Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Спрятать решение
Решение.
Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 100% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 200% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма
Каждый год прибыль компании «Бета» составила 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма
Таким образом, капитал компании «Бета» был на 66 000 долларов больше.
Ответ: 66 000.
Анна Малкова
Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен произведению предыдущего члена и некоторого фиксированного числа q:
Фиксированное число q называется знаменателем геометрической прогрессии.
Формула n-го члена геометрической прогрессии: 
Формула суммы 
первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:
Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению соседних:
1. На поверхности озера растут водоросли. За сутки каждая водоросль делится пополам, и вместо одной водоросли появляются две. Ещё через сутки каждая из получившихся водорослей делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось водорослями. Через какое время озеро было заполнено наполовину?
Ответ парадоксальный: через 29 суток.
Эту задачу лучше всего решать «с конца». Вот перед вами заполненное водорослями озеро. Что было сутки назад? Очевидно, водорослей было в два раза меньше, то есть озеро было покрыто ими наполовину.
Каждый день водорослей в озере становилось в два раза больше, то есть их число увеличивалось в геометрической прогрессии.
2. ЕГЭ) Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Невелика была прибыль Бубликова в 2000 году. Зато каждый год прибыль увеличивалась на 300%, то есть в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Геометрическая прогрессия! Ищем ее четвертый член:
3. (Задача ЕГЭ) Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 3000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 6000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Определим основные понятия задачи.
Капитал компании – совокупность всех средств, имеющихся у компании.
Прибыль – разница между доходом и расходом (затратами).
Если в 2002 году прибыль компании «Альфа» составляет 100% от капитала прошлого года, значит, за год капитал компании «Альфа» удвоился. Аналогично, капитал компании «Альфа» удваивается в 2003, 2004, 2005 и 2006 годах, то есть в 2006 году он составил 
тысяч долларов.
Капитал компании «Бета» ежегодно увеличивается в 3 раза. В 2006 году он увеличился в 
раз по сравнению с 2003 годом и составил 
долларов.
Это на 66 тысяч долларов больше, чем капитал компании «Альфа».
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия, знаменатель которой |q| <1, называется бесконечно убывающей.
пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Чему же равна ее сумма?
Нарисуем прямоугольник с площадью 1. Добавим к нему участки с площадью 
К чему стремится площадь полученной фигуры при бесконечном увеличении n, то есть при добавлении все более мелких участков? Очевидно, к двум.
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии – число, которое находится по формуле:
Есть такой математический анекдот, и теперь вы его поймете.
Бесконечное число математиков заходит в бар. Первый говорит: «Мне кружку пива!» Второй: «Мне полкружки пива!» Третий: «Мне четверть кружки пива!» Четвертый: «Мне 
кружки пива!» Бармен: «Погодите-ка… Знаю я ваши фокусы — вам две кружки пива на всех!»
Задачи ЕГЭ для самостоятельного решения
1. Бизнесмен Коровин получил в 2000 году прибыль в размере 1 400 000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 20% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей составила прибыль Коровина за 2004 год?
2. Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 4000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 100% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 4500 долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 200% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2007 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Ответы:
- Ответ: 2 903 040
- Ответ: 134500
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Геометрическая прогрессия в задачах ЕГЭ по математике» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.03.2023
16
Июл 2013
Категория: 09 Текстовые задачиТекстовые задачи
09. Задачи на прогрессию
2013-07-16
2022-09-11
«Арифметическая прогрессия», геометрическая прогрессия
Задача 1. Бригада маляров красит забор длиной 
метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 
метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.
Решение: + показать
Задача 2. Олегу надо решить 
задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Олег решил 
задач. Определите, сколько задач решил Олег в последний день, если со всеми задачами он справился за 
дней.
Решение: + показать
Задача 3. Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел километров. Определите, сколько километров прошел турист за пятый день, если весь путь он прошел за дней, а расстояние между городами составляет 
километров.
Решение: + показать
Задача 4. Бизнесмен Плюшкин получил в 2000 году прибыль в размере 
рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 
% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Плюшкин за 2003 год?
Решение: + показать
Задача 5. Компания “Альфа” начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 
долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 
% от капитала предыдущего года. А компания “Бета” начала инвестировать средства в другую отрасль в 2004 году, имея капитал в размере 
долларов, и, начиная с 2005 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 
% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2008 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение: + показать
Вы также можете пройти тест по задачам на прогрессию
Автор: egeMax |
комментария 2
ЕГЭ Профиль №9. Задачи на прогрессии
- Альфашкола
- Статьи
- ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на прогрессии
ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на прогрессии
Задача №1
Бизнесмен Бубликов получил в 2000 году прибыль в размере 5000 рублей. Каждый следующий год его прибыль увеличивалась на 300% по сравнению с предыдущим годом. Сколько рублей заработал Бубликов за 2003 год?
Решение
Поскольку каждый год прибыль увеличивалась на 300%, она увеличивалась в 4 раза по сравнению с предыдущим годом. Ищем четвертый член геометрической прогрессии. Получаем, что за 2003 год Бубликов заработал:
5000 · 43 = 320 000 руб
Ответ: 320000.
Задача №2
Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Решение
Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма:
5000 · 32006 – 2001 = 5000 · 35 = 5000 · 243 = 1 215 000 долларов
Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма:
10000 · 52006 – 2003 = 10000 · 53 = 10000 · 125 = 1 250 000 долларов
Вычтем из первого второе:
1 250 000 – 1 215 000 = 35 000
Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35 000 долларов больше.
Ответ: 35 000.
Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!
Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!
Репетитор по математике
Самаркандский Государственный Университет
Репетитор по математике
Белорусский государственный университет
Задание 6696
Компания «Альфа» начала инвестировать средства в перспективную отрасль в 2001 году, имея капитал в размере 5000 долларов. Каждый год, начиная с 2002 года, она получала прибыль, которая составляла 200% от капитала предыдущего года. А компания «Бета» начала инвестировать средства в другую отрасль в 2003 году, имея капитал в размере 10000 долларов, и, начиная с 2004 года, ежегодно получала прибыль, составляющую 400% от капитала предыдущего года. На сколько долларов капитал одной из компаний был больше капитала другой к концу 2006 года, если прибыль из оборота не изымалась?
Ответ: 35000
Скрыть
Раз прибыль составляет 200% (400%) от предыдущего капитала, то сам капитал увеличивался в 3 (5) раз в соответствии с предыдущим годом . Т.е. имеем геометрические прогрессии с $$q_{1} =3$$; $$q_{2}=5$$; $$n_{1}=2006-2000=6$$; $$n_{2 }=2006-2002=4$$ .(вычитается на 1 год раньше , так как первый год учитывался и является первым членом геометрической прогрессии)
Тогда: $$b_{6}=5000*3^{6-1}=1215000$$(Альфа)
$$b_{4}=1000*5^{4-1}=1250000$$(Бета)
Разница в капитале : $$1250000-1215000=35000$$