Компания тон начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2013 году имея капитал 60000

16
Июл 2013

Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи

09. Задачи на прогрессию

2013-07-16
2022-09-11

Автор: egeMax |

комментария 2

Задание 6696

Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Ответ: 35000

Скрыть

     Раз прибыль составляет 200% (400%) от предыдущего капитала, то сам капитал увеличивался в 3 (5) раз в соответствии с предыдущим годом . Т.е. имеем геометрические прогрессии с $$q_{1} =3$$; $$q_{2}=5$$;  $$n_{1}=2006-2000=6$$; $$n_{2 }=2006-2002=4$$ .(вычитается на 1 год раньше , так как первый год учитывался и является первым членом геометрической прогрессии)

     Тогда: $$b_{6}=5000*3^{6-1}=1215000$$(Альфа)

     $$b_{4}=1000*5^{4-1}=1250000$$(Бета)

     Разница в капитале : $$1250000-1215000=35000$$

Слайд 1

Решение задач на проценты ( подготовка к ЕГЭ) Выполнили : ученики МОУ СОШ №3 10 «А» кл . г. Можайска Васильченко Антон Куприн Сергей Часовников Владимир Преподаватель : учитель математики Кукса Борис Иванович

Слайд 2

№1. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон— 42000 рублей, Гоша — 0,12 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 1000000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях. Решение : Митя внёс 14% или 0,14 уставного капитала. Антон внес уставного капитала. Гоша внес 0,12 уставного капитала, а Борис внес 1 — 0,14 — 0,21 — 0,12 = 0,53 уставного капитала. Из прибыли размером в 1000000 рублей Борис получит 0,53 × 1000000 = 530000 рублей Ответ : 530000

Слайд 3

№2. Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки? Решение : Будем решать задачу, выражая стоимость рубашек в % от стоимости куртки. 1 куртка – 100% 4 рубашки – 100% — 8 % = 92% 1 рубашка – 92% : 4 = 23% 5 рубашек – 23% × 5 = 115% Пять рубашек дороже куртки на 115% — 100% = 15% Ответ : 15

Слайд 4

№3. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены? Решение : Так как прибавление еще одной зарплаты мужа увеличивает общий доход семьи на 67%, то зарплата мужа составляет 67% от общего дохода семьи. Так как уменьшение стипендии дочери на 2 /3 уменьшает общий доход на 4%, то 2 /3 стипендии дочери составляют 4% общего дохода семьи, а вся стипендия дочери соответственно 6% общего дохода семьи. На долю зарплаты жены приходятся оставшиеся 100% — 67% — 6% = 27% общего дохода семьи. Ответ : 27

Слайд 5

№4. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году — на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? Решение : Используя формулу сложных процентов, находим, что в 2010 году в квартале стало проживать : 40000 ×(1+0,08) × (1+0,09) = 40000 × 1,08 × 1,09 = 47088 Ответ : 47088

Слайд 6

№ 5 . Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год? Решение : Используя формулу сложных процентов, находим, что в 2003 году Бубликов заработал : Ответ : 320000

Слайд 7

№6 . Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году ,имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась? Решение : Будем использовать формулу сложных процентов. Компания «Альфа» с начальным капиталом 5000 долларов через 5 лет получит капитал, равный : долларов. Компания «Бета» с начальным капиталом 10000 долларов через 3 года получит капитал, равный : долларов Капитал компании «Бета» к концу 2006 года был больше капитала компании «Альфа» на : 1250000 – 1215000 = 35000 долларов Ответ : 35000

Слайд 8

№7. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? Решение : Пусть x > 0 – первоначальная стоимость акций, а p > 0 – количество процентов, на которые в понедельник подорожали, а во вторник поде- шевели акции. Используя формулу сложных процентов, составим и решим уравнение с учетом положительности p: Итак, в понедельник акции подорожали на 20% Ответ : 20

Слайд 9

№8. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение : По данным задачи составим таблицу : Концентрация полученного раствора составит : (%) Ответ : 5 Общий объем (л) Концен- трация вещества Объем вещества (л) Первый раствор 5 0,12 0,12 × 5 = 0,6 Вода 7 0 0 Новый раствор 12 ? 0,6

Слайд 10

№9. Виноград содержит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма? Решение : «Чистого» (или «сухого») вещества в 20 кг изюма содержится 95%, или 20 × 0,95 = 19 кг. Эти же 19 кг сухого вещества составляли 10% в винограде до сушки. Таким образом, масса винограда до сушки составляла 19 × 10 = 190 кг. Ответ : 190

Слайд 11

№10. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах. Решение : Пусть x кг – масса первого сплава. Составим таблицу : Используя массу меди, составим уравнение : 0 ,3(2 x+3)=0 ,1 x + 0 ,4( x+3) Решим это уравнение : 0 ,1 x = 0 ,3 ; x=3 Масса третьего сплава равна 2 × 3 + 3 = 9 Ответ : 9 Общий масса (кг) Концен — трация меди Масса меди (кг) Первый сплав x 0, 1 0,1 x Второй сплав x+3 0,4 0 ,4 (x+3) Новый сплав 2x+3 0,3 0, 3(2x+3)

Слайд 12

Успехов на ЕГЭ!!!

Анна Малкова

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

Формула суммы    первых  членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:

1. На поверхности озера растут водоросли. За сутки каждая водоросль делится пополам, и вместо одной водоросли появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся водорослей делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось водорослями. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

Ответ парадоксальный: через 29 суток.

Эту задачу лучше всего решать «с конца». Вот перед вами заполненное водорослями озеро. Что было сутки назад? Очевидно, водорослей было в два раза меньше, то есть озеро было покрыто ими наполовину.

Каждый день водорослей в озере становилось в два раза больше, то есть их число увеличивалось в геометрической прогрессии.

2. ЕГЭ) Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Невелика была прибыль Бубликова в 2000 году. Зато каждый год прибыль увеличивалась на 300%, то есть в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Геометрическая прогрессия! Ищем ее четвертый член:

3. (Задача ЕГЭ) Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Определим основные понятия задачи.

Капитал компании – совокупность всех средств, имеющихся у компании.

Прибыль – разница между доходом и расходом (затратами).

Если в 2002 году прибыль компании «Альфа» составляет 100% от капитала прошлого года, значит, за год капитал компании «Альфа» удвоился. Аналогично, капитал компании «Альфа» удваивается в 2003, 2004, 2005 и 2006 годах, то есть в 2006 году он составил  тысяч долларов.

Капитал компании «Бета» ежегодно увеличивается в 3 раза. В 2006 году он увеличился в  раз по сравнению с 2003 годом и составил   долларов.

Это на 66 тысяч долларов больше, чем капитал компании «Альфа».

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия, знаменатель которой |q| <1, называется бесконечно убывающей.

 пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Чему же равна ее сумма?

Нарисуем прямоугольник с площадью 1. Добавим к нему участки с площадью

К чему стремится площадь полученной фигуры при бесконечном увеличении n, то есть при добавлении все более мелких участков? Очевидно, к двум.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии – число, которое находится по формуле:

Есть такой математический анекдот, и теперь вы его поймете.

Бесконечное число математиков заходит в бар. Первый говорит: «Мне кружку пива!» Второй: «Мне полкружки пива!» Третий: «Мне четверть кружки пива!» Четвертый: «Мне  кружки пива!» Бармен: «Погодите-ка… Знаю я ваши фокусы — вам две кружки пива на всех!»

Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения

1. Бизнесмен Коровин получил в 2000 году прибыль в размере 1 400 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей составила прибыль Коровина за 2004 год?

2. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 4000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Ответы:

1. Ответ: 2 903 040
2. Ответ: 134500

Математика (проф. ур.) (Вариант 9)