданные моменты времени  соответственно имеем:

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака  и логарифмической производной с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется её снижением в последние часы.

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной.

         Обозначим через  объем производства некоторой продукции, через — суммарные затраты или издержки производства. Производственная функция (функция затрат) описывает зависимость издержек производства  от объема  выпускаемой продукции:

.

         Если объем производства увеличится на  единиц, то затраты возрастут на  единиц.

         Среднее приращение издержек выражается отношением .

         Под предельными издержками производства понимают предел среднего приращения издержек при безграничном уменьшении , т.е.

.                                (1)

         Предел (1) выражает дополнительные затраты на производство продукции при увеличении объема производства на малую единицу, если исходный объем производства составляет  единиц.

         Экономический смысл производной в данной точке: производная выражает предельные издержки производства при данном объеме и характеризует приблизительно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

         Пример 8. Допустим, функция затрат имеет вид:

.

         Определим предельные издержки производства при данном объеме выпуска .

         Решение. , тогда .

         Видим, что  и, вообще, , если . То есть с увеличением объема производства предельные издержки (дополнительные затраты на следующую за -овой малую единицу выпуска) убывают.

         Увеличение выпуска на малую единицу требует все меньших дополнительных затрат.

         Пример 9. Пусть зависимость спроса на товар от цены на него выражается формулой . Определим скорость изменения спроса, когда цена на товар составляет 1 ден.ед., 4 ден. ед.

         Решение. Скорость изменения любой функции равна ее производной. В данном случае

.

Отсюда .

         Знак “минус” показывает, что с увеличением цены спрос на товар падает.

Экономический смысл теоремы Ферма

Теорема Ферма. Если дифференцируемая на промежутке  функция  достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке  этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, т.е.

Один из базовых законов теории производства звучит так: оптимальный для производства уровень пуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода.

         Обозначим функцию прибыли за . Тогда , где — функция дохода, — функция издержек. Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, т.е. такое значение выпуска , при котором функция  имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке . Но , поэтому , т.е. предельные издержки  и предельный доход  равны при оптимальном выпуске .

         Другое важное понятие теории производства- это уровень наиболее экономичного производства, при котором средние издержки по производству минимальны. Соответствующий экономический закон гласит: уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек.

         Получим это условие как следствие теоремы Ферма. Средние издержки определяются как , т.е. издержки по производству товара, деленные на произведенное количество товара. Минимум этой величины достигается в критической точке функции , т.е. при условии , откуда , т.е. . Что и требовалось доказать.

Экономический смысл теоремы Лагранжа

         Теорема Лагранжа. Если функция  непрерывна на промежутке  и дифференцируема в , то существует по крайней мере одна точка , такая, что справедливо неравенство:

.

         Экономический смысл теоремы Лагранжа. Пусть  описывает зависимость выпуска  от затрат  некоторого специфического ресурса. Если объем затрат увеличили с  до  единиц, то разность  выражает соответствующее изменение выпуска.

         Отношение

                                             (2)

показывает на сколько единиц в среднем изменяется выпуск продукции, если затраты возросли на одну единицу. Другими словами, (4)- средняя производительность ресурса на промежутке .

         Предельная производительность ресурса равна значению производной функции выпуска при данном уровне затрат. Если затраты ресурса  составляют  единиц, то — соответствующая им предельная производительность .

         На основании теоремы Лагранжа можно утверждать, что для процесса производства описываемого функцией выпуска , которая непрерывна на  и дифференцируема в , существует, по крайней мере, один уровень затрат , при котором предельная производительность соответствующего ресурса совпадает с его средней производительностью на .

Экономический смысл выпуклости функции

         Закон убывающей доходности: с увеличением производства дополнительная продукция, полученная на каждую новую единицу ресурса (трудового, технологического и т.д.), с некоторого момента убывает.

         Иными словами, величина , где — приращение ресурса, а — приращение выпуска продукции, уменьшается при увеличении . Таким образом, закон убывающей доходности формулируется так: функция , выражающая зависимость выпуска продукции от вложенного ресурса, является функцией выпуклой вверх.

         Закон убывающей полезности: с ростом количества товара дополнительная полезность от каждой новой его единицы с некоторого момента убывает.

         Функция полезности , где — товар, — полезность, есть величина субъективная для каждого отдельного потребителя, но достаточно объективная для общества в целом. Очевидно, закон убывающей полезности можно переформулировать так: функция полезности является функцией выпуклой вверх.

Задания для самостоятельной работы

1. Найдите предельную производительность ресурса (скорость изменения функции), если функция выпуска имеет вид:

,

а затраты ресурса составляют: 1) 2 усл.ед., 2) 5 усл.ед.

Определите, начиная с какого момента увеличение затрат данного ресурса становится экономически невыгодным. Приведите примеры экономических ситуаций, которые могут быть описаны с помощью функций выпуска указанного вида.

2. Определите скорость изменения спроса (предельный спрос) при цене в 1 ден.ед.; 3 ден.ед.; 10 ден.ед., если зависимость спроса на товар от цены на него выражается формулой

.

Сравните и объясните результаты.

Лекция 3. Исследование функций в экономике.

Предельные производительность, спрос, предложения

         На основании экономического смысла производной и аппарата дифференциального исчисления возникает множество экономических задач, связанных с исследованием функций. В частности, представляют интерес экономические понятия и задачи на предельную производительность ресурса, предельный спрос продукции от цены и т.д.

         Приведем определение и примеры таких задач.

         Пример 10. Предприятие производит  единиц некоторой однородной продукции в месяц. Исследовать финансовые накопления, если зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой

.

1. Из экономического смысла независимой переменной следует, что она неотрицательна. Итак,

.

2. .  при  и . На промежутке  производная положительна, на — отрицательна. В точке  функция достигает максимума:

.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при  они достигают максимума, равного 39000 ден.ед., дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

         Пример 11. Цементный завод производит  тонн цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т цемента. Производительные мощности завода таковы. Что выпуск цемента не может превышать 90 т в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

.

         Удельные затраты это средние затраты на единицу продукции, в данном случае на 1 т цемента. При объеме производства в  т удельные затраты составят:

.

Задача сводится к отысканию наибольшего, наименьшего значения функции

на промежутке .

Ответ:

Пример 12. Требуется оградить забором прямоугольный участок земли площадью 294 кв. м. и затем разделить его на две равные части перегородкой. Каковы должны быть размеры участка, чтобы на постройку забора и перегородки было истрачено наименьшее количество материала?

Указание. Обозначим ширину прямоугольного участка через х, а длину через у.

Из условий задачи следует, что х Î (0, + ¥).

Поскольку площадь участка равна 294 кв. м., то

х × у=S=294.

Откуда получаем, что

у=294/х,

а общая длина Р всего загона равна:

Р(х)=3х+2у=3х+2 ´ 294/х

Таким образом, общая длина ограды представляет собой функцию от одной переменной х, и наша задача свелась к нахождению наименьшего значения этой функции в интервале (0, + ¥).

Ответ: .

Изменение предельной производительности ресурса

         Напомним основные определения и понятия.

         Пусть в производстве продукции используется несколько видов сырья. Однако затраты всех ресурсов строго регламентированы технологией производства. Только один ресурс (например, затраты труда) может изменяться, оказывая влияние на объем производства. Зависимость выпуска продукции  от затрат этого специфического ресурса  описывается формулой

.

         Скорость изменения этой функции выражается ее производной и называется предельной производительностью ресурса. Если речь идет о затратах труда, то — предельная производительность труда. Значение  меняется в зависимости от , т.е. речь идет о новой функции аргумента , а именно о

.

         Естественно, возникает вопрос: какова скорость изменения ? Скорость изменения любой функции описывается ее производной. Если функция  дифференцируема, то существует

.

         Скорость изменения предельной производительности ресурса называется темпом изменения выпуска при изменении затрат этого ресурса.

Аналогично определяется темп изменения спроса от цены d«(p), где d – спрос на продукцию, р – цена продукции.

Пример 13. Если формула

выражает зависимость  спроса на товар от цены на него, то

— скорость изменения спроса, или предельный спрос.

         Спрос является убывающей функцией цены, т.к.  при любом значении . Темп изменения спроса

.

Другими словами, спрос убывает с нарастающей скоростью. Чем больше цена, тем быстрее уменьшается спрос на товар. Если , то .

         Определение. Монотонная функция  возрастает (убывает) на  все быстрее, если скорость ее изменения является возрастающей функцией. Если же скорость изменения функции  убывает на , то говорят, что функция возрастает (убывает) на  все медленнее.

         Очевидна, справедлива следующая

         Теорема. Для того, чтобы функция , имеющая на промежутке  первую и вторую производные, возрастала (убывала) на нем все быстрее, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия  для всех .

Пример 14. Предположим, что на предприятии издержки производства вычисляются по формуле

.

Предельные издержки

положительны при любом объеме производства . Это следует из того, что дискриминант квадратного трехчлена  отрицателен, а старший коэффициент 1 положителен. Такой трехчлен может принимать только положительные значения.

         Вычислим . Легко установить, что , если , и  при . Следовательно, если выпуск продукции не превышает 5усл.ед., то издержки производства возрастают все медленнее. Если же , то издержки растут все быстрее.

Принцип акселератора

         Предположим, что технология процесса производства не меняется, а основные производственные фонды используются полностью.

         Введем следующие обозначения:

         — размеры основных производственных фондов в момент времени ,

         — объем производства предметов потребления с помощью основных производственных фондов .

            Предположим, что масса основных фондов пропорциональна объему производства:

,

где — постоянный коэффициент пропорциональности (). Следовательно,

.                                             

         Это означает, что прирост основных производственных фондов в единицу времени пропорционален приросту выпуска предметов потребления в единицу времени.

         Прирост основных фондов в единицу времени есть результат капиталовложений . Можно, следовательно, записать, что в момент времени

,

т.е. капиталовложения пропорциональны приросту объема производства.

         Пример 15. Объем производства предметов потребления в период времени  возрастает все быстрее, а с момента  до  возрастает все медленнее. Дать характеристику зависимости капиталовложений от спроса на предметы потребления.

Кривая производства предметов потребления имеет вид, показанный на рисунке 6.

Для , а для . Это означает, что функция  возрастает в промежутке  и убывает для .

Из (3) и условия  следует, что  имеет такой же характер изменения, что и . Поэтому функцию  можно изобразить кривой, приведенной на рисунке 7.

Поведение графиков функций  позволяет сделать следующие выводы.

1. Если спрос на предметы потребления (или, что то же самое, на производство) возрастает в каком-либо периоде все быстрее (промежуток ), то возрастают и капиталовложения. Следовательно, растет спрос на предметы производства, необходимые для увеличения выпуска предметов потребления.

2. Если спрос на предметы потребления (или их производство) с какого-то момента начинает расти все медленнее (промежуток ), это вызовет уменьшение размеров капиталовложений, т.е. падение спроса на средства производства.

3. Удержание капиталовложений на уровне, достигнутом в момент времени , возможно лишь в случае, если спрос на предметы потребления возрастает постоянным темпом, достигнутым в момент времени .

         Приведенное положение называют принципом ускорения или принципом акселератора.

Пример 16. Зависимость спроса от цены описывается функцией

.

Исследовать функции спроса и выручки от цены, построить их графики.

         Спрос убывает с возрастанием цены, так как

.

         Темп изменения функции  отрицателен, если , и положителен, когда цена больше . График изображен на рис.8.

Выручка от реализации товара по цене  составляет:

 ден.ед.

         Производная этой функции

положительна, если , и отрицательна для . Это означает, что с ростом цены выручка вначале увеличивается (несмотря на падение спроса) и при  достигает максимального значения, равного

.

         Дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, так как оно ведет к сокращению выручки.

         Темп изменения выручки

положительный, если , и отрицательный, пока .

На промежутке  функция возрастает все медленнее. Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены невыгодно.

Для  выручка убывает все быстрее т приближается к нулю при

неограниченном увеличении цены. На промежутке  функция  вогнута. В точке  график перегибается (см. рис. 9).

Задания для самостоятельной работы

1. Объем выпущенной заводом продукции  и выручка , полученная от ее реализации, связаны следующей зависимостью:

.

Найдите предельную выручку и постройте ее график. Пользуясь этим графиком, определите, при каком объеме производства выручка максимальна (минимальна). Чему равна при этом предельная выручка? Что это означает?

         Замечание. Предельная выручка определяется аналогично предельным издержкам производства (это скорость изменения выручки при данном объеме продаж).

2. Предприятие производит  единиц продукции в месяц и реализует ее по цене

.

Суммарные издержки производства составляют:

.

Определите, при каком объеме производства прибыль предприятия будет максимальной.

3. Из треугольных обрезков фанеры необходимо сделать заготовки, имеющие форму параллелограмма. Как добиться того, чтобы заготовки имели максимально возможную площадь?

         4. Имеется запас меда стоимостью в  рублей. Известно, что с течением времени стоимость меда повышается по закону , а затраты на хранение настолько меньше , что ими можно пренебречь. С другой стороны, если мед продать, а деньги положить в банк, то на вырученную сумму непрерывно будут начисляться 10% годовых. То есть сумма , положенная в банк в момент времени , через  лет станет равной

%=).

Определите момент времени , в который наиболее выгодно продать имеющийся запас меда и положить деньги в банк, чтобы через  лет сумма, накапливаемая на счете, была максимальной.

         5. Зависимость полных издержек производства  от объема производства  выражается с помощью формулы:

.

Рассчитайте, при каком объеме производства средние издержки минимальны ().

         6. Цена бриллианта пропорциональна квадрату его массы. Если бриллиант разбить на две части. То в каком случае общая стоимость двух частей будет наименьшей?

         7. Предположим, что функция затрат имеет вид:

.

Определите предельные издержки производства при объеме выпуска . При каких значениях  данная функция возрастает (убывает) все быстрее)?

         8. Установлено, что предложение данного товара описывается формулой , где — цена. Установите вид зависимости предельного предложения (скорости изменения предложения) и темпа изменения предложения от цены на товар. Как изменение этих параметров характеризует динамику предложения?

         9. Функция спроса на товар имеет вид:

.

Определите уровни цен, соответствующих максимальному спросу на товар, исчезновению спроса на него. При какой цене предельный спрос (скорость изменения спроса) будет равен нулю, двум, десяти? Чему равен темп изменения спроса? Что это означает? Приведите примеры ситуаций, которые могут быть описаны с помощью функций указанного вида.

Лекция «33. Посейдон» также может быть Вам полезна.

10. Зависимость спроса от цены выражается формулой:

а) ;

б) ;

в) .

Опишите динамику изменения спроса на товар и выручки от продажи этого товара, нарисуйте графики функций.

2.Формула  задает зависимость предложения  от цены . Установите характер изменения предельного предложения. Сравните его с характером изменения темпа . Какую форму имеет график функции предложения?

Если объем продукции произведенной бригадой рабочих может быть описан уравнением

Применение понятия производной

Пусть функция определяет количество произведенной продукции у за время t . Найти производительность труда в момент .

За период времени от t ₀ до количество произведенной продукции изменится от значения до значения . Тогда средняя производительность труда за период времени ∆ t равна . Очевидно, что производительность труда в момент t ₀ определяется как предельное значение средней производительности за период времени от t ₀ до при , т.е.

— предельная производитель ность труда . (1)

Следовательно , производительность труда есть скорость изменения количества произведенной продукции за единицу времени. Заметим, что вторая производная от количества произведенной продукции по времени является ускорением для данной функции, или скоростью для производительности труда за единицу времени.

Пример 1 . Объем продукции, произведенной бригадой рабочих за восьмичасовую смену, описывается уравнением единиц продукции, где t — рабочее время в часах. Вычислить производительность труда и скорость ее изменения в начале и в конце рабочего дня.

Решение . Производительность труда

;

скорость ее изменения

.

В начале рабочего дня (при t ₀ =0) производительность труда бригады ;

скорость ее изменения .

В конце рабочего дня (при ) производительность труда бригады и скорость ее изменения получают следующие значения: , .

Пример 2 . Объем продукции, произведенной бригадой рабочих, может быть описан уравнением

(ед.), ,

t — рабочее время в часах. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

Решение . Производительность труда

;

скорость изменения производительности

;

темп изменения производительности

.

В момент времени имеем

(ед./ч), (ед./ч 2 ), (ед./ч).

В момент времени получим

(ед./ч), (ед./ч 2 ), (ед./ч).

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается; при этом изменение знака и с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.

Издержки производства и прибыль

Издержки производства C однородной продукции есть функция количества выпускаемой продукции Q , т.е. . Пусть — увеличение количества продукции, а — приращение издержек. Тогда среднее приращение издержек производства на единицу продукции

.

(2)

выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от количества выпускаемой продукции и определяются переменными производственными затратами на сырье, топливо и т.п.

Аналогично находятся предельная выручка (доход)

(3)

. (4)

Кроме издержек производства товара, существуют издержки его хранения.

Пусть товар завозится на склад партиями по х штук в одной партии, а расходуется с постоянной скоростью. Тогда наполняемость склада зависит от времени t и задается функцией, график которой представлен на рис. 1.

На графике V — количество товара на складе, x /2 — средняя наполняемость склада, t ₀ — время использования партии товара.

Издержки производства товара и издержки его хранения представляют собой совокупные издержки.

Заметим, что в экономической литературе предельные величины называют также маржинальными.

При их записи к обычному обозначению величин добавляется буква М; при записи средних величин добавляется буква А (от англ. Average — средняя). Например, MR — предельный доход, AR — средний доход.

Пример 3. Издержки производства С, зависящие от объема продукции Q , выражаются уравнением (ден. ед.). Определить средние и предельные издержки, если объем производства составляет 10 ед. продукции.

Решение. Предельные издержки определяются выражением , откуда .

,

откуда .

Сравнение значений средних и предельных издержек производства при выпуске 10 ед. продукции означает, что увеличение объема на 1 ед. продукции обойдется фирме приближенно в 11 ден. ед. при средних затратах на производство 1 ед. продукции 18 ден. ед.

Потребление и сбережение

Доход y , остающийся у населения после уплаты налогов, состоит из двух слагаемых: . Первое слагаемое представляет собой часть доходов, которую население тратит. Эта часть составляет функцию потребления . Второе слагаемое составляют сбережения населения. Функция называется функцией сбережения.

Если национальный доход Y получает приращение , то функции потребления и сбережения также получают приращения, соответственно, и : .

Разделив последнее равенство на ∆ y ≠ 0 , перейдем к пределу при . Получим

, т.е. . (5)

называется предельной склонностью к потреблению, производная

— предельная склонность к сбережению.

Заметим, что полученные предельные величины позволяют определить изменения потребления и сбережения при увеличении (уменьшении) национального дохода.

Пример 4. Зависимость потребления от национального дохода задается выражением . Найти предельные склонности к потреблению и сбережению при национальном доходе 30 ед.

Решение . Предельная склонность к потреблению

,

.

Предельную склонность к сбережению найдем, пользуясь равенством

.

При данном уровне национального дохода население больше склонно проедать его. Если национальный доход увеличить на 1 ед. от уровня 30, то потребление вырастет на 0,8 и только 0,2 пойдут на инвестиции.

Производственная функция является экономико-математическим уравнением, связывающим переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). Пусть количество продукции Q зависит только от приложенного труда L (численности персонала). Производственная функция примет вид .

Для оценки эффективности производства используется средняя производительность труда P_L , которая определяется отношением .

Руководителей больше интересуют изменения объема продукции Q при увеличении (уменьшении) численности персонала. Понятие предельной производительности труда как производной от продукции Q по величине приложенного труда L позволяет получить ответ, т.е. . (1.14)

Предельная производительность приближенно равна изменению объема выпускаемой продукции при изменении численности персонала на единицу.

Пример 5. Производственная функция задана в виде

. Определить влияние численности персонала на объем выпускаемой продукции.

Решение . Предельная производительность труда

.

Подставим в полученную формулу значения L : ; ; ; ; (значения L заданы произвольно).

; ; ; ; .

; ; ; ; .

Из полученных результатов видно, что предельная производительность труда уменьшается с ростом численности персонала. Значит, при дальнейшем увеличении персонала производство продукции будет падать, так как исполнители одного и того же дела начинают мешать друг другу.

Деловая игра Занятие по теме: «Приложение производной в экономике»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

«Приложение производной в экономике»

Показать применение исследования функции к решению прикладных задач и в ходе ее решения обобщить и систематизировать алгоритм исследования функций и построения графиков.

В процессе подготовки и выполнения заданий продолжать формировать чувство ответственности за результаты своей работы, самокритичности в оценке результатов решения задач наряду с чувством уверенности в правильности выполнения работы.

Основные знания и умения

Знать правила исследования функций и построения графиков. Уметь исследовать функции на возрастание и убывание, экстремум, наибольшее и наименьшее значение на отрезке, строить графики.

Раздаточный материал: карточки задания для групповой работы. Вычислительные средства: микрокалькуляторы.

Урок применения знаний и умений

Форма урока: дидактическая игра

Тема игры: исследование производительности труда

Последовательность хода занятия

1. Сообщить цели и задачи урока.

2. Выдать группам индивидуальное задание, на решение которого отводится 15 минут.

3. Группы готовят ответ-защиту своих решений, а в это время руководители групп составляют общий отчет.

4. Обсуждение решений и общего отчета.

5. Подведение итогов и выставление оценок.

1. Сообщение цели и задачи урока

Мы изучили тему «Производная», познакомились со способами исследования функции, рассмотрели физический, геометрический и экономический смысл производной. Цель сегодняшнего урока заключается в том, чтобы от производственной ситуации перейти к математической модели. Необходимо проанализировать, логически осмыслить, обобщить поставленную задачу и подготовить творческий отчет.

В процессе подготовки и выполнения заданий необходимо проявить чувство ответственности за результаты своей работы, самокритичность в оценке результатов решения задач наряду с чувством уверенности в правильности выполнения работы.

2. Сообщение условия игры

Вы являетесь сотрудниками НИИ. Институт получил заказ от одного из заводов города исследовать изменение производительности труда одной, отдельно взятой бригады в течение рабочего дня. Выполнить заказ поручили вашему отделу. Каждая группа отдела решает свою задачу. Итогом работы группы является отчет и его защита. Руководители групп вместе с начальником отдела готовят отчет — проект заказа для института.

По итогам конкурса на должность начальника отдела и руководителей групп назначены___________________________________________________________

Каждая группа получает индивидуальное задание и приступает к его выполнению. Руководители групп могут обращаться за помощью к начальнику отдела. На выполнение задания дается 15 минут. По истечении времени руководители групп и начальник отдела приступают к оформлению отчета.

В это время группы готовят защиту своих решений.

Через 10 минут мы приступаем к обсуждению результатов работы. При оценивании будут учитываться:

1) Время решения задачи.

2) Качество решения задачи.

3) Четкость и ясность защиты.

4) Сознательный и творческий подход к выводу.

5) Самостоятельность в работе.

Объем продукции u ( t ), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = — 5/6 t 3 + 15/2 t 2 + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t — рабочее время в часах.

1) Найти производительность труда, исследовать ее и построить график изменения производительности труда. Сделать вывод.

2) Найти скорость изменения производительности труда. Исследовать ее и построить график. Вычислить скорость изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

3) Найти темп изменения производительности труда. Вычислить темп изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

4) Найти наибольший и наименьший объем выпущенной продукции. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

5) Вычислить наибольшее и наименьшее значения производительности труда и время, в которое она бывает. Сделать вывод.

Когда целесообразнее всего сделать перерыв? Ответ обосновать.

На решение задачи каждой группой, дается 15 минут. Через 15 минут, или раньше, руководители групп предоставляют решения начальнику отдела и совместно подводят итог работы, делая общий вывод.

3. Подготовка защиты решений и составление общего отчета

Группы готовят защиту решений, руководители групп составляют общий отчет.

4. Обсуждение решений и общего отчета

Каждой группе дается 5 минут для выступления и 10 минут выделяется для обсуждения общего отчета.

5. Подведение итогов и выставление оценок

Подсчитать общее количество баллов по каждой группе. Сообщить результат и дать время для того, чтобы учащиеся обсудили и самостоятельно выставили оценки каждому участнику игры.

По каждому критерию максимальная оценка 5 баллов, максимальная оценка группе – 20 баллов, максимальная оценка руководителям групп – 20 баллов.

При выставлении оценок учесть, что:

1) заказчик выставляет оценку начальнику отдела, главному консультанту и назначает общий балл руководителям групп;

2) руководителям групп выставляют оценку начальник отдела и главный консультант, причем пятерку могут получить только те начальники отделов, чьи группы набрали не менее 20 баллов, а сумма оценок руководителей групп не должна превышать общего балла, который назначил руководителям групп заказчик.

3) остальные сотрудники отдела получают оценку, исходя из общего количества баллов группы, так чтобы оценка каждого не превосходила оценки руководителя.

4) заказчик имеет право проверить объективность любой выставленной оценки.

ТАБЛИЦА ПОДВЕДЕНИЯ ИТОГОВ ПО ГРУППАМ

Практикум по решению математических задач с экономическим содержанием по разделу «Дифференциальное исчисление»

ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

С ЭКОНОМИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ

по разделу «Дифференциальное исчисление»

Материалы для практикума

ТЕМА 1.Использование понятия производной для решения задач по экономической теории.

Пусть µ= µ(t)-обьем продукции, произведенной за время t, тогда относительное приращениеявляеться средней производительностью за время .

Производная µ(t)= называется производительностью в момент времени t.

Задача. Зависимость объема произведенной рабочим продукции от времени t задается формулой µ(t)= 10- .

Найти производительность труда рабочего через 2 часа и через 10 часов после начала работы.

Решение. Из экономического смысла производной производительность равна

µ(2)= |= =1,25;

µ(10)= |= =0,139

Задача 1. Объем продукции u (усл. ед.) цеха в течение рабочего дня представляет функцию u = — t? — 5t?+ 75t+ 425, где t — время (ч). Найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

Задача 2. Зависимость объема между произведенной рабочим продукции от времени t задается формулой µ(t)= 15- .

Найти производительность труда рабочего через 3 часа и через 10 часов после начала работы.

Задача 3. Объем продукции u, произведенной бригадой рабочих может быть описан уравнением u = -5t?+45t?+600t+300 (ед.), 1, где t рабочее время в часах. Вычислить производительность труда бригады за рабочее время.

Задача 4.Вычислить производительность труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции ув течение рабочего дня представлен функцией у = -2t3 +10t2 +50t – 16,

Задача 5. Вычислить производительность труда во время первых 4 часов работы, если объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией

у = — t3 +10t2 +40t – 16, t– время, ч.

Задача 6-14. Вычислить производительность труда во время первых t часов работы, если объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией.

у = -2t2 +10t+50, 1 ? t ? 5, t– время, ч.

у = -3t3 +20t2 +100t – 6, 1 ? t ? 3, t– время, ч.

Человек постоянно думает, как сделать так, чтобы работать меньше, а получать больше. Это именно тот вопрос, который обеспечивает рост производительности труда. Производительность труда — это не только количество изготовленной продукции в единицу времени. Это важнейший экономический показатель, позволяющий эффективно управлять производством. Воспользуйтесь формулами, чтобы выяснить, как рассчитывается производительность труда.

Основные сведения

Производительность труда — степень эффективности использования трудового ресурса в течение определенного времени. Управление трудовым ресурсом позволяет оптимизировать эффективность использования затраченного времени и вложенных средств. Выражается она в следующих показателях:

• выработка;
• трудоемкость;
• коэффициенты производительности труда.

Эти показатели позволят выявить, сколько единиц товаров можно реализовать (произвести) в компании. На основании этих данных можно сформировать прогноз производства, построить план продаж.

Выработка и трудоемкость

Уровень продуктивности может быть измерен с помощью показателей выработки и трудоемкости. Коэффициенты выработки и трудоемкости являются основными для определения уровня рентабельности и эффективности организации.

Выработка — количество продукции, произведенной за единицу рабочего времени или произведенной одним работником.

Выработка = ОП / В, либо Выработка = ОП / Чел,

где:

• ОП — объем произведенной продукции;
• В — рабочие время, затраченное на производство продукции;
• Чел — среднесписочная численность работников.

Аналогичным методом определяется часовая и дневная выработка одного работника:

ВЧас = ОП / Тчас,

где:

• ВЧас — часовая выработка;
• ОП — объем продукции за период (день, месяц, квартал, год);
• Тчас — количество рабочего времени, отработанного за аналогичный период.

Для определения дневной выработки коэффициент Тчас соответствует человеко-дням.

Трудоемкость — трудозатраты на производство единицы продукции.

Трудоёмкость = В / ОП,

где:

• В — время, затраченное на производство продукции;
• ОП — количество произведенной продукции.

Как найти производительность труда: формулы

Чтобы получить ответ на вопрос как рассчитывается производительность труда, необходимо рассмотреть разные методы:

• расчет по балансу;
• расчет по прибыли;
• среднедневной или среднечасовой расчет;
• натуральный метод.

Расчет по балансу

Производительность труда (формула расчета по балансу) — наиболее часто применяемый метод.

В формуле используются данные отчета о финансовых результатах и статистической отчетности.

ПТ = ОПП / СЧисл,

где:

• ПТ — производительность труда;
• ОПП — объем произведенной продукции (отчет о финансовых результатах, строка 2110 «Выручка»);
• СЧисл — среднесписочная численность производственного персонала.

В результате получим размер выручки (без НДС), приходящийся на одного рабочего. Если привязываться непосредственно к отчету о финансовых результатах, то определить можно среднегодовую выработку.

Также по указанной формуле можно рассчитать среднечасовую, среднедневную, среднемесячную выработку.

Производительность труда по прибыли

Аналогичным методом производится расчет, основываясь на бухгалтерской прибыли организации.

ПТ = ВП / СЧисл,

где:

• ВП — валовая прибыль (отчет о финансовых результатах, строка 2100 «Валовая прибыль (убыток)»);
• СЧисл — среднесписочная численность производственного персонала.

Полученное значение показывает, сколько валовой прибыли приходится на одного производственного работника организации.

Среднедневной и среднечасовой расчет

Среднедневная или среднечасовая выработка показывает, какой объем продукции был произведен за день или час. Необходимо объем произведенных товаров разделить на число человеко-дней или человеко-часов, затраченных на изготовление данного объема товаров.

ПТ = П / РВ,

где:

• РВ — рабочее время (человеко-дни или человеко-часы), затраченное на производство продукции;
• П — объем выпущенной продукции.

Формула натурального расчета

Натуральный метод позволяет оценить плодотворность труда за день (смену) в единицах продукции на одного работника.

нПТ = П / КР,

где:

• нПТ — натуральная производительность труда;
• КР — количество работников, занятых в производстве продукции;
• П — количество выпущенных товаров.

Если полученное значение нПТ разделить на количество рабочих часов в день (смену), то результатом будет эффективность за час в товарных единицах на одного работника.

Факторы, влияющие на значение

Производительность труда изменяется под воздействием различных факторов. Условно данные факторы можно обозначить как внешние и внутренние.

К внешним факторам относятся:

Факторы	Условия	Подверженные производства
Внешние	Природные	Жара, холод, град, гололед, туман и т. д.	Сельское хозяйство, работа на открытой местности и т. д.
Политические	Инфляция, революции и т. д.	Все организации
Общеэкономические	Существенное изменение налогового законодательства, изменение системы разрешения (квоты, лицензии) и другие
Внутренние	Перевооружение производства	Изменение производства, ввод нового производства, применение ноу-хау, изменение оплаты и стимулирования труда и т. д.

Эффективное использование персонала зависит от умения руководства воздействовать на способности работника к труду. На предприятии должна проводиться правильная стимуляция труда. Работник должен четко понимать, за что ему неминуемо грозит наказание, а за что — денежное или иное поощрение.

Регулярный финансовый анализ производительности труда поможет предприятию выявить скрытые трудовые резервы.