Продолжаем изучать элементарные задачи по математике. Сегодня мы рассмотрим очень интересную физическую величину — производительность.
Что такое сила?
Сила — это физическое явление, способное изменять форму материальных тел, вызывать их движение, менять направление и скорость движения этих тел или приводить тело в состояние покоя.
Примеры сил:
- ребята слепили снеговика, а хулиганы его разрушили. Получается, что хулиганы приложили к снеговику свою силу, тем самым вызвали изменение формы снеговика;
- на дворе стояла тележка. Прохожий случайно задел её и тележка сдвинулась с места. Получается, что прохожий применил силу к тележке и вызвал её движение;
- далее тот же прохожий остановил тележку, чтобы она далеко не уехала. Получается, что прохожий применил силу, тем самым привел тележку в состояние покоя.
Сила является физической величиной — мерой воздействия на тело других тел. Сила обозначается заглавной латинской буквой F.
Что такое работа?
Работа — это количественная мера действия силы на тело. Работа зависит от количества силы, приложенной на тело и от направления этой силы, а также от перемещения данного тела.
Например, если мы попробуем сдвинуть шкаф с места и он сдвинется, то можно сказать, что мы совершили работу, поскольку сила, которую мы приложили, привела к тому, что шкаф совершил перемещение на некоторое расстояние.
Если же мы, к примеру, попробуем толкнуть стену, то стена с места не сдвинется, а значит и работа не будет совершена, поскольку сила была приложена, но эта сила не вызвала никакого перемещения стены.
Работа обозначается заглавной латинской буквой A.
Производительность
Производительностью называют работу, выполненную за единицу времени. Под единицей подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Производительность обозначается латинской буквой v
Рассмотрим следующий пример. Два пекаря пекли булочки. Первый пекарь испёк 40 булочек за 10 минут, а второй 15 булочек за 5 минут. Как узнать, кто из пекарей работал быстрее, первый или второй?
Работал быстрее тот, кто за одну минуту выпекает больше булочек. Говорят, что у него производительность больше. Для нахождения производительности предусмотрено следующее правило:
Чтобы найти производительность, надо выполненную работу разделить на время работы.
Также, можно воспользоваться формулой:
где v — производительность, A — выполненная работа, t — время работы.
Вернемся к нашей задаче. Зная правило или формулу нахождения производительности, можно определить сколько булочек приходится на одну минуту.
Найдём производительность первого пекаря. Разделим работу, которую он выполнил, на время которое он на нее затратил. Выполненная работа это количество испеченных им булочек, то есть 40, а время — 10 минут
40 : 10 = 4 булочки в минуту
Аналогично найдём производительность второго пекаря. Разделим 15 на 5
15 : 5 = 3 булочки в минуту
4 > 3
Первый пекарь в минуту выпекает больше булочек чем второй, значит его производительность выше. Отсюда делаем вывод, что работает он быстрее второго пекаря.
Также можно воспользоваться формулой нахождения производительности. В этом случае решение принимает следующий вид:
Под буквой v можно делать метки, указывающие для кого/чего мы находим производительность.
Задача 2. Тому нужно за 2 дня прочитать книгу, в которой 100 страниц. В первый день он читал 4 часа со скоростью 12 страниц в час. С какой скоростью ему надо читать оставшуюся часть книги, если у него есть на это 4 часа?
Узнаем сколько страниц Том прочитал в первый день. Он читал 12 страниц в час. Чтению в первый день он посвятил 4 часа, поэтому для нахождения количества прочитанных страниц в первый день, нужно 12 умножить на 4
12 × 4 = 48 страниц прочитано в первый день
Узнаем сколько страниц осталось прочесть. Вычтем из общего количества страниц (100) количество прочитанных страниц (48)
100 − 48 = 52 страницы осталось прочесть
Осталось прочесть 52 страницы. Теперь найдем такую производительность, при которой Том сможет прочесть 52 страницы за 4 часа. Раскидаем 52 страницы на 4 часа поровну
52 : 4 = 13 страниц в час
Ответ: чтобы прочитать оставшуюся часть книги за 4 часа, Том должен читать ее со скоростью 13 страниц в час.
Замечание. В некоторых источниках слово «производительность» может быть заменено на слова «скорость», «эффективность», «продуктивность», «плодотворность».
Задача 3. Один насос работал 4 часа, выкачивая 158 вёдер воды в час, а другой — 3 часа, выкачивая 169 вёдер воды в час. Определить какой из насосов выкачал больше вёдер.
Решение
Определим сколько всего вёдер выкачал каждый насос по отдельности. Для этого умножим их производительность на время их работы:
158 в/ч × 4 = 632 вёдер выкачал первый насос
169 в/ч × 3 = 507 вёдер выкачал второй насос
632 > 507
Ответ: первый насос выкачала больше вёдер, чем второй.
Задача 4. За 2 часа насос выкачал 80 литров воды. Определить сколько литров он выкачает за 5 часов.
Решение
Сначала нужно определить сколько литров воды насос выкачивает за час. Для этого 80 литров разделим на 2 часа — получим 40 литров
80 : 2 = 40 литров в час
За один час насос выкачивает 40 литров воды. За 5 часов выкачает в пять раз больше
40 × 5 = 200 литров
Ответ: за 5 часов насос выкачает 200 литров воды.
Если известны производительность и время работы, то можно найти выполненную работу. Выполненная работа равна производительности умноженной на время работы:
A = v × t
Например, если производительность пекаря составляет 50 булочек в час, и он проработал 4 часа, то можно найти всю выполненную работу за эти четыре часа. Для этого производительность (50 бул/ч) нужно умножить на время его работы (4ч)
50 × 4 = 200 булочек
Если известны работа и производительность, то можно найти время работы. Время работы равно отношению выполненной работы к производительности:
Например, если в неделю бригада отстраивает 2 этажа, то можно узнать сколько недель потребуется для отстройки 8 этажей. Чтобы определить время отстройки восьми этажей, нужно выполненную работу (8 этажей) разделить на производительность (2 эт./нед):
8 : 2 = 4 нед.
Либо с помощью формулы, приведенной выше:
Если в неделю строится 2 этажа, то 8 этажей будет отстроено за четыре недели. В данном случае вся работа была равна восьми. Производительность была равна двум, поскольку по определению производительность есть работа, выполненная за единицу времени – в нашем случае два этажа за неделю.
Задача 6. Принтер работает с производительностью 70 стр./ч. Сколько страниц он напечатает за 5 часов?
Решение
Если в час принтер печатает 70 страниц, то за 5 часов он напечатает в 5 раз больше:
70 × 5 = 350 страниц
Также, решение можно записать с помощью формулы нахождения работы. В данном случае, количество напечатанных страниц являются выполненной работой:
A = v × t = 70 × 5 = 350 страниц
A = 350 страниц
Задача 7. Принтер напечатал 350 страниц за 5 часов. С какой производительностью он работал?
Решение
Если в течении пяти часов принтер напечатал 350 страниц, то в течении часа он печатал 
. То есть работал с производительностью 70 страниц в час:
350 : 5 = 70 стр./ч.
Либо с помощью формулы нахождения производительности:
Задача 8. Принтер работал с производительностью 70 страниц в час и напечатал 350 страниц. Определить время работы принтера.
Решение
Выражение «работал с производительностью 70 страниц в час» означает, что в каждом часе принтер печатал по 70 страниц. И это продолжалось до тех пор, пока он не напечатал 350 страниц. Очевидно, что разделив 350 страниц по 70, мы определим время работы принтера, то есть узнаем сколько часов он работал
350 : 70 = 5 ч.
Либо с помощью формулы нахождения времени:
Задача 9. Машинистка в первый день напечатала 48 страниц рукописи, а во второй день — на 12 страниц больше, чем в первый. На всю работу в эти 2 дня она затратила 9 часов. Сколько часов работала она в каждый из этих дней, если производительность её не менялась ?
Решение
Определим сколько страниц напечатала машинистка во второй день. В условии сказано, что напечатала она на 12 страниц больше, чем в первый:
48 + 12 = 60 страниц во второй день.
Определим сколько страниц машинистка напечатала за два дня:
48 + 60 = 108 страниц за два дня.
На эту работу машинистка затратила 9 часов. Также сказано, что производительность её не менялась. Если мы разделим выполненную работу (108) на время выполнения (9), то определим производительность машинистки:
108 : 9 = 12 страниц в час.
Теперь мы можем определить сколько часов работала машинистка в каждый из двух дней. Для этого поочередно разделим выполненные работы в каждом из двух дней на производительность:
48 : 12 = 4 часа работала машинистка в первый день
60 : 12 = 5 часов работала машинистка во второй день.
Задача 10. Джон решил 10 примеров за 5 минут. С какой производительностью он решал эти примеры?
10 примеров это выполненная Джоном работа. 5 минут — время работы. Разделим выполненную работу на время работы и определим производительность Джона:
10 : 5 = 2 примера в минуту.
Производительность Джона равна двум примерам в минуту.
Задача 11. Джон решил несколько примеров за 5 минут. С какой производительностью он решил эти примеры?
Это та же самая задача, что и предыдущая, но в ней работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что Джон выполнил эту работу за 5 минут. Поэтому, конкретную производительность в такой задаче узнать нельзя. Но можно воспользоваться дробями. Обозначим выполненную работу через единицу. Тогда производительность работы Джона будет выражаться дробью – частью примеров, решенных за единицу времени. Если вы изучили задачи на дроби, то должны понимать о чем идёт речь.
Итак, обозначим выполненную работу через единицу:
A = 1
Мы знаем, что для нахождения производительности, выполненную работу нужно разделить на время. Время работы у нас равно пяти минутам. Поэтому, единицу делим на пять минут:
Дробь выражает часть работы, выполненную Джоном за единицу времени. Если мы вернемся к предыдущей задаче, где выполненная работа была равна десяти примерам и найдем одну пятую от этой работы, то получим 2
Выражать выполненную работу через единицу часто приходится при решении задач на совместную работу.
Задачи на совместную работу
Задача 1. Первый мастер за 2 часа изготавливает 64 детали, а второй за 3 часа – 72 детали. За сколько часов они изготовят 336 деталей?
В данной задаче речь идет о совместной работе. Необходимо определить производительность обоих мастеров и найти время за которое они изготовят 336 деталей.
Для начала определим производительность первого мастера:
64 : 2 = 32 дет./час
Определим производительность второго мастера:
72 : 3 = 24 дет./час
Определим совместную производительность мастеров. Для этого сложим количество деталей, которые они изготавливают по отдельности за единицу времени. То есть сложим их производительности:
32 дет./час + 24 дет./час = 56 дет./час
Вместе за один час мастера изготавливают 56 деталей. Чтобы узнать за сколько часов они изготовят 336 деталей, нужно определить сколько раз 336 содержит по 56
336 : 56 = 6 часов
Задача 2. Первый мастер может покрасить забор за 20 минут, а второй мастер – за 30 минут. За сколько минут, работая вместе, они могут покрасить забор?
Решение
В данной задаче, в отличие от предыдущей, работа не выражена каким-либо числом. Сказано лишь то, что эту работу первый мастер может выполнить за 20 минут, а второй за 30 минут.
В такой ситуации можно воспользоваться дробями. Мы можем обозначить всю работу (покраску забора) через единицу.
Итак, обозначим работу (покраску забора) через единицу:
A = 1
Производительность первого мастера будет выражáться дробью 
. То есть за одну минуту он покрасит одну двадцатую часть забора. Единица это вся работа, а двадцать минут это время работы. Запишем производительность первого мастера с помощью формулы нахождения производительности:
А производительность второго мастера будет выражáться дробью 
. То есть за одну минуту он покрасит одну тридцатую часть забора:
Определим общую производительность мастеров. Для этого сложим дроби, выражающие производительность первого и второго мастеров:
это дробь, выражающая общую производительность обоих мастеров. То есть за одну минуту мастера вместе покрасят часть забора.
Определим время за которое мастера покрасят забор вместе. Для этого воспользуемся формулой нахождения времени: разделим выполненную работу на общую производительность мастеров. Выполненная работа у нас выражена единицей, а производительность — дробью
Ответ: работая вместе, мастера покрасят забор за 12 минут.
Задача 3. Первый рабочий может выполнить заказ за 8 часов, а второй за 6 часов. Два часа они работали вместе, а заканчивал работу один второй рабочий. Сколько времени потребовалось для выполнения этого заказа?
Решение
Обозначим всю работу через единицу
A = 1
Тогда первый рабочий за один час может выполнить 
часть работы, а второй рабочий 
часть работы. А вместе за один час они могут выполнить 
часть работы
Рабочие работали вместе два часа, поэтому умножим часть работы, выполняемую ими за один час на 2:
Остальную часть работы, а именно 
работы заканчивал один второй рабочий:
Второй рабочий за один час мог выполнить часть работы. Чтобы определить время за которое он завершил оставшуюся часть работы, воспользуемся формулой нахождения времени.
Переменная A теперь равна , переменная v —
Теперь определим общее время заказа. Первые два часа рабочие работали вместе, остальную часть работы второй рабочий выполнил за два с половиной часа, отсюда имеем 4,5 ч.
2 + 2,5 = 4,5 ч.
Ответ: для выполнения заказа потребовалось 4,5 ч.
Задача 4. Одна труба наполняет бассейн за 6 ч, а другая – за 4 ч. За
сколько часов наполняют бассейн обе трубы, работая вместе?
Решение
Обозначим работу (наполнение бассейна) через единицу
A = 1
Тогда первая труба за один час выполнит часть работы, а вторая труба — 
часть работы. Работая вместе за один час они выполнят 
часть работы:
Определим время за которое обе трубы наполняют бассейн, работая вместе:
2,4 это два целых часа и четыре десятых часа
2,4 = 2 ч + 0,4 ч
А четыре десятых часа это 24 минуты
60 мин. × 0,4 = 24 мин.
Ответ: работая вместе обе трубы наполнят бассейн за 2 ч 24 мин.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Первая бригада может выполнить некоторое задание за 12 часов, вторая – за 4 часа. За сколько часов они выполнят задание, если будут работать вместе?
Решение
Обозначим работу через единицу:
A = 1
Тогда первая бригада за один час выполнит часть работы, а вторая за один час часть работы. Их общая производительность равна сумме дробей и :
Определим время за которое обе бригады выполнят задание, работая вместе:
Ответ: обе бригады выполнят задание за 3 часа.
Задача 2. Лошадь съедает копну сена за 1 сутки, корова может съесть такую же копну за 3 суток, а овца за 6 суток. За какое время съедят эту копну лошадь, корова и овца вместе.
Решение
Работа в данном случае это съедание копны сена. Обозначим её через единицу:
A = 1
Тогда производительность лошади будет выражáться единицей, производительность коровы — дробью 
, производительность овцы — дробью . Их совместная производительность равна следующей сумме:
Определим время, за которое лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена:
Ответ: лошадь, корова и овца съедят 1 копну сена за 
суток или 16 часов.
Задача 3. Сосуд наполняется шлангом за 12 мин, а полный сосуд опорожняется при открытии крана за 20 мин. За какое время наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду через шланг?
Решение
Работа в данном случае это наполнение сосуда. Обозначим эту работу через единицу:
A = 1
В условии сказано, что сосуд наполняется шлангом за 12 минут. Значит в минуту будет наполняться часть сосуда. При этом сказано, что одновременно открыт кран сосуда и из него вытекает вода, которой наполняется сосуд. Вода, которая вытекает равна части сосуда, поскольку в условии сказано, что полный сосуд опорожняется за 20 минут.
В сосуд поступает воды больше, чем вытекает. Дробь больше, чем .
Несмотря на то, что часть поступающей в сосуд воды будет вытекать, с каждой минутой сосуд будет пополняться на определенную часть. Узнаем, что эта за часть. Для этого из поступающей части вычтем ту часть, которая вытекает:
Каждую минуту сосуд будет наполняться на .
Определим время за которое наполнится пустой сосуд, если одновременно открыть кран и вливать в него воду через шланг:
Ответ: если одновременно открыть кран и вливать в пустой сосуд воду через шланг, то он наполнится за 30 минут.
Задача 4. Через первую трубу бассейн можно заполнить за 20 ч, через вторую за 30 ч. Какая часть бассейна заполнится через обе трубы за 1 ч?
Решение
Работа в данном случае это заполнение бассейна. Обозначим эту работу через единицу:
A = 1
Производительность заполнения бассейна через первую трубу будет выражáться дробью , через вторую трубу — дробью . Совместная производительность будет выражáться дробью
Производительность по определению есть работа, выполненная за единицу времени. Значит дробь является ответом к задаче, поскольку нас интересовало какая часть бассейна заполнится через обе трубы за 1 час. Это можно проверить, воспользовавшись формулой нахождения работы. Переменная v у нас имеет значение , а переменная t равна единице (одному часу). Формула нахождения работы позволит нам определить какая часть работы будет выполнена за 1 час:
Ответ: за один час заполнится часть бассейна.
Задача 5. На прокладку траншеи требуется затратить 10 ч. Экскаватор проработал 8 ч, после чего ему осталось пройти 50 м. Найти общую длину траншеи.
Решение
В задаче подразумевается, что экскаватор работал с одинаковой производительностью на протяжении всей работы. На работу требовалось затратить 10 ч. Проработано было 8 ч. Значит осталось еще 2 часа. На 2 часа приходятся оставшиеся 50 метров траншеи. Если разделить 50 метров на 2, то можно определить сколько метров экскаватор прокладывает за один час:
50 : 2 = 25 м./ч
В час экскаватор прокладывал 25 метров. Работал он 10 часов. Умножим 25 на 10, мы определим общую длину траншеи:
25 × 10 = 250 м
Ответ: общая длина траншеи составляет 250 м.
Задача 6. Ванна заполняется холодной водой за 6 мин 40 с, горячей – за 8 мин. Кроме того, если из полной ванны вынуть пробку, вода вытечет за 13 мин 20 с. Сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну полностью, при условии, что открыты оба крана, но ванна не заткнута пробкой?.
Решение
Для удобства переведем время данное в задаче в секунды
6 мин 40 с = 400 с
8 мин = 480 с
13 мин 20 с = 800 с
Обозначим заполнение ванны через единицу:
A = 1
Производительность первого крана будет выражáться дробью 
, производительность второго крана — дробью 
. Совместная производительность обоих кранов равна сумме дробей и
Одновременно с открытыми двумя кранами, вынута пробка из ванны. Поэтому часть поступающей в ванну воды сразу выходит через слив. Эта часть будет выражáться дробью 
.
С каждой секундой ванна будет пополняться на определенную часть воды. Узнаем какая это часть. Для этого из поступающей части воды вычтем ту часть, которая вытекает через слив.
Определим сколько времени понадобится, чтобы наполнить ванну:
Ванна наполнится за 300 секунд. Поскольку задача завершена, секунды можно обратно перевести в минуты. Триста секунд это пять минут:
300 : 60 = 5 мин
Ответ: ванна заполнится за 5 мин.
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
гречиху фасуют два дозатора. В один дозатор засыпают (200) кг гречихи, и он расфасовывает крупу в пакеты за (20) мин. В другой засыпают (330) кг, и он расфасовывает крупу за (30) мин. Какой из дозаторов работает быстрее?
Сначала найдём, скорость каждого дозатора.
Эту задачу можно представить в виде таблицы:
— килограммов гречихи расфасовывает первый дозатор за (1) мин.
— килограммов гречихи расфасовывает второй дозатор за (1) мин.
Значит, работает быстрее второй дозатор.
Цели:
- познакомиться с понятиями производительность, работа, время работы;
- вывести формулы нахождения производительности, работы, времени работы;
- учиться решать задачи, используя формулы.
Ход урока
| Оргмомент |
Заливистый школьный звонок Поскольку настроение всегда бывает разным, то пусть же чередуется хорошее с прекрасным. |
||||||||||||||
| Разминка |
Откройте тетради запишите дату, классная работа. Ваша задача: решить правильно примеры на карточке У 640 – 560 ∙ 0 = М 240 : 60 ∙ 100 = |
||||||||||||||
|
Проверка Оценивание |
Взаимопроверка. Сверка с образцом. Оценивание по критериям. Устное оценивание партнёра.
Какие возникали трудности? |
||||||||||||||
|
S = V ∙ t t = S:V С = Ц ∙ К Р = (а + b) ∙ 2 |
Что такое формула?
Почему возникли затруднения? |
||||||||||||||
| Новые понятия появляются на доске | ЭТО НАЗЫВАЕТСЯ РАБОТА И ОБОЗНАЧАЕТСЯ БУКВОЙ А О каких ещё величинах идёт речь в задаче? (3 блина в минуту) т.е. скорость СКОРОСТЬ РАБОТЫ НАЗЫВАЮТ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТЬ И ОБОЗНАЧАЮТ БУКВОЙ V Что ещё известно в задаче? (время) Какой буквой обозначается время? (t) |
||||||||||||||
| Определение темы и целей урока |
Какова тема урока?
Что нужно узнать в нашей задаче? |
||||||||||||||
| Работа в группах | Выведите 2 другие формулы, используя формулу работы: V = t = Проверим, что получилось. Как проверить правильность выполненной работы? Откройте учебник на с. 23 Оцените групповую работу. Дайте коллективную оценку. |
||||||||||||||
| Первичное закрепление |
Над чем ещё осталось поработать? |
||||||||||||||
| Самостоятельная работа | РАБОТА ПО КАРТОЧКЕ | ||||||||||||||
| Итог | Удалось ли достигнуть поставленных целей? Рефлексивный экран‚ заполнение листа обратной связи |
||||||||||||||
|
Д/з |
с. 23 выучить правила, формулы Вот и кончился урок. |
В – I
Ф.И.________________________________
Заполните таблицы и решите задачи
1. Определи производительность бригады, если за 6 дней бригада асфальтирует 5400 м дороги.
|
Производительность (V) |
Время работы (t) |
Выполненная работа (А) |
Ответ: ________________________________________________________
2. Рабочий за 5 часов собирает 75 деталей. Сколько времени ему потребуется, чтобы при той же производительности собрать 120 деталей.
|
Производительность (V) |
Время работы (t) |
Выполненная работа (А) |
Ответ: _________________________________________________________
Мне было трудно ________________________________________________
Ф.И.______________________________
Лист обратной связи по теме: Решение задач на нахождение производительности, работы, времени работы.
|
29.11 |
||||||
|
Знаю, что такое производительность и её обозначение |
||||||
|
Знаю, что такое работа и её обозначение |
||||||
|
Знаю, что такое время работы и её обозначение |
||||||
|
Знаю формулу нахождения производительности |
||||||
|
Знаю формулу нахождения времени работы |
||||||
|
Знаю формулу нахождения работы |
||||||
|
Умею решать задачи на нахождение производительности |
||||||
|
Умею решать задачи на нахождение времени работы |
||||||
|
Умею решать задачи на нахождение работы |
Мне трудно________________________________________________________
Могу похвалить себя________________________________________________
Математика
5 класс
Урок № 69
Задачи на совместную работу
Перечень рассматриваемых вопросов:
— введение понятий производительность, общая производительность, время работы;
— алгоритм решения задач на совместную работу арифметическим способом;
— отработка применения алгоритма при решении задач.
Тезаурус
Производительность (Р) – объём работы, выполняемый за единицу времени.
Время работы (Т) – время выполнения всей работы.
Общая производительность – объём работы, выполняемый совместно всеми работниками за единицу времени.
Обязательная литература
Никольский С. М. Математика. 5 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017. – 272 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 классы. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина. – М.: Просвещение, 2009. – 142 с.
- Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 классы. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014. – 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
На предыдущих уроках мы научились выполнять арифметические действия с обыкновенными дробями. Сегодня мы рассмотрим, как с помощью обыкновенных дробей решать задачи на совместное выполнение некоторой работы.
Под совместной работой можно понимать абсолютно любое действие: и одновременный поток воды из двух труб при наполнении бассейна, и изготовление деталей двумя рабочими, и вспашку поля несколькими тракторами, и набор текста на компьютере.
Всю работу мы будем принимать за единицу. А объём выполненной работы выражать как часть этой единицы.
Если какая-то работа выполняется за шесть часов, то за час выполняется одна шестая часть этой работы.
Объём работы, выполненный за единицу времени, называется производительностью. Она обозначается как Р.
Рассмотрим задачу.
Первый столяр может выполнить заказ за 36 часов, а второй – за 18 часов. За сколько часов этот заказ выполнят оба столяра, работая вместе?
Вся работа – 1
1-й столяр – 36 ч
2-й столяр – 18 ч
1-й и 2-й столяр – ? ч
(первый столяр за один час, или производительность Р1 первого столяра)
(второй столяр за один час, или производительность Р2 второго столяра)
(оба столяра за один час, или общая производительность Р)
(время выполнения всей работы совместно)
Ответ: за 12 ч.
Рассмотрим следующую задачу.
Одна труба заполняет бассейн за 60 минут, а вторая – за 20 минут. За сколько минут заполнится бассейн при включении обеих труб?
Вся работа – 1
1-я труба – 60 минут
2-я труба – 20 минут
Обе трубы – ?
часть бассейна (наполняет первая труба за одну минуту, или производительность Р1)
часть бассейна (наполняет вторая труба за одну минуту, или производительность Р2)
часть бассейна (заполняют обе трубы, работая вместе, или общая производительность Р)
минут (время заполнения бассейна двумя трубами)
Ответ: за 15 минут.
Рассмотрим задачу, в которой, зная время выполнения работы совместно, надо найти время работы одного из участников.
Работая вместе, два мастера Гжели выполняют заказ за шесть дней. Первый мастер, работая один, может выполнить этот заказ за 10 дней. За сколько дней этот заказ может выполнить второй мастер?
Вся работа – 1
1-й и 2-й мастер – 6 дней
1-й мастер – 10 дней
2-й мастер – ? дней
часть заказа (первый и второй мастера за один день, или общая производительность Р)
часть заказа (первый мастер за один день, или производительность Р1)
часть заказа (выполнит второй мастер за один день, или производительность Р2)
дней – время выполнения заказа вторым мастером
Ответ: за 15 дней.
Алгоритм решения задач на совместную работу
Т1 – время, за которое первый объект самостоятельно выполнит всю работу;
Т2 – время, за которое второй объект самостоятельно выполнит всю работу.
- Всю выполненную работа принимаем за единицу.
- Находим часть работы, выполненную первым объектом за единицу времени (производительность Р1 = 1 ꞉ Т1).
- Находим часть работы, выполненную вторым объектом за единицу времени (производительность Р2 = 1 ꞉ Т2).
- Находим часть работы, выполненную двумя (или более) объектами за единицу времени (общая производительность Р = Р1 + Р2).
- Находим время, затраченное на выполнение всей работы всеми объектами (Т = 1 ꞉ Р).
Тренировочные задания
№ 1. Путешественник планирует пройти маршрут за семь дней. Какую часть маршрута он пройдёт за один день? За три дня? За пять дней? Какая часть маршрута останется не пройденной за эти же промежутки времени? Используйте следующие значения ; ; ; ; .
За 1 день
Пройденная часть маршрута – ?
Осталось пройти – ?
За 3 дня
Пройденная часть маршрута – ?
Осталось пройти – ?
За 5 дней
Пройденная часть маршрута – ?
Осталось пройти – ?
Пройденная часть маршрута за день – это производительность путешественника. И находится она так же, как и другая производительность. Найдём часть маршрута, пройденную за один день:
Очевидно, что за три дня путешественник пройдет в три раза больше, чем за день. Рассчитаем эту часть пути:
Чтобы найти оставшуюся часть маршрута, надо из всего маршрута, то есть единицы, вычесть пройденную часть. Найдём, например, какую часть маршрута осталось пройти через три дня: .
Аналогично действуем и в остальных случаях.
Правильный ответ:
За 1 день
Пройденная часть маршрута –
Осталось пройти –
За 3 дня
Пройденная часть маршрута –
Осталось пройти –
За 5 дней
Пройденная часть маршрута –
Осталось пройти –
№ 2. Подберите к каждому действию правильное пояснение.
Два тракториста вспахали поле за 6 ч совместной работы. Первый тракторист мог бы один выполнить ту же работу за 10 ч. За сколько часов второй тракторист может вспахать поле?
Пояснения к действиям:
- Время выполнения всей работы вторым трактористом;
- Общая производительность обоих трактористов;
- Часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за один час.
Действия:
Рассмотрим первое действие. Единица делится на шесть, где единица – это вся работа, а шесть – время совместной работы. Значит, этим действием мы находим общую производительность обоих тракторов.
Во втором действии из общей производительности вычитаем . Так как первый тракторист выполняет работу за 10 часов, то – это производительность первого тракториста. Значит, мы находим производительность второго тракториста, то есть объём работы, который он выполнил за один час.
В третьем действии единица (вся работа) делится на производительность второго тракториста: таким образом, мы находим время выполнения всей работы вторым трактористом.
Правильный ответ:
– это общая производительность обоих трактористов.
– это часть всей работы, выполняемая вторым трактористом за 1 ч.
ч – это время выполнения всей работы вторым трактористом.
Математика
Тема. Формула работы.
Цели: 1. Познакомить с понятиями
«производительность», «время работы», «работа»; установить взаимосвязь между
этими величинами; вывести формулу работы А = в х с; соотнести данную формулу с
ранее изученными.
2.
Развивать навыки умножения на трехзначное число, сравнения и преобразования
именованных чисел, быстрого устного счета.
Формирование УУД
на уроке: 1.Познавательные,
развиваем умения извлекать информацию из схем, иллюстраций, текстов.
2. Регулятивные, прогнозировать предстоящую работу, осуществлять
познавательную и личностную рефлексию.
3. Личностные, формируем мотивацию к обучению и целенаправленной познавательной
деятельности
4. Коммуникативные, развиваем умение слушать и понимать других, умение
работать в паре
Ход урока.
1.Самоопределение
к деятельности. (1-2 мин.)
Начинается урок,
Он пойдет ребятам
впрок,
Постарайтесь все
понять,
Учитесь тайны
открывать,
Ответы полные
давать,
Чтоб за работу
получать
Только лишь
отметку «пять»!
2. Актуализация
знаний и мотивация. (4-5 мин)
— А зачем вообще нужны формулы?
(показывают, как решать похожие между собой задачи)
— А какие пословицы о работе или о труде вы знаете?
*Безделье-
мать пороков.
*Трудолюбив
как муравей.
*Не
спеши языком, торопись делом.
*Без
труда не вытащишь рыбку из пруда.
*Рабочие
руки не знают скуки.
*Дело
мастера боится.
*Всякое
умение трудом дается.
*Без
труда нет добра.
3 Постановка
учебной задачи.
-Вот песочные
часы, песок высыпается в нижнюю часть за 1 минуту. Перед вами карточки с
заданиями. Проведем «Блиц- турнир». Сколько заданий вы успеете выполнить за
одну минуту.
Проверьте
выполненные задания по доске и отметьте сколько заданий выполнено
— Минута закончилась.
Переверните листок, проверьте правильность решения. Поставьте + или – за
решение
-Сколько заданий за 1
минуту выполнили?
-А сколько бы вы
выполнили за 40 минут, если бы решали весь урок аналогичные задания?
( 3 х 40=120 (з.); 4
х 40= 160 (з) и т. д.)
-Что такое 40 минут?
(Время выполнения задания)
— Что обозначает
число 3? (Количество заданий, выполняемых за 1 минуту)
-А что обозначает
число 120? ( Количество заданий, которое можно выполнить за урок)
4. «Открытие
детьми нового знания.
— Как вы думаете, над
чем нам сегодня предстоит работать?
(будем учиться
находить время работы, кол- во заданий ,и всю работу)
— В математике
существуют понятия: (карточки)
работа, время
работы и производительность.
— А как вы
понимаете слово «производительность»?
( это объем работы,
выполненной за единицу времени)
-В случае с
заданиями на «Блиц- турнире» что будет являться производительностью труда?
(кол-во заданий,
которые выполнили за 1 мин.)
-Одинаковой ли
была производительность у каждого из вас?
(она разная)
—Когда умножали
производительность своего труда на время 40 мин., что вы получили?
(кол-во заданий,
которое можем выполнить за весь урок, объем всей работы)
—Почему объем
работы оказался разным у разных учеников?
(потому что разная
производительность труда)
Если объем всей
работы обозначим буквой А,
время работы – t,
а производительность
– буквой v,
то какую формулу
зависимости работы от времени и производительности вы можете записать?
Объем работы Время
работы Производительность
А t v
5. Первичное
закрепление (4-5мин)
-Откройте учебник с.
44
№1 — устно
— Проговаривание
вслух №2 (таблица на доске)
№3 (таблица на доске)
6. Самостоятельная
работа с проверкой по эталону.
(4-5мин)
№5
Анализ условия
задачи.
Поиск решения.
|
Эталон А = v 208 х 365 = 75920 (ав.) Ответ: 75920
|
7. Включение в
систему знаний и повторение. (7-8 мин.)
№4
— Предлагаю работу в парах. 1 в. Объясняет под а), 2 в. под б)
8. Рефлексия.
-Что нового узнали?
— Где можно использовать знание формулы?
— Что нужно еще?
Д/з Составить задачи на альбомных листах на нахождение работы,
производительности , времени в виде таблицы.
2-й способ решения – без таблицы
Как обойтись без составления таблицы?
Сразу составить уравнение.
Для этого определим, какая величина нам не нужна в уравнении, чтобы затем приравнять.
Производительность? Ее и надо найти. Работа? Она нам дана по условию, поэтому глупо от нее избавляться. Остается время: оно нам и неизвестно, и не нужно.
Слева от знака равно будем писать формулу времени для первого рабочего, а справа – для второго.
Напомню, что первый работал на ( displaystyle 2) часа дольше, поэтому к времени второго надо будет прибавить ( displaystyle 2):
( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2)
То же самое уравнение, что и в первом способе, только без таблицы и системы уравнений.
А теперь вспомним, что я говорил в сааамом начале: задачи на работу и на движение – это то же самое. Спорное заявление, да? Ну, давай проверим, есть ли аналогия.
Во-первых, сравним формулы:
| Движение | Работа |
| ( displaystyle v=frac{S}{t}) | ( displaystyle P=frac{A}{t}) |
| Скорость движения | Скорость выполнения работы, т.е. производительность |
| Пройденный путь | Выполненная работа |
| Потраченное на движение время | Потраченное на работу время |
Теперь рассмотрим задачу:
Пример №1
Расстояние ( displaystyle 112) км первый велосипедист проезжает на ( displaystyle 2) часа дольше, чем второй.
Сколько км в час проезжает первый велосипедист, если известно, что второй за час проезжает на один километр больше, чем первый?
Ничего не напоминает? Да я же просто заменил слова: «Заказ» на «расстояние», «деталь» на «километр», «рабочий» на «велосипедист», «выполняет» на «проезжает». Суть осталась той же. Даже решение будет точно таким же (разберу здесь только II способ – без таблицы).
Пусть скорость первого ( displaystyle x), тогда второго ( displaystyle x+1). Сколько времени едет первый? ( displaystyle frac{112}{x}). Сколько времени едет второй? ( displaystyle frac{112}{x+1}). На сколько время первого больше, чем второго? На ( displaystyle 2) часа:
( displaystyle frac{112}{x}=frac{112}{x+1}+2).
То же самое уравнение! Вот и получается, что работа и движение – одно и то же.
Как решать задачи на совместную работу
Задачи на совместную работу отличаются от обычных, представленных выше, тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).
Пример №2
Первая труба заполняет бассейн за ( displaystyle 6) часов, а вторая – за ( displaystyle 4).
За какое время они заполнят бассейн, работая вместе?
Решение
Во-первых, давай придумаем аналогию с движением.
Придумал?
Бассейн – это путь. Допустим, из ( displaystyle A) в ( displaystyle B). Итак, первый автомобиль проезжает путь ( displaystyle AB) за ( displaystyle 6) часов, второй – за ( displaystyle 4).
А теперь как сформулировать вопрос? За какое время они проедут весь путь, двигаясь вместе? Бред.
Если двигаться параллельно, то каждый проходит весь путь самостоятельно. А в какой ситуации нам важно, какой путь автомобили проходят в сумме? Все гениальное просто: если они движутся навстречу друг другу!
Тогда что нас просят найти? Время, через которое они встретятся.
Поразмысли немного над этой аналогией. Все понял? Тогда идем дальше.
Какова «скорость» (а по-настоящему, производительность) первого? Путь (работа) деленный на время: ( displaystyle {{P}_{1}}=frac{A}{{{t}_{1}}}=frac{A}{6}). А второго? ( displaystyle {{P}_{2}}=frac{A}{{{t}_{2}}}=frac{A}{4}).
С какой производительностью работают две трубы вместе (не забывай, это задачи на совместную работу)? Берем количество литров, которое налила в бассейн первая труба за один час, прибавляем количество литров, которое налила в бассейн вторая труба за один час, – именно столько наливают в бассейн обе трубы за один час. То есть производительности складываются:
( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}})
То же самое, что и относительная скорость: с какой скоростью второй автомобиль приближается к первому? Со скоростью, равной сумме скоростей: ( displaystyle v={{v}_{1}}+{{v}_{2}}).
Итак,
( displaystyle P={{P}_{1}}+{{P}_{2}}=frac{A}{6}+frac{A}{4}=frac{5A}{12}).
Тогда время, за которое с такой производительностью будет выполнена работа ( A):
( displaystyle t=frac{A}{P}=frac{A}{frac{5A}{12}}=frac{12}{5}=2,4) (ч)
Итак, правило:
При совместной работе производительности складываются
А теперь давай рассмотрим самый сложный пример, научившись решать который, ты сможешь с легкостью справится с любой задачей на ЕГЭ.
Пример 8
На изготовление ( displaystyle 600) деталей первый рабочий тратит на ( displaystyle 10) часов меньше, чем второй рабочий на изготовление ( displaystyle 500) таких же деталей. За какое время, работая совместно, они изготовят партию в ( displaystyle 1000) деталей, если известно, что за час первый рабочий делает на ( displaystyle 5) деталей больше?
Решение:
Давай определимся, что нам нужно найти? Нам нужно найти время, за которое рабочие изготовят ( displaystyle 1000) деталей, то есть: ( displaystyle frac{1000}{{{P}_{1}}+{{P}_{2}}}).
Значит, нужно найти ( displaystyle {{P}_{1}}) и ( displaystyle {{P}_{2}}).
Первый рабочий за час делает на ( displaystyle 5) деталей больше. Обозначим производительность первого рабочего за х, тогда производительность второго – ( displaystyle x-5).
( displaystyle 600) деталей первый рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{1}}) часов, а ( displaystyle 500) таких же деталей второй рабочий делает за ( displaystyle {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10) часов.
То есть: ( displaystyle {{t}_{1}}=frac{600}{x}, a {{t}_{2}}={{t}_{1}}+10=frac{500}{x-5}).
Приравняв ( displaystyle {{t}_{1}}), получаем уравнение:
Этапы урока
Ход урока
Формирование УУД,
ТОУУ
(технология оценивания учебных успехов)
I. Этап актуализации знаний и постановка проблемы.
1. Организационный момент.
Прозвенел звонок для нас! Мы вошли все дружно в класс. Посмотрели друг на друга, улыбнулись. Положительной энергией, хорошим настроением поделились мы друг с другом, и вперёд к новым открытиям.
2.Проблемная ситуация.
Ребята, преддверие Нового года во многих школах, заработали мастерские Деда Мороза по изготовлению новогодних украшений. Наша школа не стала исключением. Ученикам 1б класса потребовалась ваша помощь. Они просят вас изготовить им шаблоны для новогодних подделок. Ребята, поможем нашим первоклассникам.
(Каждой группе учитель выдаёт ножницы и бумагу для изготовления шаблонов).
Так как время на уроке у нас ограничено, я предлагаю на эту работу потратить 3 минуты.
(Проистечение 3 минут команды завершают работу, убирают рабочие места и посчитывают количество шаблонов)
— Ребята, давайте озвучим результаты своей работы. 1 команда вырезала — …. шаблонов, 2 команда — …. шаблонов, 3 команда — …. шаблонов.
— Какая команда больше вырезала шаблонов? А почему? (Они работали быстрее)
— Ребята, о тех, кто работает быстрее, говорят, что у них больше производительность.
— Определите тему сегодняшнего урока.
Познавательные УУД
Развиваем умения:
1. ориентироваться в своей системе знаний: самостоятельно предполагать, какая информация нужна для решения учебной задачи в один шаг;
2. отбирать необходимые для решения учебной задачи источники информации среди предложенных учителем словарей, энциклопедий, справочников;
3. добывать новые знания: извлекать информацию, представленную в разных формах (текст, таблица, схема, иллюстрация и др.);
4. перерабатывать полученную информацию: сравнивать и группировать математические факты и объекты;
5. делать выводы на основе обобщения умозаключений;
6. преобразовывать информацию из одной формы в другую;
7. переходить от условно-схематических моделей к тексту.
II. Тема урока
Тема урока: «Производительность. Взаимосвязь работы, времени и производительности».
Сформулируйте цель урока. Сегодня мы узнаем что такое производительность….
Сегодня мы будем учиться…устанавливать взаимосвязь между работой, временем и производительностью.
В ходе изучение темы урока вам необходимо будет создать ПАМЯТКУ, которая поможет в дальнейшей вашей работе на уроках математики. (Макет ПАМЯТКИ у каждого на столе)
Понятие производительность. Решение задач на нахождение производительности.
— Ребята, вам предлагается решить задачи на карточках. Обсудите в группах способ их решения, а затем озвучьте свои результаты.
Задачи для групп.
- Для украшения поселковой новогодней ёлки каждая команда сделала по 36 фонариков. Первая команда сделала эти фонарики за 2 часа, вторая команда за 3 часа, третья команда за 4 часа. Чья команда работала быстрее? Кто делал за час большее число фонариков?
36 : 2 = 18 (ф) – 1 команда
36 : 3 = 12 (ф) – 2 команда
36 : 4 = 9 (ф) — 3 команда
Проверка решения .
— Чья команда работала быстрее? (Первая)
— Почему? (Они на выполнения работы потратили меньше времени)
— Сколько фонариков сделал за час 1 команда?
-Как узнали?
-2 команда? -Как узнали?
-3 команда? -Как узнали?
— У какой команды производительность больше? Сделайте вывод. (Команда, которая тратит на работу меньше времени, работает с большей производительностью).
2. Для украшения класса 3 команды вырезали снежинки. Первая команда вырезала 40 снежинок за 8 минут, вторая команда 60 снежинок за 10 минут, а третья команда 50 снежинок за 5 минут. Как узнать, кто работал быстрее – первая, вторая или третья команда? У кого из них производительность больше?
Проверка решения .
- 40:8=5
- 60:10=6
- 50:5=10
— Ребята, для решения этих задач, мы использовали три понятия, назовите их мне.
— То, что делали для украшения, называется – работа (обозначается латинской буквой А). (Дети записывают это понятия в ПАМЯТКЕ).
— Всю работу вы выполняли за определенный отрезок… времени (обозначается латинской буквой t). (Записывается понятие время)
— Работу, которую вы выполняли за единицу времени, называется … производительность(обозначается латинской буквой v). (Запишите понятие).
— Как вы узнавали, кто работает быстрее? (Мы работу : на время).
— У какой команды производительность больше? (у 3)
— Что мы с вами делали? (снежинки)
-Сколько снежинок сделала 1 команда? (40)
— За какое время? (за 8 мин.).
-Чтобы найти производительность мы v = А : t (с/мин.)
— Какова производительность 1 команды – 5 с/мин., 2 команды – 6 с/мин., 3 команды – 10 с/мин.
Физкультминутка
Самостоятельная работа
Определите
А) производительность бульдозериста, если он за 2 часа очистил 180 м² площадки для катка;
Б) производительность кондитера, если он за 3 часа сделал 150 кг конфет;
В) производительность фасовщика, если он за 2 дня сделал 180 подарков.
– Какова цель задания?
– Удалось ли правильно решить поставленную задачу?
– Вы сделали всё правильно или были ошибки, недочёты?
– Вы решили всё сами или с чьей-то помощью?
– Какого уровня сложности было задание?
– Оцените свою работу.
Самопроверка, оценка своей работы. (*** — правильно выполнено 3 задания , ** — 2 задания, * — выполнено, верно, только 1 задание).
— Придумайте самостоятельно задачу, в которой надо найти производительность, если известны работа и время. Подумайте, в каких ещё единицах может быть измерена производительность.
Установление взаимосвязи между понятиями работа, время и производительность
На доске схема к задаче 1.стр.23 №3
На схеме единичный отрезок равен производительности снегоуборочной машины.
20 м/ч
? м
Сколько часов работала машина? Сколько метров она очистила от снега за 1 час? 2 часа? 3 часа? за всё это время?
Как узнать, чему равна выполненная работа, если известны производительность и время?
Выполненная работа равна производительности, умноженной на время работы.
А= v · t
Задача 2 (таблица)стр.23 №4
На швейной фабрике шьют новогодние костюмы. Производительность фабрики – 60 костюмов в день.
С помощью таблицы определите, сколько новогодних костюмов можно сшить за указанное время.
|
Производительность (к./д.) |
60 |
|
Время работы (д.) |
6 |
|
Выполненная работа (к.) |
? |
Проверка. Объясните своё решение.
Задача 3 (схема)стр.23 №5
На схеме единичный отрезок равен производительности бригады строителей снежного городка за 1 неделю. Через сколько недель бригада построит городок?
2 здания
t = ?
12 зданий
— Как узнать время работы, если известна работа и производительность?
Чтобы найти время работы, надо работу разделить на производительность.
t = А : v
Памятка
Производительность – v
Работа — А
Время — t
v = А : t
А= v · t
t = А : v
—
Коммуникативные УУД
Развиваем умения:
1. доносить свою позицию до других: оформлять свои мысли в устной и письменной речи (выражение решения учебной задачи в общепринятых формах) с учётом своих учебных речевых ситуаций;
2. доносить свою позицию до других: высказывать свою точку зрения и пытаться её обосновать, приводя аргументы;
3. слушать других, пытаться принимать другую точку зрения, быть готовым изменить свою точку зрения;
4. читать про себя тексты учебников и при этом ставить
вопросы к тексту и искать ответы, проверять себя,
отделять новое от известного,
выделять главное, составлять план;
5. договариваться с людьми: выполняя различные роли в группе, сотрудничать в совместном решении проблемы (задачи).
Личностные результаты
1. придерживаться этических норм общения и сотрудничества при совместной работе над учебной задачей;
2. в созданных совместно с педагогом на уроке ситуациях общения и сотрудничества, опираясь на общие для всех простые правила поведения, делать выбор, как себя вести.
Регулятивные УУД
Развиваем умения:
1. самостоятельно формулировать цели урока после предварительного обсуждения совместно с классом;
2. совместно с учителем обнаруживать и формулировать учебную проблему;
3. составлять план решения отдельной учебной задачи;
4. работая по плану, сверять
свои действия с целью и при необходимости исправлять ошибки с помощью класса;
III. Итог урока.
— В течение урока вы составили для себя ПАМЯТКУ, используя ее, расскажите, как связаны между собой производительность, время и работа.
— Подведем итог урока.
— Продолжите
— Сегодня на уроке я узнал …..
— Сегодня на уроке я научился …
Оцените сегодняшний урок (Поставьте снежинки: *** — отлично, ** — хорошо, * — ещё надо поработать)
|
Мои знания |
Работа всей группы |
Моя работа в группе |
Работа учителя |
5. в диалоге с учителем и другими учащимися учиться вырабатывать критерии оценки и определять степень успешности выполнения своей работы и работы всех, исходя из имеющихся критериев.
домашнее
задание.
Домашнее задание с.23 №6
Составьте задачи на нахождение производительности, работы, времени ваших родителей.