Компания альфа начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 имея капитал 5000 дол

Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10 000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Спрятать решение

Решение.

Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма

5000 умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2006 минус 2001 правая круглая скобка =5000 умножить на 3 в степени 5 =5000 умножить на 243=1215000 долларов.

Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма

10000 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2006 минус 2003 правая круглая скобка = 10000 умножить на 5 в кубе =10000 умножить на 125=1250000.

Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35 000 долларов больше.

Ответ: 35 000.

Компания «Альфа» начала инвестировать средства..

Задание:

Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение:

1) Компания «Альфа»:

Пусть в 2001 году капитал составил 5000 $ – 100%;

    в 2002 году:  ? $ – 300%;

b1 = 5000  

q = 300/100 = 3 – ежегодное увеличение капитала в «Альфа».

в 2006 году:  b6 = b1 · q5 = 5000 · 35 = 1 215 000 $.

2) Компания «Бета»:

Пусть в 2003 году капитал составил 10000 $ – 100%;

      в 2004 году:    ? $ – 500%;

с1 = 10000  

q = 500/100 = 5 – ежегодное увеличение капитала в «Бета».

в 2006 году:  b4 = b1 · q3 = 10000 · 53 = 1 250 000 $.

3) 1 250 000 – 1 215 000 = 35 000 $ – разность капиталов.

Ответ: 35000

Skip to content

ЕГЭ профильный уровень. №9 Задачи на прогрессии. Задача 9

ЕГЭ профильный уровень. №9 Задачи на прогрессии. Задача 9admin2023-03-18T16:05:18+03:00

Задача 9. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась.

Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2002 году её капитал составлял:  (5,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 15,,000)  долларов;  в 2003 году  (15,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 45,,000)  долларов; в 2004 году  (45,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 135,,000)  долларов; в 2005 году  (135,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 405,,000)  долларов; в 2006 году  (405,,000 cdot frac{{300}}{{100}} = 1,,215,,000)  долларов. 

Каждый год прибыль компании «Бета» составляла 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. Поэтому в 2004 году её капитал составлял:  (10,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 50,,000)  долларов;  в 2005 году  (50,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 250,,000)  долларов; в 2006 году  (250,,000 cdot frac{{500}}{{100}} = 1,,250,,000)  долларов.

Таким образом, капитал компании «Бета» был на (1,,250,,000 — 1,,215,,000 = 35,,000) долларов больше, чем капитал компании «Альфа».

Ответ:  35000.

Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Теория.

Простые проценты.

Пусть вкладчик открыл сберегательный счет и положил на него S0 рублей. Пусть банк обязуется выплатить вкладчику в конце каждого года р% от первоначальной суммы S0. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составляет S0 . р / 100 рублей и величина вклада станет равной S = S0(1 + p/100) рублей; р% называют годовой процентной ставкой.

Если по прошествии одного года вкладчик снимет со счета начисленные проценты           S0 . р / 100, а сумму S0 оставит, в банке вновь начислят S0 . р / 100 рублей, а за два года начисленные проценты составят 2S0 . р / 100 рублей, через n лет на вкладе будет

Sn = S0(1 + pn/100) рублей.

Сложные проценты.

Если вкладчик не снимет со счета сумму начисленных процентов, то эта сумма присоединяется к основному вкладу, а в конце следующего года банк будет начислять р% уже на новую, увеличенную сумму. Это означает, что банк станет теперь начислять проценты не только на основной вклад, S0, но и на проценты, которые на него полагаются. Sn = S0(1 + p%/100%)n

Решение.

S? = 5 000(1 + 2)5 = 1 215 000,

S? = 10 000(1 + 4)3 = 1 250 000,

1 250 000 – 1 215 000 = 35 000.

Ответ. 35 000.

Решение:

Перед решением ознакомься вот с такой задачей. Она решалась двумя способами. 

Но для решения этой задачи я буду использовать только второй способ.

Приступим.

1. Компания «Альфа».

2001 год (1-й). Стартовый капитал 3500 долларов.

2002 год (2-й). Прибыль увеличилась на 100%, т.е. в 2 раза. Как это посчитать? 3500 + 3500 · 1 = 7000 долларов (100% = 1).

2007 год (7-й). Прибыль неизвестна. Ее надо найти.

Пусть n = 7 — номер 2007-го года, a1 = 3500 — стартовый капитал, a7 — прибыль за 2007 год, q = 2 — увеличитель прибыли.

bn = b1qn-1 — формула n-ого члена геометрической прогрессии.

Подставляем известные величины и находим bn:

bn = 3500 · 27-1 = 3500 · 64 = 224 000 долларов — прибыль компании «Альфа» за 2007 год.

2. Компания  «Бета».

2004 год (1-й). Стартовый капитал 5000 долларов.

2005 год (2-й). Прибыль увеличилась на 200% и стала равна 5000 + 5000 · 2 = 15000 долларов. Короче говоря, прибыль увеличилась в 3 раза (15000 : 5000 = 3).

2007 год (4-й). Прибыль необходимо найти.

Пусть n = 4 — номер 2007-года, а1 = 5000 — стартовый капитал, a4 — прибыль за 2007 год, q = 3 — увеличитель прибыли.

С помощью формулы n-ого члена геометрической прогрессии находим чему равна прибыль компании «Бета»:

bn = b1qn-1;

bn = 5000· 34-1 = 5000 · 27 = 135 000 долларов.

3. Находим разницу.

224 000 — 135 000 = 89 000 долларов.

Ответ: 89000.

Не можешь найти нужную задачу? Предложи свою! Наша группа в VK.

#830

Анна Малкова

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:

b_{n+1 }= b_{n}q : : , , (n = 1,2, ...).

Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.

Формула n-го члена геометрической прогрессии: b_n=b_1q^{n-1}

Формула суммы  S_n=b_1+b_2+...+b_n  первых  членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n=b_1frac{q^n-1}{q-1}

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:

b_n^2= b_{n-1}cdot b_{n+1}

1. На поверхности озера растут водоросли. За сутки каждая водоросль делится пополам, и вместо одной водоросли появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся водорослей делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось водорослями. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

Ответ парадоксальный: через 29 суток.

Эту задачу лучше всего решать «с конца». Вот перед вами заполненное водорослями озеро. Что было сутки назад? Очевидно, водорослей было в два раза меньше, то есть озеро было покрыто ими наполовину.

Каждый день водорослей в озере становилось в два раза больше, то есть их число увеличивалось в геометрической прогрессии.

2. ЕГЭ) Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?

Невелика была прибыль Бубликова в 2000 году. Зато каждый год прибыль увеличивалась на 300%, то есть в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Геометрическая прогрессия! Ищем ее четвертый член:

5000cdot 4^3 = 320 000

3. (Задача ЕГЭ) Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Определим основные понятия задачи.

Капитал компании – совокупность всех средств, имеющихся у компании.

Прибыль – разница между доходом и расходом (затратами).

Если в 2002 году прибыль компании «Альфа» составляет 100% от капитала прошлого года, значит, за год капитал компании «Альфа» удвоился. Аналогично, капитал компании «Альфа» удваивается в 2003, 2004, 2005 и 2006 годах, то есть в 2006 году он составил 3000 cdot 2^5 = 96 000  тысяч долларов.

Капитал компании «Бета» ежегодно увеличивается в 3 раза. В 2006 году он увеличился в 3^3=27  раз по сравнению с 2003 годом и составил  6000 cdot 27 = 162000  долларов.

Это на 66 тысяч долларов больше, чем капитал компании «Альфа».

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия, знаменатель которой |q| <1, называется бесконечно убывающей.

1;{{1}over {2}};{{1}over {4}};{{1}over {8}};{{1}over {16}}dots  пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Чему же равна ее сумма?

Нарисуем прямоугольник с площадью 1. Добавим к нему участки с площадью frac{1}{2};, frac{1}{4};, frac{1}{8}...

К чему стремится площадь полученной фигуры при бесконечном увеличении n, то есть при добавлении все более мелких участков? Очевидно, к двум.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии – число, которое находится по формуле:

S=frac{b_1}{1-q}

Есть такой математический анекдот, и теперь вы его поймете.

Бесконечное число математиков заходит в бар. Первый говорит: «Мне кружку пива!» Второй: «Мне полкружки пива!» Третий: «Мне четверть кружки пива!» Четвертый: «Мне frac{1}{8} кружки пива!» Бармен: «Погодите-ка… Знаю я ваши фокусы — вам две кружки пива на всех!»

Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения

1. Бизнесмен Коровин получил в 2000 году прибыль в размере 1 400 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей составила прибыль Коровина за 2004 год?

2. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 4000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Ответы:

  1. Ответ: 2 903 040
  2. Ответ: 134500

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Геометрическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.03.2023

16
Июл 2013

Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи

09. Задачи на прогрессию

2013-07-16
2022-09-11

«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия


Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 630 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 140 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

Решение: + показать


Задача 2. Олегу надо решить 315 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 11 задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 9 дней.

Решение: + показать


Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за 9 дней, а расстояние между городами составляет 189 километров.

Решение: + показать


Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 1000000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 7% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?

Решение: + показать


Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3500 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 300% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?

Решение: + показать


тест

Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию

Автор: egeMax |

комментария 2

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Компания которая предлагает множество различных продуктов с разным уровнем качества на нескольких
  • Компания может выиграть выгодный заказ в случаях продавец является лидером по издержкам в отрасли
  • Компания по производству шин продает фирме производящей автомобили 4 шины стоимостью 400 долларов
  • Компания существует 3 года среди топ менеджмента наблюдается снижение эффективности на протяжении
  • Компания тон начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2013 году имея капитал 60000