Частота отказов при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы

Зависимость
показателей безотказности от времени
и их взаимная связь определяются законами
распределения наработки на отказ. Для
анализа надежности гидропривода наиболее
часто используют три закона распределения:
экспоненциальный, нормальный,
логарифмически-нормальный, изредка –
распределение Вейбула.

Экспоненциальный
закон распределения
является параметрическим и характеризуется
постоянной интенсивностью отказов

.

Функция
распределения вероятности отказа имеет
вид:

Вероятность
безотказной работы:

Достоинствами
экспоненциального закона являются
простота в практическом применении и
отсутствие громоздких вычислений. Он
нашел распространение в простых расчетах
надежности на стадиях разработки сложных
систем.

Рисунок
4 – Зависимость характеристик
экспоненциального закона распределения
от времени: а – зависимость плотности
распределения отказов от времени; б –
зависимость вероятности безотказной
работы от времени; в – зависимость
интенсивности отказов от времени

Распространение
также получила разновидность
экспоненциального закона распределения
– модель случайного выброса.

Модель
случайного выброса

Рисунок
5 – Модель случайного выброса

Если
принять, что допустимый уровень параметра

достаточно высоким и постоянным, а
также, что процесс изменения параметра

является стационарным, то время

до резкого достижения установленного
уровня подчиняется экспоненциальному
закону распределения.

Такая
модель применима для внезапных отказов
и случаев прочностных отказов.

Экспоненциальное
распределение целесообразно использовать
при сравнительной оценке надежности
нескольких вариантов схем проектируемых
гидроприводов, а также при предварительной
расчетной оценке безотказности
гидроприводов.

Остальные
законы распределения – нормальный,
логарифмически-нормальный и закон
Вейбула относят к так называемым
стареющим законам, у которых интенсивность
отказов монотонно возрастает с течением
времени. Это старение может быть связано
с накоплением повреждений, износом
трущихся пар, тепловым старением
материалов, накоплением усталостных
повреждений, коррозией и т.п. Все это
объясняется понятием постепенного
отказа.

Нормальный
закон распределения характерен
для постепенных отказов, имеющих место
при длительной эксплуатации или
длительных испытаниях. Время безотказной
работы вначале имеет низкую плотность
распределения, затем максимальную и
далее падающую.

Рисунок
6 — Зависимость характеристик нормального
закона распределения от времени: а –
зависимость плотности распределения
отказов от времени; б – зависимость
вероятности безотказной работы от
времени; в – зависимость интенсивности
отказов от времени

Логарифмически-нормальный
закон распределения характерен
для таких постепенных отказов, у которых
средняя скорость процесса накопления
повреждений с некоторого момента
начинает убывать, т.е. происходит
«упрочнение» изделия.

1.6 Показатели надежности невосстанавливаемых приводов

Невосстанавливаемым
называют такой элемент, который работает
до первого отказа, после чего заменяется
таким же элементом, т.к. его восстановление
в условиях эксплуатации невозможно.

Основным
показателем надежности таких элементов
служит вероятность безотказной работы.

Пусть
время работы невосстанавливаемого
элемента представляет собой случайную
величину

.
В момент времени

элемент начинает работать, а в момент
времени

происходит отказ, следовательно,

— время жизни элемента. Тогда показателем
надежности будет вероятность безотказной
работы в интервале времени

при

.

В
вероятностной форме вероятность
безотказной работы примет вид:

где

— вероятность того, что элемент, начав
работать в момент времени

,
не откажет в течение

;

—
случайная наработка элемента до первого
отказа.

В
статистической форме вероятность
безотказной работы примет вид:

где

— число элементов, оставшихся
работоспособными к моменту времени

;

—
общее число элементов, поставленных на
испытания;

—
число отказавших элементов к моменту
времени

.

При

(начало работы)

при

.

Показателем,
противоположным вероятности безотказной
работы, является функция распределения
вероятности отказа при работе в интервале
времени

,
которая выражается как:

Вероятность
безотказной работы в интервале

в статистической оценке имеет вид:

Вероятность
безотказной работы в интервале

в вероятностной форме имеет вид:

т.е.
это отношение числа отказавших элементов

в интервале времени

к произведению числа работоспособных
элементов

в момент времени

на
длительность интервала времени

.

Рисунок
7 – Зависимость вероятности безотказной
работы от времени

Вероятность
отказа в интервале

в вероятностной форме:

Вероятность
отказа в интервале

в статистической форме:

Плотность
распределения отказов в вероятностной
форме выражается как:

Плотность
распределения отказов в статистической
форме выражается как отношение числа
отказавших элементов

в интервале времени

к произведению числа работоспособных
элементов на интервале времени

:

Частота
отказов
представляет собой плотность распределения
вероятностей наработки между отказами
и определяется статистически. Она
является отношением количества отказавших
однотипных невосстанавливаемых систем
(элементов)

в течение рассматриваемого интервала
времени

к произведению первоначального количества
рассматриваемых систем

и времени

:

Интенсивностью
отказов
называется условная плотность вероятности
возникновения отказов невосстанавливаемого
элемента, определяемая для рассматриваемого
момента времени при условии, что до
этого времени отказа не было.

Интенсивность
отказов в вероятностной форме выражается
как:

Отсюда

Интенсивность
отказов для некоторого момента времени
t
при статистической оценке выражается
как отношение числа отказавших элементов

в интервале времени

к произведению числа работоспособных
элементов

,
оставшихся работоспособными к моменту
времени t
для работы в интервале

на длительность интервала

:

Интенсивность
отказов в отличие от плотности
распределения вероятностей отказов
относится к числу элементов

,
оставшихся работоспособными, а не к
общему числу элементов

.

Оценивая
только величину интенсивности отказов,
можно прийти к неправильному представлению
о надежности тех или иных элементов.
Может показаться, что с увеличением
частоты отказов уменьшается надежность
элементов системы и наоборот. Это
ошибочное представление, т.к. к концу
наблюдений число невосстанавливаемых
элементов в системе убывает.

Интенсивность
отказов характеризует надежность
изделий до их полного отказа. Все
отказавшие элементы в дальнейшем
испытании не участвуют, поэтому
интенсивность отказов можно использовать
лишь для оценки невосстанавливаемых
элементов (приводов).

Вероятность
безотказной работы

и интенсивность отказов

имеют однозначную связь. Функцию
распределения случайной величины
получить очень сложно, поэтому можно
получить сравнительно простые формулы
для вероятности безотказной работы и
вероятности отказов при некоторых видах
законов распределения. Для экспоненциального
закона распределения:

Для

или

экспоненциальная зависимость заменяется
первым членом разложения функции

Средняя
наработка на отказ
(среднее время безотказной работы) –
математическое ожидание времени работы
привода до первого отказа. В вероятностной
форме выражается как:

в
статистической форме:

где

– время жизни каждого из элементов;

—
число элементов, поставленных на
испытания.

Так
как невозможно осуществить практические
испытания всех элементов до отказа, то
в первом приближении при большом числе

среднюю наработку до отказа можно
определить выражением:

где

— время жизни каждого из отказавших
элементов;

—
время работы исправных

элементов к моменту последнего
наблюдаемого отказа или окончания
испытаний;

—
число элементов, поставленных на
испытания.

Наработка
на отказ
– отношение суммарной длительности
работы (наработки) изделия к числу
отказов, возникших за этот период, т.е.
средняя продолжительность безотказной
работы изделия.

Наработка
на отказ численно равна площади над
кривой

на участке времени

Для
экспоненциального закона надежности
наработка на отказ выражается как:

Дисперсия
времени безотказной работы
(время жизни) невосстанавливаемого
элемента в вероятностной форме выражается
как:

где

— среднее квадратичное отклонение
времени работы элемента до отказа от
среднего значения наработки до отказа

.

Дисперсия
времени безотказной работы в статистической
форме выражается как:

где

—
число элементов на испытаниях.

При
нормальном законе распределения
плотность распределения отказов
выражается как:

где

— оценка математического ожидания;

—
оценка среднего квадратичного отклонения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #



В статье проведена оценка показателей надежности безотказной работы системы. На примере показан расчет основных показателей средствами VBA.

Ключевые слова:



безотказная работа, доверительный интервал, испытания, число отказов, экспоненциальный закон.

Проведение испытаний новых изделий или системы организуется в соответствии с планом, в котором указывается: количество испытуемых изделий (

N

), будут ли заменяться отказавшие изделия (

B

) и когда испытания необходимо прекратить (прекращение испытаний после истечения Т часов или прекращение испытаний при возникновении

r —

го отказа).

Экспоненциальный закон представляет собой постоянную интенсивность отказов, т. к. определяется параметром

λ- const

при

δ

=1

.

, интенсивность отказов

λ(t)

≡

λ

. (1)

Если указано время работы каждого изделия от начала работы до его отказа, расчет суммарной наработки всех элементов

S

Б(

r

) и

S

Б(

Т

) вычисляется с использованием выражения (2).

(2)

Среднее время безотказной работы —

T

_ср


при экспоненциальном законе распределения равно величине, обратной ИО — 1/

λ

, т. е.:

(3)

-плотность распределения наработки(4)

=

∙(-ln

).

Вероятность восстановления

P


_B

(

t

):

Дисперсия времени безотказной работы:

(5)

Условная вероятность безотказной работы устройства на интервале времени

t

, после того как оно безотказно проработало на интервале

τ

.

(6)

Под доверительным интервалом понимается диапазон значений параметра, в пределах которого с некоторой вероятностью γ может находиться его истинное значение. Вероятность γ называется доверительной вероятностью или коэффициентом доверия. Для экспоненциального закона распределения отказов при плане испытаний

N

, Б,

r

установлено, что величина

U

= 2

S


_Б

(

r

)λ подчиняется χ

²

— распределению с 2

r

степенями свободы, где

S


_Б

(

r

) — суммарная наработка изделий, установленных на испытание (может быть определена из выражения (7), λ — истинное значение интенсивности отказа,

r —

число отказов (или разрядов, если отказы сгруппированы по разрядам) [1].

(7)

Вероятность того, что величина

U

находится в пределах χ

²


₁

и χ

²


₂

, равна

Интеграл

табулирован. Поэтому, задавшись значениями λ

_min

и λ

_max

и зная из обработки результатов эксперимента суммарную наработку

S


_Б

(

r

), находим χ

²


₁

и χ

²


₂

и по таблице квантилей распределения χ

²

–квадрат находим коэффициент доверия γ.

Квантилем случайной величиныχ




называется такое значение случайной величины

х


_р

, для которого с вероятностью 1–

р

можно утверждать, что полученное значение этой случайной величины попадет в интервал (–∞,

х


_р

).

Однако чаще стоит обратная задача: по коэффициенту доверия γ и суммарной наработке изделий при испытании

S

Б(

r

) требуется найти λmin и λmax.

Установлено, что доверительный интервал будет минимальным, если площади под кривой плотности распределения

f


<sub>2



r</sub>


в


интервалах [0, χ

²


₁

] и [χ

²


₂

, ∞] равны.

Тогда значения χ

²


₁

и χ

²


₂

ограничивают соответственно площади 0,5(1+γ) и 0,5(1 — γ).

Последовательность определения доверительных интервалов сводится к следующему. Задавшись коэффициентом доверия γ, определяем 0,5(1+γ) и 0,5(1 — γ) и, зная число степеней свободы 2

r

, по таблице квантилей χ

²

– распределения находим значения χ

²


₁

и χ

²


₂

. Доверительные оценки λ

_min

и λ

_max

могут быть определены из неравенства

(8)

Отсюда найдем

(9)

(10)

Рассмотрим пример расчета показателей, полученных при испытании 100 изделий (из строя вышло 34). Испытания были прекращены после истечения 100 часов.

Для построения статистического ряда время испытаний разобьем на равные интервалы (разряды) продолжительностью 10 часов и для каждого разряда проведем расчет.

Поскольку за время испытания отказало 34 % изделий, оценка интенсивности отказов подсчитывалась с использованием выражений для плана

N

,

Б

,

Т.

Доверительные границы:

0,2

Частота отказов определялась для каждого разряда из выражения

.

f

э, λэ,

Q

э(

t

) — параметры потока отказов при экспоненциальном законе распределения [1, 2].

Вероятность отказа подсчитывалась по формуле

.

Листинг программы расчета показателей при экспоненциальном законе распределения:

‘Вычислим 1 строку таблицы(3)============================= t

Строка = 3

For СтолбецТаблицы = 4 To КоличествоСтолбцовТаблицы + 3

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(Строка, СтолбецТаблицы).Value = Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(Строка — 1, СтолбецТаблицы).Value * ВременнойИнтервал

Next

‘Вычислим 2 строку таблицы(4)============================= n*

n = 0 ‘количество вышедших из строя элементов в периоде

СтрокаДанных = 4

СтрокаТаблицы = 4

СтолбецТаблицы = 4

КонтрольноеЗначениеВременногоИнтервала = ВременнойИнтервал

While Sheets(«Исходные данные»).Cells(СтрокаДанных, 1).Value <> «»

If КонтрольноеЗначениеВременногоИнтервала > ОбщееКоличествоЧасов Then GoTo конец

If Sheets(«Исходные данные»).Cells(СтрокаДанных, 1).Value <= КонтрольноеЗначениеВременногоИнтервала Then

n = n + 1

Else

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, СтолбецТаблицы).Value = n

КонтрольноеЗначениеВременногоИнтервала = КонтрольноеЗначениеВременногоИнтервала + ВременнойИнтервал

СтрокаДанных = СтрокаДанных — 1

СтолбецТаблицы = СтолбецТаблицы + 1

n = 0

End If

СтрокаДанных = СтрокаДанных + 1

Wend

If n <> 0 Then Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, СтолбецТаблицы).Value = n

конец:

‘Вычислим 7 строку таблицы(9)=============================ЛямбдаЭ x 10^3

СтрокаТаблицы = 9

СтолбецТаблицы = 4

СуммаВышедшихЗаВсеВремя = 0

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

СуммаВышедшихЗаВсеВремя = СуммаВышедшихЗаВсеВремя + Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(4, n).Value

Next

СтолбецТаблицы = 4

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, СтолбецТаблицы).Value = Round((1 / 100 * Log(КоличествоЭлементов / (КоличествоЭлементов — СуммаВышедшихЗаВсеВремя))) * 1000, 2)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).MergeCells = True

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Range(Cells(СтрокаТаблицы, 4), Cells(СтрокаТаблицы, n — 1)).HorizontalAlignment = xlCenter

‘Вычислим 8 строку таблицы(10)=============================fэ х 10^3

СтрокаТаблицы = 10

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Round(((Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(9, СтолбецТаблицы).Value / 1000) * Exp(-Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(2, n).Value / 1000 * Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(9, СтолбецТаблицы).Value * ВременнойИнтервал) * 1000), 2)

Next

‘Вычислим 9 строку таблицы(11)=============================Рэ

СтрокаТаблицы = 11

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = Round(Exp(-Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(9, СтолбецТаблицы).Value * Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(3, n).Value / 1000), 2)

Next

‘Вычислим 10 строку таблицы(12)=============================Qэ(t)

СтрокаТаблицы = 12

СтолбецТаблицы = 4

For n = СтолбецТаблицы To (КоличествоСтолбцовТаблицы + СтолбецТаблицы — 1)

Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(СтрокаТаблицы, n).Value = 1 — Sheets(«ОсновнаяТаблица»).Cells(11, n).Value

Next

Результаты вычислений представлены в таблице Excel (Таблица 1).

Таблица 1

Результаты расчета основных показателей испытаний

Параметр	Разряды
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
t	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
n*	5	3	5	2	2	3	3	3	5	3
λэ	4,16
fэ	3,99	3,83	3,67	3,52	3,38	3,24	3,11	2,98	2,86	2,74
Рэ	0,96	0,92	0,88	0,85	0,81	0,78	0,75	0,72	0,69	0,66
Qэ	0,04	0,08	0,12	0,15	0,19	0,22	0,25	0,28	0,31	0,34

Для определения доверительных интервалов при экспоненциальном законе распределения по таблице квантилей χ

²

— квадрат распределений. найдем

(20) и

(20) [3]:

,

.

Результаты расчета fэ(t) представлены на рис 1.

Рис. 1. Гистограмма частоты отказов при экспоненциальном законе распределения

Поскольку в задаче задано время работы каждого изделия до отказа, суммарная наработка всех изделий

S


_Б

(

T

) подсчитывается по формуле (11)

S


_Б

(

T

) =

(11)

S


_Б

(

T

) = 8276 ч.

Литература:

1. Коваленко, В. Н., Новиков, А. А. Надежность устройств железнодорожной автоматики, телемеханики и связи. учеб. пособие. — Екатеринбург: УрГУПС, 1995. — с. 78.
2. Основы теории надежности автоматических систем управления: учеб. пособие для вузов / Л. П. Глазунов, В. П. Грабовецкий, О. В. Щербаков. — Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отд-ние, 1984. — 208 с.
3. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. — М.: Наука, 1980. — 976 с.

Основные термины (генерируются автоматически): строка таблицы, коэффициент доверия, безотказная работа, доверительный интервал, распределение, суммарная наработка, VBA, время работы, случайная величина, суммарная наработка изделий.

Похожие статьи

Экспоненциальный закон

При экспоненциальном законе распреде­ления времени возникновения отказов интенсивность отказов является ве­личиной постоянной. Зависимости между основными количественными характери­стиками надежности будут выражены формулами:

                                                                   ^(3.1)

Основные количественные характеристики надежности для экспонен­циального закона приведены на рис. 3.1. Условие λ(f) = const означат, что средняя частота отказов и среднее время между соседними отказами соответственно равны интенсивности отказов и среднему времени безотказной работы аппаратуры, т.е.:

              (3.2)

Для экспоненциального закона распределения времени возникновения отказов средняя частота отказов превращается в интенсивность отказов, а среднее время между соседними отказами  –  в среднее время безотказной ра­боты. Основными же характеристиками надежности являются:

1) вероятность безотказной работы P(t);

2) интенсивность отказов l(t);

3) частота отказов α(t);

4) среднее время безотказной работы Т.

В случае экспоненциального закона эти характеристики пригодны для оценки надежности как аппаратуры разового использования, так и аппара­туры длительного использования, работающей в режиме смены отказавших элементов.

Из выражения для вероятности безотказной работы (3.1) видно, что она уменьшается с течением времени по экспоненциальному закону. Выражение

 

часто называют экспоненциальным законом надежности.

Выясним смысл среднего времени безотказной работы. Очевидно, что при t = Т вероятность безотказной работы будет иметь значение:

.

Из этого выражения видно, что при экспоненциальном законе надеж­ности среднее время безотказной работы – это время, в течение которого ве­роятность безотказной работы уменьшается в е раз.

Коэффициенты надежности для экспоненциального закона распреде­ления выражаются следующими формулами:

коэффициент готовности

;

коэффициент вынужденного простоя

;

коэффициент профилактики

;

частота профилактики

;

коэффициент отказов элементов

;

относительный коэффициент отказов элементов

;

коэффициент расхода элементов

.

Здесь l_c – интенсивность отказов системы, а l_i – интенсив­ность отказов элементов. Эти выражения становятся очевидными, если учесть, что в данном случае средняя частота отказов равна интенсивности отказов и        .

Выясним физический смысл коэффициентов, учитывающих вынуж­денный простой аппаратуры, для чего вычислим вероятность того, что в любой момент времени аппаратура будет исправна, если потоки отказов и восстановления простейшие.

Рассмотрим вначале промежуток времени от t до t + Dt, и вычислим вероятность того, что в конце этого промежутка аппаратура будет исправна.

Обозначим:

P(t + Dt) – вероятность того, что в конце промежутка t + Dt аппаратура будет исправна;

P(t) – вероятность того, что в момент времени t аппаратура будет исправна;

P₁(t) – вероятность того, что в момент времени t аппаратура находится в состоянии ремонта;

l – интенсивность отказов;

m_в – интенсивность восстановления.

Очевидно, что в конце промежутка Δt в силу ординарности потока отказов система будет исправна при следующих условиях:

а) в момент времени t аппаратура будет исправна и за промежуток Dt отказов не возникло;

б) в момент времени t аппаратура находилась в ремонте, но в течение Dt была восстановлена.

Предполагая, что промежуток времени Δt мал и ограничиваясь первыми двумя членами разложения показательной функции в ряд, можно для вероятностей событий а и б записать:

                               (3.3)

Тогда вероятность безотказной работы аппаратуры на основании теоремы о полной вероятности будет:

или после очевидных преобразований

.

Устремляя Δt к нулю и переходя к пределу, получим:

.                                                  (3.4)

Так как состояния а и б образуют полную группу несовместимых событий, то

P_i(t) = l – P(t).

Подставляя это значение в формулу (3.4), получим:

                                             (3.5)

Предполагая, что при t = 0 система исправна, будем иметь Р(0) = 1, P₁(0) = 0. При этих начальных условиях решение дифференциального уравнения (3.5) имеет вид:

                                                  (3.6)

Учитывая, что

,

получим

.                                       (3.7)

Выражение (3.7) позволяет уяснить физический смысл коэффициентов К_г, К_п, К_пр.

Из выражения (3.7) видно, что при t = 0     P(t) = l, а при t = ∞   P(t) = K_г. Отсюда следует, что коэффициент готовности показывает вероятность исправного состояния системы в любой момент времени t при установившихся условиях эксплуатации. В начале же эксплуатации P(t) < K_r даже при простейших потоках отказов и восстановления.

Закон Рэлея

При распределении времени возникновения отказов по закону Рэлея частота отказов определяется из выражения:

                                                      (3.8)

где а – параметр распределения Рэлея.

Тогда вероятность безотказной работы, опасность отказов и среднее время безотказной работы будут выражаться следующими формулами:

;                             (3.9)

Зависимости основных количественных характеристик надежности для закона Рэлея приведены на рис. 3.2.

Из формул (3.9) видно, что интенсивность отказов растет линейно с течением времени. Это означает, что при распределении времени возникновения отказов по закону Рэлея происходит интенсивное старение аппаратуры, и количество отказов не удовлетворяет условиям стационарного случайного процесса. При этом с течением времени вероятность безотказной работы уменьшается значительно интенсивнее, чем при экспоненциальном законе.

Из выражения (3.9) для P(t) и рис. 3.2. также видно, что в области малых t  интенсивность безотказной работы системы уменьшается с течением времени медленнее, чем при экспоненциальном законе. Это означает, что сложные автоматические системы, предназначенные для малого времени непрерывной работы, целесообразно строить на элементах, имеющих рэлеевский закон распределения между отказами. Условие целесообразности применения таких элементов по сравнению с элементами, поток отказов которых подчиняется экспоненциальному распределению, аналитически можно записать в виде следующего неравенства:

.                                                     (3.10)

Это условие вытекает из сравнения выражений для вероятности безотказной работы при указанных законах распределения времени возникновения отказов.

В области больших значений t вероятность безотказной работы систе­мы с рэлеевским законом распределения уменьшается с течением времени значительно быстрее, чем при экспоненциальном. Это означает, что сконст­руировать на данных элементах высоконадежную систему, предназначен­ную для длительной непрерывной работы, затруднительно.

Найти аналитическое выражение для средней частоты отказов при распределении времени возникновения отказов по закону Рэлея весьма сложно. Поэтому оценим α(t) приближенно.

Так как Р(t) является возрастающей функцией, то средняя частота от­казов располагается между интенсивностью отказов l(t) и частотой отказов α(t). Кроме того,

l(0) = α(0) = w(0) =0.

В области больших значений t средняя частота отказов асимптотиче­ски стремится к среднему времени безотказной работы, т.е.:

                                              (3.11)

Тогда значение t, при котором происходит излом, будет равно:

.

Предполагая, что средняя частота представляет собой ломаную, сов­падающую в области малых значений t с интенсивностью отказов, а в облас­ти больших значений t с прямой α(t), можно записать:

 

Зависимость  w(t) приведена на рис. 3.2. Коэффициенты надежности для случаев:

              и                    

приближенно могут быть выражены соответственно формулами:

коэффициент готовности

коэффициент вынужденного простоя

;

коэффициент профилактики

;

частота профилактики

коэффициент отказов элементов

;

относительный коэффициент отказов элементов

;

коэффициент расхода элементов

.

Здесь s_с – параметр распределения отказов системы, s_i – параметр распределения отказов элементов.

Из выражений для коэффициентов надежности видно, что в данном случае они являются функциями времени.

Исключение составляют лишь ко­эффициенты отказов элементов.

Нормальное распределение

Длительность безотказной работы аппа­ратуры не может быть отрицательной. Поэтому количественные характери­стики надежности имеет смысл рассматривать только при усеченном нор­мальном законе распределения времени между отказами.

Частота отказов в этом случае определяется из выражения:

.                                                (3.12)

Здесь T₁, s² – среднее значение и дисперсия времени между отказами в нормальном законе соответственно, С  –  постоянная усеченного нормального распределения, которая выбирается из условия:

,

и равна

.

Тогда вероятность безотказной работы можно представить в виде:

                                         (3.13)

где  – нормальный закон распределения времени между отказами.

Подставляя в выражение (3.13) значение постоянной С и вычисленный интеграл, получим следующую формулу для вероятности безотказной ра­боты:

.

Интенсивность отказов в данном случае будет равна:

                                       (3.15)

Вычислим среднее время безотказной работы. Для рассматриваемого случая:

.

Обозначим:

,

тогда

.

Вычислим первый интеграл вероятности, пользуясь известным соотношением:

,

тогда получим:

.

Второй интеграл будет иметь вид:

.

Подставляя вычисленные интегралы в выражение для Т и делая элементарные преобразования, получим выражение среднего времени безотказной работы в виде:

.

Основные характеристики надежности для нормального закона распределения между отказами имеют вид (рис. 3.3).

Из рисунка 3.3 видно, что интенсивность отказов начинается с нуля и с течением времени сильно растет. Это означает, что поток отказов не является стационарным и происходит старение элементов. В области малых значений t старение элементов оказывает несущественное влияние на надежность, и поэтому вероятность безотказной работы системы уменьшается незначительно. При длительной эксплуатации системы, отказы элементов которой имеют нормальное распределение, ее надежность быстро снижается, и поэтому вероятность безотказной работы быстро падает.

Гамма-распределение

При этом распределении частота отказов выражается формулой:

,                                                (3.16)

где l₀ – параметр гамма-распределения.

Тогда при целом и положи­тельном k вероятность безотказной работы, опасность отказов и среднее время безотказной работы выражается следующими формулами:

                  (3.17)

Параметр гамма-распределения характеризует асимметрию и эксцесс гамма-распределе­ния. В зависимости от его значения существенно изменится вид основных количественных характеристик надёжности. Зависимости a(t), l(t) и P(t) приведены на рис. 3.4. Из рисунка и выражения (3.16) видно, что при k = l гамма-распределение превращается в экспоненциальное. При k > l интенсивность отказов возрастает, а при k < l убывает.

Гамма-распределению удовлетворяет время возникновения отказов резервированных систем с включением резерва по способу замещения и при условии, что потоки отказов основной системы и всех резервных являются простейшими. В этом случае параметр распределения k равен числу всех систем (основной и резервных), т.е.

k = m + l.

Гамма-распределение также может быть характеристикой времени возникновения отказов сложных электромеханических систем, если имеют место мгновенные отказы элементов на начальной стадии эксплуатации или в процессе обработки системы, т.е. при k < l гамма-распределение является удобной характеристикой времени возникновения отказов аппаратуры в течение времени её приработки.

Распределение Вейбулла

При распределении Вейбулла частота отказов задается выражением:

.                                              (3.18)

Параметр l₀ определяет масштаб, а параметр k – асимметрию и эксцесс распределения. Для распределения Вейбулла основные количественные характеристики надёжности выражаются следующими формулами:

;

;

.

Зависимости основных количественных характеристик надёж­ности от времени приведены на рис. 3.5. Из рисунков и выражения (3.18) видно, что при k = l распределение Вейбулла превращается в экспо­ненциальное распределение. При k > l интенсивность отказов начина­ется с нуля и с течением времени возрастает. При k < l интенсивность отказов начинается с +∞ и в области больших t стремится к нулю.

Это означает, что распределение Вейбулла так же, как и гамма-распределение, по-видимому, может быть использовано в качестве характеристики надёжности ап­паратуры в течение времени её приработки. Это распределение на­блюдается для некоторых механических деталей и, в частности, при­меняется при изучении надёжности шарикоподшипников. Распределение Вейбулла с параметром k = 1,4 – 1,9 наблюдается у неко­торых типов электронных ламп. Оно также может быть использовано при ускоренных испытаниях элементов в форсированных режимах.

Для распределения Вейбулла так же, как и для гамма-распределения, не удаётся в общем виде найти выражение для средней частоты отказов, что затрудняет анализ системы по коэффициентам надёжности, так как приходится решать интегральное уравнение Вольтерра приближенными способами.

Суперпозиция распределений

Рассмотренные законы распределения времени возникновения отказов могут в большинстве случаев характеризовать надёжность сложной системы лишь на ограниченных участках времени её работы. Так, например, на участке приработки время возникновения отказов может подчиняться гамма-распределению или распределению Вейбулла, на участке нормальной работы – экспоненциальному, а на участке старения – нормальному распределению. В связи с этим для оценки надёжности сложной систе­мы на длительном участке её эксплуатации целесообразно использо­вать суперпозицию рассмотренных законов распределения времени между отказами.

В качестве примера рассмотрим суперпозицию двух экспонен­циальных законов.

Пусть

,

где l₁ < l₂, C₁, C₂ – постоянные, определяемые из условия С₁ + С₂ = 1 и зависящие от соотношения между l₁ и l₂.

Для этого случая основные количественные характеристики надежности будут иметь вид:

;

;

.

Так как l₂ > l₁, то в области больших значений t члены в выраже­нии для интенсивности отказов, имеющие множителем е^—l2t, близки к нулю и тогда l(t) » l₁. При малых значениях t            e^—l1t        и         е^—l2t близки к единице, и

l(t) = C₁l₁ + C₂l₂ > l₁.

Таким образом, интенсивность отказов с течением времени уменьшается:

от          l(t) =C₁l₁ + C₂l₂       при t = 0

до          l₁                                при t ® ∞.

Зависимость l(t) для суперпозиции двух экспоненциальных за­конов при l₂ < l₁ показана на рисунке (3.6.). На рисунке видно, что за­кон распределения, представляющий собой суперпозицию двух экспоненциальных законов, может характеризовать на

дёжность сложной системы с учётом периода приработки. Такой же вывод можно было бы получить при суперпозиции экспоненциального закона с гамма-распределением и распределением Вейбулла при k < l .

Влияние постепенных отказов может быть уточнено при суперпозиции экспоненциального и усеченного нормального законов распределения. В этом случае частота отказов представляется в следующем виде:

,

где С₁ и С₂ – коэффициенты, учитывающие степень влияния внезапных и постепенных отказов.

Тогда основные количественные характеристики надёжности можно представить в виде следующих соотношений:

;

.

Зависимость λ(t) для различных С₁и С₂ показаны на рис. (3.7.). Из рисунка видно, что в области малых значений t интенсивность от­казов – величина постоянная, а в области больших t она возрастает, что свидетельствует о появлении старения аппаратуры и, как следст­вие, возникновении постепенных отказов.

Экспоненциальный закон — распределение — время — безотказная работа

Cтраница 1

Экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы применим к механизмам, прошедшим предварительную приработку. Этот вид распределения используется также при анализе внезапных отказов.
 [1]

Таким образом, при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы средняя частота отказов равна интенсивности отказов и обратно пропорциональна среднему времени безотказной работы.
 [2]

Основной числовой характеристикой надежности технического элемента при широко распространенном экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы служит наработка на отказ, имеющая размерность времени ( ч), или обратная ей величина — интенсивность отказов ( ч 1) — Сложнее указать числовую характеристику надежности программных средств, так как законы распределения вероятности безошибочной ( или безсбойной) работы программ изучены недостаточно. При использовании сложных программных систем, когда при устранении отказов могут возникнуть новые ошибки, надежность программных средств в первом приближении можно также оценивать интенсивностью отказов и наработкой на отказ.
 [3]

Автоматические анализаторы — восстанавливаемые приборы, надежность которых характеризуется экспоненциальным законом распределения времени безотказной работы. Основным показателем, по которому определяется отказ анализатора, является предел допускаемой основной приведенной погрешности, соответствующей его классу точности.
 [4]

Предполагается, что автоматический анализатор является восстанавливаемым прибором, характеризуемым экспоненциальным законом распределения времени безотказной работы.
 [5]

Новейшие исследования в области надежности систем автоматики показывают, что экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы может быть принят при обработке статистических данных далеко не всегда. Все больше используются другие виды распределений, хорошо согласующиеся с опытными данными, в частности, распределение Вейбулла и нормальное распределение.
 [6]

Микропроцессорные аналитические приборы — восстанавливаемые приборы, надежность которых характеризуется экспоненциальным законом распределения времени безотказной работы.
 [7]

Экспериментальная оценка надежности технических устройств базируется как правило, на экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы. Важным свойством экспоненциального закона является независимость вероятности безотказной работы Р ( t) от того, сколько времени техническое устройство проработало до рассматриваемого промежутка времени.
 [8]

В основе большинства подходов назначения межповерочных интервалов и их корректировки предполагается экспоненциальный закон распределения времени безотказной работы с нормальным распределением погрешностей во временных сечениях процесса эксплуатации.
 [9]

Вероятность безотказной работы прибора за 1000 ч составляет 0 8 при экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы.
 [10]

Экспериментальная оценка надежности технических устройств базируется, как правило, на экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы. Важным свойством экспоненциального закона является неаависимость вероятности безотказной работы Р ( t) от того, сколько времени техническое устройство проработало до рассматриваемого промежутка времени.
 [11]

Теоретическая и экспериментальная оценка надежности автоматических устройств и систем управления базируется, как правило, на экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы.
 [12]

Данная особенность позволяет при теоретической и экспериментальной оценке надежности анализаторов базироваться, как правило, на экспоненциальном законе распределения времени безотказной работы анализаторов.
 [14]

Подставляя статистическую оценку интенсивности отказов Я в формулу (2.110) и производя необходимые расчеты, можно построить график теоретической функции надежности P ( t) в случае экспоненциального закона распределения времени безотказной работы.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

Макеты страниц

Лекция № 3
«Законы распределения надежности»
Зачастую определить конкретный закон распределения времени до отказа элемента или системы очень сложно или невозможно. В этих случаях подразумевают, что случайная величина – время до отказа – распределена по известному закону, т.е. что закон распределения известен априорно. В качестве таких законов может быть использовано любое распределение, определенное на положительной полуоси времени (или комбинация распределений).
Для исследования надежности устройств или при оценке вероятности появления различного числа неисправных изделий при выборочной проверке практическое значение имеют следующие законы распределения:
1. Экспоненциальный
2. Нормальный
3. Биномиальное распределение
4. Распределение Пуассона
I. Экспоненциальный закон распределения
Этот закон описывает надежность работы изделия в период его нормальной эксплуатации, когда постепенные отказы вследствие износа и старения еще не проявляются и надежность характеризуется внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным сочетанием различных факторов и имеют постоянную интенсивность .
Экспоненциальное распределение часто называют основным законом надежности. Экспоненциальное распределение наиболее применимо для оценки безотказности объектов в период после приработки и до проявления постепенных отказов. Этот закон используется также при решении задач об обслуживании сложных систем.
Экспоненциальный закон распределения надежности подразумевает, что интенсивность отказов объекта (системы) постоянна:
(1)
а время до отказа является непрерывной случайной величиной, распределенной экспоненциально, т.е. функция вероятности отказа принимает вид
(2)
Вероятность безотказной работы может быть определена как:
(3)
Экспоненциальное распределение иллюстрируется графиками функции распределения Q(t) и вероятности безотказной работы P(t), показанными на рисунке 1. Это распределение справедливо для положительных значений случайной величины.
Рис. 1. Зависимость вероятности отказов Q(t) и вероятности безотказной работы P(t) от времени при экспоненциальном законе распределения
Плотность вероятности и частота отказов экспоненциального распределения определяются следующим образом:
(4)
Среднюю наработку до отказа при экспоненциальном распределении можно найти по следующей формуле:
(5)
График зависимости для плотности и интенсивности отказов при экспоненциальном распределении представлен на рис. 2.
Рис. 2. Зависимость интенсивности отказов λ(t) и плотности отказов f(t) от времени при экспоненциальном законе распределения.
Несомненным достоинством экспоненциального распределения является простота зависимостей между показателями надежности, а также простота расчета надежности для сложных систем (в чем впоследствии студенты смогут убедиться). Однако экспоненциальный закон распределения не может похвастаться аккуратностью.
Пр. 1. Произвести приближенную оценку вероятности безотказной работы и среднюю наработку до первого отказа прибора для 2-х промежутков времени его работы 1000 и 3000 ч по следующей среднестатической величине интенсивности отказов 20*10-6 ед/ч. Отказы подчиняются экспоненциальному закону распределения случайной величины.
Дано: λ=20*10-6 ед/ч; t1 = 1000 ч; t2 = 3000 ч.
Решение:
.
Пр. 2. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненциальному закону распределения с параметром λ= 4*10-5 1/ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности элемента P(t), Q(t), для t = 2000 ч.
Дано: λ=4*10-5 ед/ч.
Решение:
Используем формулы (2), (3), (4), (5) для P(t), Q(t), .
1. Вычислим вероятность безотказной работы:
2. Вычислим вероятность отказа Q(2000):
3. Вычислим частоту отказов:
4. Вычислим среднее время безотказной работы:
II. Нормальный закон распределения
Является основным в математической статистике. Оно образуется, когда на случайную величину действует большое количество факторов. В теории надежности нормальным распределением описывают наработки на отказ объектов вследствие их износа и старения.
Нормальный закон распределения характеризуется двумя статистическими параметрами: математическим ожиданием µ и стандартным отклонением σ. Для оценки математического ожидания можно использовать среднее арифметическое значение случайной величины.
Значение математического ожидания µ определяется следующим образом:
(6)
где – среднее арифметическое значение параметра (временной параметр);
ti – выборочные значения случайной величины.
а стандартное отклонение случайной величины находят таким образом:
(7)
где σ – стандартное отклонение случайной величины;
D(t) – дисперсия случайной величины.
Считается, что наработка подчинена нормальному распределению (нормально распределена), если плотность распределения отказов f(t) описывается выражением:
(8)
При нормальном распределении время t может быть отрицательным, что противоречит физическому смыслу. Однако если среднее время значительно превышает (), отрицательная часть распределения не имеет практического значения.
Функция распределения вероятности отказа Q(t) при нормальном законе распределения определяется следующим образом:
(9)
Вероятность безотказной работы в этом случае P(t) 1 F(t). Зависимость P(t) называют также кривой (функцией) убыли ресурсов.
На рисунке 3 показаны графики функции нормального распределения и соответствующей ей кривой убыли ресурсов. Математическому ожиданию μ соответствует уровень вероятности 0,5.
Рис. 3. Графики функции нормального распределения и соответствующей ей кривой убыли ресурсов.
Общий вид графика плотности вероятности при нормальном распределении показан на рисунке 4. В границах ± 3 относительно среднего значения укладывается 99,73 % значений случайной величины. Эти границы часто используются для оценки пределов изменения значений случайной величины при нормальном ее распределении.
Рис. 4. График плотности вероятности при нормальном распределении.
Для выполнения расчетов с использованием нормального распределения применяют функцию Лапласа, определяемую следующим выражением:
(10)
где — квантиль нормированного нормального распределения.
На рисунке 5 показан график нормированного нормального распределения.
Рис. 5. График функции Лапласа
Функция Лапласа обладает следующими свойствами:
1)
2) Ф(∞) = 1;
3) Ф (- x) = — Ф(x)
С помощью функции Лапласа можно определить вероятность безотказной работы, вероятность, частоту и интенсивность отказов с помощью следующих выражений:
(11)
(12)
; (13)
(14)
где Ф(x) − функция Лапласа;
x — квантиль нормированного нормального распределения.
Нормированное нормальное распределение удобно использовать при расчетах как вероятности случайной величины, так и для расчета значения случайной величины по ее вероятности.
Для вычисления вероятности попадания случайной величины t в интервал t1 — t2 c использованием функции Лапласа необходимо найти:
(15)
Если необходимо решить обратную задачу: определить наработку, соответствующую заданной вероятности безотказной работы, то используют квантили нормального распределения:
(16)
где x – квантиль нормированного нормального распределения, которая зависит от требуемой вероятности и приводится в таблицах.
Нормальному распределению подчиняется наработка на отказ многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых объектов.
Пр. 3. Определить вероятность безотказной работы и интенсивность отказов прибора при t = 2500 часов работы, если при испытаниях получено значение среднего времени безотказной работы 𝑡 ̅ =3000 час. и среднее квадратическое отклонение σ = 500 ч.
Дано: = 3000 ч; σ = 500 ч; t = 2500 ч.
Решение:
Вероятность безотказной работы может быть вычислена через функцию распределения вероятности отказа Q(t):
Для расчета используем функцию Лапласа Ф(х). Определим квантиль распределения:
Для отрицательного значения квантили Ф (- x) = — Ф(x), поэтому вероятность безотказной работы равна:
P(t) 0,5 (1) 0,5+Ф(1)=0,5+0,3413=0,8413.
Пр. 4. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами 𝑡 ̅ = 4500 ч, σ =2500 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности P(t), Q(t), 𝛼(𝑡),𝜆(𝑡) для t=5 700 ч.
Дано: = 4500 ч; σ = 2500 ч; t = 5700 ч.
Решение:
P(t) 0,5 (x);
Q(t) 1-P(t)=0,6844;
=2,337*
III. Биномиальный закон распределения надежности
Это распределение по своей форме описывает появление событий, имеющих 2 исхода, взаимно исключающих друг друга.
Если, например, в партии из 100 изделий – 90 годных и 10 бракованных, вероятность выражается в виде 0,9 годных и 0,1 бракованных.
Если в генеральную совокупность одинаковых изделий входит доля q исправных и доля p неисправных, то q+p = 1. Если из большой партии изделий, содержащей p %-ое неисправных, берется выборка в количестве n изделий, то вероятность появления различного числа неисправных изделий в этих выборках определяется коэффициентами биномиального разложения .
(17)
В этом уравнении 1-й член показывает вероятность отсутствия неисправных изделий в выборке объемом n образцов.
Второй член дает вероятность появления одного неисправного изделия, третий член – вероятность появления 2-х неисправностей, а последний – n неисправных.
Таким образом, говорят, что случайная величина имеет биномиальное распределение, если ее возможные значения – 0,1, …,m, …, n, а соответствующие вероятности равны:
,
где
– это число способов, какими из n опытов можно выбрать m «успехов».
Вероятность не менее m «успехов» в n опытах выражается в виде:
Биномиальный закон распределения применяют обычно при статистическом контроле качества, когда имеется очень мало сведений о поведении изделий, а их необходимо расклассифицировать на годные и бракованные.
Пр. 5. Из большой партии приборов, содержащей 5 % неисправных, берется для использования выборка из 4 единиц. Определить вероятность появления в выборках 0,1,2,3,4 неисправных приборов.
Дано: p=0,05; n=4
Решение:
IV. Распределение Пуассона
Распределение Пуассона описывает появление внезапных отказов в сложных системах и распределение времени восстановления, число отказов однотипного оборудования за определенный интервал времени и т.п.
В этом случае имеют дело с событиями, изолированными во времени или пространстве. Так, число отказов в работе устройства в течение некоторого промежутка времени характеризует собой появление изолированных во времени событий.
Распределение Пуассона состоит из ряда членов, каждый из которых определяет вероятность появления 0,1,2,3… событий на единицу измерения.
, (18)
где a – среднее значение числа неисправностей на изделие или неисправных изделий, определяемое как произведение объема выборки на среднее значение доли неисправных изделий целой партии.
В уравнении каждый элемент означает:
Первый член означает вероятность появления 0 неисправностей на изделие;
Второй член – вероятность появления 1 неисправности;
Член – вероятность появлений b неисправностей.
Таким образом, говорят, что случайная величина имеет распределение Пуассона, если ее возможные значения – 0,1,…,m, a соответствующие вероятности равны:
Это распределение широко применяют при контроле качества изделий. В частности, оно определяет основу для составления плана выборочной приемки в отделах технического контроля предприятий, выпускающих серийную или массовую продукцию.
Таким образом, распределение Пуассона обычно применяют для определения вероятности появления заданного числа событий на заданном интервале времени при условии независимости и несовместности событий.
Пуассоновское распределение является предельным для биномиального распределения, когда число опытов n неограниченно увеличивается и одновременно неограниченно уменьшается в каждом случае вероятность «успеха» p, но так, что их произведение сохраняется в пределе постоянным и равным a:
Отсюда следует, что пуассоновское распределение можно применять, когда число опытов очень велико, но в каждом отдельном случае событие происходит крайне редко. Поэтому такое распределение хорошо подходит для описания многократного применения технических устройств высокой надежности.
Биномиальное распределение применяют в принципе для любого p, а распределение Пуассона — только для малого p. Поэтому в расчетном смысле закон Пуассона уже биномиального распределения, но в физическом смысле он шире, так как существует ряд процессов, в которых независимо от значения вероятности p распределение Пуассона применимо, а биномиальное нет. 
Пр. 6. Из большой партии приборов, содержащей 2 % неисправных, берется для контроля выборка из 5 единиц. Оценить вероятность появления в выборках 0,1,2,3,4,5 неисправных.
Дано: p=0,02; n=5
Решение:
Задачи для самостоятельного решения:
1. Вероятность безотказной работы устройства в течение 360 ч равна 0,97. Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется рассчитать интенсивность отказов, частоту отказов и среднее время безотказной работы устройства для момента времени t =360 ч.
2. Время работы изделия подчинено нормальному закону с параметрами t ̅ = 9500 ч, σ = 1000 ч. Требуется вычислить количественные характеристики надежности P(t),Q(t), α(t), λ(t), для t=7300 часам.
3. Подшипники коробки переключения передач автомобиля имеют нормальное распределение наработки до отказа с параметрами t ̅ = 2000 ч, σ = 450 ч . В течение какой наработки подшипник будет функционировать с надежностью P(t) = 0,85.
4. Из большой партии приборов, содержащей 3 % неисправных, берется для использования выборка из 7 единиц. Определить вероятность появления не более 4 неисправных приборов. Предполагается, что справедлив биномиальный закон распределения.
5. Для контроля качества берется 5 компонентов из общей партии, содержащей 7 % неисправных изделий. Определить вероятность появления более 3-х неисправных приборов. Предполагается, что справедливо распределение Пуассона.