Пусть взяли в кредит a рублей (все суммы в рублях). По условиям задачи заполним в таблице суммы долга на 15-е число каждого месяца (второй столбец таблицы), увеличим на 5 % полученные суммы (третий столбец таблицы). Вычислим платежи каждого месяца, вычитая из числа в
3-м столбце таблицы число во 2-м столбце таблицы строкой ниже.
Месяцев прошло |
Долг на 15-е число |
Долг в конце месяца |
Платёж |
0 |
a |
1,05a |
0 |
1 |
0,9a |
0,945a |
1,05a – 0,9a = 0,15a |
2 |
0,8a |
0,84a |
0,945a – 0,8a = 0,145a |
3 |
0,7a |
0,735a |
0,84a – 0,7a = 0,14a |
4 |
0,6a |
0,63a |
0,735a – 0,6a = 0,135a |
5 |
0,5a |
0,525a |
0,63a – 0,5a = 0,13a |
6 |
0 |
0 |
0,525a |
Сложив все платежи, получим:
0,15a + 0,145a + 0,14a + 0,135a+ 0,13a+ 0,525a = 1,225a.
Общая сумма выплат больше суммы самого кредита на 0,225a, или на 22,5 %.
Ответ. 22,5.
Задачи ЕГЭ №15 на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.
1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет» 2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами». К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах. Ко второму типу — задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга. |
---|
В этой статье — решение задач на кредиты второго типа. Схема 2: с дифференцированными платежами. В условии есть информация об изменении суммы долга.
Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.
1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
Ключевая фраза в условии: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца». Другими словами, сумма долга уменьшается равномерно. Что это значит?
Если вначале сумма долга равна S, то через месяц (после начисления процентов и первой выплаты) она уменьшилась до .Еще через месяц будет
,затем
— и так до нуля.
Пусть
Нарисуем схему погашения кредита.
Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.
Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 19.
Вот клиент берет в кредит сумму . После начисления процентов сумма долга увеличилась в
раз и стала равна
. После первой выплаты сумма долга уменьшилась на
и стала равной
. Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна
. Таким образом, первая выплата
Вторая выплата:
19-я выплата:
Сумма всех выплат:
Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой и
В первой скобке — сумма 19 слагаемых, во второй сумма 18 слагаемых.
По формуле сумма арифметической прогрессии,
Получим, что общая сумма выплат , где
— величина переплаты. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит.
В нашей задаче
Здесь — количество платежных периодов.
Получим:
Обратите внимание. Общая сумма выплат:
, где
— величина переплаты,
В следующих задачах мы будем (если это возможно) применять удобную формулу для переплаты без вывода. Однако на экзамене вам надо будет ее вывести. Иначе решение могут не засчитать.
2. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на больше суммы, взятой в кредит.
Пусть
По формуле для переплаты при выплате суммы кредита
дифференцированными платежами имеем:
где — искомое число месяцев, а
— величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата
равна
, тогда:
откуда
3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.
Дата | 15,01 | 15,02 | 15,03 | 15,04 | 15,05 | 15,06 | 15,07 |
Долг (в процентах от кредита) | 100% | 90% | 80% | 70% | 60% | 50% | 0% |
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на , а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?
В этой задаче (как и в большинстве задач ЕГЭ) мы не сможем применить формулу для величины переплаты. Ведь погашение кредита происходит неравномерно. Первые 5 месяцев долг ежемесячно уменьшается на своей величины, а в последний месяц сразу до нуля.
Запишем, чему равна каждая выплата, и найдем сумму всех выплат.
Первая выплата:
Вторая:
Следующие:
Общая сумма выплат
— переплаты,
— общая сумма выплат,
— сумма кредита.
Ответ:
4. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года.
— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.
— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.
— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.
Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.
млн.руб
млн. руб
— ежегодные выплаты 2020 и 2021 годов.
Ответ:
В 2018 году появились, пожалуй, самая сложная задачи ЕГЭ такого типа. Вот большая статья о том, что же все-таки было на ЕГЭ-2018:
Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.
Подведем итоги. Соберем всё, что узнали о решении задач на кредиты по второй схеме (с дифференцированными платежами) в небольшую таблицу:
Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами). Применяется также, когда известно, как уменьшается сумма долга. |
---|
Пусть |
Схема погашения кредита для
1 выплата: 2 выплата: n-ная выплата: Сумма всех выплат: Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат:
|
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике. Задание № 15. Кредиты. Схема 2: известна информация об изменении суммы долга.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
09.03.2023
4 июня 2021
В закладки
Обсудить
Жалоба
Дифференцированные платежи
Работа с заданием 17.
Задачи: zadachi.pdf
ДЗ: dz.pdf
Первое видео автора по теме
№1.
Даша взяла ипотеку 6 000 000 рублей под 12% годовых на 10 лет. Выплаты подбираются так, чтобы долг уменьшался равномерно.
1) сколько всего денег Даша отдаст банку?
2) На сколько процентов больше Даша отдаст банку по сравнению с суммой, взятой в кредит
3) Сколько процентов составляет сумма выплат по сравнению с суммой, взятой в кредит?
4) Можно ли ответить на вопросы
2) и 3) не зная, сколько денег взяли в кредит?
5) Чему равен 3й платеж?
6) Чему равен наименьший платеж? Наибольший?
7) Сколько выплатит Даша за первые 6 лет?
№2 (ЕГЭ 2016)
Сергей взял в банке кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Сергей должен возвращать в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Сергеем, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, т.е. на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Сергей вернет банку в течение первого года кредитования?
№3 (ЕГЭ 2016)
Эмиль взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Эмиль должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Эмиль погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Эмилем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
№4
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 27 млн рублей?
№5 (ЕГЭ 2017)
15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения
В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?