Контрольная работа номер 5 2 часа 10 класс алгебра докажите тождество ответы

Дата публикации: 04 апреля 2017.

Алгебра – 10 класс. Контрольные работы с ответами к учебнику Мордковича А.Г. за 1, 2, 3, 4 четверти

Контрольные на темы: «Определение тригонометрических функций», «Свойства и графики тригонометрических функций», «Тригонометрические уравнения», «Тригонометрические функции сложения аргумента», «Правила и формулы отыскания производных», «Применение производной к исследованию функций» и др.

Контрольная работа №1 «Определение тригонометрических функций»

Вариант I

1. Вычислите функции:

2. Решите следующие уравнения:

3. Упростите тригонометрическое выражение:

$frac{cos(-t)}{ctg(t)} + sin(5pi +t)$

4. Докажите тождество:

$frac{(tg(t) + ctg(t))sin(t)}{tg(t)} = sin^{-1}(t)$

5. Вычисли тригонометрическую функцию:

$sqrt{75}sin(1140^{circ})+4cos(780^{circ}) — ctg^{2}(30^{circ}) $

6. Известно, что sin(t)=$frac{-2}{3},frac{3pi}{2}<t<2pi$.

Вычислите: cos(t),tg(t),ctg(t).

7. Существует ли такое число t, что выполняется равенство

sin(t)=$frac{1}{sqrt{6}-sqrt{2}}$

Вариант II

1. Вычислите функции:

2. Решите следующие уравнения:

3. Упростите тригонометрическое выражение:

$frac{sin(-t)}{tg(-t)} — cos(-2pi+t)$

4. Докажите тождество:

$frac{(tg(t)+ctg(t))cos(t)}{ctg(t)} =cos^{-1}(t)$

5. Вычисли тригонометрическую функцию:

$2sin(750^o )-sqrt{3} cos(930^o )+frac{tg^2(60^{circ})}{2} $

6. Известно, что cos(t)=$frac{2}{3},0<t<frac{π}{2}$.

Вычислите: sin(t),tg(t),ctg(t).

7. Существует ли такое число t, что выполняется равенство

sin(t)=$frac{1}{sqrt{11}-sqrt{15}}$

Ответы на контрольную работу №1

Контрольная работа №2 «Свойства и графики тригонометрических функций»

Вариант I

1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=sin(x), на отрезке [$frac{pi}{3};frac{4pi}{3}$].

2. Упростите тригонометрические функции:
а) $cos^2 (2π+t)+sin^2(frac{3pi}{2}-t)$;

б) $frac{sin(-t)tg(frac{pi}{2}+t)}{sin(frac{pi}{2}-t)}$.

3. Решите уравнение: $sin(t-frac{pi}{2})-cos(2π+t)=sqrt{3}$.

4. Постройте график функции: $y=cos(x+frac{pi}{4})-2$.

5. Постройте график функции: $y=-3sin(2x)$.

6. Известно, что $f(x)=-4x^2+4x-4$. Докажите, что $f(sin(x))=-8+4cos^2 (x)+4sin(x)$.

Вариант II

1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=cos(x), на отрезке [$frac{3pi}{4};frac{11pi}{6}$].

2. Упростите тригонометрические функции:
а) $cos^2 (π-t)+sin^2(t-pi)$;

б) $frac{cos(t)ctg(frac{pi}{2}+t)}{cos(frac{pi}{2}+t)}$.

3. Решите уравнение: $sin(pi+t) + cos(frac{pi}{2})+t)=sqrt{2}$.

4. Постройте график функции: $y=sin(x+frac{pi}{4})-3$.

5. Постройте график функции: $y=2cos(frac{x}{3})$.

6. Известно, что $f(x)=-4x^2+3x-4$. Докажите, что $f(cos(x))=-4sin^2 (x)+3cos(x).$

Ответы на контрольную работу №2

Контрольная работа №3 «Тригонометрические уравнения»

Вариант I

1. Решите уравнения:

$ а) –2sin(x)+sqrt{3}=0; б)cos(3x+frac{pi}{3})-1=0;$

$ в)-2cos^2 (x)-5sin(x)-1=0; с)sin^2 (x)+4sin(x)cos(x)-5cos^2 (x)=0;$

2. Решите уравнение:

$ 2sin^2 (x)-8sin(x)cos(x)+7cos^2 (x)=1$

3. Найдите корни уравнения: sin(4x)=cos(4x), принадлежащие отрезку [-1 ; 3].

Вариант II

1. Решите уравнения:

$ а) 6sin(x)+frac{sqrt{3}}{2}=0; б)sin(2x+frac{pi}{4})+1=0;$

$ в)2sin^2 (x)-6cos(x)+6=0; с)cos^2 (x)-2sin(x)cos(x)-3sin^2 (x)=0;$

2. Решите уравнение:

$ 2sin^ (x)-5sin(x)cos(x)-8cos^2 (x)=-1$

3. Найдите корни уравнения: sin(3x)=$sqrt{3}$cos(3x), принадлежащие отрезку [-2 ; 4].

Ответы на контрольную работу №3

Контрольная работа №4 «Тригонометрические функции сложения аргумента»

Вариант I

1. Найдите значения выражений:
а) $sin(53°)cos(23°)-cos(53°)sin(23°)$;

б) $cos(frac{pi}{8})cos(frac{pi}{24})-sin(frac{pi}{8})sin(frac{pi}{24})$.

2.Упростите выражения:
а) $sin(α+β)-sin(β)cos(α)$;

б) $cos(frac{pi}{4}-x)-frac{sqrt{2}}{2}sin(x)$.

3. Докажите тождество:
$sin(α+β)+cos(α-β)=(sin(α)+cos(α))(cos(β)+sin(β))$.

4. Решите уравнение:
$sin(4x)cos(2x)+cos(4x)sin(2x)=0$.

5. Зная, что $sin(α)=frac{5}{13},frac{pi}{2}<α<pi$, найдите $tg(α-frac{pi}{4}).$

6. Известно, что $cos(frac{pi}{3}-t)-cos(frac{pi}{3}+t)=q$.
Найдите $cos(frac{pi}{3}-t)×cos(frac{pi}{3}+t)$.

Вариант II

1. Найдите значения выражений:
а) $sin(83°)cos(52°)+cos(83°)sin(52°)$;

б) $cos(frac{3pi}{2})cos(frac{2pi}{3})-sin(frac{3pi}{2})sin(frac{2pi}{3}).$

2.Упростите выражения:
а) $cos(z+y)-sin(z)cos(y)$;

б) $sin(x -frac{pi}{4})+frac{sqrt{2}}{2}cos(x)$.

3. Докажите тождество:
$sin(α-β)+cos(α+β)=(sin(α)+cos(α))(cos(β)-sin(β))$.

4. Решите уравнение:
$cos(6x)cos(2x)-sin(6x)sin(2x)=0$.

5. Зная, что $cos(α)=-frac{5}{13},pi<α<frac{3pi}{2}$, найдите $tg(α+frac{pi}{4})$.

6. Известно, что $sin(frac{pi}{4}-t)-sin(frac{pi}{4}+t)=q$.
Найдите $sin(frac{pi}{4}-t)×sin(frac{pi}{4}+t)$.

Ответы на контрольную работу №4

Контрольная работа №5 «Формулы тригонометрии»

Вариант I

1. Упростите выражение:
$frac{2cos(t)}{(sin(2t)}-sin(t)$.

2.Решите уравнение:
$cos(8x)=cos(4x)$.

3. Докажите тождество:
$2cos^2 (60^o-3α)-frac{sqrt{3}}{2} sin(6α)-sin^2 (3α)=frac{1}{2}$.

4.Вычислите:
$cos(85^o )+sin(125^o )-cos(25^o)$.

5.Решите уравнение:
$-sqrt{3} sin(x)-cos(x)=1$.

6. Решите уравнение:
$cos(8x)+cos(4x)+2sin^2 (x)=1$.

Вариант II

1. Упростите выражение:
$frac{2sin(t)}{(sin(2t)}-cos(t)$.

2.Решите уравнение:
sin(9x)=sin(5x).

3. Докажите тождество:
$4cos^2 (45^o-4α)-2sin(8α)=2$.

4.Вычислите:
$sin(40^o )+cos(170^o )+sin(20^o)$.

5.Решите уравнение:
$-sqrt{3} sin(x)+cos(x)=-1$.

6. Решите уравнение:
$sin(5x)-2cos^2(x)+sin(9x)=-1$.

Ответы на контрольную работу №5

Контрольная работа №6 «Правила и формулы отыскания производных»

Вариант I

1. Найдите производные функций: а) $y=2x^4$; б) $y=-1$; в) $y=-frac{3}{2x}$; г) $y=7x-10$;
д) $y=3sqrt{x}+frac{sin(x)}{2}$.

2. Найдите производные функций: а) $y=frac{x}{cos(x)}$; б) $y=frac{x}{tg(x)}$; в) $y=(4x-6)^5$.

3. Вычислите $f'(frac{π}{4})$, если $f(x)=3cos(x)+4x^2-2πx+5$.

4. Прямолинейное движение точки описывается законом $t^7-3t^3$. Найдите ее скорость в момент времени $t=2c$.

5. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство $f'(x)≤0$, если $f(x)=4,5x^2-12x^3$.

6. Найдите все значения x, при которых выполняет равенство $f'(x)=0$, если $f(x)=sin(2x)+sqrt{2}x$, $xϵ[pi;5pi]$.

Вариант II

1. Найдите производные функций: а) $y=frac{3x^4}{2}$; б) $y=-2$; в) $y=-frac{x}{4}+5cos(x)$;
г) $y=-3x-4$; д) $y=frac{10}{x}$.

2. Найдите производные функций: а) $y=frac{x}{cos(x)}$; б) $y=frac{x}{ctg(x)}$; в) $y=(6x+1)^8$.

3. Вычислите $f'(frac{pi}{4})$, если $f(x)=4sin(x)+0,5x^2+frac{pi}{4}x-3$.

4. Прямолинейное движение точки описывается законом $t^4-15t^2$. Найдите ее скорость в момент времени $t=4c$.

5. Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство $f'(x)<0$, если $f(x)=x^2-5x^3$.

6. Найдите все значения x, при которых выполняет равенство $f'(x)=0$, если $f(x)=2cos(2x)-2sqrt{2}x$, $xϵ[-pi;3pi]$.

Ответы на контрольную работу №6

Контрольная работа №7 «Применение производной к исследованию функций»

Вариант I

1. Дана функция $y=2x^3-6x^2+1$. Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки экстремума;
в) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1;4].

2. Постройте график функции: $y=2x^3-6x^2+1$.

3.Составьте уравнение касательной к графику функции $y=frac{12}{x}$ в точке $x=6$.

4.Площадь прямоугольного участка 196 м². При каких размерах участка длина окружающего забора будет наименьшей.

5. Постройте график функции: $y=frac{2x^2-3}{2x^2+3}$.

Вариант II

1. Дана функция $y=2x^3+6x^2-1$. Найдите:
а) промежутки возрастания и убывания функции;
б) точки экстремума;
в) наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-3;1].

2. Постройте график функции: $y=2x^3+6x^2-1$.

3.Составьте уравнение касательной к графику функции $y=frac{15}{x}$ в точке $x=3$.

4.Площадь прямоугольного треугольника 8 см². Найдите наименьшее значение площади квадрата, построенного на гипотенузе треугольника..

5. Постройте график функции: $y=frac{3x^2-6}{3x^2+6}$.

Ответы на контрольную работу №7

Ответы на контрольную работу №1 «Определение тригонометрических функций»

Вариант I
1. а) $-frac{sqrt{2}}{2}$; б) $sqrt3$; в) 0,5: г) -1.
2. а) $frac{π}{3}+2πn$; $frac{2π}{3}+2πn$.
б) $±frac{π}{4}+2πn$.
3. 0.
4. $frac{(tg(t)+ctg(t))sin(t)}{tg(t)}$=$frac{(frac{sin(t)}{cos(t)}+frac{cos(t)}{sin(t)} )sin(t)}{frac{sin(t)}{cos(t)}}$=$frac{frac{1}{sin(t)cos(t)}sin(t)}{frac{sin(t)}{cos(t)}}$=$frac{1}{sin(t)}=sin^{-1}(t)$.
5. 6,5.
6. $cos(t)=frac{sqrt{5}}{3}$; $tg(t)=-frac{2}{sqrt{5}}$; $ctg(t)=-frac{sqrt{5}}{2}$.
7. Существует.

Вариант II
1. а) $frac{sqrt{2}}{2}$; б) $-frac{1}{sqrt{3}}$; в) $frac{sqrt{3}}{2}$; г) -1.
2. а) $-frac{π}{4}+2πn$ и $-frac{3π}{4}+2πn$; б) $frac{π}{2}+πn$.
3. 0.
4. $frac{(tg(t)+ctg(t))cos(t)}{ctg(t)}$=$frac{(frac{sin(t)}{cos(t)}+frac{cos(t)}{sin(t)})cos(t)}{frac{cos(t)}{sin(t)}}$=$frac{frac{1}{sin(t)cos(t)}cos(t)}{frac{cos(t)}{sin(t)}}$=$frac{1}{cos(t)}=cos^{-1}(t)$.
5. 4.
6. $sin(t)=frac{sqrt{5}}{3}$; $tg(t)=frac{sqrt{5}}{2}$; $ctg(t)=frac{2}{sqrt{5}}$.
7. Не существует.

Ответы на контрольную работу №2 «Свойства и графики тригонометрических функций»

Вариант I
1. Наибольшее значение: 1. Наименьшее значение: $-frac{sqrt{3}}{2}$.
2. а) $2cos^2(t)$; б) 1.
3. $frac{±5π}{6}+2πn$.
4.

5.

6. $f(sin(x))=-4sin^2(x)+4sin(x)-4=-4(1-cos^2(x))+4sin(x)-4=-4+4cos^2(x)+4sin(x)$.

Вариант II
1. Наименьшее: -1. Наибольшее: $frac{sqrt{3}}{2}$.
2. а) 1; б) 1.
3. $frac{-π}{4}+2πn$ и $frac{-3π}{4}+2πn$.
4.

5.

6. $f(cos(x))=4cos^2(x)+3cos(x)-4=4(1-sin^2(x))+3cos(x)-4=$
$=4-4sin^2(x)+3cos(x)-4=-4sin^2(x)+3cos(x)$.

Ответы на контрольную работу №3 «Тригонометрические уравнения»

Вариант I
1. а) $frac{π}{3}+2πn$ и $frac{2π}{3}+2πn$; б) $frac{2πn}{3}-frac{π}{9}$; в)$frac{-π}{6}+2πn$ и $frac{-5π}{6}+2πn$; г) $-arctg(5)+πn$ и $frac{π}{4}+πn$.
2. $arctg(frac{8±sqrt{40}}{2})+πn$.
3. $frac{-3π}{16}$; $frac{π}{16}$; $frac{5π}{16}$.

Вариант II
1. а) $(-1)^narcsin(frac{sqrt{3}}{12})+πn$; б) $frac{-3π}{8}+2πn$; в) $2πn$; г) $arctg(frac{1}{3})+πn$ и $frac{-π}{4}+πn$.
2. $arctg(frac{5±sqrt{109}}{6})+πn$.
3. $frac{-5π}{9}$; $frac{-2π}{9}$; $frac{π}{9}$; $frac{4π}{9}$; $frac{7π}{9}$; $frac{10π}{9}$.

Ответы на контрольную работу №4 «Тригонометрические функции сложения аргумента»

Вариант I
1. а) 0,5; б) $frac{sqrt{3}}{2}$.
2. а) $sin(α)cos(β)$; б) $frac{sqrt{2}}{2}cos(x)$.
3. $sin(α+β)+cos(α-β)=sin(α)cos(β)+sin(β)cos(α)+cos(α)cos(β)+sin(α)sin(β)=$
$=sin(α)(cos(β)+sin(β))+cos(α)(sin(β)+cos(β))=(sin(α)+cos(α))(cos(β)+sin(β))$.
4. $frac{πn}{6}$.
5. $-2frac{3}{7}$.
6. $frac{1}{4}-frac{q^2}{3}$.

Вариант II
1. а) $frac{sqrt{2}}{2}$; б) $-frac{sqrt{3}}{2}$.
2. а) $cos(y)(cos(z)-sin(z))-sin(z)sin(y)$; б) $frac{sqrt{2}}{2}sin(x)$.
3. $sin(α-β)+cos(α+β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)+cos(α)cos(β)-sin(α)sin(β)=$
$=sin(α)(cos(β)-sin(β))-cos(α)(sin(β)-cos(β))=(sin(α)+cos(α))(cos(β)-sin(β))$.
4. $frac{π}{16}+frac{πn}{8}$.
5. $–2frac{3}{7}$.
6. $frac{q^2-1}{2}$.

Ответы на контрольную работу №5 «Формулы тригонометрии»

Вариант I
1. $cos(t)*ctg(t)$.
2. $frac{πn}{6}$ и $frac{πn}{2}$.
3. $2cos^2(60^o-3α)-frac{sqrt{3}}{2}sin(6α)-sin^2(3α)=2(cos(60^o)cos(3α)+sin(60^o)sin(3α))^2-frac{sqrt{3}}{2}sin(6α)-sin^2(3α)=$
$=2(frac{1}{2}cos(3α)+frac{sqrt{3}}{2})sin(3α))^2-frac{sqrt{3}}{2}sin(6α)-sin^2(3α)=$
$=2(frac{1}{4}cos^2 (3α)+frac{sqrt{3}}{2}cos(3α)sin(3α)+frac{3}{4}sin^2(3α))-frac{sqrt{3}}{2}sin(6α)-sin^2(3α)=$
$=frac{1}{2}cos^2(3α)+sqrt{3}cos(3α)sin(3α)+frac{3}{2}sin^2(3α)-frac{sqrt{3}}{2}sin(3α)cos(3α)-sin^2(3α)=frac{1}{2}(cos^2(3α)+sin^2(3α))=frac{1}{2}$.
4. 0.
5. $frac{-π}{3}+2πn$ и $-π+2πn$.
6. $frac{π}{4}+frac{πn}{2}$ и $±frac{π}{18}+frac{πn}{3}$.

Вариант II
1. $tg(t)*sin(t)$.
2. $frac{πn}{2}$ и $frac{π}{14}+frac{πn}{7}$.
3. $4cos^2(45^o-4α)-2sin(8α)=4(cos(45^o)cos(4α)+sin(45^o)sin(4α))^2-2sin(8α)=$
$=4(frac{1}{2}cos^2(4α)+2*frac{1}{sqrt{2}}*frac{1}{sqrt{2}}*cos(4α)sin(4α)+frac{1}{2}sin^2 (4α)-4sin(4α)cos(4α)=$
$=4(frac{1}{2}+cos(4α)sin(4α))-4sin(4α)cos(4α)=2$.
4. 0.
5. $frac{–4π}{3}+2πn$.
6. $frac{π}{42}+frac{2πn}{7}$ и $frac{5π}{42}+frac{2πn}{7}$ и $frac{π}{4}+frac{πn}{2}$.

Ответы на контрольную работу №6 «Правила и формулы отыскания производных»

Вариант I
1. а) $8x^3$; б) 0; в) $frac{3}{2x^2}$; г) 7; д) $frac{3}{2sqrt{x}}+frac{cos(x)}{2}$.
2. а) $frac{cos(x)+x*sin(x)}{cos^2(x)}$; б) $frac{sin(x)cos(x)-x}{sin^2(x)}$; в) $20(4x-6)^4$.
3. $-frac{3}{sqrt{2}}$.
4. 412.
5. $(-∞;0]∪[frac{1}{4};+∞)$.
6. $frac{11π}{8}$; $frac{13π}{8}$; $frac{19π}{8}$; $frac{21π}{8}$; $frac{27π}{8}$; $frac{29π}{8}$; $frac{35π}{8}$; $frac{37π}{8}$.

Вариант II
1. а) $6x^3$; б) 0; в) $frac{-1}{4}-5sin(x)$; г) -3; д) $frac{-10}{x^2}$.
2. а) $frac{cos(x)+x*sin(x)}{cos^2(x)}$; б) $frac{cos(x)sin(x)+x}{cos^2(x)}$; в) $48(6x+1)^7$.
3. $2sqrt{2}+frac{π}{2}$.
4. 136.
5. $(-∞;0)∪(frac{2}{15};+∞)$.
6. $-frac{3π}{8}$; $-frac{π}{8}$; $frac{5π}{8}$; $frac{7π}{8}$; $frac{13π}{8}$; $frac{15π}{8}$; $frac{21π}{8}$; $frac{23π}{8}$.

Ответы на контрольную работу №7 «Применение производной к исследованию функций»

Вариант I
1. а) возрастает — $(-∞;0)∪(2;+∞)$, убывает — (0;2); б) точка минимума: 2, точка максимума: 0;
в) наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -7.
2.
3. $y=frac{-x}{3}+4$.
4. 14.
5.

Вариант II
1. а) возрастает — $(-∞;-2)∪(0;+∞)$, убывает- (-2;0); б) точка минимума: 0, точка максимума: -2;
в) наибольшее значение: 7, наименьшее значение: -1.
2.
3. $y=-frac{5}{3}x+10$.
4. $2^{frac{3}{4}}$.
5.