15 января был выдан кредит на развитие бизнеса в таблице представлен график его погашения

Пусть взяли в кредит a рублей (все суммы в рублях). По условиям задачи заполним в таблице суммы долга на 15-е число каждого месяца (второй столбец таблицы), увеличим на 5 % полученные суммы (третий столбец таблицы). Вычислим платежи каждого месяца, вычитая из числа в
3-м столбце таблицы число во 2-м столбце таблицы строкой ниже.

Месяцев прошло	Долг на 15-е число	Долг в конце месяца	Платёж
0	a	1,05a	0
1	0,9a	0,945a	1,05a – 0,9a = 0,15a
2	0,8a	0,84a	0,945a – 0,8a = 0,145a
3	0,7a	0,735a	0,84a – 0,7a = 0,14a
4	0,6a	0,63a	0,735a – 0,6a = 0,135a
5	0,5a	0,525a	0,63a – 0,5a = 0,13a
6	0	0	0,525a

Сложив все платежи, получим:

0,15a + 0,145a + 0,14a + 0,135a+ 0,13a+ 0,525a = 1,225a.

Общая сумма выплат больше суммы самого кредита на 0,225a, или на 22,5 %.

Ответ. 22,5.

Источник

Задачи ЕГЭ №15 на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.

1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет»

2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами».

К первому типу относятся также задачи, в которых есть информация о платежах.

Ко второму типу — задачи, в которых есть информация об изменении суммы долга.

В этой статье — решение задач на кредиты второго типа. Схема 2: с дифференцированными платежами. В условии есть информация об изменении суммы долга.

Если в условии задачи сказано, что сумма долга уменьшается равномерно, или что 15-го числа каждого месяца сумма долга на одну и ту же величину меньше суммы долга на 15-е число предыдущего месяца, или есть информация о том, как именно уменьшается сумма долга, — это задача на кредиты второго типа.

1. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

Ключевая фраза в условии: «15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца». Другими словами, сумма долга уменьшается равномерно. Что это значит?

Если вначале сумма долга равна S, то через месяц (после начисления процентов и первой выплаты) она уменьшилась до $frac{18}{19}S$ .Еще через месяц будет $frac{17}{19}S$ ,затем $frac{16}{19}S$ — и так до нуля.

Пусть $k=1+frac{r}{100}$

Нарисуем схему погашения кредита.

Первая строка в схеме — сумма долга после очередной выплаты.

Вторая строка — сумма долга после начисления процентов. Стрелками показано, как меняется сумма долга. Число платежных периодов n = 19.

Вот клиент берет в кредит сумму . После начисления процентов сумма долга увеличилась в раз и стала равна . После первой выплаты сумма долга уменьшилась на $frac{1}{19}S$ и стала равной $frac{18}{19}S$ . Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна $frac{18}{19}kS$ . Таким образом, первая выплата

$Z{}_{1}=Scdot k-frac{18}{19}S$

Вторая выплата: $Z_2=frac{18}{19}kS-frac{17}{19}S$

vdots

19-я выплата: $Z_{19}=frac{1}{19}kS$

Сумма всех выплат:

$Z=Z_1+Z_2+cdots +Z_{19}=cdots =$

$=left(kS-frac{18}{19}Sright)+left(frac{18}{19}kS-frac{17}{19}Sright)+cdots +frac{1}{19}kS=$

$=kSleft(1+frac{18}{19}+frac{17}{19}+cdots +frac{1}{19}right)-Sleft(frac{18}{19}+frac{17}{19}+cdots +frac{1}{19}right).$

Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой $a_1=frac{1}{19}$ и $d=frac{1}{19}.$

В первой скобке — сумма 19 слагаемых, во второй сумма 18 слагаемых.

По формуле сумма арифметической прогрессии, $S_n=frac{a_1+a_n}{2}cdot n.$

$frac{1}{19}+frac{2}{19}+cdots +1=frac{1}{2}left(frac{1}{19}+frac{19}{19}right)cdot 19=10;$

$frac{1}{19}+frac{2}{19}+cdots +frac{18}{19}=frac{1}{2}left(frac{1}{19}+frac{18}{19}right)cdot 18=9;$

Получим, что общая сумма выплат $Z=10kS-9S=10left(1+frac{p}{100}right)S-9S=S+frac{10p}{100}cdot S=S+Pi$ , где — величина переплаты. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит.

В нашей задаче

$Pi =frac{10p}{100}cdot S=frac{n+1}{2}cdot frac{p}{100}cdot S.$

Здесь n=19 — количество платежных периодов.

Получим:

$frac{10p}{100}cdot S=frac{30}{100}S;$

p=3.

Обратите внимание. Общая сумма выплат:

, где — величина переплаты, $Pi=Scdot frac{n+1}{2}cdot frac{p}{100}.$

В следующих задачах мы будем (если это возможно) применять удобную формулу для переплаты без вывода. Однако на экзамене вам надо будет ее вывести. Иначе решение могут не засчитать.

2. 15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит.

Пусть $k=1+frac{r}{100}.$

По формуле для переплаты при выплате суммы кредита дифференцированными платежами имеем:

$Pi=frac{n+1}{200}rS$

где — искомое число месяцев, а r = 3 — величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата равна 0,3S , тогда:

$0,3S=frac{n+1}{2}cdot 0,03S$

откуда n=19.

3. 15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения.

Дата	15,01	15,02	15,03	15,04	15,05	15,06	15,07
Долг (в процентах от кредита)	100%	90%	80%	70%	60%	50%	0%

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на , а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

В этой задаче (как и в большинстве задач ЕГЭ) мы не сможем применить формулу для величины переплаты. Ведь погашение кредита происходит неравномерно. Первые 5 месяцев долг ежемесячно уменьшается на $frac{1}{10}$ своей величины, а в последний месяц сразу до нуля.

Запишем, чему равна каждая выплата, и найдем сумму всех выплат.

Первая выплата:

Вторая:

Следующие:

Общая сумма выплат

$Z-S=S+4,5cdot 0,05cdot S-S=4,5cdot 0,05S=45cdot frac{5}{1000}S=45cdot frac{5}{10}cdot frac{1}{100}S=22,5cdot frac{1}{100}S=22,5%S$

Pi=Z-S

— переплаты, — общая сумма выплат, — сумма кредита.

Ответ: 22,5%

4. В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн. руб. Условия возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на по сравнению с концом предыдущего года.

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

— в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн. руб.

— суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн. рублей.

S=6,6 млн.руб

Z=12,6 млн. руб

$k=1+frac{r}{100}$

— ежегодные выплаты 2020 и 2021 годов.

$X=frac{k^2S}{k+1}$

$12,6=3cdot 6,6left(k-1right)+frac{2cdot k^2cdot 6,6}{k+1}$

$126=3cdot 66left(k-1right)+frac{2cdot k^2cdot 66}{k+1}$

$42=66left(k-1right)+frac{44k^2}{k+1}$

$D={21}^2-4cdot 55cdot left(-54right)=12321={111}^2 , Longrightarrow k=frac{132}{110}=frac{12}{10}=frac{120}{100}Longrightarrow r=20%$

Ответ: 20%

В 2018 году появились, пожалуй, самая сложная задачи ЕГЭ такого типа. Вот большая статья о том, что же все-таки было на ЕГЭ-2018:

Разбор задачи №17 («Банковская», или «Экономическая») на ЕГЭ по математике 2018 года.

Подведем итоги. Соберем всё, что узнали о решении задач на кредиты по второй схеме (с дифференцированными платежами) в небольшую таблицу:

Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами). Применяется также, когда известно, как уменьшается сумма долга.
Пусть – сумма кредита, – количество платежных периодов, – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент $k = 1+frac{p}{100}$ показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Схема погашения кредита для платежных периодов. – число платежных периодов. 1 выплата: $Z_1=Scdot k-Scdot frac{n-1}{n}$ 2 выплата: $Z_2= S cdot frac{n-1}{n}cdot k-Scdot frac{n-2}{n}$ n-ная выплата: $Z_n=Scdot frac{1}{n}cdot k$ Сумма всех выплат: $=Scdot kleft (1+frac{n-1}{n}+frac{n-2}{n}+...+frac{1}{n}right )-Sleft ( frac{n-1}{n}+frac{n-2}{n}+...+frac{1}{n} right ).$ Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат: $Z= Scdot kcdotfrac{n+1}{2}-Scdotfrac{n-1}{2}=S+Scdotfrac{n+1}{2}cdot frac{p}{100}= S + Pi,$ , где – величина переплаты, $Pi=Scdot frac{n+1}{2}cdot frac{p}{100}.$

Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами). Применяется также, когда известно, как уменьшается сумма долга.

Пусть

– сумма кредита,

– количество платежных периодов,

– процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент $k = 1+frac{p}{100}$

показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.

Схема погашения кредита для

платежных периодов.

– число платежных периодов.

1 выплата: $Z_1=Scdot k-Scdot frac{n-1}{n}$

2 выплата: $Z_2= S cdot frac{n-1}{n}cdot k-Scdot frac{n-2}{n}$

n-ная выплата: $Z_n=Scdot frac{1}{n}cdot k$

Сумма всех выплат:

$=Scdot kleft (1+frac{n-1}{n}+frac{n-2}{n}+...+frac{1}{n}right )-Sleft ( frac{n-1}{n}+frac{n-2}{n}+...+frac{1}{n} right ).$

Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат:

$Z= Scdot kcdotfrac{n+1}{2}-Scdotfrac{n-1}{2}=S+Scdotfrac{n+1}{2}cdot frac{p}{100}= S + Pi,$ , где

– величина переплаты,

$Pi=Scdot frac{n+1}{2}cdot frac{p}{100}.$

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Профильный ЕГЭ по математике. Задание № 15. Кредиты. Схема 2: известна информация об изменении суммы долга.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
09.03.2023

Источник

4 июня 2021

В закладки

Обсудить

Жалоба

Дифференцированные платежи

Работа с заданием 17.

Задачи: zadachi.pdf
ДЗ: dz.pdf

Первое видео автора по теме

№1.

Даша взяла ипотеку 6 000 000 рублей под 12% годовых на 10 лет. Выплаты подбираются так, чтобы долг уменьшался равномерно.

1) сколько всего денег Даша отдаст банку?
2) На сколько процентов больше Даша отдаст банку по сравнению с суммой, взятой в кредит
3) Сколько процентов составляет сумма выплат по сравнению с суммой, взятой в кредит?
4) Можно ли ответить на вопросы
2) и 3) не зная, сколько денег взяли в кредит?
5) Чему равен 3й платеж?
6) Чему равен наименьший платеж? Наибольший?
7) Сколько выплатит Даша за первые 6 лет?

№2 (ЕГЭ 2016)

Сергей взял в банке кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Сергей должен возвращать в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Сергеем, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, т.е. на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Сергей вернет банку в течение первого года кредитования?

№3 (ЕГЭ 2016)

Эмиль взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Эмиль должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r % этой суммы и своим ежемесячным платежом Эмиль погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Эмилем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

№4

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года. На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 27 млн рублей?

№5 (ЕГЭ 2017)

15-го января был выдан полугодовой кредит на развитие бизнеса. В таблице представлен график его погашения

В конце каждого месяца, начиная с января, текущий долг увеличивался на 5%, а выплаты по погашению кредита происходили в первой половине каждого месяца, начиная с февраля. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

Источник