Компания занимающаяся продажей радиоаппаратуры установила на видеомагнитофон

Линейный коэффициент корреляции

Краткая теория

---

Под теснотой связи между
двумя величинами понимают степень сопряженности между ними, которая
обнаруживается с изменением изучаемых величин. Если каждому заданному
значению 

 соответствуют
близкие друг другу значения

, то связь считается тесной (сильной); если
же значения

 сильно
разбросаны, то связь считается менее тесной.

Рассмотрим наиболее важный
для практики и теории случай линейной зависимости вида:

При тесной корреляционной
связи корреляционное поле представляет собой более или менее сжатый эллипс. Две
корреляционные зависимости переменной

 от

 приведены на рисунке.

Очевидно, что в случае (а)
зависимость между переменными менее тесная, чем в случае (б), так как точки
корреляционного поля (а) дальше отстоят от линии регрессии, чем точки поля (б).

Перейдем к оценке тесноты
линейной корреляционной зависимости. Для показателя тесноты связи нужная такая
стандартная система единиц измерения, в которой данные по различным
характеристикам оказались бы сравнимы между собой. Статистика знает такую
систему единиц. Эта система использует в качестве единицы измерения переменной
ее среднее квадратическое отклонение

.

Учтем, что

и запишем
уравнение парной линейной зависимости

в эквивалентном виде:

В этой системе величина:

показывает, на сколько
величин

 изменится
в среднем

, когда

 увеличится
на одно

.

Величина

 является
показателем тесноты связи и называется линейным коэффициентом корреляции. Коэффициент
корреляции, определяемый по выборочным данным, называется выборочным коэффициентом корреляции.

Если

, то корреляционная связь между переменными
называется прямой, если

 – обратной.

Приведем другие модификации
формулы для расчета линейного коэффициента корреляции:

или

Наиболее часто для расчета
используют формулу, получаемую простыми преобразованиями:

По этой формуле

 находится
непосредственно из данных наблюдений и на значении

 не
скажутся округления данных, связанных с расчетом средних и дисперсий.

Линейный выборочный
коэффициент корреляции

 (при
достаточно большом объеме выборки

) обладает следующими свойствами:

Коэффициент корреляции
принимает значения на отрезке

, т.е.

. При этом, чем ближе по модулю

 к
единице – тем теснее связь.
При

 корреляционная
связь представляет собой линейную функциональную зависимость. При этом все
наблюдаемые значения располагаются на прямой линии.
При

  линейная
корреляционная связь отсутствует. При этом линия регрессии параллельна  оси

.

Расчет линейного коэффициента корреляции предполагает, что
переменные

 и

 распределены нормально. В других случаях
(когда распределения

 и

 отклоняются от нормальных) линейный
коэффициент корреляции не следует рассматривать как строгую меру взаимосвязи
переменных.

Пример решения задачи

---

Задача

Компания,
занимающаяся продажей радиоаппаратуры, установила на видеомагнитофон
определенной модели цену, дифференцированную по регионам. Следующие данные
показывают цены на видеомагнитофон в 10 различных регионах о соответствующее им
число продаж:

Число продаж, шт.	420	380	350	400	440	380	450	425	430	480
Цена, тыс.руб.	5.6	6.0	6.5	6.0	5.0	6.4	4.5	5.0	5.7	4.4

Рассчитайте
выборочный коэффициент линейной корреляции и проверьте его значимость
при

.

Решение

На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.

Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.

Составим
расчетную таблицу:

Вычислим
линейный коэффициент корреляции:

Вывод

Связь
между числом продаж и ценой очень тесная, обратная – с уменьшением цены
увеличивается объем продаж.

Проверим
значимость коэффициента корреляции:

По таблице критических точек t-критерия Стьюдента (по уровню значимости

 и числу степеней свободы

)  находим:

  — коэффициент корреляции значим.

Кроме этой задачи на другой странице сайта есть еще

задача на расчет коэффициента корреляции, коэффициента детерминации, построение линии линейной регрессии и корреляционного поля.

Для приведенных исходных данных
постройте диаграмму рассеяния и
определите по ней характер зависимости.
Рассчитайте выборочный коэффициент
корреляции Пирсона, проверьте его
значимость при α=0,05. Запишите уравнение
регрессии и дайте интерпретацию
полученных результатов.

Компания, занимающаяся продажей
радиоаппаратуры, установила на
видеомагнитофон определенной модели
цену, дифференцированную по регионам.
Исследуйте зависимость объема продаж
(Y, шт.) от цены (Х,
тыс. руб.) по выборочным данным из 8
регионов.

Х	5,5	6,0	6,5	6,0	5,0	6,5	4,5	5,0
Y	420	380	350	400	440	380	450	420

Решение:

Факторной переменной в
нашей задаче является Х – цена
видеомагнитофона, откликом является Y
– объем продаж. Построим диаграмму
рассеяния (рисунок 7.1) по имеющимся
данным.

Рисунок 7.1 – Диаграмма рассеяния.

По виду диаграммы есть основания
предполагать достаточно сильную
линейную отрицательную зависимость
объема продаж от цены.

Для расчета коэффициентов регрессии
по формулам найдем средние значения:

,

,

найдем несмещенные оценки дисперсий:

,

,

и оценку коэффициента корреляции
Пирсона:

Коэффициент Пирсона достаточно близок
к единице и имеет отрицательное значение,
значит можно утверждать об отрицательной
связи между объемом продаж и ценой на
товары.

Найдем коэффициенты b₀
и b₁ уравнения
регрессии:

где
— средние значения переменных Х и
Y, рассчитанные по
выборке;

— несмещенные оценки дисперсий Х и
Y;

— оценка коэффициента корреляции Пирсона.

Таким образом, уравнение регрессии Y
на Х имеет вид

Коэффициент b₁
характеризует наклон линии регрессии
и значение

показывает, что при увеличении Х на
единицу ожидаемое значение Y
уменьшается на 37,25711. Полученная
регрессионная модель указывает на то,
что каждое увеличение цены видеомагнитофона
на 1 тысячу рублей уменьшает объем их
продаж на 37,25711. Отсюда b₁
может интерпретироваться как изменение
объема продаж, который изменяется в
зависимости от изменения цены на
видеомагнитофоны.

Свободный член b₀
в уравнении – это значение Y
при Х=0. Поскольку маловероятно, что
цена видеомагнитофона равна нулю, то
можно рассматривать b₀
как меру влияния на величину объема
продаж других факторов, не включенных
в уравнение регрессии. Это влияние можно
объяснить и с помощью коэффициента
детерминации:

,

Для линейной модели коэффициент
характеризует долю объясняемого моделью
разброса экспериментальных данных. В
нашем примере модель учитывает 67,23%
изменения выручки

магазина. И 32,7% разброса объясняются
факторами, не включенными в уравнение
регрессии.

Коэффициент эластичности для нашей
модели вычисляем по формуле:

,

то есть при увеличении средней цены на
видеомагнитофон на 1% объем их продаж в
среднем уменьшается на 0,517%.

Так как исходная выборка малого объема,
проверим значимость коэффициента
корреляции. Основная гипотеза Н₀
состоит в том, что коэффициент корреляции

не значим Н₀:

то есть между переменными Х и Y
нет линейной связи. Альтернативная
гипотеза Н₁:

— коэффициент корреляции значим, и
переменные Х и Y
связаны отрицательной линейной
зависимостью.

Наблюдаемое значение статистики К
равно:

Согласно заданному уровню значимости
α=0,05 определим границу критической
области по таблице распределения
Стьюдента. По виду альтернативной
гипотезы заключаем, что критическая
область является левосторонней: (-∞;
—К_кр]. Значение К_кр
находим по таблице распределения
Стьюдента:

.

Наблюдаемое значение

попадает в критическую область (-∞;
-1,94], поэтому основную гипотезу следует
отвергнуть в пользу альтернативной:
связь между переменными Х и Y
значима.

Данные наблюдений на уровне значимости
α=0,05 говорят о том, что объем продаж
видеомагнитофонов в среднем линейно
убывает при увеличении цены на него.

Проводится исследование зависимости числа продаж видеомагнитофонов (y) от цены (х) по статистическим данным выборки.
1)
Зависимая переменная y – число продаж, шт.
Фактор х – цена видеомагнитофона, у.е.
Диаграмма рассеивания:
По диаграмме можно сделать вывод, что между признаками наблюдается линейная убывающая связь.
Эта связь, то есть зависимость у от х описывается уравнением
у=b0+b1*x
Для оценки коэффициентов уравнения b0 и b1 применяют метод наименьших квадратов, он состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной yi от расчетных yi
yi-yi2=yi-(b0+b1xi)2b0,b1min
Чтобы решить задачу минимизации, то есть рассчитать b0 и b1, нужно составить и решить относительно b0 и b1 систему нормальных уравнений
nb0+b1∑xi = ∑yib0∑xi+b1∑xi2=∑xiyi
Решением системы являются
b1=∑xiyi-1n∙∑xi·∑yi∑xi2-1n∑xi2
b0=∑yin-b1∙∑xin
Расчеты проведены в Excel:
Уравнение регрессии
у=626,89-40,79*x
Коэффициент b1=-40,79 показывает, что при увеличении цены на видеомагнитофон (за 1 шт.) на 1 у.е
. количество проданных единиц (число продаж y) снижается на 40,79 шт. в среднем.
Коэффициент b0=626,89 интерпретировать можно так: если бы цена на видеомагнитофон (за 1 шт.) была равна 0 у.е., мы бы “продали” 626,89 штук в среднем (то есть отдали бы даром).
2)
Найдем прогнозные значения yi и построим теоретическую линию регрессии.
Можно сделать вывод о том, что модель адекватна исходным данным.
3)
Рассчитаем следующие суммы квадратов
Общая сумма квадратов (общая дисперсия)
Qобщ=yi-y2
Сумма квадратов остатков (остаточная дисперсия)
Qост=yi-yi2
Сумма квадратов, объясненная регрессией
Qрегр=yi-y2

Коэффициент детерминации показывает долю дисперсии зависимой переменной у, объясненную уравнением и является мерой адекватности построенной модели.
Формула расчета
R2=1-QостQобщ
R2=1-1611,917200=0,7761
77,61% дисперсии количества проданных единиц видеомагнитофонов объяснено построенной моделью. Так как процент высокий, модель адекватно описывает исходные данные.
Линейный коэффициент корреляции является мерой линейной зависимости между зависимой переменной у и фактором х.
Формула расчета
R=R2
R=0,7761=0,88
Так как R > 0,7 то связь между признаками сильная.
4)
Для оценки значимости уравнения регрессии рассчитаем F-статистику
Fнабл=Qрегр1Qост(n-2)=5588,091611,91/6=20,8
Критическое значение распределения Фишера при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы k1 = 1 и k2 = n – 2 найдем функцией Excel FРАСПОБР с параметрами (0,05;1;8-2)
Fкрит=5,987
Так как Fнабл > Fкрит, то уравнение признается значимым с вероятностью 95%.
Статистическая значимость коэффициентов регрессии проверяется критерием Стьюдента.
Сначала вычисляются стандартизированные ошибки коэффициентов регрессии
Sb0=Qостn-2*x2n*x-x2
Sb1=Qостn-2*1(x-x)2
Далее t-статистики коэффициентов
tb0=b0Sb0
tb1=b1Sb1
Далее критическое значение распределения Стьюдента при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы k = n – 2 функцией Excel
tкрит= СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 8-2)
Расчеты с помощью Excel
Так как расчетные t-статистики по модулю больше чем критическое значение распределения Стьюдента:
tb0>tкрит
tb1>tкрит
то оба коэффициента b0 и b1 значимы с вероятностью 95%.
Интервальные оценки генеральных параметров β0 и β1
b0-tкрит*Sb0<β0<b0+tкрит*Sb0
b1-tкрит*Sb1<β1<b1+tкрит*Sb1
С доверительной вероятностью 95% параметры попадают в интервалы:
β0∈(504,34;749,44)
β1∈-62,67;-18,91
5)
По уравнению у=626,89-40,79*x
точечный прогноз зависимой переменной y (число проданных видеомагнитофонов, шт.) при цене x* = 5,75 у.е.
y*=626,89-40,79*5,75=392,35
Стандартная ошибка прогноза
Sy*=Qостn-2∙1+1n+(x*-x)2(x-x)2
Интервальный прогноз зависимой переменной Y
y*-tкрит*Sy*<Y*<y*+tкрит*Sy*
С доверительной вероятностью 95% число проданных видеомагнитофонов Y при цене 5,75 у.е

---

С этим файлом связано 1 файл(ов). Среди них: Ekonomika_otraslevykh_rynkov (3).docx.
Показать все связанные файлы

---

Подборка по базе: Примеры заданий на развитие функциональной.docx, Бланк титульного листа для практических заданий.docx, задачи решение.docx, Готовое решение АД.docx, Соколова только решение 2 практ.docx, (1-5 заданий) — Контрольная работа №6 — Ряды.pdf, (1-5 заданий) — Контрольная работа №8 -ТФКП.pdf, Ситуационные задачи с решением по уголовному процессуальному пра, (1-5 заданий)-Контрольная работа №3-Неопределенные интегралы.pdf, (1-6 заданий)-Контрольная работа №1-Матричная алгебра.pdf

---

1. Находим коэффициенты постулируемого уравнения регрессии, а также коэффициенты корреляции и детерминации. Для этого можно воспользоваться следующими формулами: y^ˆ _x a bx

_b xy x* y

x²  (x)²

a  y bx
Приведём расчётную таблицу:

№	у	х	у2	х2	ху	yˆ x	( y уˆх )2	( y у)2
1	420	5,5	176400	30,25	2310	405,59	207,59	225
2	380	6	144400	36	2280	381,91	3,65	625
3	350	6,5	122500	42,25	2275	358,23	67,74	3025
4	400	6	160000	36	2400	381,91	327,21	25
5	440	5	193600	25	2200	429,27	115,07	1225
6	380	5,6	144400	31,36	2128	400,86	434,97	625
7	450	4,5	202500	20,25	2025	452,95	8,73	2025
8	420	5	176400	25	2100	429,27	85,99	225
Сумма	3240	44,1	1320200	246,11	17718	3240	1250,93	8000
Среднее	405	5,51	165025	30,76	2214,75	405	156,37	1000

Определим ряд характеристик моделируемых рядов:

Так как эмпирические точки находятся вблизи теоретической прямой, то уравнение регрессии хорошо аппроксимирует данные.

1. Определим линейный коэффициент корреляции:

_{r } xy x* y_ 2214,74  5,51* 405 _{ 0,919}

Коэффициент корреляции указывает на наличие связи и находится в интервале [-1;1]. В данном случае его отрицательное значение говорит об обратной связи между ценой видеомагнитофона и объёмом продаж. Связь весьма высокая по тесноте, так как |r| > 0,9.
Рассчитаем коэффициент детерминации:

Определим стандартную ошибку для коэффициента регрессии:

меньше, поскольку имеет место не отдельное, а со среднее значение у. Следовательно, интервал будет уже:

Итак, в относительном выражении при увеличении цены видеомагнитофона на 1%

возможно сокращение продаж в анализируемой компании на 0,64%.

Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!

Ответы на популярные вопросы

Отзывы студентов

Добавляйте материалы
и зарабатывайте!

Продажи идут автоматически

Обучение Подробнее

Примеры решений задач по эконометрике

В этом разделе вы найдете несколько готовые задачи с решениями по разным разделам эконометрики для студентов ВУЗов. Все примеры выложены бесплатно, вы можете их просмотреть, распечатать, изучить.

Если вам нужна помощь в выполнении ваших работ по эконометрике, обращайтесь: эконометрика на заказ. Делаем контрольные работы, лабораторные, выполняем решение задач в Эксель и специальных программах.

Задачи по эконометрике с решениями

Задача 1. По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции $y$ от факторов, приведенных в таблице. Определите с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат. Проранжируйте факторы по силе влияния, сделайте вывод. Данные представлены в таблице.

Задача 2. В таблице указаны парные коэффициенты корреляции. Проведите анализ целесообразности включения заданных факторов в уравнение множественной линейной регрессии.

Задача 3. По некоторым территориям районов края известны значения средней суточного душевого дохода в у.е. (фактор $X$) и процент от общего дохода, расходуемого на покупку продовольственных товаров (фактор $Y$), таблица 1. Требуется для характеристики зависимости $Y$ от $X$ рассчитать параметры линейной, степенной, показательной функции и выбрать оптимальную модель (провести оценку моделей через среднюю ошибку аппроксимации $(А)$ и $F$-критерий Фишера.

Задача 4. На основе данных о доходах $Y$, расходах на промышленные товары $X_2$, наличии детей (табл. 1), необходимо построить модель с фиктивной переменной $D$ (принять $D = 1$, если дети есть; $D = 0$ при их отсутствии), вида: $$Y=b_0+ b_2 X_2+b D.$$ Проверить статистическую значимость коэффициентов. Сделать выводы.

Задача 5. Постройте линии регрессии $Y$ на $х$ и $Х$ на $у$ для двумерной с.в. $(X,Y)$, закон распределения которой задан таблицей, рассчитайте коэффициенты корреляции и детерминации.

Задача 6. 1) Постройте поле корреляции результативного и факторного признаков.
2) Определите параметры уравнения парной линейной регрессии. Дайте интерпретацию найденных параметров и всего уравнения в целом.
3) Постройте теоретическую линию регрессии, совместив ее с полем корреляции. Сделайте выводы.
4) Рассчитайте линейный коэффициент корреляции и поясните его смысл. Определите коэффициент детерминации и дайте его интерпретацию.
5) С вероятностью 0,95 оцените статистическую значимость коэффициента регрессии и уравнения регрессии в целом. Сделайте выводы.
6) С вероятностью 0,95 постройте доверительный интервал для прогноза оценки $y_t$ и доверительный интервал генерального значения.
7) Определите значение коэффициента эластичности и объясните его.
Компания, занимающаяся продажей радиоаппаратуры, установила на видеомагнитофон определенной модели цену, дифференцированную по регионам. Следующие данные показывают цены на видеомагнитофон в 8 различных регионах и соответствующее им число продаж.

Задача 7. В таблице приведены данные о прибыли $Y$ (в тыс. руб.) в зависимости от доли товара $А$ в грузообороте $X$ (%).
1. Построить корреляционное поле. Выдвинуть предположение о характере статистической зависимости между переменными $X$ и $Y$.
2. Найти параметры линейного уравнения регрессии. Поясните экономический смысл выборочного коэффициента регрессии.
3. Найти коэффициент парной корреляции и оценить тесноту связи на основе таблицы Чеддока.
4. Найти коэффициент детерминации $R^2$.
5. Оценить статистическую значимость уравнения регрессии на уровне 0,05, используя $F$-статистику.
6. Полученное уравнение регрессии изобразить графически. Сделать вывод о качестве построенной модели.
7. Вычислить прогнозное значение при прогнозном значении $x_0$, составляющем 130% от среднего уровня $x$.

Задача 8. По группе 18 заводов, производящих однородную продукцию, получено уравнение регрессии себестоимости продукции $Y$ (тыс. руб.) от уровня технической оснащенности $X$ (тыс. руб.): $$y_i = 20+700/x$$ Доля остаточной дисперсии в общей составила 0,19. Найдите индекс корреляции, а также проверьте статистическую значимость уравнения регрессии в целом с помощью критерия Фишера ($alpha = 0,05$).

Задача 9. По 25 предприятиям региона изучается зависимость выработки продукции на одного работника $у$ (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов $х_1$ (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих $х_2$ (%). $$y_i=-1.725+0.903 x_1+0.081 x_2, , overline=9.6 , overline=6.27 , overline=22.3$$ Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат. Ранжировать факторы по силе влияния. Найти скорректированный коэффициент детерминации, если множественный коэффициент детерминации равен 0,74.

Задача 10. В результате исследования зависимости среднедневной заработной платы $Y$ от среднедушевого прожиточного минимуме в день одного трудоспособного $Х$ по $n$ территориям региона было получено линейное уравнение регрессии $y=bx+a$. Исследуйте остатки данного уравнения регрессии на гетероскедастичность с помощью теста Голдфельда-Квандта на уровне значимости $alpha = 0.01$, если остаточные суммы квадратов для первой и второй групп соответственно равны $S_1 = 0,07$ и $S_2 = 0,92$; число степеней свободы остаточных сумм квадратов равны $k=k_1=k_2=6$.

Задача 11. Применив необходимое и достаточное условие идентификации, определите, идентифицировано ли каждое из уравнений модели.

Решение задач по эконометрике

Эконометрика — это быстро развивающаяся отрасль науки, характеризующаяся математическим описанием рядов экономических данных и представлением таких данных в геометрической или графической форме.

Термин «эконометрика» был впервые использован в 1910 году. Эконометрика означает измерение экономики. Предпосылкой для возникновения эконометрики послужила давняя необходимость получить достаточное представление о количественных взаимосвязях в современной экономической жизни, которое не могли дать статистика, экономическая теория и математика по отдельности. Это подчеркивает междисциплинарный характер предмета. Кроме того, предпосылками возникновения эконометрики являются развитие количественных методов в экономических исследованиях, накопление бухгалтерских и статистических данных, а также создание современной микро- и макроэкономики. Современная экономика определяет эконометрику как «науку о моделировании экономических явлений для объяснения и прогнозирования их развития, а также для выявления и измерения их детерминант». Таким образом, эконометрика — это наука об измерении и анализе экономических явлений и экономических отношений с помощью математических и статистических методов.

Ответы на вопросы по заказу заданий по эконометрике:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам — я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Содержание:

Парная регрессия и корреляция

Задача 1

По территориям региона приводятся данные за 199Х г. (табл. 1.6). Таблица 1.6

1. Построить линейное уравнение парной регрессии

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации.

3. Оценить статистическую значимость параметров регрессии и корреляции.

4. Выполнить прогноз заработной платы при прогнозном значении среднедушевого прожиточного минимума составляющем 107% от среднего уровня.

5. Оценить точность прогноза, рассчитав ошибку прогноза и его доверительный интервал.

Решение:

I. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии строим расчетную таблицу (табл. 1.7). Таблица !.7

Получено уравнение регрессии:

С увеличением среднедушевого прожиточного минимума на 1 руб. среднедневная заработная плата возрастает в среднем на 0,92 руб.

2. Тесноту линейной связи оценит коэффициент корреляции:

Это означает, что 52% вариации заработной платы объясняется вариацией фактора — среднедушевого прожиточного минимума. Качество модели определяет средняя ошибка аппроксимации:

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как не превышает 8 — 10%.

3. Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала каждого из показателей.

Выдвигаем гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

для числа степеней свободы составит 2,23.

Определим случайные ошибки

Фактические значения статистики превосходят табличные значения:

поэтому гипотеза отклоняется, т.е. не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

4. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Если прогнозное значение прожиточного минимума составит: тыс. руб., тогда

прогнозное значение прожиточного минимума составит:

5. Ошибка прогноза составит:

Предельная ошибка прогноза, которая в 95% случаев не будет превышена, составит:

Доверительный интервал прогноза:

Выполненный прогноз среднемесячной заработной платы оказался надежным но неточным, так как диапазон верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,95 раза:

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задача 2

По группе предприятий, производящих однородную продукцию, известно, как зависит себестоимость единицы продукции у от факторов, приведенных в табл. 1.8. Таблица 1.8

1. Определить с помощью коэффициентов эластичности силу влияния каждого фактора на результат.

2. Ранжировать факторы по силе влияния.

Решение:

1. Для уравнения равносторонней гиперболы

Для уравнения прямой

Для уравнения степенной зависимости

Для уравнения показательной зависимости

2. Сравнивая значения ранжируем по силе их влияния на себестоимость единицы продукции:

Для формирования уровня себестоимости продукции группы предприятий первоочередное значение имеют цены на энергоносители; в гораздо меньшей степени влияют трудоемкость продукции и отчисляемая часть прибыли. Фактором снижения себестоимости выступает размер производства: с ростом его на 1% себестоимость единицы продукции снижается на -0,97%.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задача 3

Зависимость потребления продукта от среднедушевого дохода по данным 20 семей характеризуется следующим образом:

уравнение регрессии

индекс корреляции

остаточная дисперсия

Провести дисперсионный анализ полученных результатов.

Решение:

Результаты дисперсионного анализа приведены в табл. 1.9. Таблица 1.9

В силу того что гипотеза о случайности различий факторной и остаточной дисперсий отклоняется. Эти различия существенны, статистически значимы, уравнение надежно, значимо, показатель тесноты связи надежен и отражает устойчивую зависимость потребления продукта от среднедушевого дохода.

Реализация типовых задач на компьютере

Решение с помощью ППП Excel

1. Встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН определяет параметры линейной репрессии Порядок вычисления следующий:

1) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) выделите область пустых ячеек 5×2 (5 строк, 2 столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1×2 — для получения только оценок коэффициентов регрессии;

3) активизируйте Мастер функций любым из способов:

а) в главном меню выберите Вставка/Функция;

б) на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Вставка функции;

4) в окне Категория (рис. 1.1) выберите Статистические, в окне Функция — ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК;

5) заполните аргументы функции (рис. 1.2):

Известные значения — диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения — диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Константа — логическое значение, которое указывает на наличие или на отсутствие свободного члена в уравнении; если Константа = 1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа — 0, то свободный член равен 0; Статистика — логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика = 1, то дополнительная информация

выводится, если Статистика 23 0, то выводятся только оценки параметров уравнения. Щелкните по кнопке ОК;

6) в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу, нажмите на клавишу , а затем — на комбинацию клавиш + + .

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Для вычисления параметров экспоненциальной кривой

в MS Excel применяется встроенная статистическая функция ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления аналогичен применению функции ЛИНЕЙН.

Для данных из примера 2 результат вычисления функции ЛИНЕИН представлен на рис. 1.3, функции ЛГРФПРИБЛ — на рис. 1.4.

2. С помощью инструмента анализа данных Регрессия, помимо результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии, остатков и нормальной вероятности. Порядок действий следующий:

1) проверьте доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис /Надстройки. Установите флажок Пакет анализа (рис. 1.5);

2) в главном меню выберите Сервис/Анализ данных/Регрессия. Щелкните по кнопке ОК;

3) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 1.6):

Входной интервал — диапазон, содержащий данные результативного признака;

Входной интервал — диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Метки — флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Константа — ноль — флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении;

Выходной интервал — достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист — можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить информацию и графики остатков, установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК.

Результаты регрессионного анализа для данных из примера 2 представлены на рис. 1.7.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Множественная регрессия и корреляция

Задача 4

По 20 территориям России изучаются следующие данные (табл. 2.2): зависимость среднегодового душевого дохода (тыс. руб.) от доли занятых тяжелым физическим трудом в общей численности заняты (%) и от доли экономически активного населения в численности всего населения (%) Таблица 2.2

1. Составить таблицу дисперсионного анализа для проверки при уровне значимости статистической значимости уравнения множественной регрессии и его показателя тесноты связи.

2. С помощью частных критериев Фишера оценить, насколько целесообразно включение в уравнение множественной регрессии фактора после фактора и насколько целесообразно включение после

3. Оценить с помощью критерия Стыодента статистическую значимость коэффициентов при переменных множественного уравнения регрессии.

Решение:

1. Задача дисперсионного анализа состоит в проверке нулевой гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи.

Анализ выполняется при сравнении фактического и табличного (критического) значений кригерия Фишера факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы: где — число единиц совокупности;

— число факторов в уравнении линейной регрессии;

— фактическое значение результативного признака;

— расчетное значение результативного признака.

Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.3. Таблица 2.3

Сравнивая приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу и сделать вывод о статистической значимости

уравнения регрессии в целом и значения так как они статистически надежны и сформировались под систематическим действием неслучайных причин. Вероятность того, что допускаются ошибки при отклонении нулевой гипотезы, не превышает 5%, и это является достаточно малой величиной.

2. Частный критерий Фишера оценивает статистическую целесообразность включения фактора в модель после того, как в нее включен фактор Частный критерий Фишера строится как отношение прироста факторной дисперсии за счет дополнительно включенного фактора (на одну степень свободы) к остаточной дисперсии (на одну степень свободы), подсчитанной по модели с включенными факторами Результаты дисперсионного анализа представлены в табл. 2.4.

Включение фактора после фактора оказалось статистически значимым и оправданным: прирост фак торной дисперсии (в расчете на одну степень свободы) оказался существенным, т.е. следствием дополнительного включения в модель систематически действующего фактора так как

Аналогично проверим целесообразность включения в модель дополнительного фактора после включенного ранее фактора Расчет выполним с использованием показателей тесноты связи

В силу того что приходим к выводу, что включение после оказалось бесполезным: прирост факторной дисперсии в расчете на одну степень свободы был несуществен, статистически незначим, т.е. влияние не является устойчивым, систематическим. Вполне возможно было ограничиться построением линейного уравнения парной регрессии

3. Оценка с помощью критерия Стьюдента значимости коэффициентов связана с сопоставлением их значений с величиной их случайных ошибок: Расчет значений случайных ошибок достаточно сложен и трудоемок. Поэтому предлагается более простой способ: расчет значения критерия Стьюдента для коэффициентов регрессии линейного уравнения как квадратного корня из соответствующего частного критерия Фишера:

Табличные (критические) значения критерия Стьюдента зависят от принятого уровня значимости (обычно это 0,1; 0,05 или 0,01) и от числа степеней свободы где число единиц совокупности, число факторов в уравнении.

В нашем примере при Сравнивая приходим к выводу, что так как

коэффициент регрессии является статистически значимым, надежным, на него можно опираться в анализе и в прогнозе. Так как приходим к заключению, что величина является статистически незначимой, ненадежной в силу того, что она формируется преимущественно под воздействием случайных факторов. Еще раз подтверждается статистическая значимость влияния (доли занятых тяжелым физическим трудом) на (среднедушевой доход) и ненадежность, незначимость влияния (доли экономически активного населения в численности всего населения).

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задача 5

Зависимость спроса на свинину от цены на нее и от цены на говядину представлена уравнением

Требуется:

1. Представить данное уравнение в естественной форме (не в логарифмах).

2. Оценить значимость параметров данного уравнения, если известно, что критерий для параметра при составил 0,827, а для параметра при — 1,015.

Решение:

1. Представленное степенное уравнение множественной регрессии приводим к естественной форме путём потенцирования обеих частей уравнения:

Значения коэффициентов регрессии в степенной функции равны коэффициентам эластичности результата

Спрос на свинину сильнее связан с ценой на говядину — он увеличивается в среднем на 2,83% при росте цен на 1%. С ценой на свинину спрос на нее связан обратной зависимостью: с ростом цен на 1% потребление снижается в среднем на 0,21%.

2. Табличное значение критерия для обычно лежит в интервале 2 — 3 — в зависимости от степеней свободы. В данном примере Это весьма небольшие значения критерия,

которые свидетельствуют о случайной природе взаимосвязи, о статистической ненадежности всего уравнения, поэтому применять полученное уравнение для прогноза не рекомендуется.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задача 6

По 20 предприятиям региона (табл. 2.5) изучается зависимость выработки продукции на одного работника (тыс. руб.) от ввода в действие новых основных фондов (% от стоимости фондов на конец года) и от удельного веса рабочих высокой квалификации в общей численности рабочих (%). Таблица 2.5

1. Оценить показатели вариации каждого признака и сделать вывод о возможностях применения МНК для их изучения.

2. Проанализировать линейные коэффициенты парной и частной корреляции.

3. Написать уравнение множественной регрессии, оценить значимость его параметров, пояснить их экономический смысл.

4. С помощью критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и Сравнить значения скорректированного и нескорректированного линейных коэффициентов множественной детерминации.

5. С помощью частных критериев Фишера оценить целесообразность включения в уравнение множественной регрессии фактора после и фактора после

6. Рассчитать средние частные коэффициенты эластичности и дать на их основе сравнительную оценку силы влияния факторов на результат.

Реализация типовых задач на компьютере

1. Решение примера проведем с использованием ППП MS Excel и Statgraphics.

Решение с помощью ППП Excel

Сводную таблицу основных статистических характеристик для одного или нескольких массивов данных можно получить с помощью инструмента анализа данных Описательная статистика. Для этого выполните следующие шаги:

1) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) в главном меню выберите последовательно пункты Сервис / Анализ данных / Описательная статистика, после чего щелкните по кнопке ОК;

3) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (рис. 2.1);

Входной интервал — диапазон, содержащий анализируемые данные, это может быть одна или несколько строк (столбцов); Группирование — по столбцам или по строкам — необходимо указать дополнительно;

Метки — флажок, который указывает, содержит ли первая строка названия столбцов или нет;

Выходной интервал — достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона;

Новый рабочий лист — можно задать произвольное имя нового листа.

Если необходимо получить дополнительную информацию Итоговой статистики, Уровня надежности, наибольшего и наименьшего значений. установите соответствующие флажки в диалоговом окне. Щелкните по кнопке ОК.

Результаты вычисления соответствующих показателей для каждого признака представлены на рис. 2.2.

Решение с помощью ППП Statgraphics

Для проведения многофакторного анализа в ППП Statgraphics используется пункт меню Multiple Variable Analysis. Для получения показателей описательной статистики необходимо проделать следующие операции:

1) ввести исходные данные или открыть существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) в главном меню выбрать Describe/Numeric Data/Multiple Variable Analysis;

3) заполнить диалоговое окно ввода данных (рис. 2.3). Ввести названия всех столбцов, значения которых вы хотите включить в анализ; щелкнуть по кнопке ОК;

4) в окне табличных настроек поставить флажок напротив Summary Statistics (рис. 2.4). Итоговая статистика — показатели вариации -появится в отдельном окне.

Для данных примера 4 результат применения функции Multiple Variable Analysis представлен на рис. 2.5.

Сравнивая значения средних квадратических отклонений и средних величин и определяя коэффициенты вариации:

приходим к выводу о повышенном уровне варьирования признаков, хотя и в допустимых пределах, не превышающих 35%.

Совокупность предприятий однородна, и для ее изучения могут использоваться метод наименьших квадратов и вероятностные методы оценки статистических гипотез.

2. Значения линейных коэффициентов парной корреляции определяют тесноту попарно связанных переменных, использованных в данном уравнении множественной регрессии. Линейные коэффициенты частной корреляции оценивают тесноту связи значений двух переменных, исключая влияние всех других переменных, представленных в уравнении множественной регрессии.

Решение с помощью ППП Excel

К сожалению, в ППП MS Excel нет специального инструмента для расчета линейных коэффициентов частной корреляции. Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать, используя инструмент анализа данных Корреляция. Для этого:

1) в главном меню последовательно выберите пункты Сервис / Анализ данных / Корреляция. Щелкните по кнопке ОК;

2) заполните диалоговое окно ввода данных и параметров вывода (см. рис. 2.1);

3) результаты вычислений — матрица коэффициентов парной корреляции — представлены на рис. 2.6.

Решение с помощью ППП Statgraphics

При проведении многофакторного анализа — Multiple Variable Analysis — вычисляются линейные коэффициенты парной корреляции и линейные коэффициенты частной корреляции. Последовательность операций описана в п.1 этого примера. Для отображения результатов вычисления на экране необходимо установить флажки напротив Correlations и Partial Correlations в окне табличных настроек (рис. 2.7).

В результате получим матрицы коэффициентов парной и частной корреляции (рис. 2.8).

Значения коэффициентов парной корреляции указывают на весьма тесную связь выработки как с коэффициентом обновления основных фондов — так и с долей рабочих высокой квалификации —

Коэффициенты частной корреляции дают более точную характеристику тесноты связи двух признаков, чем коэффициенты парной корреляции, так как очишают парную зависимость от взаимодействия данной пары признаков с другими признаками, представленными в модели. Наиболее тесно связаны связь и гораздо слабее: а межфакторная зависимость и выше, чем парная Все это приводит к выводу о необходимости исключить фактор — доля высококвалифицированных рабочих — из правой части уравнения множественной регрессии.

Если сравнить коэффициенты парной и часгной корреляции, то можно увидеть, что из-за высокой межфакторной зависимости коэффициенты парной корреляции дают завышенные оценки тесноты связи:

Именно по этой причине рекомендуется при наличии сильной коллинеарности (взаимосвязи) факторов исключать из исследования тот фактор, у которого теснота парной зависимости меньше, чем теснота межфакторной связи.

3. Вычисление параметров линейного уравнения множественной регрессии.

Система эконометрических уравнений

Задача 7

Изучается модель вида

где — валовой национальный доход;

— валовой национальный доход предшествующего года;

— личное потребление;

— конечный спрос (помимо личного потребления);

— случайные составляющие.

Информация за девять лет о приростах всех показателей дана в табл. 3.1

Таблица 3.1

Для данной модели была получена система приведенных уравнений:

1. Провести идентификацию модели.

2. Рассчитать параметры первого уравнения структурной модели.

Решение:

1. В данной модели две эндогенные переменные и две экзогенные переменные Второе уравнение точно идентифицировано, так как содержит две эндогенные переменные и не содержит одну экзогенную переменную из системы. Иными словами, для второго уравнения имеем по счетному правилу идентификации равенство: 2=1 + 1.

Первое уравнение сверхидентифицировано, так как в нем на параметры при наложено ограничение: они должны быть равны. В этом уравнении содержится одна эндогенная переменная Переменная в данном уравнении не рассматривается как эндогенная, так как она участвует в уравнении не самостоятельно, а вместе с переменной В данном уравнении отсутствует одна экзогенная переменная, имеющаяся в системе. По счетному правилу идентификации получаем: Это больше, чем число эндогенных переменных в данном уравнении, следовательно, система сверх-идентифицирована.

2. Для определения параметров сверхидентифицированной модели используется двухшаговый метод наименьших квадратов.

Шаг 1. На основе системы приведенных уравнений по точно идентифицированному второму уравнению определим теоретические значения эндогенной переменной Для этого в приведенное уравнение

подставим значения имеющиеся в условии задачи. Получим:

Шаг 2. По сверхидентифицированному уравнению структурной формы модели заменяем фактические значения на теоретические и рассчитываем новую переменную (табл. 3.2). Таблица 3.2

Далее к сверхидентифицированному уравнению применяется метод наименьших квадратов. Обозначим новую переменную через Решаем уравнение

Система нормальных уравнений составит:

Итак, первое уравнение структурной модели будет таким:

Задача 8

Имеются данные за 1990-1994 гг. (табл. 3.3). 4 Таблица 3.3

Требуется: Построить модель вида

рассчитав соответствующие структурные коэффициенты.

Решение:

Система одновременных уравнений с двумя эндогенными и двумя экзогенными переменными имеет вид

В каждом уравнении две эндогенные и одна отсутствующая экзогенная переменная из имеющихся в системе. Для каждого уравнения данной системы действует счетное правило 2=1 + 1. Это означает, что каждое уравнение и система в целом идентифицированы.

Для определения параметров такой системы применяется косвенный метод наименьших квадратов.

С этой целью структурная форма модели преобразуется в приведенную форму:

в которой коэффициенты при определяются методом наименьших квадратов.

Для нахождения значений запишем систему нормальных уравнений:

При ее решении предполагается, что выражены через отклонения от средних уровней, т. е. матрица исходных данных составит:

Применительно к ней необходимые суммы оказываются следующими:

Система нормальных уравнений составит:

Решая ее, получим:

Итак, имеем

Аналогично строим систему нормальных уравнений для определения коэффициентов

тогда второе уравнение примет вид

Приведенная форма модели имеет вид

Из приведенной формы модели определяем коэффициенты структурной модели:

Итак, структурная форма модели имеет вид

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задача 8

Имеются следующие данные о величине дохода на одного члена семьи и расхода на товар (табл. 4.3).

Таблица 4.3

1. Определить ежегодные абсолютные приросты доходов и расходов и сделать выводы о тенденции развития каждого ряда.

2. Перечислить основные пути устранения тенденции для построения модели спроса на товар в зависимости от дохода.

3. Построить линейную модель спроса, используя первые разности уровней исходных динамических рядов.

4. Пояснить экономический смысл коэффициента регрессии.

5. Построить линейную модель спроса на товар включив в нее фактор времени. Интерпретировать полученные параметры.

Решение:

1. Обозначим расходы на товар через а доходы одного члена семьи — через Ежегодные абсолютные приросты определяются по формулам

Расчеты можно оформить в виде таблицы (табл. 4.4). Таблица 4.4

2. Так как ряды динамики имеют общую тенденцию к росту, то для построения регрессионной модели спроса на товар в зависимости от дохода необходимо устранить тенденцию. С этой целью модель может строиться по первым разностям, т.е. если ряды динамики характеризуются линейной тенденцией.

Другой возможный путь учета тенденции при построении моделей — найти по каждому ряду уравнение тренда:

и отклонения от него:

Далее модель строится по отклонениям от тренда:

При построении эконометрических моделей чаще используется другой путь учета тенденции — включение в модель фактора времени. Иными словами, модель строится по исходным данным, но в нее в качестве самостоятельного фактора включается время, т.е.

3. Модель имеет вид

Для определения параметров применяется МНК. Система нормальных уравнений следующая:

Применительно к нашим данным имеем

Решая эту систему, получим:

откуда модель имеет вид

4. Коэффициент регрессии руб. Он означает, что с ростом прироста душевого дохода на 1%-ный пункт расходы на товар увеличиваются со средним ускорением, равным 0,565 руб.

5. Модель имеет вид

Применяя МНК, получим систему нормальных уравнений:

Расчеты оформим в виде табл. 4.5. Таблица 4.5

Система уравнений примет вид

Решая ее, получим

Уравнение регрессии имеет вид

Параметр фиксирует силу связи Его величина означает, что с ростом дохода на одного члена семьи на 1%-ный пункт при условии неизменной тенденции расходы на товар возрастают в среднем на 0,322 руб. Параметр характеризует среднегодовой абсолютный прирост расходов на товар под воздействием прочих факторов при условии неизменного дохода.

Задача 9

По данным за 30 месяцев некоторого временного ряда были получены значения коэффициентов автокорреляции уровней:

— коэффициенты автокорреляции порядка

1. Охарактеризовать структуру этого ряда, используя графическое изображение.

2. Для прогнозирования значений в будущие периоды предполагается построить уравнение авторегрессии. Выбрать наилучшее уравнение, обосновать выбор. Указать общий вид этого уравнения.

Решение:

1. Так как значения всех коэффициентов автокорреляции достаточно высокие, ряд содержит тенденцию. Поскольку наибольшее абсолютное значение имеет коэффициент автокорреляции 4-го порядка ряд содержит периодические колебания, цикл этих колебаний равен 4.

График этого ряда можно представить на рис. 4.1.

2. Наиболее целесообразно построение уравнения авторегрессии:

так как значение свидетельствует о наличии очень тесной связи между уровнями ряда с лагом в 4 месяца.

Кроме того, возможно построение и множественного уравнения авторегрессии так как

Сравнить полученные уравнения и выбрать наилучшее решение можно с помощью скорректированного коэффициента детерминации.

Реализация типовых задач на компьютере

Решение с использованием ППП MS Excel

1. Для определения параметров линейного тренда по методу наименьших квадратов используется статистическая функция ЛИНЕЙН, для определения экспоненциального тренда -ЛГРФПРИБЛ. Порядок вычисления был рассмотрен в 1-м разделе практикума. В качестве зависимой переменной в данном примере

выступает время Приведем результаты вычисления

функций ЛИНЕЙН и ЛГРФПРИБЛ (рис. 4.2 и 4.3).

Запишем уравнения линейного и экспоненциального тренда, используя данные рис. 4.2 и 4.3:

2. Построение графиков осуществляется с помощью Мастера диаграмм.

Порядок построения следующий:

1) введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2) активизируйте Мастер диаграмм любым из следующих способов:

а) в главном меню выберите Вставка/Диаграмма;

б) на панели инструментов Стандартная щелкните по кнопке Мастер диаграмм;

3) в окне Тип выберите График (рис. 4.4); вид графика выберите в поле рядом со списком типов. Щелкните по кнопке Далее;

4) заполните диапазон данных, как показано на рис. 4.5. Установите флажок размещения данных в столбцах (строках). Щелкните по кнопке Далее;

5) заполните параметры диаграммы на разных закладках (рис. 4.6): названия диаграммы и осей, значения осей, линии сетки, параметры легенды, таблица и подписи данных. Щелкните по кнопке Далее;

6) Укажите место размещения диаграммы на отдельном или имеющимся листе(рис. 4.7) Щелкните по кнопке далее. Готовая диаграмма, отражающая динамику уровней изучаемого ряда, представлена на рис 4.8

В ППП MS Excel линия тренда может быть добавлена в диаграмму с областями гистограммы или в график. Для этого:

1) выделите область построения диаграммы; в главном меню выберите Диаграмма/Добавить линию тренда;

2) в появившемся диалоговом окне (рис. 4.9) выберите вид линии тренда и задайте соответствующие параметры. Для полиномиального тренда необходимо задать степень аппроксимирующего полинома, для скользящего среднего — количество точек усреднения.

В качестве дополнительной информации на диаграмме можно отобразить уравнение регрессии и значение среднеквадратического отклонения, установив соответствующие флажки на закладке Параметры (рис. 4.10). Щелкните по кнопке ОК.

На рис 4.11-4.15 представлены различные виды трендов, описывающие исходные данные задачи

3. Сравним значения по разным уравнениям трендов:

Исходные данные лучше всего описывает полином 6-й степени. Следовательно, в рассматриваемом примере для расчета прогнозных значений следует использовать полиномиальное уравнение.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Примеры решений задач по эконометрике

Парная регрессия и корреляция

1. Оценка параметров уравнения регрессии
2. Пример нахождения коэффициента корреляции (линейный коэффициент корреляции Пирсона). Значимость коэффициента корреляции.
3. Пример нахождения доверительных интервалов коэффициентов регрессии
4. Пример нахождения коэффициента детерминации
5. Пример нахождения статистической значимости коэффициентов регрессии (параметров регрессии)
6. Средняя ошибка аппроксимации
   По семи территориям Уральского района За 199Х г. известны значения двух признаков.
   По территориям региона приводятся данные за 199Х г.
7. Парная нелинейная регрессия и корреляция
   Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам (см. таблицу).
8. Экспоненциальное уравнение регрессии

Парная нелинейная регрессия и корреляция

1. Парная нелинейная регрессия и корреляция
   Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам (см. таблицу).
2. Экспоненциальное уравнение регрессии
3. Индекс корреляции (для нелинейной связи)
4. Другие примеры для нелинейной связи (Аналитическое выравнивание ряда по параболе, степенной функции)

Регрессионный и корреляционный анализа

1. Пример регрессионного анализа
2. Корреляционный анализ
3. Поле корреляции и формулирование гипотезы о форме связи
   По территории Северного, Северо-Западного и Центрального районов известны данные за ноябрь 1997 г.
4. Решение контрольной работы по эконометрике
   По 12 предприятиям концерна изучается зависимость прибыли (тыс. руб.) Y от выработки продукции на одного человека (единицу) по следующим данным (см. таблицу)
5. Практикум по эконометрике
6. Методические рекомендации по подготовке контрольных работ
   Исследовать статистическую зависимость между парой показателей: Х < 10, 22, 15, 22, 7, 14, 20>и Y <5, 1, 3, 2, 7, 4, 1 >
7. Эконометрическое исследование
8. Тест Голдфелда-Квандта
9. Пример проверки наличия в модели автокорреляции
10. Частные F-критерии

Непараметрические показатели связи

Эконометрические методы проведения экспертных исследований

Статистические таблицы

• Шкала Чеддока. Применяется для оценки показателей тесноты связи (коэффициента линейной корреляции, коэффициента Фехнера, коэффициента ранговой корреляции Спирмена).
• Статистические таблицы Стьюдента и Фишера. используются для оценки качества полученного уравнения регрессии.
• Статистические таблицы Дарбина-Уотсона. используется для анализа автокорреляции.
• Распределение ХИ квадрат (X 2 ). Используется для определения доверительного интервала дисперсии и проверке гипотез о виде распределения.
• Критические значения критерия U Манна-Уитни.

Эконометрический анализ в Excel

Оформление решений

Оформление отчета по форме №2

Поскольку 5.22 > 2.752, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 3.56 > 2.752, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).
Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку Δ для каждого показателя:
Δ_b = ±t_таблm_b = ±2.752*0.441 = 1.213
Доверительный интервал: b — Δ_b ≤ b ≤ b + Δ_b
5.22 — 1.213 ≤ b ≤ 5.22 + 1.213
1.089 ≤ b ≤ 3.515
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.
Δ_a = ±t_таблm_a = ±2.752*36.855 = 101.426
Доверительный интервал: a — Δ_a ≤ a ≤ a + Δ_a
3.56 — 101.426 ≤ a ≤ 3.56 + 101.426
-232.492 ≤ a ≤ -29.64
С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

Проводится исследование зависимости числа продаж видеомагнитофонов (y) от цены (х) по статистическим данным выборки.
1)
Зависимая переменная y – число продаж, шт.
Фактор х – цена видеомагнитофона, у.е.
Диаграмма рассеивания:
По диаграмме можно сделать вывод, что между признаками наблюдается линейная убывающая связь.
Эта связь, то есть зависимость у от х описывается уравнением
у=b0+b1*x
Для оценки коэффициентов уравнения b0 и b1 применяют метод наименьших квадратов, он состоит в минимизации суммы квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной yi от расчетных yi
yi-yi2=yi-(b0+b1xi)2b0,b1min
Чтобы решить задачу минимизации, то есть рассчитать b0 и b1, нужно составить и решить относительно b0 и b1 систему нормальных уравнений
nb0+b1∑xi = ∑yib0∑xi+b1∑xi2=∑xiyi
Решением системы являются
b1=∑xiyi-1n∙∑xi·∑yi∑xi2-1n∑xi2
b0=∑yin-b1∙∑xin
Расчеты проведены в Excel:
Уравнение регрессии
у=626,89-40,79*x
Коэффициент b1=-40,79 показывает, что при увеличении цены на видеомагнитофон (за 1 шт.) на 1 у.е

. количество проданных единиц (число продаж y) снижается на 40,79 шт. в среднем.
Коэффициент b0=626,89 интерпретировать можно так: если бы цена на видеомагнитофон (за 1 шт.) была равна 0 у.е., мы бы “продали” 626,89 штук в среднем (то есть отдали бы даром).
2)
Найдем прогнозные значения yi и построим теоретическую линию регрессии.
Можно сделать вывод о том, что модель адекватна исходным данным.
3)
Рассчитаем следующие суммы квадратов
Общая сумма квадратов (общая дисперсия)
Qобщ=yi-y2
Сумма квадратов остатков (остаточная дисперсия)
Qост=yi-yi2
Сумма квадратов, объясненная регрессией
Qрегр=yi-y2

Коэффициент детерминации показывает долю дисперсии зависимой переменной у, объясненную уравнением и является мерой адекватности построенной модели.
Формула расчета
R2=1-QостQобщ
R2=1-1611,917200=0,7761
77,61% дисперсии количества проданных единиц видеомагнитофонов объяснено построенной моделью. Так как процент высокий, модель адекватно описывает исходные данные.
Линейный коэффициент корреляции является мерой линейной зависимости между зависимой переменной у и фактором х.
Формула расчета
R=R2
R=0,7761=0,88
Так как R > 0,7 то связь между признаками сильная.
4)
Для оценки значимости уравнения регрессии рассчитаем F-статистику
Fнабл=Qрегр1Qост(n-2)=5588,091611,91/6=20,8
Критическое значение распределения Фишера при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы k1 = 1 и k2 = n – 2 найдем функцией Excel FРАСПОБР с параметрами (0,05;1;8-2)
Fкрит=5,987
Так как Fнабл > Fкрит, то уравнение признается значимым с вероятностью 95%.
Статистическая значимость коэффициентов регрессии проверяется критерием Стьюдента.
Сначала вычисляются стандартизированные ошибки коэффициентов регрессии
Sb0=Qостn-2*x2n*x-x2
Sb1=Qостn-2*1(x-x)2
Далее t-статистики коэффициентов
tb0=b0Sb0
tb1=b1Sb1
Далее критическое значение распределения Стьюдента при уровне значимости = 0,05 и числе степеней свободы k = n – 2 функцией Excel
tкрит= СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 8-2)
Расчеты с помощью Excel
Так как расчетные t-статистики по модулю больше чем критическое значение распределения Стьюдента:
tb0>tкрит
tb1>tкрит
то оба коэффициента b0 и b1 значимы с вероятностью 95%.
Интервальные оценки генеральных параметров β0 и β1
b0-tкрит*Sb0<β0<b0+tкрит*Sb0
b1-tкрит*Sb1<β1<b1+tкрит*Sb1
С доверительной вероятностью 95% параметры попадают в интервалы:
β0∈(504,34;749,44)
β1∈-62,67;-18,91
5)
По уравнению у=626,89-40,79*x
точечный прогноз зависимой переменной y (число проданных видеомагнитофонов, шт.) при цене x* = 5,75 у.е.
y*=626,89-40,79*5,75=392,35
Стандартная ошибка прогноза
Sy*=Qостn-2∙1+1n+(x*-x)2(x-x)2
Интервальный прогноз зависимой переменной Y
y*-tкрит*Sy*<Y*<y*+tкрит*Sy*
С доверительной вероятностью 95% число проданных видеомагнитофонов Y при цене 5,75 у.е