Экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы системы

Зависимость
показателей безотказности от времени
и их взаимная связь определяются законами
распределения наработки на отказ. Для
анализа надежности гидропривода наиболее
часто используют три закона распределения:
экспоненциальный, нормальный,
логарифмически-нормальный, изредка –
распределение Вейбула.

Экспоненциальный
закон распределения
является параметрическим и характеризуется
постоянной интенсивностью отказов

.

Функция
распределения вероятности отказа имеет
вид:

Вероятность
безотказной работы:

Достоинствами
экспоненциального закона являются
простота в практическом применении и
отсутствие громоздких вычислений. Он
нашел распространение в простых расчетах
надежности на стадиях разработки сложных
систем.

Рисунок
4 – Зависимость характеристик
экспоненциального закона распределения
от времени: а – зависимость плотности
распределения отказов от времени; б –
зависимость вероятности безотказной
работы от времени; в – зависимость
интенсивности отказов от времени

Распространение
также получила разновидность
экспоненциального закона распределения
– модель случайного выброса.

Модель
случайного выброса

Рисунок
5 – Модель случайного выброса

Если
принять, что допустимый уровень параметра

достаточно высоким и постоянным, а
также, что процесс изменения параметра

является стационарным, то время

до резкого достижения установленного
уровня подчиняется экспоненциальному
закону распределения.

Такая
модель применима для внезапных отказов
и случаев прочностных отказов.

Экспоненциальное
распределение целесообразно использовать
при сравнительной оценке надежности
нескольких вариантов схем проектируемых
гидроприводов, а также при предварительной
расчетной оценке безотказности
гидроприводов.

Остальные
законы распределения – нормальный,
логарифмически-нормальный и закон
Вейбула относят к так называемым
стареющим законам, у которых интенсивность
отказов монотонно возрастает с течением
времени. Это старение может быть связано
с накоплением повреждений, износом
трущихся пар, тепловым старением
материалов, накоплением усталостных
повреждений, коррозией и т.п. Все это
объясняется понятием постепенного
отказа.

Нормальный
закон распределения характерен
для постепенных отказов, имеющих место
при длительной эксплуатации или
длительных испытаниях. Время безотказной
работы вначале имеет низкую плотность
распределения, затем максимальную и
далее падающую.

Рисунок
6 — Зависимость характеристик нормального
закона распределения от времени: а –
зависимость плотности распределения
отказов от времени; б – зависимость
вероятности безотказной работы от
времени; в – зависимость интенсивности
отказов от времени

Логарифмически-нормальный
закон распределения характерен
для таких постепенных отказов, у которых
средняя скорость процесса накопления
повреждений с некоторого момента
начинает убывать, т.е. происходит
«упрочнение» изделия.

1.6 Показатели надежности невосстанавливаемых приводов

Невосстанавливаемым
называют такой элемент, который работает
до первого отказа, после чего заменяется
таким же элементом, т.к. его восстановление
в условиях эксплуатации невозможно.

Основным
показателем надежности таких элементов
служит вероятность безотказной работы.

Пусть
время работы невосстанавливаемого
элемента представляет собой случайную
величину

.
В момент времени

элемент начинает работать, а в момент
времени

происходит отказ, следовательно,

— время жизни элемента. Тогда показателем
надежности будет вероятность безотказной
работы в интервале времени

при

.

В
вероятностной форме вероятность
безотказной работы примет вид:

где

— вероятность того, что элемент, начав
работать в момент времени

,
не откажет в течение

;

—
случайная наработка элемента до первого
отказа.

В
статистической форме вероятность
безотказной работы примет вид:

где

— число элементов, оставшихся
работоспособными к моменту времени

;

—
общее число элементов, поставленных на
испытания;

—
число отказавших элементов к моменту
времени

.

При

(начало работы)

при

.

Показателем,
противоположным вероятности безотказной
работы, является функция распределения
вероятности отказа при работе в интервале
времени

,
которая выражается как:

Вероятность
безотказной работы в интервале

в статистической оценке имеет вид:

Вероятность
безотказной работы в интервале

в вероятностной форме имеет вид:

т.е.
это отношение числа отказавших элементов

в интервале времени

к произведению числа работоспособных
элементов

в момент времени

на
длительность интервала времени

.

Рисунок
7 – Зависимость вероятности безотказной
работы от времени

Вероятность
отказа в интервале

в вероятностной форме:

Вероятность
отказа в интервале

в статистической форме:

Плотность
распределения отказов в вероятностной
форме выражается как:

Плотность
распределения отказов в статистической
форме выражается как отношение числа
отказавших элементов

в интервале времени

к произведению числа работоспособных
элементов на интервале времени

:

Частота
отказов
представляет собой плотность распределения
вероятностей наработки между отказами
и определяется статистически. Она
является отношением количества отказавших
однотипных невосстанавливаемых систем
(элементов)

в течение рассматриваемого интервала
времени

к произведению первоначального количества
рассматриваемых систем

и времени

:

Интенсивностью
отказов
называется условная плотность вероятности
возникновения отказов невосстанавливаемого
элемента, определяемая для рассматриваемого
момента времени при условии, что до
этого времени отказа не было.

Интенсивность
отказов в вероятностной форме выражается
как:

Отсюда

Интенсивность
отказов для некоторого момента времени
t
при статистической оценке выражается
как отношение числа отказавших элементов

в интервале времени

к произведению числа работоспособных
элементов

,
оставшихся работоспособными к моменту
времени t
для работы в интервале

на длительность интервала

:

Интенсивность
отказов в отличие от плотности
распределения вероятностей отказов
относится к числу элементов

,
оставшихся работоспособными, а не к
общему числу элементов

.

Оценивая
только величину интенсивности отказов,
можно прийти к неправильному представлению
о надежности тех или иных элементов.
Может показаться, что с увеличением
частоты отказов уменьшается надежность
элементов системы и наоборот. Это
ошибочное представление, т.к. к концу
наблюдений число невосстанавливаемых
элементов в системе убывает.

Интенсивность
отказов характеризует надежность
изделий до их полного отказа. Все
отказавшие элементы в дальнейшем
испытании не участвуют, поэтому
интенсивность отказов можно использовать
лишь для оценки невосстанавливаемых
элементов (приводов).

Вероятность
безотказной работы

и интенсивность отказов

имеют однозначную связь. Функцию
распределения случайной величины
получить очень сложно, поэтому можно
получить сравнительно простые формулы
для вероятности безотказной работы и
вероятности отказов при некоторых видах
законов распределения. Для экспоненциального
закона распределения:

Для

или

экспоненциальная зависимость заменяется
первым членом разложения функции

Средняя
наработка на отказ
(среднее время безотказной работы) –
математическое ожидание времени работы
привода до первого отказа. В вероятностной
форме выражается как:

в
статистической форме:

где

– время жизни каждого из элементов;

—
число элементов, поставленных на
испытания.

Так
как невозможно осуществить практические
испытания всех элементов до отказа, то
в первом приближении при большом числе

среднюю наработку до отказа можно
определить выражением:

где

— время жизни каждого из отказавших
элементов;

—
время работы исправных

элементов к моменту последнего
наблюдаемого отказа или окончания
испытаний;

—
число элементов, поставленных на
испытания.

Наработка
на отказ
– отношение суммарной длительности
работы (наработки) изделия к числу
отказов, возникших за этот период, т.е.
средняя продолжительность безотказной
работы изделия.

Наработка
на отказ численно равна площади над
кривой

на участке времени

Для
экспоненциального закона надежности
наработка на отказ выражается как:

Дисперсия
времени безотказной работы
(время жизни) невосстанавливаемого
элемента в вероятностной форме выражается
как:

где

— среднее квадратичное отклонение
времени работы элемента до отказа от
среднего значения наработки до отказа

.

Дисперсия
времени безотказной работы в статистической
форме выражается как:

где

—
число элементов на испытаниях.

При
нормальном законе распределения
плотность распределения отказов
выражается как:

где

— оценка математического ожидания;

—
оценка среднего квадратичного отклонения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #



В статье проведена оценка показателей надежности безотказной работы системы. На примере показан расчет основных показателей средствами VBA.

Ключевые слова:



безотказная работа, доверительный интервал, испытания, число отказов, экспоненциальный закон.

Проведение испытаний новых изделий или системы организуется в соответствии с планом, в котором указывается: количество испытуемых изделий (

N

), будут ли заменяться отказавшие изделия (

B

) и когда испытания необходимо прекратить (прекращение испытаний после истечения Т часов или прекращение испытаний при возникновении

r —

го отказа).

Экспоненциальный закон представляет собой постоянную интенсивность отказов, т. к. определяется параметром

λ- const

при

δ

=1

.

, интенсивность отказов

λ(t)

≡

λ

. (1)

Если указано время работы каждого изделия от начала работы до его отказа, расчет суммарной наработки всех элементов

S

Б(

r

) и

S

Б(

Т

) вычисляется с использованием выражения (2).

(2)

Среднее время безотказной работы —

T

_ср


при экспоненциальном законе распределения равно величине, обратной ИО — 1/

λ

, т. е.:

(3)

-плотность распределения наработки(4)

=

∙(-ln

).

Вероятность восстановления

P


_B

(

t

):

Дисперсия времени безотказной работы:

(5)

Условная вероятность безотказной работы устройства на интервале времени

t

, после того как оно безотказно проработало на интервале

τ

.

(6)

Под доверительным интервалом понимается диапазон значений параметра, в пределах которого с некоторой вероятностью γ может находиться его истинное значение. Вероятность γ называется доверительной вероятностью или коэффициентом доверия. Для экспоненциального закона распределения отказов при плане испытаний

N

, Б,

r

установлено, что величина

U

= 2

S


_Б

(

r

)λ подчиняется χ

²

— распределению с 2

r

степенями свободы, где

S


_Б

(

r

) — суммарная наработка изделий, установленных на испытание (может быть определена из выражения (7), λ — истинное значение интенсивности отказа,

r —

число отказов (или разрядов, если отказы сгруппированы по разрядам) [1].

(7)

Вероятность того, что величина

U

находится в пределах χ

²


₁

и χ

²


₂

, равна

Интеграл

табулирован. Поэтому, задавшись значениями λ

_min

и λ

_max

и зная из обработки результатов эксперимента суммарную наработку

S


_Б

(

r

), находим χ

²


₁

и χ

²


₂

и по таблице квантилей распределения χ

²

–квадрат находим коэффициент доверия γ.

Квантилем случайной величиныχ




называется такое значение случайной величины

х


_р

, для которого с вероятностью 1–

р

можно утверждать, что полученное значение этой случайной величины попадет в интервал (–∞,

х


_р

).

Однако чаще стоит обратная задача: по коэффициенту доверия γ и суммарной наработке изделий при испытании

S

Б(

r

) требуется найти λmin и λmax.

Установлено, что доверительный интервал будет минимальным, если площади под кривой плотности распределения

f


<sub>2



r</sub>


в


интервалах [0, χ

²


₁

] и [χ

²


₂

, ∞] равны.

Тогда значения χ

²


₁

и χ

²


₂

ограничивают соответственно площади 0,5(1+γ) и 0,5(1 — γ).

Последовательность определения доверительных интервалов сводится к следующему. Задавшись коэффициентом доверия γ, определяем 0,5(1+γ) и 0,5(1 — γ) и, зная число степеней свободы 2

r

, по таблице квантилей χ

²

– распределения находим значения χ

²


₁

и χ

²


₂

. Доверительные оценки λ

_min

и λ

_max

могут быть определены из неравенства

(8)

Отсюда найдем

(9)

(10)

Рассмотрим пример расчета показателей, полученных при испытании 100 изделий (из строя вышло 34). Испытания были прекращены после истечения 100 часов.

Для построения статистического ряда время испытаний разобьем на равные интервалы (разряды) продолжительностью 10 часов и для каждого разряда проведем расчет.

Поскольку за время испытания отказало 34 % изделий, оценка интенсивности отказов подсчитывалась с использованием выражений для плана

N

,

Б

,

Т.

Доверительные границы:

0,2

Частота отказов определялась для каждого разряда из выражения

.

f

э, λэ,

Q

э(

t

) — параметры потока отказов при экспоненциальном законе распределения [1, 2].

Вероятность отказа подсчитывалась по формуле

.

Листинг программы расчета показателей при экспоненциальном законе распределения:

‘Вычислим 1 строку таблицы(3)============================= t

Строка = 3

For СтолбецТаблицы = 4 To КоличествоСтолбцовТаблицы + 3

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(Строка, СтолбецТаблицы).Value = Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(Строка — 1, СтолбецТаблицы).Value * ВременнойИнтервал

Next

‘Вычислим 2 строку таблицы(4)============================= n*

n = 0 ‘количество вышедших из строя элементов в периоде

СтрокаДанных = 4

СтрокаТаблицы = 4

СтолбецТаблицы = 4

КонтрольноеЗначениеВременногоИнтервала = ВременнойИнтервал

While Sheets(«Исходные данные»).Cells(СтрокаДанных, 1).Value <> «»

If КонтрольноеЗначениеВременногоИнтервала > ОбщееКоличествоЧасов Then GoTo конец

If Sheets(«Исходные данные»).Cells(СтрокаДанных, 1).Value <= КонтрольноеЗначениеВременногоИнтервала Then

n = n + 1

Else

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, СтолбецТаблицы).Value = n

КонтрольноеЗначениеВременногоИнтервала = КонтрольноеЗначениеВременногоИнтервала + ВременнойИнтервал

СтрокаДанных = СтрокаДанных — 1

СтолбецТаблицы = СтолбецТаблицы + 1

n = 0

End If

СтрокаДанных = СтрокаДанных + 1

Wend

If n <> 0 Then Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, СтолбецТаблицы).Value = n

конец:

‘Вычислим 7 строку таблицы(9)=============================ЛямбдаЭ x 10^3

СтрокаТаблицы = 9

СтолбецТаблицы = 4

СуммаВышедшихЗаВсеВремя = 0

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

СуммаВышедшихЗаВсеВремя = СуммаВышедшихЗаВсеВремя + Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(4, n).Value

Next

СтолбецТаблицы = 4

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, СтолбецТаблицы).Value = Round((1 / 100 * Log(КоличествоЭлементов / (КоличествоЭлементов — СуммаВышедшихЗаВсеВремя))) * 1000, 2)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).MergeCells = True

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

‘Вычислим 8 строку таблицы(10)=============================fэ х 10^3

СтрокаТаблицы = 10

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Round(((Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(9, СтолбецТаблицы).Value / 1000) * Exp(-Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(2, n).Value / 1000 * Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(9, СтолбецТаблицы).Value * ВременнойИнтервал) * 1000), 2)

Next

‘Вычислим 9 строку таблицы(11)=============================Рэ

СтрокаТаблицы = 11

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Round(Exp(-Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(9, СтолбецТаблицы).Value * Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(3, n).Value / 1000), 2)

Next

‘Вычислим 10 строку таблицы(12)=============================Qэ(t)

СтрокаТаблицы = 12

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = 1 — Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(11, n).Value

Next

Результаты вычислений представлены в таблице Excel (Таблица 1).

Таблица 1

Результаты расчета основных показателей испытаний

Параметр	Разряды
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
n*	5	3	5	2	2	3	3	3	5	3
λэ	4,16
fэ	3,99	3,83	3,67	3,52	3,38	3,24	3,11	2,98	2,86	2,74
Рэ	0,96	0,92	0,88	0,85	0,81	0,78	0,75	0,72	0,69	0,66
Qэ	0,04	0,08	0,12	0,15	0,19	0,22	0,25	0,28	0,31	0,34

Для определения доверительных интервалов при экспоненциальном законе распределения по таблице квантилей χ

²

— квадрат распределений. найдем

(20) и

(20) [3]:

,

.

Результаты расчета fэ(t) представлены на рис 1.

Рис. 1. Гистограмма частоты отказов при экспоненциальном законе распределения

Поскольку в задаче задано время работы каждого изделия до отказа, суммарная наработка всех изделий

S


_Б

(

T

) подсчитывается по формуле (11)

S


_Б

(

T

) =

(11)

S


_Б

(

T

) = 8276 ч.

Литература:

1. Коваленко, В. Н., Новиков, А. А. Надежность устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи. учеб. пособие. — Екатеринбург: УрГУПС, 1995. — с. 78.
2. Основы теории надежности автоматических систем управления: учеб. пособие для вузов / Л. П. Глазунов, В. П. Грабовецкий, О. В. Щербаков. — Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд-ние, 1984. — 208 с.
3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. — М.: Наука, 1980. — 976 с.

Основные термины (генерируются автоматически): строка таблицы, коэффициент доверия, безотказная работа, доверительный интервал, распределение, суммарная наработка, VBA, время работы, случайная величина, суммарная наработка изделий.

Похожие статьи

Экспоненциальный закон

При экспоненциальном законе распреде­ления времени возникновения отказов интенсивность отказов является ве­личиной постоянной. Зависимости между основными количественными характери­стиками надежности будут выражены формулами:

                                                                   ^(3.1)

Основные количественные характеристики надежности для экспонен­циального закона приведены на рис. 3.1. Условие λ(f) = const означат, что средняя частота отказов и среднее время между соседними отказами соответственно равны интенсивности отказов и среднему времени безотказной работы аппаратуры, т.е.:

              (3.2)

Для экспоненциального закона распределения времени возникновения отказов средняя частота отказов превращается в интенсивность отказов, а среднее время между соседними отказами  –  в среднее время безотказной ра­боты. Основными же характеристиками надежности являются:

1) вероятность безотказной работы P(t);

2) интенсивность отказов l(t);

3) частота отказов α(t);

4) среднее время безотказной работы Т.

В случае экспоненциального закона эти характеристики пригодны для оценки надежности как аппаратуры разового использования, так и аппара­туры длительного использования, работающей в режиме смены отказавших элементов.

Из выражения для вероятности безотказной работы (3.1) видно, что она уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. Выражение

 

часто называют экспоненциальным законом надежности.

Выясним смысл среднего времени безотказной работы. Очевидно, что при t = Т вероятность безотказной работы будет иметь значение:

.

Из этого выражения видно, что при экспоненциальном законе надеж­ности среднее время безотказной работы – это время, в течение которого ве­роятность безотказной работы уменьшается в е раз.

Коэффициенты надежности для экспоненциального закона распреде­ления выражаются следующими формулами:

коэффициент готовности

;

коэффициент вынужденного простоя

;

коэффициент профилактики

;

частота профилактики

;

коэффициент отказов элементов

;

относительный коэффициент отказов элементов

;

коэффициент расхода элементов

.

Здесь l_c – интенсивность отказов системы, а l_i – интенсив­ность отказов элементов. Эти выражения становятся очевидными, если учесть, что в данном случае средняя частота отказов равна интенсивности отказов и        .

Выясним физический смысл коэффициентов, учитывающих вынуж­денный простой аппаратуры, для чего вычислим вероятность того, что в любой момент времени аппаратура будет исправна, если потоки отказов и восстановления простейшие.

Рассмотрим вначале промежуток времени от t до t + Dt, и вычислим вероятность того, что в конце этого промежутка аппаратура будет исправна.

Обозначим:

P(t + Dt) – вероятность того, что в конце промежутка t + Dt аппаратура будет исправна;

P(t) – вероятность того, что в момент времени t аппаратура будет исправна;

P₁(t) – вероятность того, что в момент времени t аппаратура находится в состоянии ремонта;

l – интенсивность отказов;

m_в – интенсивность восстановления.

Очевидно, что в конце промежутка Δt в силу ординарности потока отказов система будет исправна при следующих условиях:

а) в момент времени t аппаратура будет исправна и за промежуток Dt отказов не возникло;

б) в момент времени t аппаратура находилась в ремонте, но в течение Dt была восстановлена.

Предполагая, что промежуток времени Δt мал и ограничиваясь первыми двумя членами разложения показательной функции в ряд, можно для вероятностей событий а и б записать:

                               (3.3)

Тогда вероятность безотказной работы аппаратуры на основании теоремы о полной вероятности будет:

или после очевидных преобразований

.

Устремляя Δt к нулю и переходя к пределу, получим:

.                                                  (3.4)

Так как состояния а и б образуют полную группу несовместимых событий, то

P_i(t) = l – P(t).

Подставляя это значение в формулу (3.4), получим:

                                             (3.5)

Предполагая, что при t = 0 система исправна, будем иметь Р(0) = 1, P₁(0) = 0. При этих начальных условиях решение дифференциального уравнения (3.5) имеет вид:

                                                  (3.6)

Учитывая, что

,

получим

.                                       (3.7)

Выражение (3.7) позволяет уяснить физический смысл коэффициентов К_г, К_п, К_пр.

Из выражения (3.7) видно, что при t = 0     P(t) = l, а при t = ∞   P(t) = K_г. Отсюда следует, что коэффициент готовности показывает вероятность исправного состояния системы в любой момент времени t при установившихся условиях эксплуатации. В начале же эксплуатации P(t) < K_r даже при простейших потоках отказов и восстановления.

Закон Рэлея

При распределении времени возникновения отказов по закону Рэлея частота отказов определяется из выражения:

                                                      (3.8)

где а – параметр распределения Рэлея.

Тогда вероятность безотказной работы, опасность отказов и среднее время безотказной работы будут выражаться следующими формулами:

;                             (3.9)

Зависимости основных количественных характеристик надежности для закона Рэлея приведены на рис. 3.2.

Из формул (3.9) видно, что интенсивность отказов растет линейно с течением времени. Это означает, что при распределении времени возникновения отказов по закону Рэлея происходит интенсивное старение аппаратуры, и количество отказов не удовлетворяет условиям стационарного случайного процесса. При этом с течением времени вероятность безотказной работы уменьшается значительно интенсивнее, чем при экспоненциальном законе.

Из выражения (3.9) для P(t) и рис. 3.2. также видно, что в области малых t  интенсивность безотказной работы системы уменьшается с течением времени медленнее, чем при экспоненциальном законе. Это означает, что сложные автоматические системы, предназначенные для малого времени непрерывной работы, целесообразно строить на элементах, имеющих рэлеевский закон распределения между отказами. Условие целесообразности применения таких элементов по сравнению с элементами, поток отказов которых подчиняется экспоненциальному распределению, аналитически можно записать в виде следующего неравенства:

.                                                     (3.10)

Это условие вытекает из сравнения выражений для вероятности безотказной работы при указанных законах распределения времени возникновения отказов.

В области больших значений t вероятность безотказной работы систе­мы с рэлеевским законом распределения уменьшается с течением времени значительно быстрее, чем при экспоненциальном. Это означает, что сконст­руировать на данных элементах высоконадежную систему, предназначен­ную для длительной непрерывной работы, затруднительно.

Найти аналитическое выражение для средней частоты отказов при распределении времени возникновения отказов по закону Рэлея весьма сложно. Поэтому оценим α(t) приближенно.

Так как Р(t) является возрастающей функцией, то средняя частота от­казов располагается между интенсивностью отказов l(t) и частотой отказов α(t). Кроме того,

l(0) = α(0) = w(0) =0.

В области больших значений t средняя частота отказов асимптотиче­ски стремится к среднему времени безотказной работы, т.е.:

                                              (3.11)

Тогда значение t, при котором происходит излом, будет равно:

.

Предполагая, что средняя частота представляет собой ломаную, сов­падающую в области малых значений t с интенсивностью отказов, а в облас­ти больших значений t с прямой α(t), можно записать:

 

Зависимость  w(t) приведена на рис. 3.2. Коэффициенты надежности для случаев:

              и                    

приближенно могут быть выражены соответственно формулами:

коэффициент готовности

коэффициент вынужденного простоя

;

коэффициент профилактики

;

частота профилактики

коэффициент отказов элементов

;

относительный коэффициент отказов элементов

;

коэффициент расхода элементов

.

Здесь s_с – параметр распределения отказов системы, s_i – параметр распределения отказов элементов.

Из выражений для коэффициентов надежности видно, что в данном случае они являются функциями времени.

Исключение составляют лишь ко­эффициенты отказов элементов.

Нормальное распределение

Длительность безотказной работы аппа­ратуры не может быть отрицательной. Поэтому количественные характери­стики надежности имеет смысл рассматривать только при усеченном нор­мальном законе распределения времени между отказами.

Частота отказов в этом случае определяется из выражения:

.                                                (3.12)

Здесь T₁, s² – среднее значение и дисперсия времени между отказами в нормальном законе соответственно, С  –  постоянная усеченного нормального распределения, которая выбирается из условия:

,

и равна

.

Тогда вероятность безотказной работы можно представить в виде:

                                         (3.13)

где  – нормальный закон распределения времени между отказами.

Подставляя в выражение (3.13) значение постоянной С и вычисленный интеграл, получим следующую формулу для вероятности безотказной ра­боты:

.

Интенсивность отказов в данном случае будет равна:

                                       (3.15)

Вычислим среднее время безотказной работы. Для рассматриваемого случая:

.

Обозначим:

,

тогда

.

Вычислим первый интеграл вероятности, пользуясь известным соотношением:

,

тогда получим:

.

Второй интеграл будет иметь вид:

.

Подставляя вычисленные интегралы в выражение для Т и делая элементарные преобразования, получим выражение среднего времени безотказной работы в виде:

.

Основные характеристики надежности для нормального закона распределения между отказами имеют вид (рис. 3.3).

Из рисунка 3.3 видно, что интенсивность отказов начинается с нуля и с течением времени сильно растет. Это означает, что поток отказов не является стационарным и происходит старение элементов. В области малых значений t старение элементов оказывает несущественное влияние на надежность, и поэтому вероятность безотказной работы системы уменьшается незначительно. При длительной эксплуатации системы, отказы элементов которой имеют нормальное распределение, ее надежность быстро снижается, и поэтому вероятность безотказной работы быстро падает.

Гамма-распределение

При этом распределении частота отказов выражается формулой:

,                                                (3.16)

где l₀ – параметр гамма-распределения.

Тогда при целом и положи­тельном k вероятность безотказной работы, опасность отказов и среднее время безотказной работы выражается следующими формулами:

                  (3.17)

Параметр гамма-распределения характеризует асимметрию и эксцесс гамма-распределе­ния. В зависимости от его значения существенно изменится вид основных количественных характеристик надёжности. Зависимости a(t), l(t) и P(t) приведены на рис. 3.4. Из рисунка и выражения (3.16) видно, что при k = l гамма-распределение превращается в экспоненциальное. При k > l интенсивность отказов возрастает, а при k < l убывает.

Гамма-распределению удовлетворяет время возникновения отказов резервированных систем с включением резерва по способу замещения и при условии, что потоки отказов основной системы и всех резервных являются простейшими. В этом случае параметр распределения k равен числу всех систем (основной и резервных), т.е.

k = m + l.

Гамма-распределение также может быть характеристикой времени возникновения отказов сложных электромеханических систем, если имеют место мгновенные отказы элементов на начальной стадии эксплуатации или в процессе обработки системы, т.е. при k < l гамма-распределение является удобной характеристикой времени возникновения отказов аппаратуры в течение времени её приработки.

Распределение Вейбулла

При распределении Вейбулла частота отказов задается выражением:

.                                              (3.18)

Параметр l₀ определяет масштаб, а параметр k – асимметрию и эксцесс распределения. Для распределения Вейбулла основные количественные характеристики надёжности выражаются следующими формулами:

;

;

.

Зависимости основных количественных характеристик надёж­ности от времени приведены на рис. 3.5. Из рисунков и выражения (3.18) видно, что при k = l распределение Вейбулла превращается в экспо­ненциальное распределение. При k > l интенсивность отказов начина­ется с нуля и с течением времени возрастает. При k < l интенсивность отказов начинается с +∞ и в области больших t стремится к нулю.

Это означает, что распределение Вейбулла так же, как и гамма-распределение, по-видимому, может быть использовано в качестве характеристики надёжности ап­паратуры в течение времени её приработки. Это распределение на­блюдается для некоторых механических деталей и, в частности, при­меняется при изучении надёжности шарикоподшипников. Распределение Вейбулла с параметром k = 1,4 – 1,9 наблюдается у неко­торых типов электронных ламп. Оно также может быть использовано при ускоренных испытаниях элементов в форсированных режимах.

Для распределения Вейбулла так же, как и для гамма-распределения, не удаётся в общем виде найти выражение для средней частоты отказов, что затрудняет анализ системы по коэффициентам надёжности, так как приходится решать интегральное уравнение Вольтерра приближенными способами.

Суперпозиция распределений

Рассмотренные законы распределения времени возникновения отказов могут в большинстве случаев характеризовать надёжность сложной системы лишь на ограниченных участках времени её работы. Так, например, на участке приработки время возникновения отказов может подчиняться гамма-распределению или распределению Вейбулла, на участке нормальной работы – экспоненциальному, а на участке старения – нормальному распределению. В связи с этим для оценки надёжности сложной систе­мы на длительном участке её эксплуатации целесообразно использо­вать суперпозицию рассмотренных законов распределения времени между отказами.

В качестве примера рассмотрим суперпозицию двух экспонен­циальных законов.

Пусть

,

где l₁ < l₂, C₁, C₂ – постоянные, определяемые из условия С₁ + С₂ = 1 и зависящие от соотношения между l₁ и l₂.

Для этого случая основные количественные характеристики надежности будут иметь вид:

;

;

.

Так как l₂ > l₁, то в области больших значений t члены в выраже­нии для интенсивности отказов, имеющие множителем е^—l2t, близки к нулю и тогда l(t) » l₁. При малых значениях t            e^—l1t        и         е^—l2t близки к единице, и

l(t) = C₁l₁ + C₂l₂ > l₁.

Таким образом, интенсивность отказов с течением времени уменьшается:

от          l(t) =C₁l₁ + C₂l₂       при t = 0

до          l₁                                при t ® ∞.

Зависимость l(t) для суперпозиции двух экспоненциальных за­конов при l₂ < l₁ показана на рисунке (3.6.). На рисунке видно, что за­кон распределения, представляющий собой суперпозицию двух экспоненциальных законов, может характеризовать на

дёжность сложной системы с учётом периода приработки. Такой же вывод можно было бы получить при суперпозиции экспоненциального закона с гамма-распределением и распределением Вейбулла при k < l .

Влияние постепенных отказов может быть уточнено при суперпозиции экспоненциального и усеченного нормального законов распределения. В этом случае частота отказов представляется в следующем виде:

,

где С₁ и С₂ – коэффициенты, учитывающие степень влияния внезапных и постепенных отказов.

Тогда основные количественные характеристики надёжности можно представить в виде следующих соотношений:

;

.

Зависимость λ(t) для различных С₁и С₂ показаны на рис. (3.7.). Из рисунка видно, что в области малых значений t интенсивность от­казов – величина постоянная, а в области больших t она возрастает, что свидетельствует о появлении старения аппаратуры и, как следст­вие, возникновении постепенных отказов.