Как найти работу силы за промежуток времени

Содержание:

• Определение и формула работы
• Элементарная работа
• Работа силы на конечном участке траектории
• Единицы измерения работы
• Примеры решения задач

Определение и формула работы

Действие силы на материальную точку можно охарактеризовать не только с помощью изменения скорости движения тела, но при помощи
величины перемещения, которое совершает рассматриваемое тело под действием силы
($bar{F}$).

Элементарная работа

Элментарная реабота $(delta A)$ некоторой силы
$bar{F}$ определяется как скалярное произведение:

$$delta A=bar{F} cdot d bar{r}=F cdot d s cdot cos alpha(2)$$

$bar{r}$ радиус – вектор точки, к которой приложена сила,
$bar{r}$ —
элементарное перемещение точки по траектории,
$alpha$ – угол между векторами
$d s=|d bar{r}|$ и $d bar{r}$. Если
$alpha$ является тупым углом работа меньше нуля, если угол
$alpha$ острый, то работа положительная, при
$alpha=frac{pi}{2} delta A=0$

В декартовых координатах формула (2) имеет вид:

$$delta A=F_{x} d x+F_{y} d y+F_{z} d z(3)$$

где F_x,F_y,F_z – проекции вектора
$bar{F}$ на декартовы оси.

При рассмотрении работы силы, приложенной к материальной точке можно использовать формулу:

$$delta A=bar{F} bar{v} d t=bar{v} d bar{p}(4)$$

где $bar{v}$ – скорость материальной точки,
$bar{p}$ – импульс материальной точки.

Если на тело (механическую систему) действуют несколько сил одновременно, то элементарная работа, которую совершают эти силы над системой, равна:

$$delta A=sum_{i=1}^{n} delta A_{i}=sum_{i=1}^{n} bar{F}_{i} d bar{r}_{i}=sum_{i=1}^{n} bar{F}_{i} bar{v}_{i} d t(5)$$

где проводится суммирование элементарных работ всех сил, dt – малый промежуток времени, за который совершается элементарная работа
$delta$ над системой.

Результирующая работа внутренних сил, даже если твердое тело движется, равна нулю.

Пусть твердое тело вращается около неподвижной точки — начала координат (или неподвижной оси, которая проходит через эту точку).
В таком случае, элементарная работа всех внешних сил (допустим, что их число равно n), которые действуют на тело, равна:

$$delta A=bar{M} bar{omega} d t=bar{M} d bar{varphi}(6)$$

где $bar{M}$ – результирующий момент сил относительно точки вращения,
$d bar{varphi}$ – вектор элементарного поворота,
$bar{w}$ – мгновенная угловая скорость.

Работа силы на конечном участке траектории

Если сила выполняет работу по перемещению тела на конечном участке траектории его движения, то работа может быть найдена как:

$$A=int_{0}^{s} bar{F} cdot d bar{r}(7)$$

В том случае, если вектор силы – величина постоянная на всем отрезке перемещения, то:

$$A=F_{tau} cdot s$$

где $F_{tau}=F cos alpha$ – проекция силы на касательную к траектории.

Единицы измерения работы

Основной единицей измерения момента работы в системе СИ является: [A]=Дж=Н•м

В СГС: [A]=эрг=дин•см

1Дж=10⁷ эрг

Примеры решения задач

Читать дальше: Формула силы Ампера.

Сила, перемещающая тело, совершает работу. Работа – это разность энергии тела в начале процесса и в его конце. А мощность – это работа за одну секунду. Коэффициент полезного действия (КПД) – это дробное число. Максимальный КПД равен единице, однако, часто, КПД меньше единицы.

Работы силы, формула

Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу (рис. 1).

Работа силы — это скалярное произведение вектора силы на вектор перемещения.

Работу, совершаемую силой, можно посчитать, используя векторный или скалярный вид записи такой формулы:

Векторный вид записи

[ large boxed{ A = left( vec{F} , vec{S} right) }]

Для решения задач правую часть этой формулы удобно записывать в скалярном виде:

[ large boxed{ A = left| vec{F} right| cdot left| vec{S} right| cdot cos(alpha) }]

( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;

( S left( text{м} right) ) – перемещение тела под действием силы;

( alpha ) – угол между вектором силы и вектором перемещения тела;

Работу обозначают символом (A) и измеряют в Джоулях. Работа – это скалярная величина.

В случае, когда сила постоянная, формула позволяет рассчитать работу, совершенную силой за полное время ее действия.

Если сила изменяется со временем, то в каждый конкретный момент времени будем получать мгновенную работу. Эти, мгновенные значения для разных моментов времени будут различаться.

Рассмотрим несколько случаев, следующих из формулы:

1. Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная;
2. А если угол тупой — работа отрицательная, так как косинус тупого угла отрицательный;
3. Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!

Работа — разность кинетической энергии

Работу можно рассчитать еще одним способом — измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце процесса движения. Рассмотрим такой пример. Пусть автомобиль, движется по горизонтальной прямой и, при этом увеличивает свою скорость (рис. 2). Масса автомобиля 1000 кг. В начале его скорость равнялась 1 м/с. После разгона скорость автомобиля равна 10 метрам в секунду. Найдем работу, которую пришлось проделать, чтобы ускорить этот автомобиль.

Для этого посчитаем энергию движения автомобиля в начале и в конце разгона.

( E_{k1} left(text{Дж} right) )  – начальная кинетическая энергия машины;

( E_{k2} left(text{Дж} right) )  – конечная кинетическая энергия машины;

( m left( text{кг}right) ) – масса автомобиля;

( displaystyle v left( frac{text{м}}{c}right) ) – скорость, с которой машина движется.

Кинетическую энергию будем вычислять, используя формулу:

[ large E_{k} = m cdot frac{v^{2}}{2} ]

[ large E_{k1} = 1000 cdot frac{1^{2}}{2} = 500 left(text{Дж} right) ]

[ large E_{k2} = 1000 cdot frac{10^{2}}{2} = 50000 left(text{Дж} right) ]

Теперь найдем разницу кинетической энергии в конце и вначале разгона.

[ large boxed{ A = Delta E_{k} }]

[ large Delta E_{k} = E_{k2} — E_{k1} ]

[ large Delta E_{k} = 50000 – 500 = 49500 left(text{Дж} right) ]

Значит, работа, которую потребовалось совершить, чтобы разогнать машину массой 1000 кг от скорости 1 м/с до скорости 10 м/с, равняется 49500 Джоулям.

Примечание: Работа – это разность энергии в конце процесса и в его начале. Можно находить разность кинетической энергии, а можно — разность энергии потенциальной.

[ large boxed{ A = Delta E }]

Работа силы тяжести — разность потенциальной энергии

Рассмотрим теперь следующий пример. Яблоко массой 0,2 кг упало на садовый стол с ветки, находящейся на высоте 3 метра от поверхности земли. Столешница располагается на высоте 1 метр от поверхности (рис. 3). Найдем работу силы тяжести в этом процессе.

Посчитаем потенциальную энергию яблока до его падения и энергию яблока на столешнице.

( E_{p1} left(text{Дж} right) )  – начальная потенциальная энергия яблока;

( E_{p2} left(text{Дж} right) )  – конечная потенциальная энергия яблока;

Примечание: Работу можно рассчитать через разность потенциальной энергии тела.

Потенциальную энергию будем вычислять, используя формулу:

[ large E_{p} = m cdot g cdot  h]

( m left( text{кг}right) ) – масса яблока;

Величина ( displaystyle g approx 10 left(frac{text{м}}{c^{2}} right) ) – ускорение свободного падения.

( h left( text{м}right) ) – высота, на которой находится яблоко относительно поверхности земли.

Начальная высота яблока над поверхностью земли равна 3 метрам

[ large E_{p2} = 0,2 cdot 10 cdot  3 = 6 left(text{Дж} right) ]

Потенциальная энергия яблока на столе

[ large E_{p1} = 0,2 cdot 10 cdot  1 = 2 left(text{Дж} right) ]

Теперь найдем разницу потенциальной энергии яблока в конце падения и перед его началом.

[ large Delta E_{p} = E_{p2} — E_{p1} ]

[ large Delta E_{p} = 2 – 6 = — 4 left(text{Дж} right) ]

Важно помнить: Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!

Чтобы работа получилась положительной, в правой части формулы перед ( Delta  E_{p}) дополнительно допишем знак «минус».

[ large boxed{ A = — Delta E_{p} }]

Значит, работа, которую потребовалось совершить силе тяжести, чтобы яблоко массой 0,2 кг упало с высоты 3 м на высоту 1 метр, равняется 4 Джоулям.

Примечания:

1. Если тело падает на землю, работа силы тяжести положительна;
2. Когда мы поднимаем тело над землей, мы совершаем работу против силы тяжести. Наша работа при этом положительна, а работа силы тяжести будет отрицательной;
3. Сила тяжести относится к консервативным силам. Для консервативных сил перед разностью потенциальной энергии мы дописываем знак «минус»;
4. Работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой двигалось тело;
5. Работа для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени.

Рисунок 4 иллюстрирует факт, что для силы (displaystyle F_{text{тяж}}) работа зависит только от разности высот и не зависит от траектории, по которой тело двигалось.

Мощность

В механике мощность часто обозначают символами N или P и измеряют в Ваттах в честь шотландского изобретателя Джеймса Уатта.

Примечание: Символ (vec{N}) используется для обозначения силы реакции опоры — она измеряется в Ньютонах и является векторной величиной. Чтобы не возникло путаницы, мощность вместо N будем обозначать символом P. Символ P – первая буква в английском слове power – мощность.

Мощность – это работа, совершенная за одну секунду (энергия, затраченная за 1 сек).

Расчет работы осуществляем, используя любую из формул:

[ large A = Delta E_{k} ]

[ large A = Delta E_{p} ]

[ large A = F cdot S cdot cos(alpha) ]

Разделив эту работу на время, в течение которого она совершалась, получим мощность.

[ large boxed{ P = frac{A}{Delta t} }]

Если работа совершалась равными частями за одинаковые интервалы времени – мощность будет постоянной величиной.

Мощность переменная, когда в некоторые интервалы времени совершалось больше работы.

Еще одна формула для расчета мощности

Есть еще один способ расчета мощности, когда сила перемещает тело и при этом скорость тела не меняется:

[ large P = left( vec{F} , vec{v} right) ]

Формулу можно записать в скалярном виде:

[ large P = left| vec{F} right| cdot left| vec{v} right| cdot cos(alpha) ]

( F left( H right) ) – сила, перемещающая тело;

( displaystyle v left( frac{text{м}}{c} right) ) – скорость тела;

( alpha ) – угол между вектором силы и вектором скорости тела;

Когда векторы (vec{F}) и (vec{v}) параллельны, запись формулы упрощается:

[ large boxed{ P = F cdot v }]

Примечание: Такую формулу для расчета мощности можно получить из выражения для работы силы, разделив обе части этого выражения на время, в течение которого работа совершалась (а если точнее, найдя производную обеих частей уравнения).

КПД

КПД – коэффициент полезного действия. Обычно обозначают греческим символом (eta) «эта». Единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах.

Примечания:

1. Процент – это дробь, у которой в знаменателе число 100.
2. КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.

Вычисляют коэффициент (eta) для какого-либо устройства, механизма или процесса.

[ large boxed{ eta = frac{ A_{text{полезная}}}{ A_{text{вся}}} }]

(eta) – КПД;

( large A_{text{полезная}} left(text{Дж} right)) – полезная работа;

(large A_{text{вся}} left(text{Дж} right)) – вся затраченная для выполнения работы энергия;

Примечание: КПД часто меньше единицы, так как всегда есть потери энергии. Коэффициент полезного действия не может быть больше единицы, так как это противоречит закону сохранения энергии.

[ large boxed{ eta leq 1 }]

Величина (eta) является дробной величиной. Если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, полученная дробь будет равна исходной. Используя этот факт, можно вычислять КПД, используя мощности:

[ large boxed{ eta = frac{ P_{text{полезная}}}{ P_{text{вся затраченная}}} }]

Выводы

1. Сила, приложенная к телу и перемещающая его, совершает работу;
2. Когда угол между силой и перемещением острый, работа силы положительная, а если угол тупой — работа отрицательная; Если же угол прямой – работа равна нулю. Сила, перпендикулярная перемещению, работу не совершает!
3. Работу можно вычислить, измеряя кинетическую энергию тела в начале и в конце его движения;
4. Вычислить работу можно через разность потенциальной энергии тела в начальной и в конечной высотах над землей;
5. Когда тело падает на землю, его потенциальная энергия уменьшается. Сила тяжести при этом совершает положительную работу!
6. Мы совершаем работу против силы тяжести, когда поднимаем тело над землей. При этом наша работа положительная, а работа силы тяжести — отрицательная;
7. Сила тяжести — это консервативная сила. Поэтому, работа силы (displaystyle F_{text{тяж}}) не зависит от траектории, по которой двигалось тело, а зависит только от разности высот, в которых тело находилось в конечный и начальный моменты времени;
8. Мощность – это работа, совершенная за одну секунду, или затраченная за 1 сек. энергия;
9. Коэффициент полезного действия обозначают греческим символом (eta) «эта», единиц измерения не имеет, выражается либо десятичной дробью, либо в процентах;
10. КПД — это либо правильная дробь, или дробь, равная единице.
11. Можно вычислять КПД, подставляя в формулу работу, или мощности

1.5.
МЕХАНИЧЕСКАЯ РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ
ЭНЕРГИЯ

Понятие
энергии. Механическая энергия. Работа
— количественная мера изменения энергии.
Работа равнодействующей сил. Работа
сил в механике. Понятие мощности.
Кинетическая энергия как мера механического
движения. Связь изменения кинетической
энергии с работой внутренних и внешних
сил. Кинетическая
энергия системы в различных системах
отсчета. Теорема
Кенига.

Энергия
—
это
универсальная мера различных форм
движения и взаимодействия.
Механи́ческая
эне́ргия описывает
сумму потенциальной и кинетической
энергии,
имеющихся в компонентах механической
системы.
Механическая
энергия —
это энергия, связанная с движением
объекта или его положением, способность
совершать механическую работу.

Работа
силы —
это
количественная характеристика процесса
обмена энергией между взаимодействующими
телами.

Пусть
частица под действием силы
совершает
перемещение по некоторой траектории
1-2 (рис. 5.1). В общем случае сила
в
процессе

движения
частицы может изменяться как по модулю,
так и по направлению. Рассмотрим, как
показано на рис.5.1, элементарное
перемещение
,
в пределах которого силу
можно
считать постоянной.

Действие
силы
на
перемещении
характеризуют
величиной, равной скалярному произведению

,
которую называют элементарной
работой
силы
на
перемещении
.
Ее можно представить и в другом виде:

,

где
—
угол между векторами
и

—
элементарный путь, проекция вектора

на
векторобозначена

(рис.
5.1).

Итак,
элементарная работа силы
на
перемещении

Величина

—
алгебраическая: в зависимости от угла
между векторами силы
и

или
от знака проекции вектора силы на вектор
перемещения она может быть как
положительной, так и отрицательной и,
в частности, равной нулю, если
т.е.

.
Единицей измерения работы в вивтеме СИ
служит Джоуль, сокращенное обозначение
Дж.

Суммируя
(интегрируя) выражение (5.1)
по всем элементарным участкам пути от
точки 1 до точки 2, найдем работу силы

на
данном перемещении:

Выражению
(5.2)
можно придать наглядный геометрический
смысл. Изобразим график
как
функцию положения частицы на траектории.
Пусть, например, этот график имеет вид,
показанный на рис. 5.2. Из
этого рисунка

видно,
что элементарная работа A
численно равна площади заштрихованной
полоски, а работа А на пути от точки 1 до
точки 2 — площади фигуры, ограниченной
кривой, ординатами 1 и 2 и осью s.
При этом площадь фигуры над осью s
берется со знаком плюс (она соответствует
положительной работе), а площадь фигуры
под осью s
— со знаком минус (она соответствует
отрицательной работе).

Рассмотрим
примеры на вычисление работы. Работа
упругой силы
где

—
радиус-вектор частицы А относительно
точки О (рис. 5.3).

Переместим
частицу A,
на которую действует эта сила, по
произвольному пути из точки 1 в точку
2. Найдем сначала элементарную работу
силы
на
элементарном перемещении
:

.

Скалярное
произведение
где

проекция
вектора перемещения
на
вектор
.
Эта проекция равна приращению модуля
вектора
Поэтому

и

Теперь вычислим
работу данной силы на всем пути, т. е.
проинтегрируем последнее выражение от
точки 1 до точки 2:

Вычислим
работу гравитационной (или аналогичной
ей математически силы кулоновской)
силы. Пусть в начале вектора
(рис.
5.3) находится неподвижная точечная масса
(точечный заряд). Определим работу
гравитационной (кулоновской) силы при
перемещении частицы А из точки 1 в точку
2 по произвольному пути. Сила,
действующая на частицу А, может быть
представлена так:

где
параметр
для
гравитационного взаимодействия равен

,
а для кулоновского взаимодействия его
значение равно
.
Вычислим сначала
элементарную работу этой силы на
перемещении

Как
и в предыдущем случае, скалярное
произведение
поэтому

.

Работа же этой силы
на всем пути от точки 1 до точки 2

 Рассмотрим
теперь работу однородной силы тяжести

.
Запишем эту силу в виде
где
орт вертикальной оси z
с положительным направлением обозначен

(рис.5.4).
Элементарная
работа силы тяжести на перемещении

Скалярное
произведение
гдепроекция

на
орт
равная

—
приращению координаты z.
Поэтому выражение для работы приобретает
вид

Работа же данной
силы на всем пути от точки 1 до точки 2

Рассмотренные
силы интересны в том отношении, что их
работа, как видно из формул (5.3)
— (5.5),
не зависит от формы пути между точками
1 и 2, а зависит только от положения этих
точек. Эта весьма важная особенность
данных сил присуща, однако, не всем
силам. Например, сила трения этим
свойством не обладает: работа этой силы
зависит не только от положения начальной
и конечной точек, но и от формы пути
между ними.

До сих
пор речь шла о работе одной силы. Если
же на частицу в процессе движения
действуют несколько сил, результирующая
которых
то
нетрудно показать, что работа результирующей
силы на некотором перемещении равна
алгебраической сумме работ, совершаемых
каждой из сил в отдельности на том же
перемещении. Действительно,

Введем в
рассмотрение новую величину — мощность.
Она используется для характеристики
скорости, с которой совершается работа.
Мощность,
по определению, — это
работа, совершаемая силой за единицу
времени.
Если за промежуток времени
сила

совершает
работу
,
то мощность, развиваемая этой силой в
данный момент времени, есть
Учитывая,
что
,
получим

Единица мощности в
системе СИ — Ватт, сокращенное обозначение
Вт.

Таким
образом, мощность, развиваемая силой

,
равна скалярному произведению вектора
силы на вектор скорости, с которой
движется точка приложения данной силы.
Как и работа, мощность — величина
алгебраическая.

Зная
мощность силы
,
можно найти и работу, которую совершает
эта сила за промежуток времени t.
В самом деле, представив подынтегральное
выражение в (5.2)
в виде
получим

.

Следует
также обратить внимание на одно весьма
существенное обстоятельство. Когда
говорят о работе (или мощности), то
необходимо в каждом конкретном случае
четко указывать или представлять себе,
работа какой
именно силы (или
сил) имеется в виду. В ином случае, как
правило, неизбежны недоразумения.

Рассмотрим
понятие кинетической
энергии частицы.
Пусть частица массы т
движется под действием некоторой силы

(в
общем случае эта сила
может
быть результирующей нескольких сил).
Найдем элементарную работу, которую
совершает эта сила на элементарном
перемещении
.
Имея в виду, что
и

,
запишем

.

Скалярное
произведение
где

проекция
вектора
на
направление вектора
.
Эта проекция равна
—
приращению модуля вектора скорости.
Поэтому
и
элементарная работа

Отсюда
видно, что работа результирующей силы

идет
на приращение некоторой величины стоящей
в скобках, которую называют кинетической
энергией
частицы.

Таким образом,
приращение кинетической энергии частицы
при элементарном перемещении равно

 а при
конечном перемещении из точки 1 в точку
2

т. е.
приращение
кинетической энергии частицы на некотором
перемещении равно алгебраической сумме
работ всех сил,
действующих на частицу на том же
перемещении. Если
то

т.
е. кинетическая энергия частицы
увеличивается; если же
то

то
есть кинетическая энергия уменьшается.

Уравнение
(5.9)
можно представить и в другой форме,
поделив обе части его на соответствующий
промежуток времени dt:

Это значит,
что производная кинетической энергии
частицы по времени равна мощности N
результирующей силы,
действующей на частицу.

Теперь
введем понятие кинетической
энергии системы.
Рассмотрим
в некоторой системе отсчета произвольную
систему частиц. Пусть
частица
системы имеет в данный момент кинетическую
энергию
.
Приращение кинетической энергии каждой
частицы равно, согласно (5.9),
работе всех сил, действующих на эту
частицу:
Найдем
элементарную работу, которую совершают
все силы, действующие на все частицы
системы:

,

где
—
суммарная кинетическая энергия системы.
Заметим, что кинетическая энергия
системы — величина аддитивная:
она равна сумме кинетических энергий
отдельных частей системы независимо
от того, взаимодействуют они между собой
или нет.

Итак,
приращение
кинетической энергии системы равно
работе, которую совершают все силы,
действующие на все частицы системы.
При элементарном перемещении всех
частиц

 а при конечном
перемещении

Уравнение
(5.12)
можно представить и в другой форме,
поделив обе части его на соответствующий
промежуток времени dt.
Имея при этом в виду
что,
получим

т. е.
производная
кинетической энергии системы по времени
равна суммарной мощности всех сил,
действующих на все частицы системы,

Теорема
Кенига: кинетическую
энергию K
системы
частиц можно представить как сумму двух
слагаемых: а) кинетической энергии
mV_c²/2
воображаемой материальной точки, масса
которой равна массе всей системы, а
скорость совпадает со скоростью центра
масс; б) кинетической энергии K_отн
системы частиц, вычисленной в системе
центра масс.

8

Соседние файлы в папке физика лекцыи_1

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

jacksap — 30 октября, 2009 — 21:21

Энергетические характеристики движения вводятся на основе понятия механической работы или работы силы. Другими словами, работа — мера воздействия силы.

Определение механической работы

Работа А, совершаемая постоянной силой F→, — это физическая скалярная величина, равная произведению модулей силы и перемещения, умноженному на косинус угла α между векторами силы F→ и перемещением s→.

Данное определение рассматривается на рисунке 1.

Формула работы записывается как,

A=Fs cos α.

Работа – это скалярная величина. Единица измерения работы по системе СИ — Джоуль (Дж).

Джоуль равняется работе, совершаемой силой в 1 Н на перемещение 1 м по направлению действия силы.

Рисунок 1. Работа силы F→: A=Fs cos α=Fss

При проекции Fs→ силы F→ на направление перемещения s→ сила не остается постоянной, а вычисление работы для малых перемещений Δsi суммируется и производится по формуле:

A=∑∆Ai=∑Fsi∆si.

Данная сумма работы вычисляется из предела (Δsi→0), после чего переходит в интеграл.

Графическое изображение работы определяют из площади криволинейной фигуры, располагаемой под графиком Fs(x)рисунка 2.

Рисунок 2. Графическое определение работы ΔAi=FsiΔsi.

Примером силы, зависящей от координаты, считается сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука. Чтобы произвести растяжение пружины, необходимо приложить силу F→, модуль которой пропорционален удлинению пружины. Это видно на рисунке 3.

Рисунок 3. Растянутая пружина. Направление внешней силы F→ совпадает с направлением перемещения s→. Fs=kx, где k обозначает жесткость пружины.

F→упр=-F→

Зависимость модуля внешней силы от координат x можно изобразить на графике с помощью прямой линии.

Рисунок 4. Зависимость модуля внешней силы от координаты при растяжении пружины.

Из выше указанного рисунка возможно нахождение работы над внешней силой правого свободного конца пружины, задействовав площадь треугольника. Формула примет вид

A=kx22.

Данная формула применима для выражения работы, совершаемой внешней силой при сжатии пружины. Оба случая показывают, что сила упругости F→упр равняется работе внешней силы F→, но с противоположным знаком.

Если на тело действует несколько сил, то их общая работа равняется сумме всех работ, совершаемых над телом. Когда тело движется поступательно, точки приложения сил перемещаются одинаково, то есть общая работа всех сил будет равна работе равнодействующей приложенных сил.

Мощность

Мощностью называют работу силы, совершаемую в единицу времени.

Запись физической величины мощности, обозначаемой N, принимает вид отношения работы А к промежутку времени t совершаемой работы, то есть:

N=At.

Система СИ использует в качестве единицы мощности ватт (Вт). 1 Ватт — это мощность, которую совершает работу в 1 Дж за время 1 с.

Помимо Ватта, существуют и внесистемные единицы измерения мощности. Например, 1 лошадиная сила примерна равна 745 Ваттам.  

0 комментария

Рассмотрим несколько примеров решения задач на вычисление работы сил.

Задача 1. Гоночный автомобиль разгоняется на прямолинейной дороге под действием постоянной силы тяги, значение которой F = 5 кН (рис. 120). Определите работу этой силы при перемещении автомобиля на расстояние L =100 м.

Решение. Поскольку направление силы тяги и направление движения автомобиля совпадают, то

A = F · L = 5000 Н · 100 м = 500000 Дж = 500 кДж = 0,5 МДж.

Ответ: работа силы тяги равна 0,5 МДж.

Отметим, что сила тяги, действующая на автомобиль, создается в результате действия сил трения со стороны дороги на ведущие колеса в направлении движения автомобиля. У гоночных автомобилей с реактивным двигателем она создается непосредственно этим двигателем.

Задача 2. С поверхности Земли вертикально вверх брошен камень, как показано на рис. 121. Какую работу совершит сила тяжести к тому моменту, когда камень поднимется на высоту h = 45 м? Масса камня равна m = 1 кг. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с².

Решение. Поскольку сила тяжести и перемещение камня во время подъема направлены в противоположные стороны, работа силы тяжести будет величиной отрицательной. Как вы помните, модуль силы тяжести равен m · g. Следовательно, работа силы тяжести над камнем при его подъеме до заданной высоты отрицательна и равна

A = -(m · g) · h = -(1 кг · 10 м/с²) · 45 м = -10 Н · 45 м= -450Дж.

Ответ: работа силы тяжести равна -450 Дж.

Задача 3. Вычислите работу силы тяжести над камнем, брошенным вертикально вверх с поверхности Земли, за промежутки времени: а) от момента броска до момента подъема на максимальную высоту H = 60 м; б) от момента достижения максимальной высоты до момента, когда камень окажется на высоте h = 45 м; *в) от момента начала движения с поверхности Земли до момента, когда, опускаясь, камень второй раз за время полета окажется на высоте h = 45 м. Масса камня равна M = 1 кг. Модуль ускорения свободного падения считайте равным g = 10 м/с².

Решение.

а) Повторяя решение предыдущей задачи, получаем:

A_a = -(M · g) · H = -(1 кг · 10 м/с²) · 60 м = -10 Н · 60 м = -600 Дж.

б) При падении камня из верхней точки направления силы тяжести и движения камня совпадают. Поэтому на этом участке свободного падения работа силы тяжести положительна и равна

A_б = M · g · (H — h) = 10 Н · 15 м = 150 Дж.

*в) Работа силы тяжести в этом случае может быть определена как сумма работ силы тяжести при подъеме камня до верхней точки и при движении камня вниз из верхней точки до высоты h, т. е.

A_в = A_а + A_б = -(M · g) · H + M · g (H — h) = -M · g · h = -450 Дж.

Сопоставим этот результат с результатом из задачи 2. Можно заметить, что в обоих случаях начальные положения камня (поверхность Земли) и его конечные положения (45 м от поверхности Земли) совпадают. При этом сила тяжести совершает одну и ту же работу. Можно сделать следующий вывод.

Работа силы тяжести определяется разностью высот, на которых находилось тело в начальный и конечный моменты времени.

Задача 4. На движущуюся кабину лифта массой M в течение некоторого промежутка времени трос действовал с постоянной силой F. Найдите работу: а) силы F; б) силы тяжести; в) суммы этих сил над кабиной лифта, если за указанный промежуток времени она поднялась вертикально вверх на высоту H.

Решение. Пусть ось Х системы отсчета, связанной с Землей, направлена вертикально вверх, как показано на рис. 122. Тогда значение силы тяжести будет отрицательным, а значение силы F и изменение координаты кабины лифта — положительными.

Поэтому работа силы F положительна и равна

A_а = F · H,

а работа силы тяжести — отрицательна и равна

A_б = -M · g · H.

При рассмотрении законов динамики неоднократно подчеркивалось, что при одновременном действии на точечное тело нескольких сил его ускорение будет таким же, как и при действии на это тело одной силы, равной сумме всех действующих на него сил. Заменим действующие на кабину лифта силы одной суммарной. Значение этой силы равно сумме значений силы тяжести и силы F со стороны троса: F_с = F — M · g. Поэтому работа суммарной силы над кабиной при ее перемещении на высоту H равна

A_в = F_с · H = (F — M · g) · H = F · H — M · g · H = A_а + A_б.

При одновременном действии на тело нескольких сил их суммарная работа равна сумме работ этих сил.

Таким образом, для рассмотренного случая можно сделать следующие выводы.

1. При F > M · g суммарная работа этих сил положительна. Поэтому, если на кабину не действуют другие силы, она должна разгоняться, т. е. ее ускорение должно быть положительным. Это же заключение легко сделать и непосредственно из второго закона Ньютона.

2. При F = M · g суммарная сила равна нулю. Поэтому и суммарная работа этих сил равна нулю. Кабина будет двигаться без ускорения, т. е. ее скорость не будет изменяться.

3. Наконец, при F

Итоги

Если на точечное тело одновременно действуют несколько сил, их суммарная работа равна сумме работ этих сил.

Если суммарная работа всех действующих на тело сил положительна, то скорость этого тела увеличивается.

Если суммарная работа всех действующих на тело сил отрицательна, то скорость этого тела уменьшается.

Если суммарная работа всех действующих на тело сил равна нулю, то скорость этого тела остается неизменной.

Сказанное верно, если движение тела рассматривается в инерциальной системе отсчета.

Упражнения

1. Найдите работу силы трения, тормозящей грузовой автомобиль на отрезке пути L = 40 м, если модуль силы равен 25 кН.

2. Определите работу силы тяжести над камнем массой m = 5 кг при его падении с высоты h = 80 м на Землю.

3. Найдите работу пороховых газов над пулей к моменту ее вылета из ствола снайперской винтовки длиной L = 1 м. Считайте, что сила действия газов постоянна и ее модуль равен 5 кН. Винтовку во время выстрела удерживает неподвижной стоящий на Земле человек.

4. Определите работу силы тяжести над свободно падающим камнем массой m = 1 кг за промежуток времени, в течение которого скорость камня изменяется от v₀ = 0 до v_к = 30 м/с.

5. Мальчик действует на движущийся по горизонтальному полу ящик массой m = 20 кг силой, направленной в сторону движения ящика (рис. 123) и равной по модулю 50 Н. Коэффициент трения ящика о пол μ = 0,2. При этом за некоторое время ящик передвинулся на расстояние L = 2 м. Какую работу за это время совершат: а) мальчик; б) сила тяжести; в) сила трения; г) сумма всех сил, действующих на ящик? Увеличится или уменьшится скорость ящика за это время?