Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Спрятать решение
Решение.
Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 100% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 200% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма
Каждый год прибыль компании «Бета» составила 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма
Таким образом, капитал компании «Бета» был на 66 000 долларов больше.
Ответ: 66 000.
Анна Малкова
Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:
Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: 
Формула суммы 
первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:
1. На поверхности озера растут водоросли. За сутки каждая водоросль делится пополам, и вместо одной водоросли появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся водорослей делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось водорослями. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
Ответ парадоксальный: через 29 суток.
Эту задачу лучше всего решать «с конца». Вот перед вами заполненное водорослями озеро. Что было сутки назад? Очевидно, водорослей было в два раза меньше, то есть озеро было покрыто ими наполовину.
Каждый день водорослей в озере становилось в два раза больше, то есть их число увеличивалось в геометрической прогрессии.
2. ЕГЭ) Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Невелика была прибыль Бубликова в 2000 году. Зато каждый год прибыль увеличивалась на 300%, то есть в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Геометрическая прогрессия! Ищем ее четвертый член:
3. (Задача ЕГЭ) Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Определим основные понятия задачи.
Капитал компании – совокупность всех средств, имеющихся у компании.
Прибыль – разница между доходом и расходом (затратами).
Если в 2002 году прибыль компании «Альфа» составляет 100% от капитала прошлого года, значит, за год капитал компании «Альфа» удвоился. Аналогично, капитал компании «Альфа» удваивается в 2003, 2004, 2005 и 2006 годах, то есть в 2006 году он составил 
тысяч долларов.
Капитал компании «Бета» ежегодно увеличивается в 3 раза. В 2006 году он увеличился в 
раз по сравнению с 2003 годом и составил 
долларов.
Это на 66 тысяч долларов больше, чем капитал компании «Альфа».
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия, знаменатель которой |q| <1, называется бесконечно убывающей.
пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Чему же равна ее сумма?
Нарисуем прямоугольник с площадью 1. Добавим к нему участки с площадью 
К чему стремится площадь полученной фигуры при бесконечном увеличении n, то есть при добавлении все более мелких участков? Очевидно, к двум.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии – число, которое находится по формуле:
Есть такой математический анекдот, и теперь вы его поймете.
Бесконечное число математиков заходит в бар. Первый говорит: «Мне кружку пива!» Второй: «Мне полкружки пива!» Третий: «Мне четверть кружки пива!» Четвертый: «Мне 
кружки пива!» Бармен: «Погодите-ка… Знаю я ваши фокусы — вам две кружки пива на всех!»
Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения
1. Бизнесмен Коровин получил в 2000 году прибыль в размере 1 400 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей составила прибыль Коровина за 2004 год?
2. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 4000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Ответы:
- Ответ: 2 903 040
- Ответ: 134500
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Геометрическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.03.2023
Решение:
Перед решением ознакомься вот с такой задачей. Она решалась двумя способами.
Но для решения этой задачи я буду использовать только второй способ.
Приступим.
1. Компания «Альфа».
2001 год (1-й). Стартовый капитал 3500 долларов.
2002 год (2-й). Прибыль увеличилась на 100%, т.е. в 2 раза. Как это посчитать? 3500 + 3500 · 1 = 7000 долларов (100% = 1).
…
2007 год (7-й). Прибыль неизвестна. Ее надо найти.
Пусть n = 7 — номер 2007-го года, a1 = 3500 — стартовый капитал, a7 — прибыль за 2007 год, q = 2 — увеличитель прибыли.
bn = b1qn-1 — формула n-ого члена геометрической прогрессии.
Подставляем известные величины и находим bn:
bn = 3500 · 27-1 = 3500 · 64 = 224 000 долларов — прибыль компании «Альфа» за 2007 год.
2. Компания «Бета».
2004 год (1-й). Стартовый капитал 5000 долларов.
2005 год (2-й). Прибыль увеличилась на 200% и стала равна 5000 + 5000 · 2 = 15000 долларов. Короче говоря, прибыль увеличилась в 3 раза (15000 : 5000 = 3).
…
2007 год (4-й). Прибыль необходимо найти.
Пусть n = 4 — номер 2007-года, а1 = 5000 — стартовый капитал, a4 — прибыль за 2007 год, q = 3 — увеличитель прибыли.
С помощью формулы n-ого члена геометрической прогрессии находим чему равна прибыль компании «Бета»:
bn = b1qn-1;
bn = 5000· 34-1 = 5000 · 27 = 135 000 долларов.
3. Находим разницу.
224 000 — 135 000 = 89 000 долларов.
Ответ: 89000.
Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.
#830
16
Июл 2013
Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи
09. Задачи на прогрессию
2013-07-16
2022-09-11
«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия
Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 
метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 
метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение: + показать
Задача 2. Олегу надо решить 
задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 
задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 
дней.
Решение: + показать
Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за дней, а расстояние между городами составляет 
километров.
Решение: + показать
Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 
рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 
% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?
Решение: + показать
Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 
долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 
% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 
долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 
% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение: + показать
Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию
Автор: egeMax |
комментария 2
ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии
Задание
Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 4000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2005 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2006 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2009 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение
Введем геометрическую прогрессию $a$, в которой $a_1=4000$ будет равен капиталу компании Альфа в 2001 году, $a_2=8000$ — капиталу компании Альфа в 2002 году и так далее. Так как каждый год компания Альфа получает прибыль, на 100% большую прибыли прошлого года, знаменатель прогрессии $p=2$. Также введем геометрическую прогрессию $b$, в которой $b_1=6000$ будет равен капиталу компании Бета в 2005 году, $a_2=24000$ — капиталу компании Бета в 2006 году и так далее. Так как каждый год компания Бета получает прибыль, на 300% большую прибыли прошлого года, знаменатель прогрессии $q=4$. В конце 2009 года, разница между капиталами компаний будет равна $$ D=|a_{10}-b_6|=|a_1cdot p^9-b_1cdot q^5|=|4000cdot2^9-6000cdot4^5|=4096000 text{рублям} $$
Ответ: 4096000.
Аналогичные задачки
kswinge84
Вопрос по математике:
Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 1
kfarecalyene
Формула сложных процентов:
N = N0*(1 + x/100)^n
Компания «Альфа», имея начальный капитал N0 = 3000$ и зарабатывая
x = 100% в год, с 2002 по 2006 год (n = 5 лет), получила капитал
N(A) = 3000*(1 + 100/100)^5 = 3000*(1+1)^5 = 3000*32 = 96000$
Компания «Бета», имея начальный капитал N0 = 6000$ и зарабатывая
x = 200% в год, с 2004 по 2006 год (n = 3 года), получила капитал
N(B) = 6000*(1 + 200/100)^3 = 6000*(1+2)^3 = 6000*27 = 162000$
Капитал компании «Бета» оказался больше капитала «Альфа» на
N(B) — N(A) = 162000 — 96000 = 64000$
Знаете ответ? Поделитесь им!
Гость ?
Как написать хороший ответ?
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
правильный ответ; - Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
побуждал на дополнительные вопросы к нему; - Писать без грамматических, орфографических и
пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
уникальные и личные объяснения; - Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
знаю» и так далее; - Использовать мат — это неуважительно по отношению к
пользователям; - Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Математика.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи —
смело задавайте вопросы!
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.